Математические модели при автоматизированном мониторинге тоннелей в зонах разломов Текст научной статьи по специальности «Строительство и архитектура»

УДК 62 Зайнагабдинов Дамир Альфридович,

ассистент, Иркутский государственный университет путей сообщения (ИрГУПС), e-mail: damirmt@mail.ru

Май Дык Минь,

аспирант, Московский государственный университет путей сообщения (МИИТ),

e-mail: maiducminh_hn@yahoo. com. vn

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ПРИ АВТОМАТИЗИРОВАННОМ МОНИТОРИНГЕ ТОННЕЛЕЙ В ЗОНАХ РАЗЛОМОВ

D.A. Zaynagabdinov, Duk Minh Mai

MATHEMATICAL MODELS FOR AUTOMATED MONITORING

OF TUNNELS IN FAULT ZONES

Аннотация. В статье рассматриваются вопросы моделирования и оценки напряженно-деформированного состояния обделки тоннеля в зонах разломов при проведении автоматизированного мониторинга. Для оперативной оценки НДС предложена приближенная математическая модель балки на упругом основании, для более точной оценки - численная конечноэлементная модель. Сопоставление результатов расчета аналитической и численной модели тоннеля показывает близкие закономерности распределения перемещений, изгибающих моментов и поперечных сил.

Ключевые слова: тоннель, автоматизированный мониторинг, математическая модель.

Abstract. The article deals with the modeling and evaluation of the stress-strain state of tunnel lining during the automated monitoring. For the rapid assessment of the stress-strain state an approximate mathematical model of the beam on elastic foundation is proposed. For a more accurate assessment proposed a finite element model is proposed. Comparison of the calculated results of analytical and numerical models of the tunnel shows similar patterns of distribution of displacements, bending moments and shear forces.

Keywords: tunnel, automated monitoring, mathematical model.

Тоннели относятся к наиболее сложным транспортным сооружениям, безопасность функционирования которых в процессе эксплуатации требует постоянного контроля их состояния, определяемого действием многих труднопредсказуемых факторов. С одной стороны, тоннель воспринимает нагрузки внешней среды и может рассматриваться как «вживленное» в земную поверхность искусственное сооружение, воспринимающее весь

спектр геодинамических процессов. С другой стороны, тоннель пропускает транспортные нагрузки, масштабы воздействия которых также трудно оцениваются, хотя они и более предсказуемы, чем природные процессы. В сложных геологических условиях окружающее тоннель пространство может изменяться с течением времени, подвергаться различного рода нагрузкам, вызванным деструктивными процессами горной породы, динамическими взаимодействиями конструкций тоннеля и горного массива.

Основными конструктивными элементами транспортных железнодорожных тоннелей являются путь и обделка. Обделки тоннелей, как правило, имеют многократный запас прочности при работе на горное давление. Поэтому в сухих скальных однородных породах обделки эксплуатируются без развития каких-либо повреждений десятки лет. В таких тоннелях в системах мониторинга особой необходимости нет. Трудности в содержании обделок начинаются там, где есть геодинамические факторы в самом горном массиве. Факторы геодинамического происхождения - это сброс тектонических напряжений в виде землетрясений, образования и развития разломов, выбросов горячих и холодных подземных вод и газов. Именно эти факторы превращают в песок твердые граниты и базальты за длительный исторический период, но физико-химические и механические воздействия влияют на подземные сооружения в течение их срока службы. Неоднородности пород горного массива, наличие разломов, развитие геодинамических процессов приводят к изменению напряженно-деформированного состояния конструкции обделок. Смещения по разломам дают концентрацию напряжений и повреждения в конструкциях на пути таких смещений. В зонах тектонических нарушений рифтовых зон устойчиво

Современные технологии. Математика. Механика и машиностроение

формируются просадочные процессы. В активных разломах нередко наблюдаются выбросы агрессивных подземных вод и газов, разрушающих металл и бетон. Геодинамические процессы в горном массиве могут незаметно перераспределить гидростатическое или горное давление в зону критических усилий. Опасной является скрытность таких процессов. В худшем случае это может быть разрушение обделки, в меньшей степени - образование трещин и водопроявления.

