CC BY
148
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ СИСТЕМ ПОДДЕРЖКИ ПРИНЯТИЯ ИНВЕСТИЦИОННЫХ РЕШЕНИЙ
ФИНАНСОВОГО ТРЕЙДЕРА
MATHEMATICAL MODELS OF SUPPORT SYSTEM FOR INVESTMENT DECISIONS MAKING FINANCIAL TRADER
Крючков Михаил Викторович преподаватель кафедры высшей математики Национальный исследовательский университет «Высшая Школа Экономики» - Пермь e-mail: mkryuchkov@hse.ru
Русаков Сергей Владимирович доктор физико-математических наук профессор кафедры информационных технологий в бизнесе Национальный исследовательский университет Высшая Школа Экономики - Пермь, заведующий кафедрой прикладной математики и информатики
Пермский Государственный Национальный Исследовательский Университет
e-mail: rusakov@psu.ru
Kryuchkov M.V. Lecturer of Higher Mathematic Department National Research University «Higher School of Economics», Perm branch e-mail: mkryuchkov@hse.ru
Rusakov S.V.
Doctor of physics and mathematics science, professor Department of Information Technologies in Business
National Research University «Higher School of Economics», Perm branch, Head of department Applied Mathematics and Informatics Perm State National Research University e-mail: rusakov@psu.ru
Ключевые слова: финансовый трейдинг, фьючерс, бинарный опцион, математическое моделирование, прогнозирование, ограниченный временной ряд.
Key words: financial trading, futures, binary option, mathematical modeling, forecasting, limited time series.
Аннотация. В работе описывается методика построения математических моделей для систем принятия инвестиционных решений. Рассматриваются следующие виды производных инструментов (деривативов): фьючерсные контракты, бинарные опционы, финансовые ставки. В каждом случае входными параметрами модели являются значения дериватива, наблюдаемые в прошлом, а также брокерская оценка мнения рынка. Для поддержки принятия решения предлагается оценка вероятности верного прогноза, полученного с помощью модели.
Annotation. The paper describes a method of constructing mathematical models for systems of investment decisions. It covers the following types of derivatives: futures, binary options, financial bets. In each case, the input parameters of the model are the values of the derivative observed in the past and broker estimate of market opinion. Decision support is proposed an estimate of probability of correct predictions obtained by the model.
Введение.
Финансовый трейдинг - это деятельность по заключению сделок на финансовых рынках, основной целью которой является получение прибыли[1]. Трейдинг имеет схожие черты с инвестированием, однако отличается от него большей финансовой активностью и меньшей продолжительностью сделок. В основе принятия решения профессионального трейдера лежат современные методы фундаментального и технического анализа, исследования влияния новостей на реакцию рынков, анализ арбитражных возможностей и т.д. Зачастую финансовый трейдинг относится не только к рынку реальных товаров и услуг, но и имеет дело с производными финансовыми инструментами (деривативами). В силу того что стоимость дериватива в текущий момент определяется стоимостью и характеристиками актива, лежащего в его основе, к фьючерсным сделкам прибегают многие агенты реального сектора экономики. В статьях, посвященных тенденциям мирового рынка деривативов[2], а также проблемам и перспективам развития рынка фьючерсов в России[3,4], уделено достаточно внимания инфраструктурным изменениям: универсализации бирж,
унификации расчетной системы, автоматизации торговли; за последнее десятилетие отмечен резкий рост сделок с производными финансовыми инструментами.
Характеристика исследуемой области.
В работе рассматриваются модели, упрощающие процесс принятия решений, в основе которых лежит анализ предыдущих значений исследуемого инструмента. Данная система применима к следующим видам сделок: торговле фьючерсным контрактом, бинарным опционам с доходностью 2 к 1, финансовым ставкам. Приведем описание представленных финансовых инструментов, а также оговорим их спецификацию, позволяющую построить математическую модель.
Фьючерсный контракт (фьючерс) - один из примеров производного финансового инструмента, представляющий собой договор о фиксации условий покупки или продажи стандартного количества определенного актива в оговоренный срок в будущем, по цене, установленной сегодня[5]. По своей сути любой дериватив представляет собой соглашение между двумя сторонами, по которому они принимают на себя обязательство или приобретают право передать базовый актив. В отличие от прямого договора купли-продажи фьючерс формален и предусматривает возможность сторонам свободно продавать данный контракт. Участники фьючерсных рынков делятся на две основные категории: хеджеры, желающие снизить риск, и спекулянты, принимающие его на себя с целью получения ожидаемой прибыли. Покупку фьючерса трейдеры называют открытием длинной позиции. Правила биржевой торговли позволяют продать контракт без его предварительной покупки - стать обладателем короткой позиции. Для закрытия короткой позиции и выхода из рынка трейдер должен совершить обратную торговую операцию, т.е. купить проданный фьючерсный контракт[6].
