Математическое моделирование акустических устройств декомпозиционным методом автономных блоков с каналами Флоке Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 537.874.6

О. А. Голованов, Г. С. Макеева, А. И. Грачев

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ АКУСТИЧЕСКИХ УСТРОЙСТВ ДЕКОМПОЗИЦИОННЫМ МЕТОДОМ АВТОНОМНЫХ БЛОКОВ С КАНАЛАМИ ФЛОКЕ*

Разработан декомпозиционный подход на основе метода автономных блоков с каналами Флоке к математическому моделированию волновых процессов в акустических устройствах, развитый ранее для решения электродинамических задач. Построена математическая модель многокамерного глушителя на основе декомпозиции на базовые элементы (отрезки и стыки акустических волноводов круглого сечения) и их последующей рекомпозиции по виртуальным акустическим волноводам (каналам Флоке).

Введение

В настоящее время при проектировании сложных или принципиально новых акустических устройств господствующее место занимает экспериментальная отработка конструкций. Инженерные расчеты дают лишь некоторые ориентиры, т.е. применяются математические модели, обладающие лишь слабой степенью адекватности. При проектировании акустических устройств, известных уже много лет, обычно имеется комплекс полуэмпирических расчетных соотношений, позволяющих уверенно проектировать в определенных пределах.

Необходимо подчеркнуть, что адекватность, т.е. полное соответствие этой модели реальному объекту, есть качество, непосредственно следующее из физической содержательности уравнений акустики. То есть эксперименты не дадут никакой новой информации об объекте сверх того, что уже заложено в его математической модели, базирующейся на уравнениях акустики, и что может быть из нее извлечено. Требуется лишь знать измеренные значения некоторых параметров, входящих в эти уравнения.

Целью данной работы является разработка декомпозиционного подхода на основе метода автономных блоков с каналами Флоке к математическому моделированию волновых процессов в акустических устройствах на основе решения трехмерных задач акустики (без упрощения уравнений и краевых условий).

1. Строгая постановка краевой задачи для акустических устройств

Теоретической основой математического моделирования акустических устройств являются уравнения акустики [1, 2]:

ди ат,

Ро^“ = ^гаар,

а дг (1)

дР 2- п

— + Ро^ шги = 0, дг

* Работа поддержана Российским фондом фундаментальных исследований, грант № 05-08-33503.

где и - вектор скорости частиц газа; Р - избыточное давление; с =

УР0

Ро

скорость звука; Ро и ро - начальная плотность и начальное давление; у -постоянная адиабаты.

Если граница 5 области, для которой ищется решение уравнений (1), предполагается абсолютно жесткой, то на ней нормальная составляющая скорости равна нулю:

= 0.

„ = 0 или дР

п і дп

Для гармонических колебаний уравнения акустики (1) (Р = Рт ехр(гюг), и = ит ехр(гюг)) имеют следующий вид:

|гюро ит = -8гайРт ,

[гюРт + РоС2ё1уит = 0.

При этом реальное акустическое устройство (например, глушитель реактивного типа для стрелкового оружия) получает свой адекватный математический образ - математическую модель.

2. Математическое описание режимов функционирования акустических устройств

Акустическое устройство (например, глушитель к стрелковому оружию) рассматриваем как некоторый волноводный трансформатор [3], в полости которого расположены различные включения и неоднородности (рис. 1). Волноводный трансформатор состоит из основной области У0 с присоединенными акустическими волноводами (каналами Флоке [4]), которые граничат с областью У0 поперечными сечениями ір (в = 1, 2). Область У0 имеет

энергетические связи с внешним пространством только через присоединенные акустические волноводы, которые осуществляют прямую и обратную передачу энергии акустических волн. Поперечные сечения 51 и Б2 назовем входными сечениями.

