Математическое моделирование кинематики и динамики робота-манипулятора типа «Хобот». 2. Математические модели секции манипулятора, как механизма параллельной кинематики типа «Гексапод» Текст научной статьи по специальности «Физика»

электронное научно-техническое издание

НАУКА и ОБРАЗОВАНИЕ

_Эл № ФС 77 - 30569. Государственная регистрация №0420900025. ISSN 1994-0408_

Математическое моделирование кинематики и динамики робота-манипулятора типа «хобот». 2. Математические модели секции манипулятора, как механизма параллельной кинематики типа «гексапод»

# 11, ноябрь 2009

авторы: Каганов Ю. Т., Карпенко А. П.

УДК 519.6

МГТУим. Н.Э. Баумана, 105005, Москва, 2-я Бауманская ул., д.5.

karpenko@nog.ru

Введение

Работа представляет собой продолжение работы [1]. Первый раздел посвящен разработке математических моделей кинематики и динамики гексапода с четырьмя степенями свободы, второй раздел -гексапода с шестью степенями свободы. В третьем разделе рассматриваются математические модели указанных механизмов с параллельной кинематикой, полученные средствами известного программного комплекса MatLab. В заключении формулируются основные результаты работы.

В работе используется двухуровневая нумерация формул и рисунков, содержащая номер раздела и номер объекта в этом разделе.

1 Кинематика и динамика гексапода с четырьмя степенями свободы

1.1 Обратная задача кинематики. Для гексапода (рисунок. 1.1) обратная кинематическая задача решается аналогично тому, как это сделано для трипода [1].

Пусть обобщенными координатами являются длины стержней Ла,ВЬ, Ff

соответственно. Пусть также в неподвижной декартовой системе координат GXJZ координаты точек

равны Я^/Л^/), i

ie

A J . КХ-^Лд , где

ВХОД

регистрация забыли пароль?

Рисунок 1.1 - Схема гексапода

Во введенных обозначениях решение обратной задачи кинематики для гексапода (как с четырьмя, так и с шестью степенями свободы) дает следующая система уравнений:

Ъ = {Хл-Xaf +{¥л -7af +(ZJ -Zaf. q2={X*-Xbf+ + {ZX-Z„f

g6 = fo -Xff + -Tff + -Zff.

СОБЫТИЯ

На сайте еНЬгагу доступна новая услуга - "обсуждение статьи"

Фестиваль мехатроники и робототехники

НОВОСТНАЯ ЛЕНТА

25.11.2009

Олимпиада МГТУ им. Н. Э. Баумана по программированию для школьников старших классов

24.11.2009

Торжественная Церемония вручения "Премии Рунета-2009"

18.11.2009

Список 500 самых мощных компьютеров мира: 34-я редакция

17.11.2009

«Сименс» объявил о начале IV Всероссийского конкурса научно-инновационных проектов для старшеклассников

17.11.2009

17 ноября 2009 года состоится крупное мероприятие для преподавателей и студентов МГТУ им. Н.Э. Баумана «ДЕНЬ ТЕХНОЛОГИЙ MICROSOFT.>

Пресс-релизы Библиотека Конференции Выставки оска объявлений рхив

Ассоциация технических Университетов Информация о проекте Авторы

Координационный совет

1.2 Прямая задача кинематики. Пусть невесомые стержни ' ^—АВ состоят из

двух полуштанг, связанных поступательными кинематическими парами. Стержни 1 — —

присоединены к платформе в точках с помощью сферических шарниров, а к основанию в точках 4 - с

помощью универсальных шарниров; стержень АВ связан с основанием неподвижно, а с платформой - с

в

помощью сферического шарнира (рисунок 1.2). Точки г лежат на окружности радиуса Г с центром в точке В,

в которой находится центр масс платформы. Основание горизонтально и точки расположены на окружности

радиуса Л с центром в точке А. Опорные стержни имеют длины 'г, *>Ч) и наклонены к плоскости

основания под углами У г, (® Тг Расстояние между точкой В и основанием (плоскостью АХ2)

обозначим А .