Рассмотрим расчетный (беспоставочный) фьючерс, денежный расчет по которому между участниками производится в виде разницы между ценой контракта и фактической ценой актива на дату исполнения контракта. Такой
расчет происходит без физической поставки, следовательно, упрощает процесс формализации и создает удобство в построении математической модели. Обязательными элементами спецификации фьючерса должны являться следующие параметры: размер базового актива, приходящегося на один контракт, сроки обращения контракта, дата поставки, минимальное изменение цены, стоимость минимального шага. В такой постановке задачи фьючерс представляет собой систему, функционирующую в определенный дискретный промежуток времени, а значения его стоимости можно рассматривать как элементы временного ряда axa2a3...aN. Для определения позиции, с которой следует начать торги, трейдеру необходимо иметь прогноз относительно тенденции изменения цены фьючерса: если прогнозируемая цена на контракт будет падать, то для получения ожидаемой прибыли необходимо открывать короткую позицию (продавать контракт без предварительной покупки), и наоборот, ожидая рост цены фьючерса, трейдер должен покупать контракт в текущий момент времени.
В настоящее время мировые фьючерсные биржи предоставляют возможность торговли деривативами, в основе которых лежит не только материальный базовый актив (нефть, драгоценные металлы, сельхоз продукция и т.д.) или финансовый инструмент (фондовые индексы, ипотечные ценные бумаги и т.п.). Например, одна из крупнейших и диверсифицированных товарно-сырьевых бирж CME (Chicago Mercantile Exchange) предлагает трейдерам совершение операций по торговле некоторыми экзотическими видами деривативов[7], например, "погодными" фьючерсами. В глобальной сети internet широкое распространение получили биржи спортивных ставок (betsbc.com, betmarathon.com и др.).
Перейдем к описанию одного из наиболее распространенных и привлекательных для начинающих трейдеров инструмента финансовых инвестиций на сегодняшний день - бинарному опциону. Кратко его суть заключается в следующем: в текущий момент времени трейдер знает величину некоторого показателя (например, кросс-курс EUR/USD), видит его изменения
в незначительном прошлом, а также брокерскую оценку вероятности р' роста показателя на следующий временной шаг; трейдер инвестирует сумму х в рост или падение показателя, в случае угаданного роста получает прибыль в размере (х-х/р'), угадав падение - (х-х/(1-р')), не угадав - терпит убыток х. С полученной прибыли брокер взымает комиссию. Задачей брокера в такой игре является нахождение такой величины р, при которой мнения рынка (консолидированные суммы ставок на рост и падение) разделятся пропорционально величинам 1/р' и 1/(1-р'), например, делая оценку р—1/2 (бинарный опцион с доходностью 2 к 1), брокер считает, что первая половина общей суммы всех ставок на данный опцион будет сделана на рост, а вторая -соответственно на падение. Неточность оценки р, как правило, не превышает брокерской комиссии, которая на биржах составляет 1%-5%.
Третьим видом биржевых сделок, к которым применима описанная в работе модель, являются финансовые ставки. Математическое описание данного вида трейдинга имеет некоторое сходство с бинарным опционом. Отличие лишь в том, что брокер называет не оценку вероятности роста показателя, а называет такое его значение Ь, относительно которого мнение рынка должно разделиться пополам, как было описано выше для опциона с доходностью 2 к 1.
Описание математических моделей.
Подведем небольшой итог описанию рассматриваемых финансовых сделок и сформулируем задачу поддержки принятия решений математически. Пусть имеется временной ряд а1а2а3...аы - значения исследуемого финансового
показателя, каждое значение которого наблюдается в дискретный промежуток времени. Основная задача состоит в том, чтобы имея в своем распоряжении k первых значений, спрогнозировать ^+1)-ое. В зависимости от вида трейдинга, прогнозное значение сравнивается либо с ^м значением (для беспоставочных фьючерсов и бинарных опционов) либо с прогнозом брокера Ь (для финансовых ставок). Принятие решения должно осуществляться на основе оценки
вероятности верного прогноза, т.е. верного выбора знака неравенства в указанном соотношении.