5і 52

Рис. 1 Волноводный трансформатор: формализация акустических устройств

і

Акустическое поле в волноводах, присоединенных к волноводному трансформатору, можно представить в виде суперпозиции прямых и обратных акустических волн:

РР (г, а -^3 ) = Ск (Р) ^(Р) (г, а ^3 ) + Ск (Р) ^(Р) (г, а zP ^,

Й=1 (2)

иР (r,«, zp) = £ Сцр) Щ(Р) (r,«, Zp) + С—ф) Щ(Р) (r,а Zp), к =1

где р - номер входного сечения; Сцр) - амплитуды падающих (прямых) акустических волн; Сцр) - амплитуды отраженных (обратных) акустических волн.

Тогда на входных сечениях 5р (в = 1, 2) волноводного трансформатора характеристики акустического поля: акустическое давление Р и колебательная скорость и - с учетом (2) имеют следующий вид:

Рр(г, а,0) = £ (с+(р) + сцр)) рк (р)(г, а), к =1

^ і ^ і

ир (г, а,0) = £ (Ск (Р) + Ск (Р))ик (Р) (г, а), (3)

к=1

ир(г,а,0) = £(С+(Р) -с-(Р))ик(Р)(г,а), Р = 1,2.

к=1

Индексами г, I в уравнениях (3) обозначены, соответственно, поперечные и продольные составляющие вектора скорости частиц газа.

Обозначим

ак(в) = С+(Р) + ск(Р), ьк(в) = С+(Р) - ск(Р), Р =1, 2; к =1, 2,..., (4)

и запишем первое и третье уравнения (3) в виде

Рр(г, а,0) = £ ак (Р) Рк (Р)(г, а)

к=1 (5)

ир (г, а, 0) = £ Ьк (р) ик (Р) (г, а), в = 1,2. к=1

Системы функций {рк(Р)(г, а)} , {ик(Р)(г, а)} в (5) являются решениями

краевой задачи для уравнений Гельмгольца [5], они ортогональны и подчинены условиям нормировки вида

| Рк (Р) (г, а)ил*Р)(г, а) • йИ Р =8Ь, (6)

-г*

где ^5р = ZodSв, и^(р)(г,а) = иП*р}(г,а)г0 , * - комплексно сопряженная ве-Г0, если к Ф п,

[1, если к = п.

Любое акустическое поле на входных сечениях 5р волноводного

трансформатора может быть представлено в виде разложения в ортогональные ряды (5). Пусть такое разложение произведено на всех входных сечениях волноводного трансформатора ( = 1, 2), тогда ак(р), Ьк(р) - коэффициенты Фурье рядов (5). Объединяя все эти коэффициенты, составим векторы:

а = (а1(1), а2(1),..., а1(2), а2(2), -О,

Ь = (Ь1(1), Ь2(1),..., Ь!(2), Ь2(2),.. 0.

личина, 8кп =

(7)

Если среда заполнения волноводного трансформатора линейна и пассивна (источники отсутствуют), то векторы а и Ь связаны линейной однородной зависимостью, так что можно написать:

а = ЪЬ, (8)

где Ъ - матрица.

Как известно, механический импеданс акустической системы определяется как отношение давления к скорости [2]. Учитывая это, матрицу Ъ в формуле (8) будем называть матрицей импеданса. Матрица импеданса Ъ является многоканальной многомодовой и имеет строение:

г12 ^

Ъ =

А Ъ11

21

22

(8)

^ъРу

Ъ11

где Ъ^ =

гРї "'12

гРУ ъРу

21

22

, в,У = 1,2.

Клетки Ъвт - бесконечные матрицы.

На каждом входном сечении 5р (в = 1, 2) волноводного трансформатора

акустическое поле можно представить также в виде суперпозиции прямых и обратных акустических волн данного присоединенного волновода с характеристиками Рк (г, а), ик (г, а) (2). Совокупности всех коэффициентов с+ф) и с—да (р = 1, 2; к = 1, 2, ...) образуют векторы

с+ = (с+(1), а2(1), ". С1(2), с2"(2},...),

С = (С1(1), а2(1),..., С1(2), С2(2),...},

такого же типа, как векторы а и Ь в уравнениях (7), причем на основании (4) имеем

а = с+ + с-, Ь = с+ - с-.

