CC BY
74
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОСТРАНСТВЕННО-ВРЕМЕННОГО СОСТОЯНИЯ СИСТЕМ ПО ГЕОМЕТРИЧЕСКИМ СВОЙСТВАМ
Игорь Георгиевич Вовк
Сибирская государственная геодезическая академия, 630108, г. Новосибирск, ул.
Плахотного, 10, д.т.н., профессор кафедры прикладной информатики, тел.(383)3431853
Татьяна Юрьевна Бугакова
Сибирская государственная геодезическая академия, 630108, г. Новосибирск, ул.
Плахотного, 10, к.т.н., доцент кафедры прикладной информатики, тел.(383)3431853
В статье рассмотрено математическое моделирование пространственно-временного состояния систем по геометрическим свойствам.
Ключевые слова: математическая модель, пространственно-временное состояние системы, геометрические характеристики системы.
MATHEMATICAL SIMULATION OF SYSTEMS SPACE - TIME STATE BY GEOMETRICAL PROPERTIES
Igor G. Vovk
Ph.D., Prof., Department of Applied Informatics, Siberian State Academy of Geodesy, 10 Plakhotnogo St., 630108 Novosibirsk, phone: (383)3431853
Tatyana Yu. Bugakova
Ph.D., Assoc. Prof., Department of Applied Informatics, Siberian State Academy of Geodesy, 10 Plakhotnogo St., 630108 Novosibirsk, phone: (383)3431853
Mathematical simulation of systems space-time state by geometrical properties is considered.
Key words: mathematical model, systems space-time state, systems geometrical characteristics.
В современной геодезической отрасли много научных задач. Одна из них -определение пространственно-временного состояния систем. Для её решения необходим систематический контроль состояний объектов. Существуют разнообразные методы контроля, отличающиеся своими целями. Для контроля пространственно-временного состояния (ПВС) техногенных объектов необходимы данные об их геометрических свойствах, как функциях времени. К ним относятся форма, размеры, положение в пространстве и другие свойства, характеризующие взаимное расположение множества точек объекта относительно внешней среды и относительно друг друга. Выполнить непосредственное измерение таких свойств чаще всего не удаётся и поэтому для их определения применяют методы математического моделирования [1].
Исходными данными для моделирования служат временные ряды координат множества точек исследуемого объекта, полученные по результатам повторных циклов геодезических измерений. Анализируя результаты моделирования свойств
объекта, можно судить о его состоянии, оценивать опасность этого состояния и принимать необходимые меры для снижения риска возникновения опасных состояний, сопровождающихся не только значительным материальным ущербом, но и человеческими жертвами и связанных с полным или частичным разрушением объекта. Разрушение многих сооружений можно было бы предвидеть при своевременном выполнении работ по наблюдению и анализу ПВС объектов [2].
Рассматривая отдельные геодезические точки или некоторые их множества, связанные заданными отношениями, как элементарные объекты, связи между ними установим посредством математических правил и тем самым на множестве элементарных объектов определим отношения между ними, представляющие структуру объекта. Возможность различного выбора элементарных объектов обеспечивает свободу в определении структуры. В результате на множестве исходных геодезических данных могут быть определены геометрические объекты не обязательно состоящие из конечного множества точек. Например, прямая, проходящая через две заданные точки, плоскость, содержащая три заданные точки, многоугольник, составленный из отрезков прямых и т.д. Это позволяет, как свойства объектов находить различные геометрические признаки:
- Внешнюю конфигурацию, в которой отображается структура объекта (точка, линия, полоса, оболочка, стержень, слой) и размерность пространства состояний;
- Количество и размерность связей со смежными элементами, иерархию связей;
- Уравнения линий и поверхностей;
- Числовые характеристики.
Среди множества методов описания геометрических признаков объектов определёнными преимуществами обладает параметрический метод, который позволяет избежать привязки к той или иной системе координат, относительно просто осуществлять преобразования координат (перенос и вращение), получать простые математические модели закрученных кривых и других объектов и отображать их на экране компьютера. При параметрическом описании координаты любой точки
х = хОХ у = y(4 Z = z{t) (1)
рассматриваются как функции вспомогательного параметра t, область изменения которого должна быть оговорена. Параметрическое представление не является единственным, и один и тот же геометрический объект может быть представлен различными функциями вида (1). Полагая в (1) параметр t = ti = const., определяем радиус-вектор, т. е. положение точки Mi . При изменении параметра t точка Mi опишет в пространстве некоторую траекторию, каждая точка которой соответствует некоторому значению параметра t, являющегося координатой точки. Это обстоятельство позволяет для описания траектории точки ввести вектор-функцию
r = r(t) = {*(0,y(t),z(t)}= г • x(t) + j • y(t) + k • z(t). (2)
В качестве примера запишем векторное уравнение прямой, проходящей через точку Мо, в направлении орт-вектора и (рис. 1).
