CC BY
123
----------------------------------------- © Ю.А. Павлов, В.И. Киреев,
2006
УДК 679.8.001.57
Ю.А. Павлов, В.И. Киреев
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ КОМПЬЮТЕРНОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ СЛОЖНЫХ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ФОРМ ДЕТАЛЕЙ ПРОМЫШЛЕННЫХ ИЗДЕЛИЙ ИЗ ПРИРОДНОГО КАМНЯ
Семинар № 23
ш ш оверхность является одним из А. А. типов геометрических моделей наряду с телами и так называемыми адаптивными формами, которые объединяют поверхностное и твердотельное моделирование. По определению, поверхность представляет собой границу двух полупространств, на которые она делит рабочее пространство. Математически поверхность определяется множеством точек, координаты которых находятся из системы параметрических векторных уравнений:
Я = г(/) = *(/)?! + у(/)е2 + 2(/)ез , (1)
где г ={х,у,2} - радиус-вектор точки на кривой, а ё[, ёг, ез - орты координатных осей. При использовании криволинейной системы координат в качестве параметров обычно используются накопленные длины дуг, отнесенные к их общей длине.
Тогда поверхность описывается параметрическими векторными уравнениями следующего вида:
X = х (П, V), У = у (П, V), Z = 2 П V), (2)
где П, V - безразмерные параметры, изменяющиеся в
Рис. 1. Изопараметрические кривые, образующие поверхность
диапазоне от 0 до 1. Когда значение одного из параметров (П или V) постоянно, а значение другого изменяется, точка (А) находится на соответствующей изопара-метрической кривой, образующей данную поверхность (рис. 1).
В компьютерных программах САПР поверхности обычно представлены множеством участков, разным образом соединяемых между собой для образования сложной, многоэлементной поверхности детали изделия.
Общая классификационная схема поверхностных моделей сложных изделий и их деталей показана на рис. 2.
Систематизация поверхностей предусматривает иерархический принцип
Рис. 2. Классификационная схема геометрического поверхностного моделирования деталей изделий
задания классификационных признаков, главными из которых являются: вид геометрических моделей; тип геометрической формы; метод построения (формообразования); метод модификации формы.
Различают три вида участков поверхностей - базовые (или аналитически точные), свободно аппроксимируемые, характеризуемые математическим способом их приближенного формообразования, и адаптивные - объемно-поверхностные. Деление участков поверхности на аналитически точные и аппроксимируемые не означает, что последние не могут быть точно изготовлены. Базовые поверхности состоят из линейчатых участков и поверхностей вращения. К линейчатым поверхностям можно отнести плоскость, конус, цилиндр и другие. Эти поверхности, в свою очередь, могут быть замкнутыми или разомкнутыми и являются развертывающимися. Линейчатые поверхности формируются при перемещении по определенному закону образующей прямой линии G, вдоль про-
странственной направляющей кривой -директрисы С (рис. 3).
В данном примере пространственная директриса С определяется векторным
уравнением кривой p = x (и) , а образующая прямая G задана точкой (^) на
этой кривой и вектором vg (и) , зависящим от параметра и.Тогда линейчатая поверхность, образованная прямой линией G, описывается векторным уравнением:
Г (и, V) = X (и) + vg (и). (3)
Компьютерные модели поверхностей типовых геометрических фигур (параллелепипед, цилиндр, сфера, призма, конус, тор, правильный многогранник и другие) строятся на основе специальных генерирующих программ по заданным размерным параметрам. Геометрические модели таких поверхностей являются аналитическими. В отличие от твердых тел, характеризуемых историей их создания, они имеют единственное представление в структуре данных в виде массива параметров, не-
обходимых для их построения. Точность расчета поверхностей регулируется коэффициентом полигона, т.е. характеризуется погрешностью их аппроксимации плоскими участками (треугольной или 4-угольной формы) при графическом построении.
Другой подход к формированию сложных поверхностей промышленных изделий основан на использовании математических методов их приближенного изображения - аппроксимации. Если число параметров, определяющих аппроксимирующую функцию, равно числу таблично заданных точек, то такая функция называется интерполирующей, а процесс ее определения и вычисления - интерполяцией.
