CC BY
63
Вычислительные технологии
Том 1, № 3, 1996
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ НЕКОТОРЫХ ОПАСНЫХ ЭКЗОГЕННЫХ И ГИДРАВЛИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ*
И. Д. МУЗАЕВ, В. Г. СОЗАНОВ Северо-Осетинский государственный университет, РСО-Алания
Владикавказ, Россия
Рассматриваются: математическая модель потока лавинного характера; математическая модель процесса вторжения в заполненное водохранилище обвально-оползневого массива, потока селевого либо лавинного характера и его последствия; математическая модель процесса перегораживания потоком лавинного характера речного потока, образования завального озера-водоема и последствия его прорыва.
Известно, что материал оползневых склонов представляет собой слабо связанную горную породу, имеющую следующие физико-механические характеристики: угол внутреннего трения коэффициент сцепления с, коэффициент эффективной вязкости п, порог ползучести т0, плотность р и модули упругости E и G. Эти характеристики определяются лабораторно-полевыми исследованиями. Некоторые из них представлены в виде графиков в зависимости от влажности грунта в работах [1, 2].
Очевидно, что в допредельном состоянии склон может находиться в чисто упругом деформированном состоянии. Дифференциальные уравнения равновесия в напряжениях имеют следующий вид [1, 5]:
да
-г;--1—ô— = pg sin а + kspg cos(y + a),
дх ду
дтху дау ? * / \ / -i \
—--+ = pg cos а - kspg sin(a + y). (1)
дх ду
Здесь приняты следующие обозначения: ах и ау — нормальные напряжения относительно оси х и у соответственно, тху — касательное напряжение, а — угол наклона оползневого склона к горизонту, ks — "сейсмический коэффициент" (коэффициент сотрясения) i as í
ks = —, (as — сейсмическое ускорение, а — угол наклона оползневого склона к горизонту, g
y — угол атаки сейсмической инерционной силы).
Пренебрегая влиянием концевых эффектов на напряженное состояние массива, можно считать, что напряжения не зависят от координаты х, и тогда выражения (1) преобразуются следующим образом:
—гху = pg sin а + kspg costa + y), (2)
dy
¥© И.Д. Музаев, В. Г. Созанов, 1996.
—у = pg cos а — kspg sin(a + 7). (3)
dy
Граничные условия для напряжения будут иметь вид
rXy = 0 при y = 0, (4)
оу = 0 при y = 0. (5)
Интегрируя уравнения (2) и (3) с учетом граничных условий (4) и (5), получим
TXy = (pg sin а + kspg cos(a + Y))y, (6)
oy = (pg cos а — kspg sin(a + 7))y. (7)
Условие допредельного состояния материала склона имеет вид [1, 5]:
Тху < tg ^Оу + С. (8)
Подставив выражения (6) и (7) в (8), получим
[pg sin а + kspg cos(a + 7)]y < tg ^[pg cos а — kspg sin(a + Y)]y + c.
Отсюда
pg[sin а + ks cos(а + 7) — tg ^(cos а — ks sin(а + 7)]y < c.
Мощность критического предельного состояния оползневого склона определится по следующей зависимости:
Hkp
рд[ео8 а^ а - tg + к3 еов(а + 7)(1 + tg ^ ■ tg (а + 7)]'
Если критическая мощность больше мощности оползневой толщи склона (расстояние от свободной поверхности склона до коренных пород), то склон будет находиться в допредельном состоянии.
При выполнении условия Ир < И оползневой склон может перейти в запредельное состояние, т. е.
тху > tg фОу + С.