Прежде чем переходить к выбору типа модели, отметим одно важное допущение, используемое в работе: прогноз строится на основе тех и только тех значений ряда, которые наблюдались ранее (рис. 1). В моделях, использующих данное предположение, гарантировано отсутствие незначимых переменных, однако не исключена возможность, что останутся неучтенным и некоторые из факторов. Такой подход предполагает, что все параметры, влияющие на прогнозируемое значение, прямо или косвенно содержатся в предыдущих значениях ряда, которые в свою очередь отражают возможные тренды и сезонные изменения. Существенным плюсом также является принцип дилетантства в исследуемой области - нет необходимости обосновывать выбор входных параметров модели, исследовать вопрос их значимости, решать задачу неучтенных данных и т.п.
X, =
Рис 1. Архитектура прогностической модели.
Значения каждого вычисляемого параметра находятся по формулам
f \
^ a/ card(Vi), где Vi - множество подаваемых на него входных элементов,
card(Vi) - его мощность. Примером таких параметров являются среднее арифметическое всех значений, среднее арифметическое 10 последних значений, отдельно взятый элемент и др. Выходное (прогнозируемое) значение находится как среднее арифметическое взвешенных вычисляемых параметров.
Значения wt находятся из решения многокритериальной оптимизационной задачи
(aj - aj)2 ^ min, j = ^ +1, к , (1) где aj - а}. - разность между реальным и спрогнозированным значением
ряда; s - число первых значений ряда, необходимых и достаточных для реализации архитектуры представленной модели; к - номер последнего известного на данный момент времени элемента.
Описанная прогностическая модель, в сущности, представляет авторегрессию со скользящим средним, а итоговое вычисление прогнозируемого значения происходит по аналогии работы простейшего нейрона искусственной нейронной сети. Процесс нахождения весовых коэффициентов wi аналогичен набору действий по ее обучению.
Перечислим преимущества данного подхода к решению задачи прогнозирования значений ограниченного временного ряда. Одним из них является простота программной реализации. Ключевым достоинством применения данной модели следует считать возможность использования большого разнообразия обучающих алгоритмов. Опишем идею алгоритма решения многокритериальной оптимизационной задачи (1), возникающей в процессе нахождения коэффициентов wi. Обозначим для к-го обучающего примера vk = (ак+1 - ак+1)2 - компоненту вектора ошибки прогноза, а ук = ак+1 -реальное значение элемента ряда. Для минимизации vk предлагается изменение весов wi таким образом, чтобы отдельно взвешенное слагаемое приближалось к ук /n (рис. 2). Итерационный процесс изменения весов wi продолжается до
наступления хотя бы одного из трех условий: достижение заданных пороговых
^ к к значений для минимума vк; отсутствие изменения компонент vк; превышение
допустимого числа итераций. Немаловажно отметить, что порядок
прохождения обучающих примеров от первого к к-му подвергает веса wi более
значимому изменению к концу обучающей выборки, т.е. позволяет учесть
эффект "старения" данных. Более подробное описание данного алгоритма можно найти в работах [8,9].
V* = х*>г1 + х*и>2 + -ук—>0
у
/
п п
Рис 2. Схема минимизации компоненты вектора ошибки прогноза.
Одной из главнейших математических задач, которую предстоит решить для создания эффективной системы поддержки принятия инвестиционных решений трейдером, является проблема определения оптимальной мощности значений ряда, необходимых для построения прогностической модели (ПМ). Необходимость решения такой задачи вызвана элементами спецификации описанных в начале работы финансовых инструментов, которые имеют существенное отличие от классических задач прогнозирования значений экономических показателей (курсы валют, биржевые индексы, макроэкономические факторы и т.д.). Если для построения ПМ использовать малое количество входных значений, то останется большой временной интервал для прогнозирования результатов, однако возникнет сложность настройки модели и, как следствие, пострадает точность прогнозов. Если же настройка ПМ будет произведена при большой мощности данных, может возникнуть ситуация нехватки времени для использования построенных прогнозов, либо предложенные моделью результаты не смогут быть применены из-за возникающих в таком случае краткосрочных рисков.
