CC BY
117
УДК 621.373.826(075.8)
Л. В. Л а б у н е ц, А. В. Попов
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ИНДИКАТРИСЫ СПЕКТРАЛЬНОГО КОЭФФИЦИЕНТА НАПРАВЛЕННОГО ТЕПЛОВОГО ИЗЛУЧЕНИЯ ПОКРЫТИЙ ОБЪЕКТОВ ЛОКАЦИИ
Предложена математическая модель пространственной индикатрисы спектрального коэффициента направленного теплового излучения покрытий конструкционных материалов антропогенных объектов локации и подстилающих поверхностей. Структура модели обеспечивает разумный баланс между адекватностью модели экспериментальным данным и относительно низкими вычислительными затратами имитационного цифрового моделирования тепловизионных изображений 3D-объектов и входных сигналов ИК координаторов цели.
Ключевые слова: тепловое излучение, математическое моделирование,
индикатриса, тепловизионное изображение.
Исследование входных сигналов — один из наиболее трудоемких этапов проектирования ИК-координаторов цели. Эффективное решение этой задачи основано на рациональном сочетании экспериментальных измерений и математического моделирования теплови-зионных изображений 3Б-объектов локации. Математические модели характеристик оптического излучения покрытиями конструкционных материалов позволяют создавать аппаратно-программные комплексы имитационного цифрового моделирования тепловизионных изображений целей и входных сигналов ИК-систем наведения. Основное требование, предъявляемое к таким комплексам, — это адекватное воспроизведение в вычислительном эксперименте физических закономерностей формирования объектами локации отраженного и собственного оптических излучений.
Строгий теоретический анализ оптического излучения покрытием конструкционного материала связан с решением задач теплообмена между микрогранями шероховатой поверхности и переноса излучения в приповерхностном слое. Применение известных методов решения систем уравнений энергетического баланса [1] и переноса излучения [2] к моделированию фотометрических характеристик покрытия потребует существенных упрощающих допущений относительно теплофизических свойств и микрогеометрии излучающей поверхности. Кроме того, эти методы приводят к сложным математическим выражениям, требуют применения итерационных алгоритмов и статистического моделирования, что связано со значительными вычислительными затратами. Целесообразно использовать другой подход к
математическому моделированию излучательных характеристик покрытия, основанный на экспериментальном исследовании индикатрис ИК-излучения и их описании упрощенной параметрической моделью.
Радиационные свойства реальных тел в ИК диапазоне спектра электромагнитных волн зависят от множества факторов. К таковым, в первую очередь, следует отнести микрогеометрию и состояние поверхности, температуру тела, длину волны излучения, угол, под которым излучение либо испускается, либо поглощается поверхностью. Для описания радиационных свойств реальных тел применяют различные характеристики излучения, поглощения и отражения [1,2], которые сопоставляют с аналогичными характеристиками абсолютно черного тела. В частности, удобной характеристикой является степень черноты, показывающая, какую долю энергии излучения абсолютно черного тела составляет энергия излучения данного тела.
Коэффициент направленного теплового излучения £Л (Т5, в, ф) элемента поверхности тела ¿Б, зависящий от длины волны излучения А, температуры площадки Т5, полярного (в) и азимутального (ф) углов направления наблюдения, опишем в системе координат, связанной с вектором нормали N в текущей точке поверхности объекта (рис. 1). По определению энергия, испускаемая элементом поверхности ¿Б в единицу времени в спектральном диапазоне [А, А + ¿А] в пределах телесного угла в окрестности направления наблюдения, может быть представлена выражением [1]
¿3ФА(Т5, в,ф) = (Тз,в, ф)гХБ(Тз)ес8 в ¿Б ¿А. Здесь спектральная светимость излучения абсолютно черного тела,
имеющего температуру Т?, определяется законом Планка:
гХв (Т?) = 2пСА-5 |ехр ^-С0 - Г
где С\ = 0,59548 • 10-4 Вт^мкм2 и С2 = 14388 мкм-К — постоянные.