Свяжем с основанием систему координат АХТ/ш таким образом, что начало координат А совпадает с

центром симметрии основания, ось АХ проходит через шарнир , ось АЖ направлена по нормали к основанию, а ось образует с осями АХ АТ правую тройку. Аналогично, свяжем с платформой систему координат Вхуг (рисунок 1.2).

Рисунок 1.2 - Геометрия гексапода с четырьмя степенями свободы

Положение шарниров —в системе координат АХУ~£ определяется векторами

4 'еР Ч.

Аналогично, положение шарниров

в системе координат

Bxyz

определяется векторами

(1.1)

(1.2)

Положение платформы относительно основания определяется углами Эйлера ЧЧ'Фа'Фз (рисунок 1.3) и вектором В = (0,В1 - к,0)

Таким образом, геометрические соотношения между системами координат АХ32, Вхуг можно представить в виде (4x4) матрицы однородных преобразований

(1.3)

где компоненты матрицы выражаются через углы Эйлера следующим образом:

Яц COS ф, COS Фз ф, CUS<P2 COS(Pj, Цц2 = ф1С№ф, + ОКф, |ЛКф2 ф^,

я^ =Я1Ф3Я1 q*,; агг = -нкф15Ш1ф3 ф,нвф, нкф,; а77 = ф, ф, I гхк ф, гхк ф, гхкф,; = at ф, ens ф^;

Рисунок 1.3 - К преобразованию систем координат

вг хер в]

в системе координат ЛХХ'А

Из выражений (1.2), (1.3) следует, что положение шарнира определяется вектором

[^зК^Фк.Фз.Ф^

[В^Фк-Фг^)

Отсюда следует, что

1

И;

ПК Ф1,ф2,Ф1)В,

(1.4)

[ви] = Я11(соя ф,ппяф, ж Ф,!^»^ гакф^) I

ф, СК ф^ + ЫКф, ССВф^ 91 Фз) + ФЭЯ1 ф3;

2] = ж ф3 - ж ф, авф3 ов Фз) +

+ ф, ж ф3 + «дк; ф, сш ф^ сокф^) + ¿цЯ1фгс1к1р, 4- к,

= » Фг "»Ф? - "Ифк™ Фа + ивф;

Из формул (1.1), (1.4) следует, что обобщенная координата 'г, как функция расстояния А и углов Ф1.Ф2.Ф! определяется выражением

1-с = Ф.^.Ф,) = -^ЦТ^^Т^йз , е р: 6]

(1.5)

Выражения для скоростей и ускорений концов штанг

(точек

ад

) можно найти,

дифференцируя и дважды дифференцируя по ^Фг-Фг^Фз выражения (1.5). Однако эти выражения оказываются слишком громоздкими и мало пригодными для практического использования. Исследование

скоростей и ускорений концов штанг 2"—проще производить с помощью математического моделирования, например, с использованием программной системы МаИ_аЬ (см. ниже).

1.3 Динамика механизма. По методике работы [1] найдем уравнения движения платформы в форме уравнений Лагранжа

¿¿г

г

(Ж

¿я,

(Ж

¿а

-Ом

I е Р: 4]

(1.6)

где £ - кинетическая энергия системы;

дг =к д7 = ф, дг = ф2 д4 =4^

- обобщенные координаты;

- обобщенная сила, соответствующая 1-ой обобщенной координате.

Положим, что платформа, как твердое тело, симметрична относительно оси "У , так что ее моменты инерции "^х'^х равны: ^х (рисунок 1.4).

Массу платформы обозначим М . В таком случае ее кинетическая энергия равна

Е =

(1.7)

где - величина полной скорости центра масс платформы 3 .

Поскольку в системе координат вектор скорости **

.3

= ^ (рисунок 1.4).

У, = (рЛо)г

, эта величина равна

Рисунок 1.4 - Силы, действующие на платформу

Выпишем силы, действующие на платформу, а также радиусы-векторы точек их

приложения в проекциях на оси системы координат ЛХХ/. :

Здесь

Р - (0-Л^Ор. ^ = (^сгст^сгст, ,,^ С05Т,Л У.

и, - {о,коУ К, =

.

