CC BY
41
УДК 519.86
АЛ. Сухинов, В.К. Гадельшин, Д.С. Любомищенко
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ПОЛЯ ВЕТРОВЫХ ТЕЧЕНИЙ В УСЛОВИЯХ ГОРОДСКОЙ ЗАСТРОЙКИ С ПРИМЕНЕНИЕМ
ЭГС-МЕТОДА
В данной работе предложен подход моделирования поля ветровых течений на основе системы уравнений Навье-Стокса с учетом неровностей подстилающей поверхности. В качестве численного метода используется SIMPLE-метод для разнесенных сеточных значений давления и компонент скорости. Предложено описание неявного метода Стоуна для численного решения дискретных уравнений.
Моделирование поля ветровых течений; SIMPLE-метод; метод Стоуна (SIP).
A.I. Sukhinov, V.K. Gadelshin, D.S. Lubomishenko
MATHEMATICAL MODELING OF WIND FILDS IN SITY CONDITIONS
USING SIP
In the paper there is an approach for wind field modeling in city conditions based on Na-vie-Stoks equations system. SIMPLE method on staggered grid is used as basic for solving the system. SIP method was applied for solving discretesed equations.
Wind field modeling; SIMPLE-method; strongly implicit procedure (SIP).
Моделирование поля ветровых течений в условиях городской застройки является важным этапом в задаче мониторинга загрязнения окружающей среды. В данной работе предложен вариант 81МРЬЕ-метода для построения поля течений ветра над неровной подстилающей поверхностью, позволяющий более точно находить решение данной задачи, а также предложена неявная процедура Стоуна для решения семиточечных СЛАУ специального вида.
Запишем базовую трехмерную систему уравнений для сжимаемого вязкого газа в тензорном виде:
др д{ри/,)
dt
d(PU ) + d(puuu. )
dx
dp
= 0,
dt
dx.
dx
J 1
p = pRT, d(pT) + 3(p//) __3_
+ -
Эх,
№eff ,h
dui
dx.
dt
dx
dx
К
C dx
pm j
+
Q
C
(i)
(2)
(3)
(4)
Здесь Р - плотность среды, Ц/ - эффективная вязкость, р - давление, и, -
компоненты вектора скорости в направлении трех координатных осей, и - компоненты вектора скорости в направлении трех координатных осей, удовлетворяющие дискретному аналогу уравнения неразрывности (1).
Суть универсальной записи сводится к представлению уравнений (1), (2), (4) в форме уравнения переноса для переменной Ф :
д(тФ) + д(рти£Ф) =_д_ д? дх^ дху
дФ
дх,
+ £Ф
(5)
. 1:
1
Значения коэффициентов для различных типов уравнений
№ уравнения Ф и
1 1 0 0
2 и -др/ дх +рвг +
4 Т / рт т
(5) ,
вании по контрольному объему (ЮСУ). Контрольный объем, по которому осуществляется интегрирование, представлен на рис. 1.
д? |рФёО + |риф$ = \гф + |^ёО.
О 5 5 дХ] О
Далее, расписывая интегралы по объему и поверхности, получим:
д |рФёО « Р^^°(3Ф( - 4Фп + Фп-1) = )Фп+ - ОФ
где
а.
= 3рА° и о = рА° (4Ф( _фп-1).