(10)

В линейном однородном соотношении

с- = И с+ (11)

матрица И называется матрицей рассеяния. Зная И, можно определить амплитуды отраженных (обратных) акустических волн в виде вектора с-, если заданы амплитуды падающих (прямых) акустических волн, определяемые вектором с+. Матрица рассеяния имеет такую же структуру, как и матрица импеданса Ъ. Между матрицами импеданса и рассеяния существует связь [6]:

Ъ = (I + И) (I - И)-1,

(12)

И = (Ъ + I)-1 (Ъ - I).

3. Декомпозиция акустических устройств на базовые элементы и их рекомпозиция

При декомпозиционном подходе область волноводного трансформатора (акустического устройства) между входными сечениями 5і и S2 (рис. 1) расчленяем условными поперечными сечениями на автономные подобласти -базовые элементы. Базовые элементы рассматриваем как акустические волноводные трансформаторы, и для них определяем элементы матриц импеданса Ъ и рассеяния И. Элементы матрицы рассеяния И (или импеданса Ъ) волноводного трансформатора (акустического устройства) в целом определяем в результате рекомпозиции (объединения) базовых элементов между собой по виртуальным акустическим волноводам (каналам Флоке). (Акустические волноводы, присоединенные к входным сечениям базовых элементов, при рекомпозиции являются виртуальными, т.к. они бесконечно малые по длине). Рекомпозиция базовых элементов по виртуальным акустическим волноводам осуществляем по правилам, которые определяем из условий непрерывности давления и продольной составляющей вектора скорости частиц газа на двух соседних входных сечениях, по которым объединяются базовые элементы.

Для определения элементов матриц рассеяния И и импеданса Ъ отрезков и стыков акустических волноводов используем методику, разработанную в электродинамике [3]. Матрица рассеяния И отрезка волновода имеет следующую клеточную структуру:

0 Б^

(13)

Б 0

где 0 - нулевая матрица; Б - диагональная матрица с элементами =8кп ехр(-г'Гп/), к, п = 1,2,...; здесь Гп - постоянные распространения волн в волноводе; I - длина отрезка волновода.

Матрица импеданса Ъ отрезка волновода имеет следующую клеточную структуру:

Ъ =

А Ъ11 Ъ12 ^

21 22 VЪ Ъ у

(14)

где = гЫ = —8кпс*ёГп1; г21 = -8кпс°5есГп1 .

Матрица рассеяния И стыка двух волноводов имеет следующую клеточную структуру:

'А -I У1 (-А

И

I

где АТ - транспонированная матрица. Элементы матрицы А определяются следующим образом:

АЫ = |рп(1)(г>а)Щ(2)(г,а) • йБ2, к

= 1, 2,....

На рисунке 2 показана рекомпозиция (объединение) двух базовых элементов А и В акустического устройства. Составим из клеток многоканальных многомодовых матриц импеданса ЪА и ЪВ базовых элементов А и В сводную матрицу импеданса ЪС. Для наглядности будем полагать, что виртуальные акустические волноводы, обозначенные цифрами, остаются несвязанными, а виртуальные акустические волноводы, обозначенные буквами, попарно соединены между собой.

Рис. 2 Декомпозиционная схема рекомпозиции базовых элементов акустического устройства

Представим сводную матрицу импеданса ЪС в виде клеток:

в

(

в "

У 1 2

1

Ъс =

ъвв о 2в1 о

о 2УУ о ъу 2

ъ1в о ъ11 о

о ъ2у о 2 2 ъ

(13)

£

2

2

Клетки сводной матрицы ЪС, в которых встречаются сочетания индексов, принадлежащих различным базовым элементам, являются нулевыми матрицами. Совокупность индексов 1, 2, ... обозначим через а, тогда матрицу

(13) можно записать более компактно:

N о ^ра

= а N о 2 УУ 2 уа

^а^ 2аУ ^аа

(14)

На основании матрицы (14) в терминах клеточных матриц имеем следующие матричные уравнения:

\ + Х^Ьа,

аР = 2е

а у = 2 ™ Ьу + 2 УаЬа, аа = 2авЬв + 2ауЬу + 2е

(15)

где ар, ау, аа, Ър, Ьу, Ьа - векторы, составленные из коэффициентов рядов Фурье (5). Наложим на уравнения (15) условия связи ар = ау, Ьр = Ь у, которые соответствуют непрерывности давления и продольной составляющей вектора скорости частиц на границах объединения базовых элементов акустического устройства, и исключим векторы Ьр, Ьу, ар, ау. После несложных

преобразований имеем

аа = (Ъаа + (Ъав + Ъау )(Ъвв - Ъ™)-1(Ъуа - Ъва ))Ьа.

