CC BY
19
УДК 506+510
I B. БАКЛАН, Ю.М. СЕЛИ, Т В. ШУЛЬКЕВИЧ
Нацюнальний техшчний ушверсшет Укра!ни "Кшвський полiтехнiчний шституг", Нацiональна академiя управлiння
МАТЕМАТИЧН1 МОДЕЛ1 ПРОГНОЗУВАННЯ ЧАСОВИХ РЯД1В Р1ЗНО1
ПРИРОДИ
В cmammi поданий огляд сучасних математичних Memodie для прогнозування часових ряЫв pi3Hoi природи, в тому чи^ для прикладного застосування обрано часoвi ряди eкoнoмiчнoгo, eкoлoгiчнoгo та сощального титв. Запропонований утверсальний апарат прогнозування базуеться на комбтованому мemoдi «лiнгвiсmичнe моделювання - приховаш марковсью мoдeлi».
Ключoвi слова: приховат марковсьт мoдeлi, лтгвктичне моделювання, прогнозування, часoвi ряди.
I.V. BAKLAN, Y.M.SELIN, T.V.SHULKEVICH
National Technical University of Ukraine "Kyiv Polytechnic Institute", National academy of management
MATHEMATICAL MODEL OF FORECASTING TIME SERIES OF DIFFERENT NATURE
Annotation.
A classic example of linguistic modeling is forecasting univariate time series of different origin. This article will focus on the principles of linguistic features using simulation to solve problems of recognition based on 2D and 3D objects dynamic processes.
The basic features of the use of linguistic modeling for describing 2D and 3D objects dynamic processes. Shown the practical applications of linguistic modeling for the description and recognition of user movements on a computer screen. Shown the possible practical applications of linguistic modeling for describing 3D recognition of emotion in the human face, diagnosis of diseases of the heart and lungs by the movement offacial features of the patient and others.
Keywords: linguistic modeling, linguistic model, dynamic process.
Постановка проблеми. Проблема прогнозування часових ряд1в була i залишаеться актуальною, особливо останшм часом, коли стали доступними потужт засоби для збору i обробки шформаци. Разом з цим тдвищилися вимоги до процесу прогнозування i ускладнилися залежносп часових рядiв.
Проблема прогнозування вщноситься до слабо структурованих проблем, тому до кожно! задачi потрiбно тдходити окремо, що зумовлюе велику рiзноманiтнiсть методiв прогнозування. Але число базових методiв прогнозування, яш в тих чи шших варiацiях повторюються в шших методах, набагато менше. Багато з цих «методiв» належать до окремих прийомiв або процедур прогнозування, iншi вiдрiзняються ввд базових або один ввд одного шльшстю особливих прийомiв i послщовшстю !х застосування.
Традицшно спецiалiзованi методи прогнозування часових рядiв орiентованi на ряди конкретно! природи, але 1хня поведшка часто-густо е взаемозалежною. Тож постае проблема розробки ушверсального апарату прогнозування часових рядiв обраного типу.
ah^í3 публшацш з теми досл1дження. Розглянемо популярш на сьогоднi математичнi методи прогнозування часових рядiв.
Фiльтр Калмана. Для того, щоби використовувати фiльтр Калмана для оцiнювання внутрiшнього стану процесу, за наявшстю лише послiдовностi зашумлених спостережень, необхвдно змоделювати процес вщповвдно до моделi фiльтру Калмана. Це означае задання наступних матриць: Fk, моделi переходу станiв; Hk, моделi спостереження; Qk, коварiацil шуму процесу; Rk, коварiацil шуму спостереження; та iнодi Bk, моделi керування, для кожного моменту часу, k, як описано нижче [ 3 ].
Модель фшьтру Калмана припускае, що справжнш стан у момент часу k виводиться зi стану в (k-1) вiдповiдно до
де
• Fk е моделлю переходу стану, що застосовуеться до попереднього стану xk-1;
• Bk е моделлю впливiв керування, що застосовуеться до вектору керування uk;
• wk е шумом процесу, що, як вважаеться, мае багатовимiрний нормальний розподш з нульовим середнiм значенням i з коварiацiею Qk.