2А? 2Агх ’
(6)
(7)
\л/ &_ е
•- - — — — •
5*" 1 1 1 1
ь*
Рис. 1. Контрольный объем
Поверхностный интеграл рс = |рифй$>
в трехмерном пространстве
Л 5
представляется в виде суммы шести интегралов по соответствующим плоскостям контрольного объема:
рс=^+г:+г:+г:+^+г, (8)
где, к примеру,
р; = }рч„ = т еФ,. (9)
где те = |ри ■ пйБ ~ (ри')) 1БЄ
Аналогично расписывается поверхностный интеграл для диффузионных членов
= \Г л -^5 (10)
5 дх
рл = рс1 + + р а + р а + ра + ра, ^
где
= [Г Л— -М5 ~Г Л °е-Фр Б • (12)
е ! ел л ел е
5 дх} Хе - Хр
(2)
компоненты скорости и можно представить в виде
0Р =-|Р = ~(Ре5е - РА (13)
5
В общем случае интеграл по объему для источникового члена уравнения можно представить в виде:
О = | 8ФАГ, (14)
где
*ф = Би + БрФ р. (15)
Для аппроксимации конвективных членов используется схема отложенной коррекции. Суть данной схемы сводится к тому, что в процессе осуществления итераций вначале конвективные члены аппроксимируются по противопоточным схемам, а когда происходит установление итерационного процесса, то аппроксимация осуществляется с помощью более точной центрально-р^ностной схемы. Например, на плоскости Є контрольного объема поверхностный интеграл (9) можно записать:
п = тф™+т ( -Ф^“ Г1. (16)
С учетом вышесказанного дискретную форму для переменной Ф мож но записать в виде
ар Ф р + ¥с = ¥й + @ + О, (17)
*
Или, если речь идет об уравнении движения (2), то в правой части появляется член, учитывающий давление:
арФр + ¥с = ¥* + + д* + О1. (18)
Приведя подобные члены можно представить уравнение (17) в виде:
арф р+Е а ф1=°р, (19)
г
где
£ a,, I = E,W, N, S,T, B, Qp = Q' + Qp + QS + Qc, (20)
/
/ \ UDS / \ CDS 1
Qc =
/ \ UDS / \CL
(Fc) -(Fc)
aE = min (me ,0)---------------------------, aW = min (me ,0)-
Xe Xp Xe Xp
aN
• / ■ м reSe . , . ^ гS
= mm [me ,0)----------, aS = min [me ,0)
Xe xp Xe Xp
Г S Г S
aT = min (me ,0)-------, aB = min (me ,0)-----------^
XE Xp Xe xp
Уравнение неразрывности можно записать в виде
m* + wiw + m* + m* + m* + m* = Amp, (21)
или
(pSu')e -(pSu')w+(pSv')„ -(pSv')s+(pSw')t -(pSw')b +A™p = 0(22) , -
ных компонент вектора скорости, не удовлетворяющих в общем случае уравнению
.
Алгоритм SIMPLE осуществляется в несколько этапов:
1) осуществляется вычисление прогнозных компонент вектора скорости (в общем случае полученные значения не удовлетворяют дискретному аналогу уравнения неразрывности);
2) -правка к давлению;
3) с использованием поправки к давлению вычисляются компоненты обновленного вектора скорости, удовлетворяющего дискретному аналогу урав-.
Прогнозное значение для Ыр компоненты вектора скорости можно записать:
Qp - Q" - Ъ au
u‘ =-----------------------1--------- (23)
e
ap
Остальные компоненты вычисляются аналогично. Далее решается уравнение для поправки к давлению:
где
ар =-иЕ
ґ рї2' аи
V р у
рР + £арР = -ЬтР, I = Е,Ж, Ы, ї,Т, В
\
рї2
(24)
ар = “у
ар = ■
иЫ
V ар У
ар =■
Г рї2 ^
V аР У
ар =-
рї2
V аР
а
{рї_2 л
V аР Jb
аі
-ъ
а.
1 = ЕЖ, Ы,ї,Т,В.
, , прогнозное значения вектора скорости и находим давление на текущей итерации:
, * ї
и„
—{р'е - рР )
а
р = р + р .
(25)
(26)
Для численного решения уравнения используется 81Р-метод. Сеточная задача представляется в виде разреженной СЛАУ АФ = Ь.
Далее ищется приближенное разложение вида
М = ьи = А + N.
(27)
где М - разреженная матрица, приближенно равная А, N - разреженная матрица с малыми элементами, Ь - нижнетреугольная матрица с тремя диагоналями,
и -
побочными ненулевыми диагоналями.
