CC BY
157
E-mail: SFilist@gmail.com.
305004, г. Курск, ул. Челюскинцев, 19, тел.: (4712)587098.
Кафедра биомедицинской инженерии, профессор, д.т.н.
Filist Sergey Alexseevich
SEI HVT «Kursk state technical university».
E-mail: SFilist@gmail.com.
19, street of Chelyuskintsev, Kursk, 305004, Russia, Phone (4712)587098. Department of Biomedical Engineering, professor, Dr. Sci. Tech.
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ НАСОСНОЙ ФУНКЦИИ
СЕРДЦА
Проведено обоснование построения расчетной схемы насосной функции сердца, составлена система дифференциальных уравнений на основе данных физиологии, получены графики изменения давления в предсердиях, желудочках, графики расхода крови. Математическая модель; насосная функция сердца.
MATHEMATICAL MODELING PUMP FUNCTION OF HEART
Calculation scheme ofpump heart function presents. This scheme used for differential equation system composing, for calculation and physiology parameters based selection of equation coefficients. Solution of equation system allows to plot time diagrams heart volumes pressure, time diagrams of input and output heart volumes flows.
Mathematical Model; Pump Function of Heart.
С технической точки зрения сердце может быть представлено в виде четырехкамерного насоса. В этом насосном агрегате предсердия выполняют функцию насосов низкого давления (подкачки), а желудочки выполняют функции насосов высокого давления. Эти насосы управляются системой авторегуляции. С точки зрения технической аналогии упругость сосудов можно моделировать упругими камерами переменного объёма, т. е. цилиндрами с подпружиненными поршнями [1].
В соответствии с вышеизложенным была получена расчетная схема механико-гидравлической системы сердца и рассчитаны коэффициенты модели[2].
При моделировании был принят ряд допущений: жесткость сердечной мышцы считается постоянной во время систолы; площади открытия клапанов постоянны во время систолы (клапаны открываются и закрываются мгновенно); масса жидкости, перемещаемая при открытии клапана, неизменна; вязкость крови постоянна; клапаны считаются безынерционными, а их диаметр - постоянным.
Исходя из известных уравнений динамики [3], составлена система уравнений, описывающая насосную функцию сердца.
Правый желудочек
Уравнение движения верхнего поршня, моделирующего воздействие со стороны электрической системы регуляции, имеет вид:
УДК 612.171:536.8
И.С. Лебеденко, Е.С. Новоселова
I.S. Lebedenko, E.S. Novoselova
Уравнение движения поршня, описывающее жесткость сосудов:
d2x2(t) , МхМ) , „ . . „
m2--------------------------—— + h-— + ^ • x2(t) = рт (t) • S2 . (2)
dt dt
Согласно закону сохранения массы можно записать:
Е а-Е а=í+Bf • <3>
где Еа-Ей - объемный расход.
Поскольку кровь рассматривается как несжимаемая жидкость, то уравнение, описывающее изменение объема камер сердца, примет вид:
^=е а, -е й2. (4)
м
С другой стороны, уравнение расхода жидкости можно записать следующим образом:
О = рБи,
где р - плотность жидкости, S - площадь сечения отверстия, и - скорость течения жидкости.
Скорость и можно выразить через разность давлений:
и = ^2(р~р2) , тогда О = ^2р(р -Р2) . (5)
Таким образом, кровь перекачивается из области высокого давления в область более низкого давления. Кровь по всей системе кровообращения течет лишь в одном направлении, чему способствует наличие клапанов в сердце, препятствующих обратному току крови.