Рис. 1. Составление уравнения прямой
Как видно из чертежа, М0M = r — r о, а направление MqM совпадает с направлением и . Тогда искомым уравнением является r — rо = t • и ^ r = rо +1 • и = r(t). (3)
Если прямая должна проходить через две заданные точки М0 и М, то роль направляющего вектора выполняет вектор
м0 м=OM—ом0 = r — r о, (4)
и для произвольной точки Mk искомой прямой является rk = OMk = OM0 + M0Mk = OMо +1 • M0M =
— — — — (5)
= r о +1 • (r — r о) = r (t).
В параметрическом виде могут быть заданы и произвольные поверхности. Их можно представить как «след» перемещающейся в пространстве и деформирующейся линии. Положение точки на такой поверхности
определяется параметром и, определяющим положение точки на линии, и параметром v, определяющим положение линии в пространстве. Следовательно, в трёхмерном пространстве поверхность определяется вектор-функцией
r = r(u, v) = i • x(u, v) + j • y(u, v) + к • z(u, v). (6)
Если в уравнении (6) фиксировать один из параметров (и или v), то
получим уравнения линий, принадлежащих поверхности (6). Такие линии называют параметрическими линиями на поверхности [3].
В качестве примера запишем уравнение плоскости (рисунок 2),
проходящей через точку r 0 и содержащей векторы: r = rо + и • n\, r = rо + v • n2,
где параметры и, v - координаты точки в плоской (может быть косоугольной) системе координат, оси которой задают векторы n\, n2.
Рис. 2. Составление уравнения плоскости
Введём вектор, перпендикулярный плоскости векторов Щ, п2.
- П1 X П 2
п =
П1 X п 2
Тогда искомое уравнение имеет вид:
П1 • п = п 2 • п = 0,
- - -2 ^ - - - - - - - (7)
г • п = (г о + и • -1 + V • п 2) • п = г о • п ^ (г - г о) • п = 0.
В координатной форме оно запишется в виде выражения:
пх •(х - х0) + пу • (У - У о) + пг •(г - 2о) = 0. (8)
Из уравнения (7) следует, что проекция радиус-вектора г любой точки плоскости на направление нормали - величина постоянная, по абсолютной величине равная расстоянию от плоскости до начала координат.
Уравнения прямой и плоскости - основные и простейшие геометрические характеристики объектов, которые могут быть получены по геодезическим данным. Кроме этих характеристик, существует множество других вариантов. Например: условие принадлежности четырех точек одной и той же плоскости, угла между плоскостями, угла между прямой и плоскостью, координат точки пересечения прямой; определение кратчайшего расстояния между двумя прямыми, расстояния от точки до прямой, проекции вектора на плоскость; уравнение плоскости, проходящей через данную точку и перпендикулярную данному вектору. Все они являются основными элементарными объектами, из которых можно, исходя из целей моделирования или структуры объекта, оценивать качественные свойства и вычислять значения геометрических характеристик.
Например, если целью моделирования является определение положения системы в пространстве, представленной облаком точек с координатами хг, уг, zi, то достаточно найти среднюю точку этой системы.
Для определения ориентации системы в пространстве необходимо найти плоскость, наилучшим образом аппроксимирующую зависимость zi = (х; у).
20-
30-
10-
0-
Рис. 3. плоскость аппроксимирующая зависимость = (хг-; у-)
Изменение положения нормали, проведенной к плоскости, будет характеризовать ориентацию облака точек в пространстве.
Если требуется определить изменение поверхности облака точек, то нужно аппроксимировать его сферой. Изменение размеров этого облака (расширение, сжатие), а так же изменение расстояний точек от поверхности сферы будут характеризовать локальные деформации поверхности.
Если возникают другие цели, то для них нужно определять свои свойства определения ПВС. С точки зрения системно-целевого подхода каждый из приведенных примеров представляет собой конструирование агрегата по элементарным данным (точкам). Если имеются физические или конструктивные предпосылки того, что облако может быть представлено в виде нескольких
*
Рис. 4. аппроксимация облака точек сферой
частей, то эту работу нужно делать для каждой части. Полученные результаты являются основой для прогнозирования эволюции ПВС и оценки риска возникновения опасной ситуации.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Вовк, И. Г. Системный анализ и моделирование пространственно - временного состояния технических систем. [Текст] / И. Г. Вовк //Сб. матер. IV Междунар. научн. конгр. "Гео-Сибирь 2008" 22 - 24 апреля 2008 г., Новосибирск. - Новосибирск: СГГА, 2008. - Т.3-Ч.2. - С. 132 - 135
2. Вовк, И. Г. Теория определения техногенного геодинамического риска пространственно-временного состояния технических систем. [Текст]/ И. Г. Вовк, Т. Ю. Бугакова// Сб. материалов V Междунар. науч. конгр. «ГЕ0-Сибирь-2010», 19-29 апр. 2010 г., Новосибирск. - Новосибирск: СГГА, 2010. - Т.1. - Ч.2. - С. 21- 24.
3. Лаптев, Г.Ф. Элементы векторного исчисления. [Текст] / Г.Ф. Лаптев // Москва, 1975. - 336 с.
© И.Г. Вовк, Т.Ю. Бугакова, 2012