Основной задачей является построение таких матриц Ь и и, чтобы их проМ А . -
ремножения матриц Ь и и указанного вида матрица М будет иметь шесть до,
матрицы N.
Таким образом, вектор:
(М Ф)р = Мр Ф р + Ме Ф е + Му Фу + Мы Ф N + М5 Ф 5 + Мр Фр + МвФ в + +М Ф + М Ф + М Ф + М Ф + М Ф + М Ф
^1У1ЫЖ^ЫЖ ^ІУ1їЕ^їЕ ^1У1ЕВ^ЕВ ^^Тї^Тї ^1У1 ЫВ^ ЫВ
(28)
Матрица N должна содержать шесть дополнительных диагоналей матрицы М. Необходимо задать элементы оставшихся диагоналей так, чтобы NФ ~ 0. В результате получаем уравнение:
МЫЖ (ФЫЖ ФЫЖ )+ )їЕ (ФїЕ ФїЕ )+ МТЖ (ФТЖ ФТЖ ) + +МЕВ (ФЕВ - ФЕВ ) + МТї (ФТї - ФТЕ ) + МЫВ (ФЫВ - ФЫВ ) ~ 0
(29)
где
Ф*
- аппроксимации для соответствующих Ф. Например,
ФЫЖ ~а(РЖ +ФN ФР ), 1
а
Р
Формулы разложения имеют вид:
ь =- А
ЪВ
ь =
1 + а
ь
1^/г,
1 + а
(1 + а(Е-1 + и1;1)
Ар + а{£(Ы + ЬЖиЫЫ) + а-Е-^ + ¿ЦЕ-1)
у( Ь и1 - Ы + т1 и1-М - т1 и1 - - т1 и1-Ы - т1 и1 -1
^Х^Ж^Т ї Т ) В Т Е ї Т
иЫ = (-( - ари';™1 + ьиы )
и1Е = (-РЕ -ари--Ш]
,(30)
+
т1 ' р,
Е
и1т = ( - а(и1т^] + Ь5и1т1 ) .
Далее осуществляется последовательное решение исходной задачи обычным методом Ьи -р^ложения:
Ш8п+1 =рп,
идп+1 = Ь~1рп = яп,
Я = А - ь—-1 - ьжя1-Ы - ьвя -ЫЫ) / ьр 81 = Я1 - иЫ$м - и1Е81+Ы - иТ$1+мЫ.
(31)
(32)
(33)
(34)
Численный эксперимент проводился для перекрестка города. На рис. 2 представлены результаты моделирования:
Рис. 2.Результаты численного эксперимента для перекрестка
В работе предложен алгоритм моделирования поля ветровых течений в условиях городской застройки. Численная реализация основана на универсальном дискретном уравнении. В качестве базовой процедуры решения системы уравнений Навье-Стокса используется SIMPLE-метод. Предложено описание неявного алгоритма Стоуна для решения СЛАУ специального вида, получающихся в ходе аппроксимации сеточных задач. В работе представлены результаты моделирования для одного из перекрестков улично-дорожной сети города Таганрога.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Берлянд М.Е. Прогноз и регулирование загрязнений атмосферы. - J1.: Гидрометиоиздат, 1985. - 271с.
2. Марчук ГМ. Математическое моделирование в проблеме окружающей среды. - М.: Наука, 1982. - 319 с.
3. Матвеев Л Т. Физика атмосферы. - СПб.: Гидрометеоиздат, 2000. -779 с.
4. Патанкар С.В. Численные методы решения задач обмена и динамики жидкости. Энер-гоатомиздат, 1984. - 152 с.
5. Ferziger J., Peric M. Computational Methods for Fluid Dynamics - 3., rev. ed. - Berlin; Heidelberg; New York; Barcelona; Hong Kong; London; Milan; Paris; Tokyo: Springer, 2002.