У момент часу k спостереження (або вимiрювання) zk справжнього стану xk робиться ввдповщно
до
Де Hk е моделлю спостереження, що вщображае проспр справжнього стану у спостережуваний проспр, i vk е шумом спостереження, що, як вважаеться, е гаусовим бшим шумом з нульовим середнiм значенням i з коварiацiею Rk.
Початковий стан i вектори шуму на кожному такл {x0, wb ..., wk, v1 ... vk} вважаються взаемно незалежними.
Мережа Байеса. Байеавсьш мережi (БМ) або байеавсьш iмовiрнiснi моделi у виглядi орiентовaного графа, вершини, котрого представляють окремi змiннi i дуги вгдображають iснуючi причинно-нaслiдковi зв'язки мгж змiнними [ 4 ].
Для вершини А (предок) и вершини В (нащадок), множина вершин-предкгв вершини Xj е як parents (Х). Спiльний розподш значень у вершинах можна описати як результат локальних розподiлiв в кожному вузлi i його предкгв:
БМ швидко знайшли застосування в рiзних областях людсько! дiяльностi: медичш й iнженернi системи дiaгностики на бaзi комп'ютерiв, прогнозування рiзномaнiтних процеав, в задачах класифшацп, упрaвлiння ризиками, i багато iнших. БМ надають можливiсть для виявлення iснуючих залежностей мгж змiнними i для визначення нових умовних ймовiрностей для сташв i ситуaцiй шсля отримання ново! шформацп будь-яким вузлом графа. Устх застосування тдходу залежить вщ правильносп постановки завдання, вибору вадповадних змшних, нaявностi необхiдних даних та / або експертними оцшками для структури i навчання пaрaметрiв .
Загальна постановка зaдaчi прогнозування за допомогою мереж Байеса складаеться з наступних етaпiв: (1) досконального вивчення процесу модельовано! ; (2) дaнi та експертш оцшки збору; (3) вибГр вщомого або будГвництво нового методу модельно! структури (оцiнкa); (4) навчання пaрaметрiв БМ (складання таблиць умовних ймовiрностей); (5) розробка нового або тдбГр вгдомого способа виводу; (6) тестуваннях побудованих БМ з використанням фактичних i згенерованих; (7) застосування моделi для практичного вирiшення завдань, тобто прогнозування , клaсифiкaцiя i т.д. Незважаючи на те, що загальна теорiя БМ розроблена досить добре , виникають, як правило, багато питань, коли конкретна практична проблема виршена. Це особливо вГрно щодо завдань прогнозування, тому що вимоги до якосп оцшок прогнозування постшно зростае , що призводить до подальшого уточнения обчислювальних методiв i aлгоритмiв .
Метод групового урахування aргументiв. Груповий метод для обробки даних (МГУА) е потужним сучасним iнструментом для моделювання процеав i прогнозування, розроблений в Нацюнальнш академп наук Укра!ни у другш половиш минулого столггтя О.Г. 1вахненко [5]. Вш генеруе моделi прогнозування у виглядГ полшома Колмогорова - Габора, як можуть бути використаш для опису лшшних i нелшшних систем.
Для даних спостережень: ■■■'■ необхГдно побудувати найкращу (у визначеному значенш) модель } (xi,... j хп
Обираеться загальний вид моделей, що перебираються, так зваш опорш функцп
Процес закгнчуеться, якщо знайдена достатньо "хороша" модель або досягнута максимально допустима складшсть моделей.
Основною позитивною рисою методу е те , що вш автоматично вибирае кращу структуру модел в клаа заздалеггдь обрано! лшшно! або нелшшно! структур. Останш верси нечиких методГв МГУА забезпечують кращ можливостГ для тдвищення якосп прогнозГв оцшок.
Постановка завдання для застосування методу повинна включати наступш елементи : (1) ВибГр додаткових опиав, якг створюють основу для можливого остаточного вибору моделГ, (2) вщбору та адаптаци параметрГв моделГ для конкретного застосування, (3) розробка ново! або застосування вГдомо! модел оцшки; (4) вибГр критерпв якосп моделГ для використання в промГжних кроках обчислень i для остаточного вибору модели МоделГ, побудоваш з вГдповГдним чином налаштованим МГУА, зазвичай забезпечують середню або високу якгсть короткострокових прогнозГв .