В результате увлажнения материала, слагающего некоторый участок склона, коэффициент сцепления и угол внутреннего трения резко уменьшаются. В подобных случаях движение материала оползневого склона приобретает характер лавинного потока. Весьма важно определить кинематические и динамические характеристики лавинообразного потока (скорость, дальность выброса, импульсное воздействие на перегораживающие сооружения и др.). Для этого в настоящее время используется математическая модель движения потока лавинного характера, представляющая собой систему дифференциальных уравнений теории мелкой воды с учетом сухого трения [7, 8]:
дУ ЯУ Ь V2 дй
Ж + = д 81П а - ^ ^ 008 а -~2Н- - (9)
ж + дх) = 0' (10)
где h(x,t) — глубина движущегося потока, v(x,t) — скорость потока, kf — коэффициент гидравлического сопротивления, t — время. Начальные условия имеют вид
h(x, t) = h°(x) при t = 0,
x = /°(t) — координата "хвоста" потока лавинного характера, x = /(t) — координата переднего фронта потока лавинного характера. На хвосте можно поставить следующее граничное условие:
x = /°(t) = const, h(x,t) = 0. (11)
На фронте потока обычно ставятся два граничных условия:
(V(/(t),t) - 0(t))h(/(t),t) = -0(t)H°(/(t)), (12)
(V°(/(t),t) - 0)2h(/(t),t - 02H°(/(t)) = g - , (13)
где H°(x) — мощность рыхлого материала склона перед фронтом.
В соотношениях (12) и (13) учитывается присоединение материала с переднего фронта к потоку лавинного характера только через проскальзывания слоев потока. Эти граничные условия приемлемы для расчета прерывной волны в чистой воде. В этом случае имеет место проскальзывание фронта прерывной волны над речным потоком. Из соотношений (12) и (13) можно определить скорость фронта прерывной волны
/gh(i(t),t) (fti(/(t).t) + H°(i(t)))
0 = и ±w-2НШ-■
где U2 — скорость речного потока перед фронтом прерывной волны. Простое арифметическое суммирование скоростей указывает на факт проскальзывания слоев.
В одномерной модели теории мелкой воды вертикальная составляющая скорости движения учитывается лишь на свободной поверхности потока через производную глубины по времени. В связи с этим можно заключить, что в существующей математической модели теории мелкой воды, т. е. в дифференциальных уравнениях (9) и (10) и в граничных условиях (12) и (13), никак не учитывается процесс захвата материала фронтом потока. В потоках лавинного характера этот процесс представляется основным и его исключение из рассмотрения ведет, очевидно, к существенным искажениям реальной картины.
Таким образом, можно сделать вывод, что существующая математическая модель (9)-(13) непосредственно не применяется для описания движения потока лавинного характера.
Легко можно заметить, что этот характерный процесс лавинообразного потока учитывается в следующей математической модели:
d(Vh) d ,т л21. , ,3h , V2
~~dt--+ dx (V = gh sm a - tg ^gh cos a - gh— - kf—, (14)
+ d(hV) = J 0H°(/(t))/e при /(t) - e < x < /(t), ( )
dt + dx [0 при 0 < x < /(t) - e, ( )
начальные условия при t = 0
h(x, t) = H°(x), 0 < x < /(0), (16)
при х = 0, к(х,г) = 0, (17)
при х = ¿(г), к(х,г) = 0. (18)
В отличие от существующей модели (9)-(13) в модели (14-18) процесс захвата фронтом материала склона учитывается через дифференциальные уравнения неразрывности . Интенсивность захвата материала 0Ио (¿(г))/е увязывается со скоростью фронта потока. Объем захваченного материала в единицу времени рассредоточен на некоторой длине е:
¿(г) - е < х < ¿(г), 0
(й
Численные расчеты по предложенной модели позволяют установить кинематические и динамические характеристики потока лавинного характера, а также прогнозировать возможное перегораживание речного потока лавинообразным потоком и возможное образование завального озера-водоема, а также последствия его прорыва.
Для случая выброса лавинообразной массы в долину реки используется двумерная (плановая) математическая модель
р (х (у + ф (у (г + я (х (г
п (х (у (г,
где >£,ф,в и П — матрицы, имеющие следующий вид:
Чх
Чу
Ф
( Т/ + к2 \
9хКх + ч—
V
Чх
я
/
(1хУх ^ Чу уу +
2
V
Чу
П= -
/
( о. № ^
Тх + ^
дх
Ту +
V
Ч*
/
здесь чх, Чу — составляющие удельного расхода по осям х и у, тх и ту — составляющие вектора касательных напряжений на дне, хз и хд — отметки свободной поверхности и дна соответственно, ч* — объем горного материала, который присоединяется к основному потоку в единицу времени:
Ч*(х,У)
Но
е
^0Х + 0у [1(х - к - е) - 1(х - к + е)] ■ [1(у - к - е) - 1(у - к + е)],
0х = ^
х (г
0 =
0у = (г'
х = 11 (¿), у = ¿2 (г) — уравнения в параметрической форме линии фронта потока лавинного характера.