Таким образом, многоканальная многомодовая матрица импеданса Ъ волноводного трансформатора (акустического устройства), полученная в результате объединения базовых элементов А и В, будет определяться как

(ЪаР + ъаУ )(Ъвв - Ъ^ )-1(Ъуа - Ъва). (16)

Аналогично получаем матрицу рассеяния И волноводного трансформатора (акустического устройства) в результате объединения базовых элементов А и В:

И = и аа _ (КаР

каУ)

I

I

_к Я

Л

_1

кРа к уа

Л

(17)

Рассмотрим декомпозиционный подход к решению трехмерных задач акустики на примере многокамерного глушителя стрелкового оружия (рис. 3).

Для построения математической модели многокамерного глушителя используем базовые элементы в виде отрезка акустического волновода круглого сечения (рис. 3,б) и стыка двух круглых акустических волноводов различного диаметра (рис. 3,в). Объединяя между собой два стыка с отрезком круглого акустического волновода (рис. 4,а), получаем единичную камеру глушителя. Объединяя между собой три камеры (рис. 4,б), получаем многокамерный глушитель.

На рисунках 3, 4 виртуальные акустические волноводы (каналы Флоке) обозначены штриховыми линиями. (Стык двух круглых акустических волноводов различного диаметра не имеет объема, следовательно, матрица импеданса не существует).

Sl

„Г

т.

$1,2

а)

б)

в)

Рис. 3 Базовые элементы для математического моделирования многокамерного глушителя: а) глушитель; б) отрезок круглого акустического волновода; в) стык двух круглых акустических волноводов

і

I

г

$1,2 51

$12

5і

І

і І,

І І ^

1-----------

а)

б)

5і

$2 5і

$2 5і

$2

5і

$2

Рис. 4 Рекомпозиция базовых элементов: а) камера глушителя из стыков акустических волноводов и отрезка акустического волновода; б) многокамерный глушитель из отдельных камер

Заключение

Впервые декомпозиционный подход, развитый ранее в электродинамике для математического моделирования электромагнитных процессов на основе решения краевых задач для уравнений Максвелла, применен для математического моделирования акустических волн на основе решения краевых задач для уравнений акустики в строгой постановке (без упрощения уравнений и краевых условий).

Развитый декомпозиционный подход с использованием автономных блоков с виртуальными каналами Флоке (акустическими волноводами) является основой построения адекватных математических моделей сложных или принципиально новых акустических устройств и составляет теоретическую основу построения систем автоматизированного моделирования (проектирования) акустических и акустоэлектронных устройств.

Список литературы

1. Релей. Теория звука / Релей. - М. : Гостехиздат, 1955.

2. Морз, Ф. Колебания и звук / Ф. Морз. - М. : Гостехиздат, 1949.

3. Никольский, В. В. Декомпозиционный подход к задачам электродинамики / В. В. Никольский, Т. И. Никольская. - М. : Наука, 1983.

4. Голованов, О. А. Электродинамический анализ устройств и систем сверхвысоких частот на основе универсальных автономных блоков с каналами Флоке /

$

2

О. А. Голованов, Г. С. Макеева // Физика волновых процессов и радиотехнические системы. - 2005. - Т. 8. - № 4. - С. 10-18.

5. Тихонов, А. Н. Уравнения математической физики / А. Н. Тихонов, А. А. Самарский. - М. : Наука, 1972.

6. Силаев, М. А. Приложение матриц и графов к анализу СВЧ-устройств / М. А. Силаев, С. Ф. Брянцев. - М. : Советское радио, 1970.