(1.8) (1.9)

ли

Нам далее понадобятся матрицы Якоби г векторов

К^К^Ч'^Фз.Ф,) 1ер:б]

Из (1.4)

следует, что компоненты матрицы г определяются следующими формулами:

ж

¿13

а*

ЙЛ

ф1С05ф5 — НКф1СОБф1 С1Кф,) +

= ТГ"— = чн™ Фа «кфз

ар3

^3СП5^5Пфэ5т 4*3 + ЛиСП5фэ5тф^

]

Яц4 =-= ¿ц(-акф|Я1 ф, + ф1 со5ф3 <л ф3} +

+ ф! Ф3 + СОК ф! ПК Ф; ОИф]) + В^ Я1 ф3 сокф?,

ли - ■ -1

■"¿у _ —

дк

М

1X1 0ф1 ЛД1(5М1 Ч^5Юф5 -|Ж(р1С1»5Ч»3С1»5ф1) + + ^3(-С05ф,5М1ф5-5М1ф1НВ(рзНВф5);

йф3 В-адаФ3 овфз - ва сжф^ Ф3 окф, + икф3 окф,;

0фз ^¿шС-икФксяяЧЬ ф^СПЯф3 Ф,) +

0ф1 -^йф,»^;

М

Уф-, Дд1акф3икф, сяяч^спяФ3-Я1ф3;

Л

(М

ар3

Составим выражение для работы на элементарных приращениях и, в соответствии с методикой составления уравнений Лагранжа, приравняем его нулю:

¿-1

(1.10)

Здесь

Ж, =(0,а,0) 6К, ЛМйА йф, йф, Бф^ 1"еР:в].

Из выражений для компонентов матриц определяются следующим образом:

ЛК*

следует, что элементы вектора

5К

= бф^а(-яК|Г|С115ф, -ак^акфзокф^ + бф^в^НКф^СККф, — ф1СОБф3Я1 Фз3 +

+ Бф^, 5Ю ф1 5П ч^, ЫВф, - Бф-^3 НВф, 5П Ф3 5Ю % + бф^, НВ Ч^, 4*3 +

+ С05ф1Й1 фз + Я1 ф1С05ф3 Я1 Ч*з> +

Бф5^3(-5Ж1ф15к1фз + нвф1нкф3нвф,)+ Бф5ЛД55Ж1ф3нвф3-= й + бф^ц^ ф|Я1 ф^ — со5ф1акф3 акфз) + + аюфщЯ! фз -¡л ф,акф2с1к1р,)4' бфг£цЯ1ф1а1 ф^акф, —

-Bqijity cosip,» ф-, cos<Pj + 6ф3ЯД5Ивф3 cnsqi, +

5^ц(-акф|С1кф,'1'Я1(|11С1к1р3я1ф^ 4-

Бф^С-якрьаюф, —ensф,сояф,ai q»,)-

-Бф^™ Фз^Фз^

Щз = ~frft^ta ™ Фк™ Фз + Бфз^! ««Фз Фз - Бфз^з ««Фк™ Фз

-Бф^яюфзятф,.

В приведенных выражениях для J ~ 1ДЗ обозначим aij.t коэффициент при Бф1 *т=1ДЗ:

«¿иСФм-Фз-фО = Ф1 «Иф» - «»Фк "И Фз икф,) +

^3(аВф1С0Еф3-НМ1ф1С05ф3!Я1ф3);

ял.з(Фк>Фз-Фз) = Ф|™ Фз «»Фз - si7 икфк™ Фз™ Фз + £¿3™^™ ф3;

а*Зд(Фк>Фз>Фз) = ^¿1 ™ Фз ™ Фз-

В этих обозначениях имеем

ы , J--U, ы (1.11)

Подставив выражения (1.11) в (1.10), после несложных преобразований получим

-SM^ + Sfcg^cesr,, +¿2^ "»Ту™« =

+

н Я + i-l >4

Приравнивая в последнем выражении коэффициенты при независимых приращениях , получим следующие значения обобщенных сил:

Подставляя в уравнения (1.6) полученные выражения для обобщенных сил, а также выражения для кинетической энергии системы (1.7), получим искомую систему обыкновенных дифференциальных уравнений

Ml _Mg + ¿Я ^

Лтз ~ и j-1 tJiW.i - ¿4 >4 (1.13)

В уравнениях (1.12), (1.13) силы —- это внешние (управляющие) силы, которые могут быть

заданы как функции времени, как функции обобщенных координат ^Ф1*Фг*Фз , а также как функции длин «своих» стрежней ^1=—. Наоборот, при заданных законах изменения величин ^Ф^Фз-Фз из этих уравнений могут быть найдены необходимые управляющие силы, как функции времени.

2 Кинематика и динамика гексапода с шестью степенями свободы

Обратная задача кинематики для гексапода рассмотрена в подразделе 1.1. Поэтому сразу перейдем к рассмотрению прямой задачи.

2.1 Прямая задача кинематики. Пусть невесомые стержни , АВ состоят из

двух полуштанг, связанных поступательными кинематическими парами. Стержни ' ——

присоединены к платформе в точках с помощью сферических шарниров, а к основанию в точках А - с помощью универсальных шарниров; стержень АВ связан с основанием неподвижно, а с платформой - с

В-

помощью сферического шарнира (рисунок 2.1). Точки г лежат на окружности радиуса Г с центром в точке В, в которой находится центр масс платформы. Основание горизонтально и точки А расположены на окружности радиуса Л с центром в точке А. Опорные стержни А®* имеют длины 'г, Р* ^"Ч) и наклонены к плоскости основания под углами "''Т*

Свяжем с основанием систему координат

лхп. таким образом, что начало координат А совпадает с

центром симметрии основания, ось АХ проходит через шарнир А, ось ЛТ направлена по нормали к основанию, а ось А% образует с осями АХ, А¥ правую тройку. Аналогично, свяжем с платформой систему координат (рисунок 2.1).

Положение шарниров соответственно векторами

Рисунок 2.1 - Геометрия гексапода с шестью степенями свободы

А . ^ В системе координат АШХ

определяется

А = (АиАз*АД Bi ieР Ч

(2.1)

Положение платформы относительно основания определяется углами Эйлера ЯЧ'Фз'Я*! (рисунок 1.3) и вектором ^ = (^«'^^е).

Подобно тому, как это сделано в разделе 1, геометрические соотношения между системами координат АХХ%, Вхуя задаются в виде (4х4)-матрицы однородных преобразований

«11 «13 «13 X*

Г,

«i.3 Z*

0 0 0 1

где компоненты «*J, 1ДЗ матрицы Т выражаются через углы Эйлера следующим образом

= cos ф|cosФ5 — at ф,с№ф, схкф,; аЛ7 = ф, cosqj^ +акф,окф,я1

t^j =Я1Ф3Я1 q*,; ахх = 008^Жф, -at ф1ивф3 ивф,-ski ф, sm + cos ф, cos ф^ схвф^; 3 ski ф2 cos ф^; a31 =sm ф,я1ф.,; = -cnsq^ai ф2; = авф3_

в системе координат AXTZ определяется

Таким образом, положение шарнира

^ 1-е РЧ

вектором

(2.2)

(2.3)

I V Т 7

Из формул (2.1), (2.2) следует, что обобщенная координата г, как функция величин

"Ри^Тй аТз определяется выражением

'г'Д^Л= ¿ер ч

Выражения для линейных и угловых скоростей и ускорений концов штанг =—(точек ■^'"^З^—можно найти, дифференцируя и дважды дифференцируя по

выражения (2.3). Однако эти выражения оказываются слишком громоздкими и мало пригодными для

практического использования. Исследование скоростей и ускорений концов штанг ^"^З3—б проще производить с помощью математического моделирования, например, с использованием программной системы MatLab (см. ниже).

Заметим, что во введенных обозначениях углы между штангой координат АХУА определяются формулой

и осями системы

«КГ*, = cos у- {XB,YB/ZB, ,ф J =

h J=W

где углы

Та Ti3 Тш

- углы между штангой

Л,К,

АХ, AI,AZ

соответственно.