Аппроксимация и интерполяция пространственных кривых и поверхностей проводятся с применением наиболее удобных базисных полиномов. Кривые и поверхности, полученные такими приближенными методами, называются свободными, аналитически не описываемыми геометрическими объектами. Такого рода кривые и поверхности преимущественно используются при описании сложных геометрических форм, в том числе в деталях и изделиях камнеобрабатывающих и ювелирных производств.
Форма не описываемых аналитически геометрических объектов обусловлена функциональными или эсте-тическими требованиями. Применение таких кривых и поверхностей можно объяснить сле-
Рис. 3. Аналитическое определение линейчатой поверхности
дующими особенностями. Кривая и поверхность должны соответствовать определен-
ным свойствам действительного объекта, например, проходить через заданные точки или исключать перегибы. При этом получение заданной формы геометрического объекта необходимо выполнить на станках с ЧПУ посредством интерполяции с использованием минимального количества параметров.
Аппроксимация геометрического объекта предполагает наличие некоторого множества параметров, часть которых является обязательной, а другие влияют на детализацию данного описания. Поэтому выбор параметров зависит от требуемой точности моделиро-вания формы изделия.
При построении образующих участки поверхностей пространственных кривых руководствуются следующими положениями:
• необходимо использовать ломаную характеристическую линию, называемую также дескриптором, которая в первом приближении передает форму кривой, при этом вершины этой ломаной могут и не принадлежать кривой;
• следует предусмотреть возможность локальных и глобальных изменений формы кривой за счет выбора ее параметров;
• кривая должна быть сегментируемой (кусочно-составной), в которой отдельные сегменты соединяются в соответствии с граничными условиями (например, заданной характеристики плавности сопряжений);
• увеличение числа сегментов кривой при повышении степени аппроксимирующего полинома не должно нарушать гладкость кривой, т.к. при этом повышается вероятность нежелательных экстре-
мумов, что приводит к появлению петель, а также точек перегиба, вызывающих так называемую осцилляцию кривой;
• для кривой желательна непрерывность не только ее аппроксимированной формы, но и производных первого и более высоких порядков в точках сопряжения сегментов.
Процесс создания сложных, полностью не заданных аналитически поверхностей изделий из камня базируется на следующих принципах:
- форма проектируемой поверхности изделия может быть произвольной и обычно разрабатывается дизайнером или конструктором;
- созданная форма, прежде всего, должна удовлетворять эстетическим критериям, а в некоторых случаях и функциональным требованиям;
- интерактивное конструирование кривых и поверхностей должно носить итерационный характер;
- модель, полученную на некотором шаге итерации, модифицируют и улучшают до тех пор, пока не будет достигнута желаемая форма кривой или поверхности;
- поверхности в большинстве случаев должны быть кусочно-гладкими, а разного рода нерегулярности и осцилляции должны находиться в пределах заданных допусков.
Кусочно-гладкой является дуга кривой с непрерывно изменяющимися касательными. Гладким участком поверхности является патч (patch) с непрерывно изменяющимися касательными плоскостями. Понятие "гладкий" включает также следующие дополнительные требования к аппроксимации:
• метод построения сегментов кривой и участков поверхности должен давать возможность определения точек перегиба образующей кривой;
• кривая или поверхность должны обладать малой осцилляцией, т.е. ограниченным числом точек перегиба.
Аналитически последнее требование означают, что кривые или поверхности должны быть многократно дифференцируемы, и их производные должны удовлетворять критериям непрерывности. В общем случае кривая или поверхность является C-непрерывной функцией (п > 1), если ее п-я производная непрерывна на некотором интервале параметров [а, b].
При свободном формообразовании поверхностей в современных компьютерных системах проектирования используются следующие типы аппроксимирующих их участков: патчи вращения, линейчатые, ограниченные и эквидистантные, сплайн-поверхности [2].
В последние годы широкое применение получил метод построения сложных поверхностей, названный NURBS (Non Uniform Rational B-Spline, т.е. неоднородный рациональный 5-сплайн) [6]. Неоднородным он называется потому, что сопрягаемые области объектов NURBS (кривых или поверхностей) обладают различными свойствами (весами), значения которых не равны между собой. Рациональный означает, что объект NURBS может быть описан с помощью математических формул. 5-сплайн - это любая гладкая кривая, определенная в трехмерном пространстве, нормаль которой может иметь произвольное направление. Здесь 5-сплайны используются для построения участков поверхностей. Такие патчи поверхностей, являющиеся конструкционными элементами для создания объектов сложной формы, изначально также создаются как плоские, а затем их форма изменяется на этапе модификации. Отдельные участки NURBS-поверхности можно соединять друг с другом для формирования общей слож-ной поверхности объекта (изделия).