Техническая политика содержания искусственных сооружений направлена на эксплуатацию без повреждений. Если сегодня она еще построена на визуальном надзоре, периодических инструментальных обследованиях с фиксацией повреждений, то завтра она будет основана на электронных деформационных системах, позволяющих поддерживать сооружения профилактически до образования повреждений. Этому способствует развитие инструментальных диагностических средств с автоматизацией сбора и передачи данных, методов математического моделирования, компьютерных и интернет-технологий.

Обеспечение безопасности пропуска поездов и эффективности содержания транспортных сооружений в условиях проявления активных геодинамических процессах с помощью систем автоматизированного мониторинга осуществляется с помощью следующих задач:

- контроль внешних параметров проявления функциональных нагрузок и природных воздействий;

- анализ и диагностика безопасной ситуации в оперативном режиме;

- формирование оперативной карты ресурсов конструкций;

- разработка интеллектуального обеспечения системы эксплуатации и содержания сооружений.

В интеллектуальной системе особое значение имеет математическое моделирование, с помощью которого определяются опасные критерии для внешних воздействий, которые ведут к исчерпанию свободного ресурса. Опасными критериями являются величины предельных смещений по блокам разломов, перераспределение горного или гидростатического давления и другие факторы. Опасными являются величины ускорений при землетрясениях высокой интенсивности. Многие опасные критерии могут быть определены в ходе работы самой системы мониторинга.

В условиях системы мониторинга важную роль для принятия решений имеет время оперативной оценки напряженно-деформируемого состояния тоннеля. Встает вопрос о целесообразно-

сти использования упрощенных моделей на оперативном шаге и уточнения НДС на последующих этапах.

Для оценки напряжённо-деформированного состояния тоннельной обделки в зоне разлома в статье рассматриваются две математических модели: с использованием упрощенного аналитического подхода и численного метода.

В качестве первой модели используется модель балки на упругом основании. Тоннель пересекает зону разлома между двух вертикальных горных блоков с одинаковыми грунтами (рис. 1). Рассматривается вариант, когда между блоками отсутствует заполнение грунтом, имеющим другие свойства. Тоннель рассматривается как балка постоянной жёсткости в упругой среде. Упругая среда (грунт) характеризуется коэффициентом упругого отпора к. Тоннель имеет постоянную изгиб-ную жёсткость EI. До начала подвижки ось тоннеля совпадает с горизонтальной осью Ox. При сдвиге горного блока по разлому часть тоннеля перемещается на величину Ам. Направление плоскости разлома совпадает с направлением оси ординат у (рис. 2).

Рис. 1. Тоннель, пересекающий зону разлома со смещением одного горного блока относительно другого

Ввиду того, что зона влияния разлома на напряжённо-деформированное состояние тоннеля ограничена, для упрощения расчёта и получения аналитического решения в замкнутой форме рассматривается бесконечный тоннель (рис. 3).

Если свойства соседних блоков породы и из-гибная жёсткость тоннеля постоянные, тогда для правой части бесконечного тоннеля (при х > 0) можно использовать следующее граничное условие: при х = 0 м(0)=Дм/2. Учитывая, что в этом

сечении угол наклона касательной

принимает

экстремальное значение, вторая производная должна быть равна нулю, из чего следует:

иркутский государственный университет путей сообщения

Рис. 2. Расчётная схема тоннеля при сдвиге

Ди/3

= О

Рис. 3. Расчётная схема полубесконечной балки

Параметры и'(0) и ^(0) аналогичны константам интегрирования, которые можно опреде-

.

Дифференциальное уравнение изгиба балки лить в области изображений. Для этой цели на упругом основании в обобщённых функциях [2] найдём корни знаменателя у4 + = 0:

П П

у =^2вв'~4 = в(1 + 0; у3 = -42ре'~4 = -в(1 -1); (5)

П П

у3 = -430е'~4 = -в(1 + i); У4 =42ре'~4 = в(1 - i). (6)

Корни у, находятся в верхней комплексной полуплоскости, а У3, У4 - в нижней.