Узагальнет лГнГйнг модели Узагальнеш лшшш моделГ ( УЛМ ) це клас моделей, якг розширюють уявлення про лшшне моделювання i прогнозування в тих випадках, коли чистий лшшний шдхвд до встановлення вгдносин мГж змшними процесу не може бути застосований [ 6 ]. Шдхгд УЛМ також розширюе можливосп для моделювання у випадках, коли розподши статистичних даних вщрГзняються вгд звичайних. Конструювання УЛМ можна розглядати з точки зору класично! статистики або з байеавской точки зору. Зазвичай проблема побудови такого типу моделГ мае враховувати так елементи: тип попереднього розподшу для параметрГв моделц метод оцшки параметрГв, що використовуе вГдповгдш методи моделювання; необхвдтсть ГерархГчного моделювання, апостерюрне моделювання, тощо. УЛМ можуть бути устшно застосоваш для виршенш проблем класифшаци та прогнозування нелшГйних процеав.
Формулювання мети статть Рiзноманiтнi даш в екологи, економiцi, соцюлогп та шших сферах надходять у виглядi часових рядiв. Вони е, як правило, нестацюнарними, оск1льки !х основш характеристики змiнюються в часi. Основою для прогнозування служить iсторична шформащя, що зберiгаеться в iнформацiйних сховищах у видi часових рядiв. Якщо можна побудувати математичну модель i знайти шаблони, що адекватно вщбивають цю динамiку, е iмовiрнiсть, що з !х допомогою можна передбачати i поведiнку системи в майбутньому. Прогнозування часових послiдовностей дозволяе на основi аналiзу поведiнки часових рядiв оцiнити майбутнi значення прогнозованих змшних.
Загалом методи прогнозування можна роздшити на три широк! класи : 1. Прогнозування на основi суджень, тобто, прогнозування, що грунтуеться на суб'ективних судженнях (оцiнках), штущд, поглиблених знаннях конкретно! обласп та шшш iнформацii, що мае вщношення до прогнозованого процесу - так зване передбачення; 2. Методи прогнозування на основi використання часового ряду одше! змiнноi, тобто, на основi авторегресп, авторегресп з ковзним середнiм (АРКС) та АРКС плюс модель тренду; 3. Методи прогнозування на основi використання часових рядiв декшькох змшних .
В останньому випадку ендогенна змшна, що прогнозуеться, залежить ввд дек1лькох регресорiв або екзогенних змшних у правш частинi рiвняння. Очевидно, що в загальному випадку метод прогнозування може поеднувати у собi 2-3 наведених вище методи.
Основна частина.
Приховат марковськ1 модел1 (ПММ). Дiаграма, подана нижче (рис. 1), показуе загальну структуру ПММ. Овали - це змшш з випадковим значениям. Випадкова змшна х(0 вццювадае значению приховано! змшно! в момент часу I. Випадкова змшна це значення змiнноi, за якою ми спостертаемо, в момент часу I. Стр1лки на д1аграм1 символпують умовш залежносп. 1з д1аграми можна д1знатись, що значення приховано! змшно! (в момент часу /) залежить тшьки вад значення приховано! змшно!х(' ~~ 1) (в момент f - 1). Це називаеться властивютю Маркова. Хоча в той же час значення змшно! ), за якою ми спостертаемо, залежить лише вад значення приховано! змшно! (в момент часу О-
Рис. 1. Загальна схема функцiонування приховано! марковсько! модел1
Ймов1ршсть спостертати послщовшсть ^ — у(0)-г/(1).....У(Ь - 1) довжини Ь дор1внюе:
тут сума проб ¡гас по вах можливих посладовностях прихованих вузл1в X ~ .....я ( £ — 1).
