CC BY
36
РАДИОТЕХНИКА
УДК 519.86
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ МЕХАНИЧЕСКИХ НАПРЯЖЕНИЙ И ДЕФОРМАЦИЙ В СИЛОВЫХ КАРКАСАХ ВИНТОВЫХ ОБМОТОК
МАРТЫНОВ С.А., ХАЖМУРАДОВ М.А._________
Рассматриваются математические модели расчета напряжений и деформаций при действии прерывистых распределенных нагрузок несущих силовых элементов винтовых обмоток тороидальных магнитных систем. Предлагаются расчетные схемы. Приводятся аналитические выражения определения изгибающих моментов. Разработанный математический аппарат может быть использован при написании компьютерных программ, определения напряженно-деформированного состояния термоядерных физических установок указанного класса.
1. Введение
Среди множества проблем, стоящих перед разработчиками тороидальных магнитных систем [1,2] (ТМС), можно выделить направление, связанное с расчетом напряженно-деформированного состояния (НДС). Как объект исследования ТМС обладают сложной пространственной геометрической формой и внушительными геометрическими размерами. Проектирование таких систем - длительный и трудоемкий процесс, основанный на использовании нетрадиционных технологий изготовления. Вместе с тем существует ряд особенностей, характерных для построения расчетных алгоритмов проектирования. К ним относятся геометрические характеристики магнитных обмоток, входящих в состав термоядерных установок в качестве подсистем, таких как: винтовая обмотка; компенсирующие, корректирующие, управляющие катушки продольного поля, представленные в виде плоских колец. Такие подсистемы обеспечивают магнитную конфигурацию, способную удержать высокотемпературную плазму для осуществления термоядерного синтеза. Токи в проводниках перечисленных подсистем современных термоядерных физических установок достигают сотен килоампер, что порождает огромные силы, действующие на элементы конструкции. Целью данной работы является создание математического аппарата и алгоритмов для расчета механических напряжений, возникающих в силовых элементах конструкции установок ТСМ. В качестве расчетной модели рассмотрим трехзаходную винтовую обмотку с трапецеидальной формой полюса.
2. Механические напряжения и деформации при действии прерывистых распределенных нагрузок
В современных термоядерных физических установках несущими каркасами для проводников винтовой обмотки может служить либо силовой каркас [3,4], либо вакуумная камера, усиленная изоляционным бандажом, различными вставками, клиньями, кольцами. Несмотря на перечисленные особенности, расчетная схема единая - кольцо постоянной толщины и единичной длины, загруженное прерывистыми равномерно распределенными нагрузками (рис. 1). В качестве допущения предположим, что кольцо вырезано из прямой трубы, поскольку кривизной тора можно пренебречь.
Рис. 1. Расчетная модель: г - средний радиус кольца; q (кг/см) - интенсивность радиальной нагрузки; N -продольная сила; X1 - момент сил
Используя метод сил, выберем в качестве системы кольцо с разрезом на оси симметрии. Продольная сила N может быть найдена из условия равновесия дуги АВ (рис. 2).
Рис. 2. Расчетная модель
Проектируя силы на биссектрису угла 2п/3 (см.рис. 2) и приравнивая сумму к нулю, находим:
2Nsinп/3-2qrsinф= 0 , N = (^/3)/3qrsinф.
РИ, 2013, № 2
3
Недостающую неизвестную - момент х; находим из канонического уравнения метода сил, выражающего условие отсутствия угла поворота берегов разреза в сечении «А» 5;;х; + Aiq = 0 .
Для изгибающих моментов:
M = Nr(1 - cos 0) = (2л/з /3)qr2 (i - cos 0)sin ф,
0 <0< (п/3 -ф);
M = (2>/з/3)qr2(1 - cos 0) sin ф - qr2 {i - cos[ - (п/3 - ф), (п/3-ф)<0<(п/3 + ф) ;
M = (2V?/3)qr2(1 - cos0)sinф- 2qr2 sinфsin(0-n/3), (п/3 + ф) < 0< (п-ф);
M = (W3/3)qr2 (1 - cos0)sinф- 2qr2 sinфsin(0-n/3)-- qr2 {l - cos[0 - (п - ф)]
(п-ф) < 0 < п .