2.2 Динамика механизма. По методике, использованной в подразделе 1.3, найдем уравнения движения платформы в форме уравнений Лагранжа

dt

dE

dqt

dE л dqi

, 1<ЕРЧ, (2 4)

£ - кинетическая энергия системы; 01 = ^В, 03 Яз = ЧУ 05 = Фз, 06 ~ Ч^ -

где Л - кинетическая энергия системы обобщенные координаты; - обобщенная сила, соответствующая 1-ой обобщенной координате.

Положим, что платформа, как твердое тело, симметрична относительно оси

Ву

, так что ее моменты

инерции "^х'^х равны: ^х ~ ^'х (рисунок 2.2).

и осями

Рисунок 2.2 - Силы, действующие на платформу

Массу платформы обозначим М . В таком случае ее кинетическая энергия равна

М Х*++М¥л+мгв+ *

(2.5)

Выпишем силы, действующие на платформу, а также радиусы-векторы приложения в проекциях на оси системы координат ЛХ]Г£ :

Р = (0, . v¡ - актяУ.

Нам далее понадобятся матрицы Якоби —1шл-1 векторов 1

. По аналогии с разделом 4 из (2.6), (2.7) имеем:

(2.6) (2.7)

Ж

ш

Ж

¿и

а*

1 ж

¿1.2

О Ж

щ

= ф, С(Кф? СОБф, СОЙф2 С1Кф,) +

+ ^,(со5ф1со5ф3 -ЯИр,ИВф5Я1

ж

¡и

ар3

Ддзнкф15М1фз5т ф, +£иокфэ5тф3;

■^цб = = ва(ги®Фк ™ Фз + ™ Ф1 «вФа ™ Фз> +

-I- ф! Ф3 + СОК ф^ ПК Ф; ОИф]) -I- Я1 Фз сокф?,

ж

+ ^3(-совф1ЕМ1фз-ЕМ1ф1акф3акфз);

JR

ÍI.5

ар2 ж ЧЧ ж ф3 окф, - B¿í cns<ft я» Фг cosqi, + икф3 сояф,;

"Я<Лв 0фз ДД1(-ыв(|^со5фз +5ю ф1нкф-!5тф3) + ti¿2(-ai ф, cosepj cos(p, акф2 ski ф^) В^ ski ф2 ski

sn^sn

JR

0qjj ЛД1нвф2 нкф, — B¿2 ыкф1нвф3 — ф3;

JH

¿J.fi

Йф3

Составим выражение для работы на элементарных приращениях и, в соответствии с методикой составления уравнений Лагранжа, приравняем его нулю:

Здесь

ж, = ж, = лкДыг^н^йг^&рьВф^Бф^ íep q

(2.8)

, скалярное произведение

Из выражений для

Поскольку ■

компонентов матриц ' ^Р - Ч следует, что элементы вектора определяются следующим образом:

= Sfj + ф1 eos ф^ — ыкф1 ывф3 акф^) +

Бф1Д-,(совф1совф5 — ñ ф1сгеф3п ф,) + б^^якр,» ф, cosqi, —

5<p^S-2 eos ф, ski ф2 ski qjj + Бф^ eos ф-, ski ф, + + Bq%JÍ;i(—eos ф, ai фз ф1с(Бф3 ñ +

Бф,Д-,(я1ф1я1ф5 + сояф1совф, сояф,)+ икф,;

Mí3 =57f + 5ф1ДД1(5кир15М1 q»j -нвф1нкф2 акф^ +

+ Бф1^3(—С05ф,Й1 Фз SM1 ф1СОБф3 С№ф,) + 6ф3Я^1Я1ф1Я1 ф^акф, —

— Бф^^ cnsq^ñi фз сокфз -I- 6ф3Я^3со5ф3 cosqi, +

Бф,Д-1(совф1смяфз + Я1 ^сояф,» фз) 4-Бф,^3(-мф1авфз —eos ф! акф3 ñi q*,) —

-БфАз™ фзжфз; Hí3 = BZE ф|®ф, + Бф5Я-1акф,сояф, cosacosф, -

- Бф-^, sm ф3 - 6фзЛД1 sm ф3 sm ф,.