Указанная проблема входит в класс задач теории остановки случайных процессов. Представим краткую формулировку постановки задачи данного раздела математики следующим образом: имеется N неупорядоченных объектов, между которыми можно поставить строгий знак сравнения по некоторому признаку; из этих объектов необходимо выбрать наилучший при условии, что, отказавшись от 1-го наблюдаемого объекта и переходе к (1+1)-му, 1-й уже не может быть выбран. Вопрос состоит в том, чтобы определить номер
объекта, начиная с которого первый встретившийся, оказавшийся лучшим любого из просмотренных, с наибольшей вероятностью окажется наилучшим среди всех. К такой постановке впервые пришел Мартин Гарднер в 1960 году, предложивший шуточную задачу о «разборчивой невесте». В 1966 году советский математик С.М. Гусейн-Заде рассмотрел пример задачи при условии равномерного закона распределения случайно наблюдаемых величин, а впоследствии предложил в работе[10] один из вариантов его решения.
Известный в теории остановки случайных процессов результат, применительно к задаче определения оптимальной мощности обучающих данных в условиях ограниченности временного ряда, приводит к выводу о том,
что в качестве входных значений следует использовать первые
N
е
наблюдений (-37% от общего числа), где N - количество всех значений временного ряда, е - постоянная Эйлера (2,71828...). Полученный результат некорректно использовать к нашей задаче, поскольку в теории на модель накладывается ряд ограничений (например, требование равномерного закона распределения случайной величины, характеризующей вероятность построения верного прогноза), которым вряд ли будет удовлетворять любая ПМ.
Для практического решения поставленной задачи предлагается методика[11], основанная на исследовании длин доверительных интервалов, построенных для доли верно спрогнозированных исходов. На каждом временном шаге находим границы двустороннего доверительного интервала доли признака, при известном объеме генеральной совокупности и заданном уровне доверия у по формуле
^(1 - w) N - п ^(1 - w) N - п
w -tу[N(0;1)]• Р-< р < w + tу[N(0;1)]• Р-, (2)
V п N -1 V п N -1
т
где т - число верно спрогнозированных трендов, w = — - соответствующая
п
частость, tу[N(0;1)] - двусторонний квантиль уровня у функции стандартного
1
х г
1
нормального распределения, задаваемой формулой Ф(х) = |е 2 dt.
Критерием выбора точки останова в данном случае должны являться показатели изменения длины построенного доверительного интервала. Оценить эту величину можно двумя способами: визуально или с помощью разностного
„ д 2П ПМ _ 2П: + и : _ „
аналога второй производной —- ^ —-\——. Равенство второй производной
дх Ах
нулю можно интерпретировать как отсутствие скорости изменения длины интервала.
Для проведения конкретного численного эксперимента была сгенерирована псевдослучайная выборка для случая N=500 и вероятности верного прогноза 0,6. По результатам численного эксперимента проводилось исследование зависимости от номера шага разности между границами доверительных интервалов (рис. 3) в условиях эмпирического становления вероятности, а также конечно-разностный аналог второй производной длины интервала (рис.
4).
к
— 3.975
-"рт- „
НЛСПГП^Н^тГ! •--. -Н _П С"1 ПО г--. -Н 1Л С'| ГО -н гч гн- ---. сг! гм гг ш с-, .-н т :.о 03 ^ т иэ й о т т СО
Рис 3. Длины доверительных интервалов.
1
1 Г9 ««1252933374145495357616569737781
1
Рис 4. Численный аналог второй производной.
Из первого графика видно, что качественное изменение длины доверительного интервала прекращается на 170-190 шаге, что подтверждается графиком конечно-разностного аналога второй производной, построенного для наглядности с интервалом в 6 шагов - устойчивый выход на 0 соответствует значению аргумента примерно равного 30 (т.е. 180 шагам). Таким образом, проведенный эксперимент в определенной мере подтверждает близость к теоретическому "ориентиру" (-40% от общего числа).
Проводя аналитику различных финансовых инструментов, в том числе мирового рынка деривативов, обобщая накопленный опыт построения ПМ для конкретных фьючерсов, становится возможным принятие статистических гипотез о распределении случайной величины, характеризующую вероятность построения верного прогноза. Наличие информации о законе распределения, а также параметров случайной величины позволяет построить байесовский доверительный интервал[12], который в ряде случаев обладает лучшими статистическими характеристиками[13] (меньшей длиной и др.).
Апробация результатов исследования.
Предложенная система поддержки принятия решений была апробирована в 2013 году (январь-март) на бирже спортивных ставок betmarathon.com. В качестве беспоставочного фьючерсного контракта использовался один из "экзотических" деривативов, в основе которого лежала результативность некоторой спортивной команды. Для построения спортивного прогноза была
построена модель, обученная по алгоритму, описанному в работе[9]. В течение сезона было сделано около 800 прогнозов, которые условно можно отнести к трем категориям: 1) совпадающие (отличающиеся не более чем на 2,5%) с мнением брокера - таких прогнозов было около 70%; 2) незначительные расхождения (2,5%-5%) - в эту категорию попало около 25% всех прогнозов; 3) существенные различия (более 5%) с мнением брокера. Вероятности принятия верного инвестиционного решения для каждой категории приведены в таблице 1.