Изгибающий момент от единичного момента M = 1 представлен на рис.3.
После преобразования
Aiq = -(2qr3 /EJ)[(2V3 п /3)sin ф- 3 ф].
Подстановка 5ц и Alq в каноническое уравнение приводит к следующему выражению для недостающей неизвестной Xi = qr2 [(2 V3 / 3)sin ф - 3ф / п].
Для получения суммарных изгибающих моментов на участках следует из уравнений моментов вычесть момент Xi, что приводит к уравнениям (справа и слева сечения «А»):
M = qr2[3ф / п- (2V3/3)sin ф cos 0],
0 <0< (п/3-ф);
M = qr2[3ф / п - (2V3/3)sin ф cos 0 - i + cos(0 - п/3 + ф)], (п/3 -ф) <0< (п/3 + ф);
M = qr2[3ф / п- (2V3/3)sin ф cos 0- 2sin фsin(0-п/3)], (п/3 + ф)< 0<(п-ф);
\ (i)
M = qr2[3ф / п - (2V3/3)sin ф cos 0 - 2sin фsin(0 - п/3) -- i + cos(0-п + ф)],
(п-ф) <0<п.
Рис. 3. Расчетная модель. Единичный момент Коэффициенты 8ц и Aiq определяем способом Мора:
Пользуясь выражениями (i), можно построить эпюру изгибающих моментов по всему кольцу, причем в силу симметрии достаточно исследовать первые два выражения в интервале 0 <0 < п/3 , так как в дальнейшем схема будет шесть раз повторяться.
Кроме изгибающего момента в сечении действует продольная сила. Она может быть рассчитана путем проектирования всех сил на направление касательной в данном сечении:
N 0 =- Ncos 0 =-(2^/3)/3)qrsin ф cos ф,
0<0<(п/3-ф);
N 0 = - Ncos 0- qr[i - cos^-п/3 + ф)] =
- (2^/3) /3)qrsin ф cos ф - qr[i - cos(0 - п /3 + ф)],
п__
§ii = 2 J M2rd0/EJ = 2rn/EJ, Aiq = 2£j MMrd0/EJ,
0 0 где EJ - жесткость при изгибе.
После подстановки значений изгибающих моментов имеем:
п/3
Aiq = (2qr3 /EJ){(^3 /3)sin ф J (i - cos 0)d0x
0
п/3+ф
x J [(2л/3/3)(1 - cos фsin ф - i + cos(0 - п /3 + ф)М0 +
п/3-ф п-ф
+ J [(2>/3/3)(l - cos ф)sin ф - 2 sin фsin(0 - п / 3)]d0 +
п/3+ф п
+ J [(2VI / 3)sin ф(1 - cos 0) - 2sin ф sin(0 - п / 3) -1 +
п-ф
+ cos(0-п + ф)]d0}.
4
(п/3 -ф) < 0 < (п /3 + ф).
Для двух других интервалов расчетные выражения будут такими же.
На основании изложенного можно представить экстремальные значения для изгибающих моментов и продольных сил.
Для 0 = 0 :
Mmin = qr2^ / п- (2л/3 / 3) sin ф];
Mmax =-(W3/3)qrsin ф .
Для 0 = п/3 :
Mmax = qr2^/п-(VJ/3)sinф-i+cosф];
Mmin =-qr[(W3/6)sin ф- (l/2)cos ф].
Используя эти выражения, можно определить максимальные напряжения в каркасе при расчете его на прочность o = +M/W - N/E.