Рис. 4. Пример сложного изделия из камня, разработанного методом МиКБ8-моделирования: а -интерполяция по исходной дескрипторной сетке; б - модель текстурированной скульптурной поверхности
Пример использования метода NURBS для моделирования сложной скульптурной поверхности декоративно-
художественного изделия из камня показан на рис. 4.
Поверхностное моделирование на основе NURBS обладает следующими преимуществами перед другими методами:
• позволяет точно описать все возможные геометрические примитивы, такие как отрезки, окружности, дуги, эллипсы, плоскости, цилиндры, конусы, сферы, торы и более сложные объекты при помощи универсального математического аппарата;
• упрощает имитацию антропо- и зооморфных или любых других объектов, поверхности которых характеризуются гладкостью и плавностью линий и имеют сложным образом искривленные пространственные формы;
• предоставляет возможность формировать гладко сопрягаемые поверхности объектов, задаваемых набором их поперечных сечений (Cross Sectional Design);
• обеспечивает высокое качество визуализации закругленных границ объек-
тов и сопряжений поверхностей благодаря разбиению их на участки, формируемые с использованием аналитических выражений.
Различают два типа NURBS-поверхностей:
- точечная поверхность (Point Surface) строится в режиме интерполяции и проходит через все опорные точки, заданные в трехмерном пространстве;
- CV-поверхность (Control Vertices -CV Surface) плавно аппроксимирует все опорные точки, заданные в трехмерном пространстве и называемые управляющими вершинами.
Точечные NURBS-поверхности используются в современных компьютерных системах ЧПУ технологическим оборудованием, предназначенным для формообразования сложных поверхностей изделий.
NURBS-поверхности могут включать в себя как участки, описываемые полиномами Безье с высоким порядком (обычно от 5 до 9), так и патчи, заданные В-сплайнами.
Поверхность NURBS определяется следующим способом [6]:
п т
Б(и,V) = I I р, ^ к 7.1 (и, v), (4)
г = 0 ] = 0
здесь - матрица контрольных (характеристических) точек поверхности; Я^/и, V) - рациональная базовая функция, задающая форму и характер сопряжения участков поверхности, которая находится из формулы:
. . Щ, ^г,к Ш^1 (V)
(и,^=—-------------------------
(и)Ы^ (V)]
Г=05=0
(5)
Геометрическое значение весов контрольных точек и их влияние на изменение 5-сплайн-функции показано на рис. 5.
Кривая NURBS C(u) - это векторная, рациональная, кусочно-заданная, многочленная функция следующего вида:
C(u) = -
YjViPtNik (u)]
i=0_______________
n ?
'^jWiNik(u)]
i=0
где ^ - веса контрольных точек Р,, изменение которых в диапазоне от 0 до да вызывает рост влияния данной точки на характер проходящих через нее 5-сплайнов, которые образуют соответствующий участок поверхности; Ы,к, - нормирован-
ные В-сплайн-функции, соответственно по направлениям и и V, которые рассчитываются, например, по направлению и, по следующей формуле
%(и) ; (6)
где Мг,к, N,¡,1- нормированные граничные В-сплайн-функции участков поверхности, находящиеся по аналогичной (5) формуле; к, 1 - количество участков В-сплайн-кривых в направлении и и V, соответственно; - веса граничных кон-
трольных точек РГ'Ц, которые определяют их влияние на характер проходящих через них В-сплайн-функций.
(7)
где V, - весовые коэффициенты; Р, - контрольные точки (вектор); Nк- нормированные базовые В-сплайн-функции степени п.
В данном примере весовой коэффициент V} определяют положение узловой точки В кривой относительно контрольной точки Р3:
- при VI = 0 значение С (и) = В, т.е. кривая на этом участке полностью автономна по отношению к ее контрольной точке Р3;
- при VI = 1 значение С(и) = N - кривая располагается симметрично между двумя смежными точками Р2 и Р3;
- при возрастании wз> 1 С(и) = В3, т.е. кривая все ближе приближается к точке
Рз-
Г еометрическая связь положений точек В, N В, и Р, определяется соотношениями:
N = (1 - а)В +а Р, (8)
В, =(1 - Ь)В + Ь Рг,
где а = Я1 = 1) и
Ь = Щк{и)-
На основании линейных параметров а и Ь получается следующее соотношение для изменения формы кривой, определяемое значением весово-
Рис. 5. Пример изменения геометрического вида МиЕБ8-кривой при р различных весовых значениях кон-
трольной точки Р3
го коэффициента:
V, = (1 - а)/а : (1 - Ь)/Ь =
PN/BN: РВ/ВВ. (9)
Следовательно, чтобы необходимым образом изменить форму МЛКБ 8-кривой, следует не только задать контрольные точки, но и определить рациональную базовую функцию К,к(и) или значение весового коэффициента V,.