Таблица 1. Категории прогнозов.
Расхождение с брокером, % Доля прогнозов, % Оценка вероятности успеха
[0;2,5) 70,625 0,5
[2,5;5] 25,125 0,5-0,55
более 5 4,25 0,55-0,7
Имея оценку вероятности верного принятия решения, трейдер может применять различные финансовые стратегии[14]. Управление выбором позиции, основанное на описанной в данной работе системе поддержки принятия решений с использованием модели получения прогноза, привело на практике к результатам, представленным на графике динамики прибыли счета (рис. 5). Отрицательные показатели в начале эксперимента легко объяснить: как было указано ранее, для построения и обучения эффективной модели прогнозирования потребовалось около 40% значений ряда, после чего появилась возможность давать точные оценки вероятности успеха, и в силу этого применять эффективные финансовые стратегии.
8000 -, 6000 -4000 -2000 -0 -2000 -4000 -6000 - Рубли
Г-^ \лН
1 V4; 45 56 Ъ89 100 1 122 133 144 ТГ 188 199 210 221 232 243 254 265 276 287 298 30^ Ставки
Рис 5. Динамика прибыли игрового счета в период 19.01-19.03 2013г.
Полученные на практике результаты подтверждают, что для моделирования систем поддержки принятия инвестиционных решений целесообразно использовать прогностические модели, основанные на анализе предыдущих значений временного ряда. Для обучения таких систем следует использовать алгоритмы, учитывающие эффект "старения" данных. С целью максимизации ожидаемой прибыли, учитывая спецификацию дериватива, в качестве обучающих данных необходимо выбирать такое количество значений ряда, которое позволит дать удовлетворяющую оценку вероятности верного прогноза будущего значения.
Библиографический список:
1. Финансовый словарь [Электронный ресурс] // sMart-lab.ru: http://smart-lab.ru/iinansoviy-slovar/трейдинг (дата обращения: 30.11.2014).
2. Киселев М.В. Тенденции мирового рынка деривативов // Бизнес, менеджмент и право. 2009. N 1(18). С. 68-71.
3. Гугнина Е.В., Сафронова Г.П. Проблемы учета фьючерсов и опционов в России // Проблемы экономики. 2013. N 2. С. 133-134.
4. Черенга М.А. Проблемы и перспективы развития рынка деривативов в России // Вестник Омского университета. Серия: Экономика. 2007. N 3. С. 122-123.
5. Фельдман А.Б. Производные финансовые и товарные инструменты: Учебник. М.: Финансы и статистика, 2003.
6. Фьючерсы: длинная и короткая позиция [Электронный ресурс] // AB Forex Company: http://www.abforex.ru/pub/248 (дата обращения: 07.10.2014).
7. Буренин А.Н. Форварды, фьючерсы, опционы, экзотические и погодные производные. М.: НТО имени академика С.И. Вавилова, 2005.
8. Крючков М.В. Сравнительный анализ некоторых алгоритмов решения многомерной задачи условной оптимизации. // Вестник Ижевского государственного технического университета. 2014. N 2(62). С. 153-155.
9. Крючков М.В. Алгоритм «подтягивания к среднему» решения многомерной задачи условной оптимизации. // Междисциплинарные исследования в области математического моделирования и информатики: материалы 3-й научно-практической internet-конференции. Ульяновск: SIMJET, 2014. С. 41-46.
10. Гусейн-Заде С.М. Разборчивая невеста: монография. М.: Изд-во Московского центра непрерывного математического образования. 2003.
11. Крючков М.В. Методика определения оптимальной мощности обучающих данных в условиях ограниченности временного ряда // Вестник Саратовского государственного технического университета. 2014. N 2. С. 7-10.
12. Айвазян С.А. Байесовский подход в эконометрическом анализе // Прикладная эконометрика. 2008. N 1(9). С. 1-5, 27-29.
13. Крючков М.В. Свойства байесовского доверительного интервала на примере оценки математического ожидания нормальной совокупности с известной дисперсией // Научно-технический вестник Поволжья. 2014. N 3. С. 18-21.
14. Архангельская Е.В. Метод определения оптимальных стратегий в условиях риска // Фундаментальные и прикладные исследования в современном мире. 2014. N 5. С. 83-86.