РИ, 2013, № 2
3. Определение радиальных перемещений
Рассмотрим радиальные перемещения «U» под воздействием трех взаимно-уравновешенных единичных сил, отстоящих друг от друга на угол 2p/3. В силу симметрии в таких сечениях радиальные перемещения будут одинаковыми. Утроенное радиальное перемещение может быть вычислено с помощью интеграла Мора:
U = 1/3$ MMrd0/EJ,
где М - изгибающий момент, вычисленный по соотношениям (1); M - изгибающий момент под воздействием единичной силы; EJ - жесткость; 0 - угол в меридиональном сечении тора.
Уравнения изгибающих моментов от единичных сил имеют вид:
M = 0, 0 < 0 < в;
M = rsin(0 - р), в < 0 < (2п/3 + р);
M = rsin(0 - в) + rsin(0 - 2п/3 - в),
(2п/3 + в) < 0 < п; (2)
M = 0,0 <0< (2п/3-в);
M = rsin(0- 2п/3 + в), (2п/3 - в) < 0 < (п+ ф).
Подстановка выражений (1) в (2) в соотношение для вычисления радиального перемещения «U» дает результат, представленный (2*).
п/3-ф
$ [3ф / п - (2л/3 / 3) sin ф cos 0] sin(0 - в)d0 + в
п/3+ф
+ $ [3ф/п-(2V3/3)sin фcos 0-1 + sos(0-rc/3 + ф)]sin(0 - в)d0 +
п/3-ф п/3+в
+ $ [3ф / п-(2V?/3)sin фcos 0-2sin фsin(0-п / 3)]sin(0 - в)d0 +
U = (qr4 / 3EJ)-
п/3+ф п-ф
+ $ [3ф/п -(2л/3/3)sinфcos0 -2sinфsin(0- п/3)][sin(0 - в) + sin(0-п/ 3- в)М0 +
2п/3+в
п-ф
+ $ [3ф/п-(2V3/3)sinфcos0-2sinфsin(0-п/3)][sin(0-2п/3 + в)d0 +
2п/3-в
п+ф
+ $ [3ф/п-(2V3/3)sinфcos0-2sinфsin(0-п/3)-1 + cos(0- п- в)]sin(0-2п/3 + в^0.
п-ф
(2*)
Для определения радиальных перемещений рассмотрим два случая: 1) перемещения находятся для незагруженной части кольца; 2) перемещения находятся для сечений загруженной части кольца.
3.1. Перемещения в незагруженной части кольца
Расчетная схема представлена на рис. 4.
Рис. 4. Расчетная схема 0 <в< (п /3 - ф)
Контур разбивается на определенное количество участков, в пределах каждого из которых M и M -непрерывные функции. Суммирование интегралов с одинаковыми подынтегральными выражениями и непрерывно изменяющимися пределами интегрирования приводит к выражению для вычисления перемещений:
U = (qr4 / 3EJ)[^ / п)(Ц + L2 + L3) -- (2л/3 /3)sin ф^4 + L5 + L6) - (3)
-2sinф^у + Lg + L9)-L10 -Ln + L12 + L13],
где Lj (i = 1, 2, 3,..., 13) - интегральные выражения, которые зависят от номерных координат и угловой ширины полюса (ф, 0, в).
Подстановка этих интегралов в (3) после преобразований дает окончательное математическое выражение
для перемещений в интервале 0<в<(п/ 3-ф):
U ( 4/3ETJ(^/п)+W3cosфcosв- 1
U = (qr4/3EJ)<j ^ (4)
[- sin^/3 + 2V3)cos в + ^/ 3 sin в]
РИ, 2013, № 2
5
Значение прогиба при в = 0 и в = (п/3-ф) будет:
Up=o = (qr4/3EJ)
U п = (qr4 / 3EJ)
в=--ф
9ф / n+W3 cos ф-- (п/3 + 2V3sin ф)
9ф / п + (ф/3/2) -- sin[2n/3 + V3 - 3ф)cos ф + + (3 + ^/3)sin ф]
(5)
Выражение (5) необходимо для проверки правильности дальнейших решений, чтобы обеспечить тем самым сходимость и адекватность дальнейших решений. Сечение в = п /3 - ф является граничным сечением ненагруженного и нагруженного участков. Путем предельного перехода от распределенной нагрузки к сосредоточенной силе при
sinф^ф^0, 2qrsinф^р , cosф= 0 из выражения (4) получим
U = (qr3 / 3EJ)
9ф /2п- (п/6 + W2) cos в- фл/э /2)sin р.