Основнi прихованi марковсьш модел1 можна описати за допомогою таких змшних: Л - шльшсть станiв У - кiлькiсть спостережень
01=1...а- - параметр для спостереження за зв'язками М1ж станами
. ймов1ршсть переходу п стану г до стану У Фг=1...к - ЛГ-м1рний вектор, що складаеться п ...т- стан спостереження за час ( | - результат спостереження за час '.', НуЩ- функцiя розподiлу ймовiрностi спостережень, параметризованих за I
Метод подiбних траекторiй. 1дея методу полягае в наступному. Маемо ряд спостережень еколопчного процесу, що !х зроблено за якийсь час {у(1); у(2);...; у(п) }, графiк якого наведено на рис. 2.
Рис.2. Динамтса ряду спостережень
Змшна y (i), i = 1, N тут представлена фiзичними значениями ввдповщного процесу (наприклад, сила виру, iнтенсивнiсть стоку води, сила пвдземних поштовхiв).
За обраним критерieм обираеться дiлянка траекторп "найближча" до дмнки, яка передуе прогнозоваиiй точцi. Надалi оцiнюеться прогноз за формулою y(n +1) = y(i + p) , де
í Р )
I = min^j y(j + i -1) - y(n - p + i)! } J = 1,2,...,n - p; h=i
J = min j y (i + j-1) - y (n) j i = I,I +1, ...,I + p-1.
i
Формалiзувати метод можна наступним чином. Нехай ми маемо наступт вектори спостережень
T t T T
Yi =(y, y2, • •• , yP) ; Y2=(y2, y3, • •• , yp+i) ; •••; YK=(yk, yk+i, • •• , yk+p+i) ; • ••; YN=(yn-p+i,yn-p+2, • •• , yn) ;
Знаходимо найближчу точку Í3 умови мшмально! вiдстанi
Y к = argmin d (Yn ,Yj ).
j
£ й iншi способи пошуку найближчо! точки, наприклад, найбiльш поширена метрика - квадрат евктадово! вщсташ
. )T' ■n )
d (Yk Yn ) = (Yk - Yn ) (Yk - Yn ) .
Лшгвютичне моделювання. За певними правилами числовi значения послщовносл замiнюються символами [7]. Прогнозування ввдбуваеться шляхом пошуку ланцюжкiв символiв i спiвставления !х з ланцюжками з бази даних спостережень. Отримаш символи утворюють алфавiт, з якого, в свою чергу, формуються слова. Таким чином маемо:
Е: - множина термiнальних символ1в
N1 - множина нетермшальних символ1в
V = Е и N: словник граматики (множина всiх термiнальних та нетермшальних символiв).
При цьому пiд граматикою (або формальною граматикою) розумiеться споаб опису формально! мови, тобто видшення деяко! шдмножини з безлiчi вах сл1в деякого концевого алфавiту.
Для прогнозування використовують стохастичну контекстно -в№ну граматику [8]. Стохастична контекстно-вiльна граматика (СКС) - це контекстно-вiльна граматика, в якш кожному правилу виводу вццюввдае ймов1ршсть.
Ко нтс кст но -в1 льна граматика С це четв1рка ■ Т- Р. 5');
• - ■ Л"
• N та Т сшнченш множини, що не перетииаються
• 11 сшнченна шдмножина ^ 1А ; :
При цьому, використовують таю иазви: N — множина нетермшальних символ1в, Т — множина термшальних символ1в, Р — множина правил виводу 5 початковий символ. Правила {атР) е Р записують як - -- .
В л1вш частиш правила виводу мае знаходитись одна змшна (нетермшальний символ). Формально, мае виконуватись а е ^.¡З е (Лг и Т)'\ |,3| > 1
В стохастичних контекстно -вшьних граматиках правилам виведення сшвставляють ймов1ршсть
У, Р{Рт) = 1 використання: Р Р —1' К де ргчрг
Стохастичнi контекстно-вшьш граматики розширюють контекстно-вiльнi граматики так само, як приховаш марковсьш моделi розширюють регулярнi граматики.