Для непрозрачного тела закон сохранения энергии относительно трех монохроматических потоков (падающего на площадку в направлении, характеризуемом сферическими углами 9 и у — ¿3ФА<?(Т?, 9, у); отраженного площадкой в верхнюю полусферу — ^ФАе(Т?, 9, у); поглощенного площадкой — ¿3Ф\а(Т$,9, у)) принимает вид очевидного равенства:
аА (Т? ,9,у) + Ла (Т? ,9, у) = 1,
где аА(Т?,9, у) и ЛА(Т?,9, у) — направленная спектральная погло-щательная способность и направленно-полусферическая спектральная отражательная способность элемента поверхности тела:
^3Фаа(Т?,9, у) д № д ^3Фад(Тя,9, у)
аА(Т?, 9, у) = „д. ^ д—^; Л(Т?, 9, у) = ,3ж ^ д—^•
«3Фая (Т?,9, у) й3Фая (Т?,9, у)
В большинстве практических случаев реальные тела обнаруживают способность находиться в состоянии локального термодинамического равновесия, при котором совокупность энергетических состояний в процессах поглощения и излучения с очень близким приближением соответствует их равновесным распределениям. Обоснованность этого приближения подтверждается экспериментальными данными [1], согласно которым окружающее тело поле излучения не оказывает существенного влияния на еА(Т3, 9, у) и аА(Т?, 9, у).
Состоянию термодинамического равновесия отвечает равенство еА(Т?,9, у) = аА(Т?,9, у), представляющее собой наиболее общую форму закона Кирхгофа. С учетом последнего и закона сохранения энергии получаем
са(Т?, 9, у) = 1 - Ла(Т?,9, у). (1)
В инженерной практике степень черноты обычно определяют экспериментально: путем в зависимости от температуры и длины волны для направления, нормального к поверхности. Видимо, по этой причине в теоретической фотометрии широко применяют мультипликативную модель коэффициента направленного теплового излучения [3]
£а (Т?,9, у) = eАN (Т?) Р (9, у) • (2)
Здесь первый сомножитель £АN (Т?) = еА (Т?, 0, 0) учитывает спектральную и температурную зависимости радиационных свойств тела, которые являются следствием зависимости оптических показателей
(преломления, поглощения, рассеяния) вещества от длины волны и температуры. Второй сомножитель р(9, ф) учитывает распределение радиационных свойств по направлениям наблюдения и в большей степени определяется шероховатостью и состоянием поверхности вещества. Дальнейшие упрощения состоят в том, что коэффициент направленного теплового излучения в направлении нормали £\N (TS) отвечает идеально гладкой (полированной) поверхности вещества. Влияние шероховатости и состояния поверхности попытаемся учесть с помощью параметрического описания для нормированной индикатрисы излучения р (9, ф) элемента поверхности dS.
Очевидно, что в такой постановке коэффициент направленного теплового излучения в направлении нормали является радиационной характеристикой вещества, т.е. может рассматриваться вне зависимости от положения дифференциально малой площадки на поверхности тела сложной конфигурации. Напротив, числовые значения параметров, варьирующих форму нормированной индикатрисы излучения для различных площадок на поверхности тела, необходимо выбирать с учетом взаимного влияния прилегающих поверхностей.
В дальнейшем будем полагать, что в интересующем нас спектральном диапазоне [Amin, Amax] форма нормированной индикатрисы излучения не изменяется. Кроме того, рассматриваются материалы с изотропной структурой, направленная степень черноты которых не зависит от азимутального угла ф направления наблюдения.
В фотометрии во многих случаях нормированную индикатрису излучения материалов с изотропной структурой представляют суммой ряда по степеням косинуса полярного угла наблюдения 9 площадки [4]. Неудобство такой параметрической модели состоит в необходимости учета достаточно большого числа членов ряда для аппроксимации индикатрис излучения недиффузных поверхностей.
Более удобной, на наш взгляд, является модель
в виде суммы двух направленных составляющих излучения, входящих соответственно с положительными весами кБ\ и кБ2. Ясно, что при скользящих углах наблюдения в ~ п/2 нормированная индикатриса излучения имеет значение р (п/2) = 1 — кБ\ — кБ2. Поэтому веса должны удовлетворять ограничениям: кБ\ > 0; кБ2 > 0; кБ\ + кБ2 < 1. Очевидно также, что выбор нулевых значений весов обеспечивает идеально диффузный характер излучения.
р (9) = 1 - квА 1
1 - (1 - kR1) cos2 9
(3)
Геометрически компоненты модели (3) представляют собой эллипсоиды с осями вращения, совпадающими с вектором нормали N к анализируемой площадке. Параметры модели кш и к#2 в такой интерпретации представляют собой отношения горизонтальной и вертикальной осей эллипсоидов. Иными словами, параметры к^1 и к#2 характеризуют степень направленности нормированной индикатрисы излучения.