3.2. Перемещения в нагруженной части кольца
Расчетная схема приведена на рис. 5 ((п/3-ф) < р < п/3 ).
Рис. 5. Расчетная схема перемещения
Для определения перемещений в ненагруженной части кольца выражения (1)-(3) остаются прежними, меняются только пределы интегрирования.
Поступая так же, как в разделе 3.1, получаем
U = (qr4 /3EJ)[^ / п)^ + L2) -
- (2>/3 /3)(L3 + L4)sin ф- 2(L5 + L6)sin ф-
- L7 - L8 - L9 - L10 + L11 + L12 + L13 + L14]
где Lj (i = 1, 2, k, 14) - интегралы, значения которых вычисляются по параметрам 0, в, ф.
Подстановка этих интегралов в выражение для «U» дает решение для радиального перемещения загруженной части кольца при п / 3 - ф < в < п / 3 6
U = (qr4 /3EJ)
9ф / п-3 + (3/2 + фл/3/4) х х (cosP + V3 sin P)cos ф +
+ (3/4)(п /3 - в)^/3 cosP - sin в) х х cos ф + [3ф/4 - п/3 —J3/2) х х (cosP + V3 sin в) - (V3 /4) х х (п/3 - в) х (V3cosP - sinР)^іпф
(6)
ScosP- sin в
По данному выражению можно найти перемещение на границе участков, т.е. «U» при в = (п/3 - ф):
Up=„/3-ф = (qr4/3EJ)
9ф/п+ф/3/2 - sinфх х [(-3ф+ 2п/3 W3) cos ф + + (3 + ф/3 )sin ф)]
Выражение совпадает с (4), обеспечивая сходимость решения.
Из полученных соотношений видно, что наибольшее перемещение будет при в = п /3 :
ив=л/3
(qr^Efib' п-3 +(3 + ф/3/2)cos ф +
[+ (3ф/2 - 2п/3 - V3) sin ф
Сделаем предельный переход к трем сосредоточенным силам:
ив=п/3 = (qr4 / 6EJ)(9ф / п-л/3/2 - 2п/3) =
= (qr3 /3EJ)(9/ 2п - -/3/4 - п/3).
Далее
U = (Pr3/3EJ)[9/2п - (п/6 + V3/2) cos в -- фл/3/2)sinв] |в=п/3 = (Pr3/3EJ) х
х (9/2п--у/3/4-п/3).
Такая многосторонняя проверка гарантирует сходимость результатов.
4. Определение углов поворота сечений
Для определения углов поворота сечений необходимо приложить два взаимоуравновешивающих симметрично расположенных единичных моментов (рис. 6).
Интеграл Мора, взятый по контуру кольца, дает удвоенный угол поворота сечений:
-0 = 1/2$MMrd0/EJ ,
где 0 - угол поворота сечения; М - изгибающий момент (равенство 1); M - единичный момент:
M = 0 при 0 < 0 < в,
M = 1 при в < 0 < п. (7)
В силу симметрии эквивалентной системы (см.рис. 1) и системы, загруженной единичными моментами (см.рис. 6)
__ п __
$MMrd0/EJ = 2$MMrd0/EJ .
0
РИ, 2013, № 2
Рис. 6. Расчетная схема углов поворота
Таким образом, выражение (6) приобретает вид п _______________________
ф = J MMrd0 / EJ. (8)
о
Здесь для углов поворота надо рассматривать два случая - угол поворота для загруженной и для незагруженной частей.
4.1. Углы поворота в незагруженной части кольца
Расчетная схема представлена на рис. 6. Диапазон изменения угла 0 <Р< (п / 3 - а).