В 90-е годы проф. Киреевым В.И. были предложены интегро-дифферен-циальные сплайны для аппроксимации поверхностей геометрических объектов [3, 4]. Чтобы оценить достоинства этого математического метода, необходимо обобщить возможные теоретические принципы аппроксимации кривых.
Классическими методами приближения табличных функций произвольного вида у, = / (х,), заданных на отрезке [а, Ь] в узлах х,(¡=1, 2,..., к-1), являются следующие:
1) интерполяция алгебраическими
п
многочленами типа Рп (х) = ат хт ;
т=0
2) сглаживание методом наименьших квадратов алгебраическими многочленами или другими базисными функциями;
3) интерполяция или сглаживание дифференциальными сплайн-функ-циями.
Интерполяция на основе линейных, квадратичных или кубических полиномов имеет существенный недостаток, проявляющийся в появлении сильных осцилляций ("биений") между узлами. При этом с повышением степени полинома (п>3) неустойчивость интерполяционной кривой возрастает. Недостатком полиноминаль-ной интерполяции по локальным участкам х(,) = [х,, х+^, I = 1,2,.,к-1 методом наименьших квадратов является неточный учет свойств аппроксимируемых функций, приводящий к разрыву /»-производных (р = 1, 2) от полиномов Рп(х). Для устранения этого недостатка используются ин-
терполяционные сплайн-функции разной степени.
Кубическим сплайном, аппроксимирующим произвольную сеточную функцию (х,, /), называется составная функция
к-1
53( х) = и ^ 3,)(х) , звенья которой на каж-
,=1
дом отрезке х(,) = [х,, х,+1] выражаются полиномом
3
531)(х) = 1 а()(х - х,)1 . Числовые значе-
1 = 0
ния а (1,) , в расчетные формулы которых входят значения функции /, и ее производных (/}, /"), находятся по аппрокси-мационным соотношениям (для локальных сплайнов), либо из алгебраической системы уравнений, получающейся из условий стыковки звеньев по соответствующим производным (для глобальных сплайнов).
Расчетные соотношения для коэффициентов а(1, ) полинома получаются из следующих условий согласования 53°( х) с аппроксимируемой функцией /к в узловых точках к:
^)(хк) = /к , ^)(р)(хк) = /(р) ,
к = ,, 1+1, р = 1 или 2. (10)
Звенья 53 (х) локальных кубических сплайнов получаются по четырем условиям согласования дифференциального типа:
5® (х, )=/, 5® (х+1)=/м , 4')1 (х,)=/},
401(х+1) = /+
где /, = /1 (х,), /,+1 = /1 (х,+1) - производные в узлах х, и х,+1 (наклоны
сплайна) вычисляются по соответствующим аппроксимационным соотношениям.
Формула звена кубического сплайна, полученная на основе условий (10), имеет вид:
5 3')(х) = / + т,(х - х,) +(3 % - А т,+1) (х - х,)2 +
+(-2 +-4т±1)( х - х )3
(12)
где
Л = / (х ), т = ^эСх X А,+і = х+і- х , ^-/ї+1 = А /і+1 - ті^і+1= Аті+1 = ті+1 - т, ■
Итак, чтобы найти локальный кубиче-
к-1
ский сплайн 53(х) = и 53)(х) на всем
,=1
отрезке [а, Ь], нужно задать в к узлах параметры сплайна - значения /, и его
наклоны т, (,=0, 1,...,к).
Такой сплайн является интерполяционным и дифференциальным. Наклоны сплайна при значениях шага к = =свт1 можно вычислить по формулам:
ных звеньев сплайна (12) в узлах х, (, = 1, 2,... ,к-1) по соотношению:
53,)11(х)[ ,х,+1 ]= S3'-1)11(х)[X'-1,X'] ,
3 4 ' х=х, 3 у Л
I 1 1х=х,
, = 1,2,...,к -1.