Таблица 1
Параметры моделей нормированной индикатрисы излучения
Модель
кв i
Параметры
кт
кв 2
kR2
№ 1
0,5
0,5
№2
0,5
0,5
№ 3
0,7
0,3
13
В качестве примеров в табл. 1 приведены различные варианты значений параметров модели (3). Отвечающие им индикатрисы излучения представлены в полярной системе координат на рис. 2.
Рис. 2. Нормированная индикатриса излучения идеально гладкого диэлектрика (а), совпадающая с диффузной индикатрисой при в < 70° (б), и платины на длине волны 2 мкм (в)
2
1
1
3
1
Сплошными линиями на рисунках отмечены результаты расчетов по формуле (3). По осям абсцисс и ординат отложены значения рх = Р (9) sin 9 и py = р (9) cos 9. Для сопоставления, крестиками на рисунках отмечена диффузная индикатриса (абсолютно черное тело), имеющая вид окружности единичного радиуса. Вариант 1 (рис. 2, a) описывает нормированную индикатрису излучения оптически гладкой поверхности диэлектрика, полученную [1, с. 129] с помощью электромагнитной теории. Вариант 2 (рис. 2, б) иллюстрирует возможности изменения формы индикатрисы в зависимости от выбора различных значений коэффициентов в формуле (3). Для этого случая интересно отметить, что в диапазоне углов наблюдения 0° < 9 < 70° модельная индикатриса идеально совпадает с диффузной. Для больших углов наблюдения излучательные свойства поверхности резко снижаются. Вариант 3 (рис. 2 в) аппроксимирует нормированную индикатрису излучения платины на длине волны Л = 2 мкм [1, с. 131]. Хорошо видно, что в диапазоне углов наблюдения 0° < 9 < 65° платина излучает практически диффузно. При больших углах наблюдения излучатель-ная способность платины увеличивается примерно в 2 раза.
Математическое описание степени черноты в направлении нормали £\n (Ts) к идеально гладкой поверхности покрытия в ИК-области спектра оптического излучения требует конкретизации оптических и теплофизических характеристик материала объекта локации. В качестве модели для анализа рассмотрим лакокрасочное покрытие (ЛКП), нанесенное на металлическую подложку. В простейшем случае ЛКП состоит из оптически однородного пленкообразователя толщиной z0, содержащего в себе частицы пигмента, химически не взаимодействующего с пленкообразователем [5]. Обычно для ЛКП характерна значительная концентрация пигмента в единице объема. Вследствие плотной упаковки рассеивающих центров и малого расстояния между ними в покрытии имеет место многократное рассеяние. Такие среды принято называть сильно мутными.
В прикладных задачах для описания оптических свойств сильно мутных сред в ИК-области спектра широкое распространение получил двухпараметрический вариант двухпотокового приближения теории рассеяния света, разработанный Гуревичем, Кубелкой и Мунком [6]. В ряде экспериментальных работ [6-9] было показано, что с достаточной для практики точностью теория Гуревича-Кубелки-Мунка не имеет принципиальных ограничений для применений в видимом, ближнем и среднем ИК спектральных диапазонах. Ограничения ее применения состоят в следующем:
— спектральные показатели поглощения и рассеяния а\ должны быть постоянны по всей толщине z0 пленкообразователя;
— индикатриса рассеяния ) частиц пегмента постоянна по всему объему ЛКП и не зависит от условий облучения.
Соответствующий анализ, приведенный в работе [10], позволяет получить следующую модель для степени черноты в направлении нормали к идеально гладкой поверхности покрытия
/^м л l 1 Ra - Da exp(-2LAzo) |
£\n (Ts) — aa S 1--2 • ~б-FTTi-1—ör-\ r '
^ nA Ba - CaDa exp (-2LaZo) J
( Aa
AA — 1 - A0 a; BA — 1 - RA 1--2"
V nA
(4)
Aa „ Ra- A
2A
Сл = Ял - 1 +--2"; °л = л и ■
пЛ 1 - А2лЯл
Здесь Ял = 1 + вл(1 + 6л) - {£2(1 + ¿л)2 + 20л(1 + 6л)}1/2 — полусферический спектральный коэффициент отражения бесконечно толстого слоя ЛКП без учета влияния границ [5, с. 78]; вл = кл/ол — его удельное поглощение; 6л — коэффициент асимметрии индикатрисы, равный отношению потоков, рассеянных элементарным объемом среды в переднюю и заднюю полусферы:
п/2 п
6л = У ^л(7)вт чй^! J ^л(7)й1п 7^7;
0 п/2
Ьл = кл + 2клал/(1 + 6л) — глубинный показатель ослабления ЛКП [5, с. 78]; Аол и А2л — полусферические спектральные коэффициенты отражения соответственно идеально гладкой поверхности ЛКП в воздух и идеально гладкой подложки внутрь покрытия; пл — спектральный показатель преломления покрытия.