Поеднання прогнозiв. Проблема поеднаиия прогнозiв виникае в тих випадках, коли одного вибраного методу недостатньо для досягнення бажано! якостi прогнозуваиия. У таких випадках треба вибрати два або бшьше вдеолопчно рiзних методiв прогнозування i обчислити комбiновану оцiнку за допомогою ввдповщним чином вибраних ваг [ 7 ]. У простому випадку рiвнi ваги застосовуються до окремих прогнозiв. Iншi пiдходи до обчислювання цих ваг заснованi на рашше знайдених помилках прогнозування для кожного методу або на оптимiзацiйних процедурах. Особливо добрi результати досягаються у тих випадках, коли помилки вiдхиления для iндивiдуальних методiв прогнозування суттево не вiдрiзияються одна ввд одно!.
Але майже всi вiдомi методи прогнозування часових рядiв будь-яко! природи базуеться на внутрiшнiй природi поведiнки процесу, виходять з внутршшх закономiрностей. Цi методи не дозволяють враховувати так зваиi «зовшшт впливи», що можуть призводити до змш поведiнки процесу (змiн характеристик ряду, тренду i таке iн.). Тобто, за сво!ми як1сними характеристиками поведшку таких часових рядiв можна цшком вести на засадах феноменологiчних пiдходiв [8]. До такого типу часових рядiв можна вiднести ряди економiчних показник1в, або ряди спостережень за еколопчними процесами. Для економiчних ряда, це, наприклад, курси цiнних паперiв або валют, цiни на баншвсьш
метали, iндекси дшово! активности Для часових рядiв соцiального типу - це можуть бути данi текстово1' аналiтики аналiзу емоцiйноï окраски.
Для часових рядiв економiчного роду зовшшшми впливами можуть бути iнсайдерська шформащя, що може вплинути на курси цiнних паперiв, або заяви державних дiячiв щодо гривнi, що може привести до рiзкого стрибка курсу гривш вщносно резервних валют. Для еколопчних процесiв, це можуть бути аномальш явища, що погано описуються за допомогою динамжо-аналггачних пiдходiв, а через вщсутшсть сталих перiодiв протжання стае неможливим використання статистичних пiдходiв. Це так1 природнi явища як цунам^ землетруси, виверження вулканiв, зсуви та ш. Для часових рядiв соцiального типу це може бути шформащя щодо розробки або прийняття того чи iншого законопроекту. Також важливим чинником е взаемний вплив таких процеав один на одного.
Для прогнозування поведшки часових рядiв, що е чутливими до таких впливiв, пропонуеться застосовувати методи прогнозування часових рядiв, що в змозi враховувати цi впливи. Такими математичними засобами е методи прихованих марковських моделей [9], подiбних траекторiй [10], лшгвютичного моделювання [11]. Але бшьш точним методом прогнозування представляеться комбшований або гiбридний метод: лiнгвiстичне моделювання - приховаш марковсьш модел1 (ЛМ-ПММ) [12].
Основними принципами пбридизацп е: принцип неоднорiдностi, принцип плюралiзму, принцип системного аналiзу неоднорщного завдання, принцип конструктора, принцип прiоритету знань, принцип поступовосп, перший та другий принцип спадкування, принцип самоорганiзацiï агреговано1 модел1, принцип повноти зниження продуктивносл агрегованоï модел1. Цi принципи певним чином узагальнюють свiтову практику дослщжень розробки гiбридних iнтелектуальних систем прийняття ршень. Використання цих принципiв дозволить робити агреговаш моделi там, де це дощльно, такими, як1 вони мають бути, та функцiонуючими зпдно з очiкуванням.
Класичнi гiбриднi системи комбшують аналоговi та дискретнi модел1. Агрегативнi системи моделюють аналiтико-статистичнi закономiрностi бiхаверiстики складних систем. Методологiя штелектуальних експертних систем дозволяе перебороти недолши символьного пiдходу за рахунок комб^вання iз традицiйними iнформацiйними та технологиями штучного iнтелекту. У кожному iз цих випадкiв мова йде про становления ново1 iнформацiйноï методологiï моделювання складних процеав i явищ шляхом побудови i застосування моделей-гiбридiв. Зазначимо що юнують рiзнi шляхи для досягнення поставлено!' мети.
Використання наведено1' гiбридноï ЛМ-ПММ моделi дозволяе враховувати зовшшш впливи, що можуть призводити до змiн характеристик часового ряду, його тренду тощо.