5Ли iep q у=1ДЗ 0б0значим

a

Аналогично разделу 4, в приведенных выше выражениях для

коэффициент при ^ — 1=2=3 в этих обозначениях получим более компактные выражения для

.ер:б] у=1ДЗ:

элементарных приращении

и

(2.9)

(2.10)

(2.11)

Подставив выражения (2.9) - (2.11) в (2.8), после несложных преобразований получим

-БГ^ + ЙХ,^™^ +¿¿^««7^ -

- ^¿^«^т,. + + ^¿^ «кг,, +

+^¿^¿(^..««0+ 2^2(ач.з™Ту) = о

а и я + Ц Я

Приравнивая в последнем выражении коэффициенты при независимых приращениях

, получим следующие значения обобщенных сил:

е* - ™ту) а - и) а« - ¿^¿Оъ:>

Подставляя в уравнения (2.4) полученные выражения для обобщенных сил, а также выражения для кинетической энергии системы (2.5), получим искомую систему обыкновенных дифференциальных уравнений

М X.

МТВ= Мя I ^

,

(2.12)

(2.13)

(2.14)

(2.15)

В уравнениях (2.12) - (2.15) силы - это внешние (управляющие) силы, которые могут быть

заданы как функции времени, как функции обобщенных координат ^В'-^в'^Г'ЧЧ'ЧЬ'ЧН, а также как функции длин «своих» стрежней —. Наоборот, при заданных законах изменения величин

из этих уравнений могут быть найдены необходимые управляющие силы, как

функции времени.

3 Ма^аЬ моделирование кинематики и динамики гексапода с шестью степенями свободы

БтиПпк-модель указанного гексапода приведена на рисунке 3.1. Использованные в модели гексапода средства визуализации движения представлены на рисунке 3.2.

Рисунок 3.1 - 81ти!1пк-модель гексапода с шестью степенями свободы без датчиков и

«осциллографов»

Рисунок 3.2 - Визуализации движения гексапода (фрагмент)

Тестирование рассматриваемой модели гексапода выполнено при изменении длины одной из штанг по гармонического закону ^ ~ 4 + -рИСуНОкЗ.З.

Рисунок 3.3 - Перемещение штанги (L), скорость штанги (V) и ускорение (а]

Заключение

Для гексапода с четырьмя степенями свободы получены следующие результаты: решена обратная задача кинематики; решена прямая задача кинематики - получены уравнения, определяющие длины штанг, как функции обобщенных координат; разработана математическая модель динамики механизма в виде системы обыкновенных дифференциальных уравнений относительно обобщенных координат. Аналогичные результаты получены для гексапода с шестью степенями свободы.

Кроме того, для гексапода с шестью степенями свободы разработана Simulink-модель его кинематики и динамики. Тестовые эксперименты с указанной моделью показала ее адекватность.

Полученные в работе результаты представляют самостоятельный интерес, а также могут быть использованы для построения математических моделей многосекционного робота-манипулятора типа «хобот».

Литература

1 ; Каганов Ю.Т., Карпенко А.П. Математическое моделирование кинематики и динамики секции

робота-манипулятора типа «хобот». 2. Гексаподы // "Наука и образование: электронное научно-техническое издание", www.technomag.edu.ru, октябрь, 2009. http://technomag.edu.ru/doc/133262.html

Публикации с ключевыми словами: кинематика, динамика, робот-манипулятор, трипод, гексапод Публикации со словами: кинематика, динамика, робот-манипулятор, трипод, гексапод Смотри так же:

• Математическое моделирование кинематики и динамики робота-манипулятора типа «хобот». 1.

Математические модели секции манипулятора, как механизма параллельной кинематики типа «трипод»

Тематические рубрики:

• Наука в образовании: Электронное научное издание

Ассоциация технических Университетов Координационный совет Вузы Новости Информационное агентство УМО Вузов

J maaazine@xware.ru трпр+ш. (ядчч) 263-68-67 RSS QsTPCKGRDUP

© 2003-2009 «Наука и образование: электронное научно-техническое издание»