Учитывая, что функция и(х) = 0 при х < 0, изображение Фурье этой функции и(у) должно

имеет вид:

+ кЬи = Q(0)Щх) + Е1и'(0)Щ(х) + Е1и(0)8т(х), (1)

dx

где и (х) = и( х)в( х),

0(х) - функция Хевисайда (функция единичного скачка),

Щ( х) - функция Дирака,

Q(0) - поперечная сила в сечении х = 0 .

Применим преобразование Фурье к обеим быть аналитической функцией во всех точках

частям уравнения:

и (у) [у4 + 4в4 ] = + и' (0)(-/у)3 + и(0)(-/'у)3, (2) быть равен нулю на корнях знаменателя, располо-

верхней полуплоскости, т. е. числитель должен

Е1

где в =

= 4 .

кЬ '4 Е1

женных в верхней полуплоскости. Из этого следуют два уравнения:

При определении изображения Фурье используются следующие свойства обобщённых функций:

ад

\ / (хЩ х -/^х = / (/),

-ад

ад

\ /(х)Щ)(х-¡^х = (-1)7)(/). (3)

и' (0)у12 - ш=и (0)у3,

Е1

и'(0)у3 -^ = и(0)У3. Е1

(7)

Подставляя в систему уравнений выражения корней знаменателя у = \13ре 4 = в(1 + 0 и

Изображение Фурье функции прогиба балки имеет вид:

^0) - и '(0)у2 + и(0)У

—. (4)

и (у) =

Е1

у4 + 4в

у2 = -43ве 4 = -в(1 - 0, получим:

и'(0)2в2i -■Q(0) = и(0)i2в3(-1 + 0, Е1

-и'{0)2в2i - = и(0)/'2в3(1 + 0. Е1

Решение системы уравнений даст:

(8)

ад

Современные технологии. Математика. Механика и машиностроение

(9)

Гм'(0) = -ви (0), |0(0) = 2Е1рм (0).

Подставим найденные значения в изображение Фурье функции прогиба балки:

2 в и (0) + ры(0)у2 + и (0>у3

и (у) =■

(10)

V4 + 4в

Для определения функции прогиба необходимо выполнить обратное преобразование Фурье:

м(х) = ± Г 2вм(0) + ви(0)У + и(0)У (11)

^ 2п- у4 + 4в

—да '

Для вычисления интеграла воспользуемся теорией вычетов [3]. Представим интеграл в виде суммы интегралов.

При х > 0 интегралы 12 и 13 равны сумме

вычетов на корнях У3 и У4 2в3и(0)

11=—

1-гг •> —

2п->—дау4 + 4 в

2в3и(0) г 1

2— да у +4в

, е"

в-'ухёу =

-в-1х"с1у =

—

V4 + 4в4

Яе 5.,

V4 + 4в4

= — 2гръи (0) = —2iвiм (0)

4уУ 4У43

iвx(—l — i )

— iвx (1—1 )

= —2i0iм (0) и (0)е

8в (1 — 0 8в (—1 — 0

(1 + 0 е-вх (1—) + (—1 + 0 в-вх(М)

16в

16в

-вх

ев — е-вх + ^¿вх + е-в)

м(0)е

вх

-[ео8(вх) + 8т(вх)].

12 =

1тгУ

ви(0)у2

2——да у4 + 4в4

у

ви (0) р_

2- Г—да у4 + 4в4

■е-1УхСу =

-е^Су =

ви (0)0 г у 2е—™ „ у 2e-ixV И у -2-1 ^ Яе, —-- + Яе,

= —ви(0)

— в(1—I )

4в(—1 — 0 4в(1 — 0

= —и(0) = и (0)/е~вх

(—1 + /)е

-вх(1—1)

(1 + г')е

-вх(1+1)

—евх + е-вх

+ %евх + е-в)

(12)

и(0)е"

-[е08(вх) — 8т(вх)];

1, =

-Г

1тт J-

и(0)гУ

2——да у4 + 4в4

■е-,хСу =

и(0)