Дальнейшее упрощение полученных выражений основано на замене полусферических спектральных коэффициентов отражения Аол и А2л — коэффициентами отражения, рассчитанными по формулам Френеля для случая нормального облучения:
Аол = {(пл - 1)2 + кл}/{(пл + 1)2 + «л>; (5)
Л>л = {(тл - пл)2 + ($л - «л)2}/{(тол + пл)2 + ($л + «л)2}. (6)
Здесь тл и — спектральные показатели преломления и поглощения металлической подложки. Возможность замены коэффициента Аол выражением (5) подтверждается результатами экспериментальных исследований [3,11]. Погрешность замены коэффициента А2л выражением (6) оценивалась в работе [5, с. 56].
Для металлов в среднем и дальнем ИК диапазонах спектра (А > 2 мкм) достаточно точной для практических расчетов является
формула, представленная в работе [1]:
тл (Тз) = $л (Тз) = (30Аас (Тз)}1/2 = ^ '
Здесь А — длина волны измеряется в метрах, а Ь = 2,51 • 10-8 Вт-Ом-К-2 — постоянная Лоренца. Удельная проводимость металла ао (Тз), [Ом-1 •м-1 ], подчиняется закону Видемана-Франца а0 (Тз) = = С (Тз)/(ЬТз). Экспериментальные данные показывают, что коэффициент электронной теплопроводности £ (Тз) для железа уменьшается линейно от 18 до 10кал/(м • с •0С) в диапазоне температур от 0 до 5000С [12, с. 80].
В соответствии с предложенной моделью (3) проводилось исследование влияния формы нормированной индикатрисы р (в) на статистические характеристики синтезированного тепловизионного изображения танка Т-72. В вычислительном эксперименте спектральную и температурную зависимости степени черноты в направлении нормали (Тз) аппроксимировали моделью Хагена-Рубенса [1]
2тЛ (Тз) — 2тл (Тз) + 1
£\N (TS) = 1
2тЛ (Тз) + 2т л (Тз) + 1
для металлической поверхности объекта локации без ЛКП. Расчеты проводились для спектрального диапазона 7. ..14мкм. Распределение температуры по поверхности цели задавалось в рамках кусочно-аналитической модели геометрического образа объекта (рис. 3), представленной в работе [10]. Размер синтезированного изображения цели составлял 200 х 200 пикселей, а глубина цвета — 8 бит, в оттенках серого.
В качестве основных статистик модельных изображений исследовались математическое ожидание (МО), среднеквадратическое отклонение (СКО) и медиана одномерного распределения для уровня
Рис. 3. Геометрический образ танка
в
Рис.4. Нормированная индикатриса р (в) с параметрами кв 1 = 0,93; кт1 = 0,94; кв2 = 0,07; кт2 = 0,65 (а); синтезированное изображение танка Т-72 (б); гистограмма яркости изображения (в)
яркости изображения. Кроме того, анализировался вид гистограмм-ной оценки распределения как наиболее важной характеристики для выбора параметров алгоритмов сегментации изображений. Результаты цифрового моделирования тепловизионных изображений танка Т-72, а также соответствующие им гистограммы яркости изображений и нормированные индикатрисы р (в) представлены на рис. 4-6. Оценки основных статистик модельных изображений приведены в табл. 2.
Полученные результаты цифрового моделирования тепловизионных изображений объекта локации позволяют сделать следующие выводы.
1. Форма индикатрисы для коэффициента направленного теплового излучения конструкционного материала существенно влияет на качество и статистические характеристики тепловизионного изображения
в
Рис.5. Нормированная индикатриса р (0) с параметрами кв 1 = 0,75;
кщ1 = 1,06; кв2 = 0,25; кщ2 = 0,25 (а); б, в — см. рис.4
объекта локации. Иными словами, возможна оптимизация характеристик заметности цели в ИК спектральном диапазоне за счет изменения формы индикатрисы излучения.
2. Улучшение направленных свойств индикатрисы коэффициента направленного теплового излучения увеличивает число значимых локальных мод гистограммы яркости тепловизионного изображения, что улучшает качество его сегментации.
3. Повышение направленных свойств индикатрисы коэффициента направленного теплового излучения увеличивает средний уровень и уменьшает стандартное отклонение для яркости тепловизионного изображения цели.