- 423 c.
Сухинов Александр Иванович
Технологический институт федерального государственного образовательного учреждения высшего профессионального образования «Южный федеральный университет» в г. Таганроге.
E-mail: sukhinov@gmail.com.
347928, г. Таганрог, пер. Некрасовский, 44.
Тел.: 8(8634)310-599; 7(928)102-11-06.
Руководитель ТТИ ЮФУ; профессор.
Sukhinov Alexander Ivanovich
Taganrog Institute of Technology - Federal State-Owned Educational Establishment of Higher Vocational Education “Southern Federal University”.
E-mail: sukhinov@gmail.com.
44, Nekrasovskiy, Taganrog, 347928, Russia.
Phone: 8(8634)310-599; 7(928)102-11-06.
Chief of TIT SFedU; professor.
Гадельшин Валерий Камельянович
Технологический институт федерального государственного образовательного учреждения высшего профессионального образования «Южный федеральный университет» в г. Таганроге.
E-mail: gadelshin@mail.ru.
347928, г. Таганрог, пер. Некрасовский, 44.
Тел.: 8(8634)601-461.
Кафедра высшей математики; доцент.
Gadelshin Valeriy Kamelianovich
Taganrog Institute of Technology - Federal State-Owned Educational Establishment of Higher Vocational Education “Southern Federal University”.
E-mail: gadelshin@mail.ru.
44, Nekrasovskiy, Taganrog, 347928, Russia.
Phone: 8(8634)601-461.
The Department of Higher Mathematics; associate professor.
Любомищенко Денис Сергеевич
Технологический институт федерального государственного образовательного учреждения высшего профессионального образования «Южный федеральный университет» в г. Таганроге.
E-mail: dexusint@gmail.com.
34792S, г. Таганрог, пер. Некрасовский, 44.
Тел.: S(S634)60i-2i9.
Кафедра высшей математики; аспирант.
Lubomishenko Denis Sergeevich
Taganrog Institute of Technology - Federal State-Owned Educational Establishment of Higher Vocational Education “Southern Federal University”.
E-mail: dexusint@gmail.com.
44, Nekrasovskiy, Taganrog, 34792S, Russia.
Phone: S(S634)60i-46i.
The Department of Higher Mathematics; post-graduate student.
УДК 519.4
АЛ. Сухинов, A.A. Черчаго
ОЦЕНКА КОНЦЕНТРАЦИИ ВЗВЕШЕННЫХ ЧАСТИЦ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ АКУСТИЧЕСКОГО ОБРАТНОГО РАССЕЯНИЯ
ADCP-ЗОНДА
В исследовании представляется метод определения концентрации взвешенных частиц в водной среде на основе данных, собранных при помощи акустического доплеровского профилографа течений (ADCP, RDI Workhorse, 600kHz) с калибровкой оптическим обратным датчиком (SBE 19 Plus), данные которого используются для уточнения упрощенного
, ADCP-
данные об интенсивности эхо-сигнала в SSC (Suspended Sediment Concentration).
ADCP; акустический Дотеровский профилограф; концентрация взвешенных частиц; -.
A.I Sukhinov, A.A. Cherchago
ESTIMATION OF WEIGHED PARTICLES’ CONCENTRATION USING ACOUSTIC BACK DISPERSION OF AN ADCP-PROBE
This study presented simultaneously collected acoustic Doppler current profiler (ADCP, RDI Workhorse, 600kHz) and suspended sediment concentration data, obtained with an optical backscatter sensor (SBE 19 Plus). These data are utilized to calibrate a simplified version of the sonar equation that converts the recorded by the ADCP echo intensity into SSC (Suspended Sediment Concentration).
ADCP; Accoustic Doppler current profiler; Suspended sediment concentration (SSC); echo intensity.
Введение
,
для экологических исследований водных объектов. Кроме того, геоморфологиче-, -
,
в частности их пространственном и временном распределении.