Для разрабатываемой модели уравнение расхода жидкости примет вид:
О = 1пМ2,/2р(р -Р2) . (6)
Уравнение расхода крови через митральный клапан между правым предсердием и правым желудочком:
если рпп > рпж, то О, = 4пМ^2р(Рш()-Рпж()); (7)
если рпп < Рпж , то О1= 0. (8)
Уравнение расхода крови через клапан легочной артерии:
если Рпж > Рла , то О2 = -4 пМ2^л/2р(р:ж(?Т-р:а (t)) ; (9)
если Рпж < Рла , то О2 = °. (10)
Уравнение Пуазейля для расхода крови через капилляры малого круга кро-
вообращения:
Рла > С то О3 = Рда (?) - Рдв (?) ^ (11)
X,
если р >Рлв, то
■ '3
* 1
если Рла < Рлв , то Оз = 0. (12)
Согласно закону сохранения энергии, вся полезная работа сердца переходит в энергию крови. Поэтому полную работу сердца за систолу можно рассчитать как сумму потенциальной и кинетической энергии крови. В покое “кинетическая” часть работы сердца составляет лишь 2-5 % от полной работы сердца, поэтому при
МРаЮ = РлаУ) • К • ( I() - Оз(,))+ Х2 • *М
S2(х02 - х2(ф
расчетах ею можно пренебречь. Тогда уравнения, описывающие изменения давлений в правом желудочке и легочной артерии, примут вид:
- уравнение давления в правом желудочке:
м!М1 = Р-<»•К •{1 (о1(0 -о,(<))+х, • (13)
М Б, (х01 - х, ^)) \ р М )
- дополнительное уравнение давления в легочной артерии будет иметь вид:
{ 1 Л- (л\
. ... . <14)
^л02 ■п'2^> \р М /
Воздействие электрической системы авторегуляции преобразуется в механическое. Сила управления задается следующим образом:
Г К при 0,2с < t < 0,5с;
К()=[ , (,5)
[0 при 0 < t < 0,2с и 0,5с < t < 0,8с.
Левое предсердие
Уравнение движения поршня, описывающее жесткость сосудов:
М2 х3 и) 1 МхМ) , .. л .. 0
т3 • Л + h •—+ к3 • Х3(0 = Рлв(t) • Б3. (,6)
М М
Уравнение движения верхнего поршня, моделирующего воздействие со стороны электрической системы регуляции, имеет вид:
т4 • М Х,4(1) + Л • ММГ) + к 4 ■ ^) = ) - Рлп (t) • Б 4. (П)
dt dt
Уравнение расхода крови через клапан между легочной веной и левым предсердием:
если Рлв > Рлп, то О4=; (,8)
если Р < Р , то О, = 0. (!9)
лв лп ’ 4
Уравнение расхода крови через клапан между левым предсердием и левым желудочком:
если Рлп > Рлж, то о5=-4пМ 4^л/2р(р:(7)-р:ж(?)) ; (20)
если Рлп < Рлж , то О5 = °. (2,)
Дополнительное уравнение давления в легочной вене:
МР^ = Р-») •К \^-((О - О,(,)) + х3 • *3«1- (22)
dt Б3 (х03 - х3 ^)) \ р dt )
Уравнение давления в левом предсердии:
^лЖ ^_Р;п(^)^К-----------{1 () - О5(0)+ Б4 • МХ1(^ . (23)
dt Б 4 (х04 - x4(t)) \р 4Ч' ^ 4 dt J
Воздействие электрической системы авторегуляции преобразуется в механическое. Сила управления задается следующим образом:
К (t)={К2 при 0,,с <t < 0,2с; (24)
2 [0 при 0 < t < 0Дс и 0,2с < t < 0,8с.
Раздел I. Фундаментальные основы медицинского приборостроения Левый желудочек
Уравнение движения верхнего поршня, моделирующего воздействие со стороны электрической системы регуляции, имеет вид:
т5 • с! х(1) + к Мх^ + к5 ^ ^ _ Рлж (ф Х5 . (25)
dt dt
Уравнение движения поршня, описывающее жесткость сосудов:
Л2x6(t) , аХ6(/) , .. п .. 0 ,,,ч
тб------~Т2-- + ^+ к6 ••^(У) = Ра (t)• Б6. (26)
м Му
Уравнение расхода крови через клапан между левым желудочком и аортой:
если Рлж > Ра , ™ О, = Пи2р(Р.ж ()-Р. ()) ; (27)
если Рлж < Ра , то О6 = 0. (28)
Уравнение Пуазейля для расхода крови через капилляры большого круга кровообращения:
если Р > Р , то о = Ра(У) - Рпв(У);
а пв V./ ч
7 ^2
если Р < Р , то о = 0.
а пв ’ ^ 7 и
Уравнение давления в левом желудочке:
сад = Р„<0-К •ГI()-о.(,
Му х,(х05 - х,(у)) \/ 6'
Дополнительное уравнение давления в аорте:
сад = Р^К •{I()-о,о
Л - х.М) \р "
Воздействие электрической системы авторегуляции преобразуется в механическое. Сила управления задается следующим образом:
/ч ГК3 при 0,2с < У < 0,5с; ,,,ч
К (У )=[ 3 (33)
[0 при 0 < У < 0,2с и 0,5с < У < 0,8с.