2-

V4 + 4в

V4 + 4в4

= —ви (0)

у32е—ху3 у32е—хУ4 3 + - 3

4у3

4у4

• у4+4в4 и(0)^ . („ у"е

2—

2— - 2— \ Яе 5, ,

е-х Су =

V4 + 4в4

+ Яе 5, ,

Уе^

V4 + 4в4

= и(0)

у}е-х3 у^™ у4

4у] и (0)е

4у3

= и(0)

е-вх(1—) е-Рх(Ы)

вх

2

ев + е-в

4

и(0)е-вх

4

008(вх).

(13)

Перемещение оси тоннеля определяется выражением:

и(0)с~вх

У -[[(вх) + 8Ш(вх)1 +

^ (14)

м(0)е~вхГ . , и(0)е—х

и( х) = -

[е08(вх) — 81п(вх)]

-ео8(вх).

4

Или:

АиеРх

м(х) = —2—соэ(вх) (при х > 0). (15)

Используя аналогичные выкладки для левой части балки, получим:

м (х) = Ам

евх

1 ——оов(вх)

(при х < 0). (16)

Полученные выражения позволяют определить значения моментов и поперечных сил в сечениях обделки в зависимости от величины сдвига Ам по границе разлома. Имеем: сСи Аиве~т

^ Сх

-[[(в*) + зт(в | х |)],

М = —Е1-

С2и (— Е1 Аир2е-рх 81п(вх) (при х > 0),

Сх2

(17)

—Е1 Аив ев Бшвх) (при х < 0),

С Зи

0 = — Е1—- = — Е1 Аивъе-ввА [ео8(вх) — 81п(в | х |)]. Сх

Оценка протяжённости зоны влияния разлома. Наличие множителя е вх в выражениях (5),

3

ИРКУТСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ

(6) и (7) свидетельствует о том, что с увеличением расстояния от границы разлома все эти функции

убывают (множитель е вх стремится к нулю при вх ^ад). Длину зоны влияния /кэ можно оценить исходя из следующих условий. Оценим длину /кэ, используя функцию и(х) . При х = 0 функция равна единице, при вх = п - менее 0,05

-вх

(е вп = 0,046). С точностью до 5 % можно считать функцию и(х) равной нулю. Таким образом, из равенства р/кэ = П определяется длина зоны влияния разлома:

П

(18)

/ =п.

кэ в

Сечения, в которых могут образовываться трещины, можно предсказать, определяя расположение максимумов изгибающих моментов.

— = -Е1 Дивъе'вх [-8т(вх) + ео8(вх)] = 0, (19)

dx

из чего следует

[-эш(вх) + еоз(вх)] = -43 81п(вх - п / 4) = 0

или (вх-п/4) = 0:

/ =П.

тах 4в

(20)

няется от 50 • 106 + 100 • 106 Н/м3. Для расчёта принято: к1 = 100 -106 и Ь = 7,2 м. Задано вертикальное смещение по разлому левой части тоннеля: Ди, = -1 см.

Расстояния сечений от разлома, в которых могут образоваться трещины вследствие возникновения растягивающих напряжений, зависят от свойств окружающего массива грунта и жёсткости тоннельной обделки.

Проведено сравнение результатов расчётов, полученных с использованием рассмотренной модели, с результатами расчётов, полученных с помощью метода конечных элементов. В первой модели тоннель рассматривался без взаимосвязи с горной средой за исключением упругого отпора основания (в таких условиях работают подводные тоннели и в пределах небольших смещений горные тоннели с рабочей черновой крепью), во второй - тоннель жестко связан с окружающим его горным массивом.

Обделка железнодорожного тоннеля выполнена из монолитного бетона, сечение представлено на рис. 4. Материал обделки - бетон класса В30 с модулем упругости Е = 3,24 107 КПа, коэффициентом Пуассона V = 0,2. Расчетные сопротивления бетона класса В30 по прочности на сжатие ЯЬ = 15,5 МПа, на растяжение Яы = 1,2 МПа. Момент инерции обделки относительно оси у равен 1у = 103,60 м4. Для плотных грунтов коэффициент, характеризующий жёсткость основания к1 , изме-

Рис. 4. Поперечное сечение обделки тоннеля

Результаты расчета с использованием первой модели:

Зона влияния разлома: /эк = 36,7 м.