Висновки. До недолiкiв наведеного математичного апарату можна вщнести загальний недол1к всiх методiв, де використовуються статистичнi данi - брак юторично1' iнформацiï. В такому разi прогнозування вiдбуваеться на основi суджень, тобто, прогнозування, що грунтуеться на суб'ективних судженнях (оцiнках), штущд, поглиблених знаннях конкретно!' областi та шшш iнформацiï, що мае вщношення до прогнозованого процесу - це так зване передбачення. В разi вiдсутностi достатньо1' кiлькостi таких даних, необх1дно використовувати методи системного аналiзу [13]. Методи системного анал1зу е найб№ш унiверсальнi i адекватнi сучасним вимогам засоби дослщження. У свою чергу це дае можливiсть особ^ що приймае рiшения, одержати максимально повну, достовiрну i головне, своечасну iнформацiю про можливi зовнiшнi впливи. Використання системного анал1зу також дае можливють враховувати зовнiшнi впливи на поведшку вiдповiдних процесiв.
Математичний апарат для прогнозування поведiнки часових рядiв вже достатньо розвинутий. Але наявнють зовнiшнiх впливiв вимагае застосування таких пiдходiв, що дають можливiсть враховувати невiдомi чинники, як1 вносять свое збурення. Визначено напрямок для подальших дослiджень запропонованих методiв прогнозування часових рядiв, що можуть пiддаватися зовшшшм впливам.
Лiтература
1. Balakrishnan A.V. Kalman Filtering Theory. - New York: Optimization Software, Inc., 1984. - 222 p.
2. Korbicz J., Bidyuk P.I. State and parameter estimation: Zielona Gora: Technical University of Zielona Gora, 1993. - 303 p. .
3. Hamilton, J. «Chapter 13, 'The Kalman Filter'». Time Series Analysis. Princeton University Press. 1994.
4. Cowell R.G., Dawid A.Ph., Lauritzen S.L., Spiegelhalter D.J. Probabilistic Networks and Expert Systems. - New York: Spinger-Verlag, 1999. - 321 p.
5. 1вахненко А.Г. 1ндуктивний метод самооргашзацп моделей складних систем. - Кшв: Наукова думка, 1982 . - 296 р.
6. Dobson A. An Introduction to Generalized Linear Models. - New York:CRC Press Company, 2002.221 p.
7. Бвдюк П.1. Аналiз часових рядiв/ Романенко В.Д. , Тимощук O.L. - КиГв : Полггехшка , НТУУ "КП1" , 2013 . - 607 р .
8. Гуссерль Э. Логические исследования Т. 2. Исследования по феноменологии и теории познания./ Гуссерль Э. — М.: ДИК, 2001. — 470 с.
9. Баклан 1.В. Класифжащя моделей марковського типу Наукова монографiя/ Баклан 1.В., Степанкова Г. А. - К.: НАУ, 2012. - 84 с.
10. Баклан 1.В. Структурний шдхвд до розтзнавання образiв у системах безпеки / 1.В. Баклан, Ю.М. Селiн, О.О. Петренко. - Нацюнальна Безпека УкраГни: стан, кризовi явища та шляхи Гх подолання. Мiжнародна науково-практична конференцiя (КиГв, 7-8 грудня 2005 р.). Збiрка наукових праць. - К.: Нацюнальна академiя управлiння - Центр перспективних сощальних досладжень. 2005. — С.375-380.
11. Баклан 1.В. Лшгвютичне моделювання: основи, методи, деяк1 прикладш аспекти. Системные технологи. Региональный межвузовский сборник научных трудов. - Выпуск 3(74) - 2011, с.10 -19.
12. Баклан 1.В. Iмовiрнiснi моделi для аналiзу та прогнозування часових рядiв. - Штучний iнтелект. — 2008. — № 3. - С.505-515.
13. Згуровский М. З., Панкратова Н. Д. Системный анализ. Проблемы. Методология. Применение. -КиГв. - Науково-виробниче шдприемство «Наукова думка» НАН УкраГни, 2011. - 726 с.