Подстановка выражений (1), (7) в (8) дает аналитическое выражение для ф (8*).
Интегрирование и преобразование приводит к выражению для 0<Р<(п/3-ф):
ф = (qr3 /EJ)[(2V3/3)sin ф sin в- 3фв / п]. (9)
5. Выводы
Полученный математический аппарат может использоваться при написании компьютерных программ расчета напряженно-деформированного состояния тороидальных магнитных систем, предназначенных для удержа -ния высокотемпературной плазмы. Математический аппарат может быть применен к системам любой заход-ности (рассмотрена трехзаходная система с большими аспектовыми соотношениями).
Используя полученные решения, можно построить:
- по выражениям (1) - эпюры изгибающих моментов для проверки конструкции на прочность;
- по выражениям (4) и (6) - упругую линию и по ней проверить жесткость кольца;
- по выражениям (9) и (10) - эпюру девиации.
Список литературы: 1. Быков В.Е., Георгиевский А.В., Корявко В.И., Литвиненко Ю.А. Бессиловые тороидальные магнитные системы. Препринт ХФТИ 76-39. Харьков, 1976. 2. Shishkin A.A. Torsatron type system with the small pitch angle of helical windings and additional toroidal field coils - URAGAN-2M (Principal physics issues). Preprint KhIPT 2005-2. Kharkov, 2005. 3. Быков В.Е., Георгиевский А.В., Друнов В.А. и др. Проект торсатрона с дополнительным продольным полем - установка «УРАГАН-2М». Доклады 3 Всесоюзной конференции по инженерным проблемам термоядерных реакторов. (Ленинград, 20-22 июня 1984 г.). Москва : ЦНИИатоминформ, 1984. Том 1. С. 61-67. 4. Мартынов С.А., Воробьева В.П., Круголь М.С., Юркин А.Ю., Хажмурадов М.А. Модели и методы оптимизации напряженно-деформированного состояния тор-сатрона «Ураган-2М» // АСУ и приборы автоматики. 2009. .№147. С. 32-38.
п/3-ф
J [3ф / п- (2VJ/3)sin ф cos 0]d0 + в
п/3+ф
+ J [3ф / п- (2>/3/3)sm ф cos 0-1 + sos^-п/3 + ф)ДО0 +
ф = (qr3/EJ)-
п/3-ф п-ф
+ J [3ф/п-(2л/3/3)sinфcosф-2sinфsin(0-п/3)]d0 +
п/3+ф п
+ J [3ф / п - (2л/3 /3)sin ф cos ф - 2 sin фsin(0 - п / 3) -1 + cos(0 - п - P)])d0.
п-ф
(8*)
4.2. Углы поворота в загруженной части кольца
Поступила в редколлегию 11.05.2013
Диапазон изменения (п /3 -ф) <в<п /3 . Алгоритм расчета аналогичный для 4.1.
Окончательное математическое выражение имеет вид ф(1 - 3в / п) -п/3 + в + ф = (qr3 /EJ)- + (1/2)(V3 cos в- sin P)cos ф +
+ [V3/6)sinв - (1/2)cosв]sinф
(10)
Рецензент: д-р техн. наук, проф. Кривуля Г.Ф.
Мартынов Сергей Алексеевич, канд.техн.наук, научный сотрудник Национального Научного Центра Харьковский Физико-технический институт (ННЦ ХФТИ). Адрес: Украина, 61108, Харьков, ул. Академическая, 1, (057)335-65-94. e-mail: khazhm@kipt.kharkov.ua
Хажмурадов Манап Ахмадович, д-р техн. наук, профессор, начальник отдела Национального Научного Центра Харьковский Физико-технический институт (ННЦ ХФТИ). Адрес: Украина, 61108, Харьков, ул. Академическая, 1, тел. (057)335-68-46. e-mail: khazhm@kipt.kharkov.ua
РИ, 2013, № 2
7