Максимальный изгибный момент: Мпах=7,92-104 кНм.

Максимальная поперечная сила: Qшax=4,37•103 кН.

Расстояние от границы разлома до сечений с максимальными нормальными напряжениями: ¡шах = 9,2 м.

Максимальное нормальное растягивающее напряжение в обделке: ошсах = 4,59 МПа.

Та же задача решена методом конечного элемента с использованием программно-вычислительного комплекса МГОА8/Ст1. Фрагменты расчетных моделей показаны на рис. 5. Модели составлены из объемных элементов. Внешнее воздействие задано в виде перемещения левой части основания на 10 мм вниз.

В результате расчета модели без взаимосвязи с горной средой получено:

Зона влияния разлома: /эк = 37,5 м.

Максимальный изгибный момент: Мшсх=5,68-104 кН-м.

Современные технологии. Математика. Механика и машиностроение

а)

Рис. 5. Фрагмент конечноэлементной модели: а - подводный тоннель, б - горный тоннель

«(к), м

0.002

-100

—ь--80

—I— -60

—н-

-40

-20 О --0.002

—Ц-

60

—I—

80

X, АЛ

100

Аналитическая модль

Конечно-элементная мидель подводного тоннеля ► Конечно-элементная модель горного тоннеля

-0.012

Рис. 6. Эпюры перемещений и усилий

ИРКУТСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ

Максимальная поперечная сила: дпа* = 6,16-103 кН.

Расстояние от границы разлома до сечений с максимальными напряжениями: 1тах = 8 м.

Полученные в результате расчета перемещения и эпюры изгибающих моментов и поперечных силы (рис. 6) близки ранее полученным эпюрам. Разница максимальных значений изгибающих моментов и поперечных сил составляет 28 %.

В численных моделях тоннелей, учитывающих тесное сцепление с горным массивом, усилия, полученные численным методом, значительно отличаются от результатов, полученных аналитическим путем.

Следует отметить, что при оценке взаимодействия тоннельной обделки с окружающим массивом грунта необходимо учитывать проскальзывание обделки относительно грунта или вставлять упругопластическую прослойку. Это обязательно проявляется в зонах больших деформаций и в тех случаях, когда параметры, характеризующие жёсткость материала тоннельной обделки, отличаются от параметров, характеризующих жёсткость грунта.

Заключение

1. В условиях автоматизированных систем мониторинга тоннелей для ускорения времени оценки опасности целесообразно применение упрощенных аналитических моделей.

2. Аналитическое решение на основе модели балки на упругом основании позволяет значительно быстрее получить усилия и напряжения в тон-

неле от смещений по границе горных блоков, чем использование более точных моделей на основе метода конечных элементов.

3. Сопоставление результатов расчета аналитической и численной модели тоннеля с обделкой показывает близкие закономерности распределения перемещений, изгибающих моментов и поперечных сил с максимальной разницей 28 %. В численной модели тоннеля с обделкой, работающей совместно с горным массивом, значения усилий отличаются более существенно. Очевидно, уточнение напряженно-деформированного состояния на последующих этапах мониторинга следует осуществлять расчетами конструкций на геодеформационные воздействия с применением численных методов.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. СНиП 11-7-81. Строительство в сейсмических районах. Система нормативных документов в строительстве. Строительные нормы и правила : утв. Госстрой СССР 15.06.1981. Введ. 198201-01. М. : ГП ЦПП, 2000. 44 с.

2. Лазарян В.А., Конашенко С.И. Обобщенные функции в задачах механики. Киев : Наукова думка, 1974. 192 с.

3. Араманович И.Г., Лунц Г.Л., Эльсгольц Л.Э. Функции комплексного переменного. Операционное исчисление. Теория устойчивости. М. : Наука, 1968. 416 с.