4. Степень адекватности предложенной математической модели проверена на сопоставлении экспериментальных и расчетных данных.
в
Рис.6. Нормированная индикатриса р(в) с параметрами кв 1 = 0,99; кт1 = 0,19; кв2 = 0,01; кт2 = 0,24 (а); б, в — см. рис.4
Таблица 2
Статистика модельных изображений танка Т-72
к в 1 кт кв 2 kR2 МО Медиана СКО
0,93 0,94 0,07 0,65 139,54 147 19,97
0,75 1,06 0,25 0,25 124,58 122 26,03
0,99 0,19 0,01 0,24 111,87 121 45,02
Для индикатрис рассеяния платины СКО = 0,0205, для идеального диэлектрика СКО = 0,0184, для металлов СКО = 0,0092.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Зигель Р., Хауэлл Дж. Теплообмен излучением / Под ред. Б.А.Хрус-талева: Пер. с англ. - М.: Мир, 1975. - 934 с.
2. ЧандрасекарС. Перенос лучистой энергии: Пер. с англ. - М.: ИЛ. - 1953. -431с.
3. Сапожников Р. А. Теоретическая фотометрия. - Л: Энергия. - 1967. -203 с.
4. Т ы м к у л Л. В., Т ы м к у л В. М., А л е е в Р. М. Метод и результаты расчета пространственного распределения силы света излучающих тел ламп накаливания // Оптико-механическая промышленность. - 1981. - № 2. - С. 36-39.
5. Г у р е в и ч М. М. Введение в фотометрию. - Л.: Энергия, 1968. - 244 с.
6. KubelkaP. Theory of diffuse reflectance // Journal Optical Society of America. - 1948. - V. 38. No 5. - P. 448-457.
7. Vincent R. K., H u n t G. R. Infrared reflectance from mat surfaces // Applied Optics. - 1968. - V. 7. No 1. - P. 53-59.
8. Середенко М. М. Влияние подложки и толщины лакокрасочного покрытия на его коэффициент излучения // Оптико-механическая промышленность. -1979.-№ 5.-С. 10-11.
9. Морозова Л. Н., Середенко М. М. Характеристики поглощения и рассеяния теплоизолирующих тканей в инфракрасной области спектра // Оптико-механическая промышленность. - 1983. - № 3. - С. 10-11.
10. Л а б у н е ц Л. В. Цифровые модели изображений целей и реализаций сигналов в оптических локационных системах: Учеб. пособие. - М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2007. - 216 с.
11. Войшвилло Н. А. Теория Гуревича-Кубелки-Мунка для рассеивающих слоев с двумя отражающими границами // Оптика и спектроскопия. - 1974. -Т. 37, вып. 1.-С. 136-143.
12. Миснар А. Теплопроводность твердых тел, жидкостей, газов и их композиций: Пер. с франц. М.Г. Беды и др. - М: Мир, 1968. - 464 с.
Статья поступила в редакцию 11.04.2008
Леонид Витальевич Лабунец родился в 1951 г., окончил МВТУ им. Н.Э. Баумана в 1974 г. Д-р техн. наук, профессор кафедры "Автономные информационные и управляющие системы" МГТУ им. Н.Э. Баумана. Автор свыше 100 научных работ в области цифрового моделирования входных сигналов локационных систем, статистического моделирования, статистической радиотехники, теории распознавания образов, методов обработки информации, экспертных систем и генетических алгоритмов.
L.V. Labunets (b. 1951) graduated from the Bauman Moscow Higher Technical School in 1974. D. Sc. (Eng.), professor of "Autonomous Information and Control Systems" department of the Bauman Moscow State Technical University. Author of more than 100 publications in the field of digital simulation of input signals of location systems, statistical simulation, statistical radio engineering, theory of identification of images, methods of data processing, expert systems and genetic algorithms.
Александр Владимирович Попов родился в 1984 г., окончил МГТУ им.Н.Э. Баумана в 2007 г. Магистр техники и технологии по направлению "Автоматизация и управление", аспирант кафедры "Автономные информационные и управляющие системы" МГТУ им. Н.Э. Баумана. Специализируется в области цифрового моделирования входных сигналов локационных систем, определения отражательных характеристик объектов, статистической радиотехники.
A.V. Popov (b. 1984) graduated from the Bauman Moscow State Technical University in 2007. Post-graduate of "Autonomous Information and Control Systems" department of the Bauman Moscow State Technical University. Specializes in the field of digital simulation of input signals of location systems, determination of reflection characteristics of objects, statistical radio engineering.