В случае вторжения потока лавинного характера в заполненное горное водохранилище образуются поверхностные гравитационные волны, которые могут вызвать большие разрушения и катастрофический паводок в нижнем бьефе. Математическая модель волнообразования имеет следующий вид [9]. Предположим, что часть пространства, ограниченная условиями 0 < х < Ь, 0 < у < В, -И < х < 0, представляет собой водохранилище озерного типа; Ь — длина, В — ширина, И — глубина водохранилища. Плоскость х = 0 — свободная поверхность воды, х = -И — дно водохранилища. Рассмотрим волновое движение воды, вызванное тем, что с участка борта у = 0, х0 - а < х < х0 + а, - к < х < 0 в промежуток времени 0 < г < го в водохранилище вторгается поток лавинного характера.
2
Потенциал скорости <р(х,у,г,Ь) должен удовлетворять дифференциальному уравнению Лапласа и начальным и граничным условиям:
др ~дЬ
0 при Ь = 0, г = 0,
др дУ
др дх
у=0
х=0
о, дт
х
0,
х=Ь
V (х,;,0, дт
у
0,
у=В
др дг
0,
г=-И
д2р др д2 + 9дг
0.
z=0
Поставленная начально-краевая задача типа Коши—Пуассона решается методом интегральных преобразований Лапласа и Фурье.
При наличии водохранилища узкоканьонного типа математическая модель изменяется и принимает следующий вид [9]. Потенциал средней по ширине водоема скорости <р(х, г, Ь) должен удовлетворять дифференциальному уравнению
сЪр + сЪр + 1 сдБсдр + ^ дВд<р = 1 у дх2 дг2 В дх дх В дг дх В ' '
(19)
и начальным и граничным условиям
др д
0 при г = 0 и Ь = 0,
др дг
др х
z=-H
х=0
0,
0, дт
х
0,
х=Ь
д2р + др дЬ2 9 дг
0.
z=0
В отличие от классической теории волн малой амплитуды потенциал скорости вместо дифференциального уравнения Лапласа должен удовлетворять дифференциальному уравнению (19), в котором учитывается непризматическое очертание водоема.
Поставленная начально-краевая задача решается методом интегральных преобразований Лапласа и Фурье при изменении ширины по экспоненциальной зависимости.
Здесь же отметим, что по этой модели получена формула для фазовой скорости гравитационной волны в непризматическом водоеме, которая представляет собой обобщение классической формулы для фазовой скорости волны в призматическом водоеме [9].
Список литературы
[1] МАСЛОВ Н. Н. Механика грунтов в практике строительства (оползни и борьба с ними). Стройиздат, М., 1977.
[2] МАСЛОВ Н. Н. Основы инженерной геологии и механика грунтов. Высшая школа, М.,
1982.
[3] Цытович Н. А. Механика грунтов. Высшая школа, М., 1979.
[4] Соколовский В. В. Теория пластичности. Высшая школа, М., 1969.
[5] Соколовский В. В. Статика сыпучей среды. Физматгиз, М., 1954.
[6] Музаев И. Д. О динамике оползневых участков бортов горных водохранилищ. Сборник научных трудов ГрузНИИЭГС. Исследование по вопросам гидравлики сооружений и водного хозяйства. М., 1984, 53-57.
[7] Григорян С. С. Математическое моделирование горных обвалов и оползней больших объемов. Инженерная геология. №6, 1983, 61-71.
[8] Григорян С. С. О механике формирования и обрушении отвалов горной массы. НТО №1724, Институт механики МГУ, 1975.
[9] Кусраев А. Г., Музаев И. Д., СозАнов В. Г. Математическое моделирование некоторых задач волновой гидродинамики применительно к горным водоемам. В "Вычислительные технологии", ИВТ СО РАН, Новосибирск, 4, №11, 1995, 164-168.
Поступила в редакцию 15 сентября 1995 г.