Правое предсердие
Уравнение движения поршня, описывающее жесткость сосудов:
т7 • М Х'2) + Ь^МХМ^-) + к7 • Х7(У) = Рпв (^ Б7 . (34)
Уравнение движения верхнего поршня, моделирующего воздействие со
стороны электрической системы регуляции, имеет вид:
с 2 х8(у)+к'Мьа)
ЛУ2 ЛУ
Уравнение расхода крови через клапан между полой веной и правым предсердием:
2
(29)
(30)
сх5(у)'' . (3,)
Му у
Мх6(У) | . (32)
М у
т8--------¿Г~ + Ь----------V" + к8 ^ х8(У) = К4(0 - Рпп (0 • Б8 . (35)
если Рпв > Рпп, то О8 = 4пС6^2р(Рпе(У)- Рпп(У)) ; (36)
если Рпв < Рпп, то О8 = °. (37)
Дополнительное уравнение давления в полой вене: dP (t) P (t) • K С
пв ^ _ пв ^
dt S7 (x07 - x7 (t))
Уравнение давления в правом предсердии: dP (t) P (t) • K
ПП ' ' _ ПП' /
- (G7(t) - G8(t)) + S7 •
p dt
(
~ ((t ) - G,(t ))+ Sg • ^
p dt
\
(38)
(39)
& *8(х08 - х8(?))
Воздействие электрической системы авторегуляции преобразуется в механическое. Сила управления задается следующим образом:
[¥4 при 0,1с < г < 0,2с; (40)
F4 (t ) = f 4
[б при 0 < t < 0,1с и 0,2с < t < 0,8с.
По разработанной модели (1)-(2), (7)-(40) в среде Maple был реализован алгоритм решения данной системы уравнений. Результаты моделирования приведены на рис. ,.
Рис. 1. Результаты моделирования по разработанной модели
Сравнение результатов моделирования с экспериментальными данными, полученными из физиологии, показывают, что разработанная модель достаточно достоверно отражает качественный характер насосной деятельности сердца.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Бегун П.И., ШукейлоЮ.А. Биомеханика: Уч. для вузов. - СПб.: Политехника, 2000. - 463 с.
2. Лебеденко И.С., Новоселова Е.С., Ефимцева Ю.А., Ракитянская А.С. Математическая модель насосной функции сердца/ Биотехносфера. - №3. - Санкт-Петербург, 2009. - С. 24-31.
3. ПодчуфаровБ.М. Тепломеханика: Уч. пособие. - Тула: ТПИ, 1983. - 100 с.
Лебеденко Игорь Сергеевич
Тульский государственный университет.
E-mail: tsk@tsu.tula.ru.
300600, г. Тула, пр. Ленина, 92, тел.: (4872)350552.
Доцент, к.т.н.
Lebedenko Igor Sergeevich
Tula State University.
E-mail: tsk@tsu.tula.ru.
92, Lenin avenue, Tula, 300600, Russia, Phone: (4872)350552.
Assistant professor, Cand. Eng. Sc.
Новоселова Елена Сергеевна
Тульский государственный университет.
E-mail: tsk@tsu.tula.ru.
300600, г. Тула, пр. Ленина, 92, тел.: (4872)350552.
Доцент, к.т.н.
Novoselova Elena Sergeevna
Tula State University.
E-mail: tsk@tsu.tula.ru.
92, Lenin avenue, Tula, 300600, Russia, Phone: (4872)350552.
Assistant professor, Cand. Eng. Sc.
УДК 621.396.1.001.24, 681.323:621.391
И.В. Разин
О МОДЕЛЯХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ОПЕРАТОРОВ ДЛЯ
ПОДЧЕРКИВАНИЯ И ЛОКАЛИЗАЦИИ ПЕРЕПАДОВ ЯРКОСТИ
ИЗОБРАЖЕНИЯ
В работе приведена методика синтеза дифференциальных операторов и локализации перепада яркости изображения.
Модель перепада; дифференциальный оператор; гладкая функция; среднеквадратическая частота.
I.V. Razin
ABOUT MODELS OF DIFFERENTIATION OPERATORS FOR ACCENTUATING AND LOCALIZATION OF DIFFERECES OF BRIGHTNESS
OF THE IMAGE
In the work are given the methods of synthesis of differentiation operators and localization of difference of brightness of the image.
Model of the brightness image; differentiation operator; continuously differentiable function; standard deviation of the frequency.