Для получения формулы звена сплайна вместо условий (11) можно использовать следующие:
S3')(х,) =/, ^(х,+1) = /+1,
53 >"( х,)/, ^ »■( х,+.) = Л>+\. <15)
В этом случае параметрами сплайна являются /■,/■+! ,т,, т,+! , где т, , т,+1 -есть не наклоны сплайна, а его вторые производные в узлах. Формула звена сплайна приобретает вид:
% (х) = / + (А^ - ^+1 к+1)(х - х) +
к 2 6
(16)
т - /+1 - /-1
і =1,2.......к -1,
' 2А ■ (13)
т 4/1 - /2 - 3/0 т 3/к + /к-2 - 4/к-1
то --
2И
тк=
2И
Этот локальный сплайн имеет дефект q = 2, т.е. он обеспечивает непрерывность только первой производной во всех внут-
+т (х - х)2 + 6г~(х - х)3,
2 6к+1
где
т, = 5 11( х X А т,-+1 = т;+1 - т, > А/+1 = Л+1 - /,
Для обеспечения непрерывности первой производной кубического сплайна во всех внутренних узлах х, (,=1, 2,.,к-1) параметры сплайна вычисляются из системы алгебраических уравнений:
ренних узлах, а непрерывность Б 31(х) не т0 - 0, тк - 0.
гарантируется.
Для глобального сплайна дефекта д=1
параметры ті вычисляются из системы
уравнений:
т-1+ 2т(к + ^¿+1)+т+1 н,+1 =
(А/+1 А /
- 6(-
Ы+1 А,
11
(17)
то = Л, тк = /к,
1 — 1 1ч—
—т ¿-1 + 2( —+-—)ті + " і а і а і+1
3(+ АГ ), і- 1,2,~,
1
-------т1+1 -
Ы і+1
к -1,
(14)
А,2
А,2
где /01, / к1 - производные в крайних точках отрезка [а, Ь], которые вычисляются по аппроксимационным формулам, а внутренние уравнения этой системы получаются путем стыковки вторых производ-
где т0 = /0 >тк = /к > ^ 1,2,...>к - 1
Соотношения (17) получаются из условия стыковки первых производных двух соседних звеньев. При этом кубические сплайны приобретают четвертый порядок точности относительно шага к,+1, что часто приводит к неоправданной сложности вычислений. Поэтому для широкого круга задач геометрического моделирования более предпочтительными становятся квадратичные параболические сплайны. Однако их построение традиционными спосо-
бами приводит к неустойчивости, для уст-ра-нения которых имеются специальные алгоритмы регуляции, заключающиеся в смещении узлов сплайна относительно узлов дескрипторной сеточной функции [2].
Этого недостатка лишены интегро-дифференциальные сплайны, эффективно применяющиеся при интерполяции параболических сплайнов, прежде всего четных степеней (п = 2, 4, 6,...) [3, 4].
Построение параболических интегро-
дифференциальных сплайнов показано на примере интерполяционного многочлена второй степени на отрезке [, х,+1 ] :
^2,;(х) = а0,; + °1,1(х - X ) + а2,1(х - х, )2 .
Дифференциальные условия согласования искомого многочлена Б2, (х) и заданной табличной функции /(х,) записываются уравнением:
(18)
резке [a, b] (рис. 6).
Решение системы алгебраических уравнений относительно коэффициентов a0i, an, a2i и подстановка их в формулу для S2i(x) приводит к следующему аналитическому определению i-го звена параболического сплайна:
S2,i(x) - fi + ("
.6 SL
i+1
h,
+ (-
6SL
i+1
2 hi+1
3A f
2A f hi+1
■)( x - х, ) +
(20)
i+1
hi
i+1
•)( x - xi)
где Li
■'■i + 1
J f( x )dx
SL\
■ fhi+1
A fi - xi+1 - xi> hi+1 - xi+1 - x
5 Б2р)( хк ) = ^2,,( хк ) - /( хк ) = 0 (к = ,,, + 1, р = 0,1)
Интегро-дифференциальные условия согласования Б2, (х) и заданной точками
функции /(х,) имеют другой вид:
х+1
5^-1)(х-,х+1) = |[52,(х)-Лх)¥х=°;
х
Щ(хк) =^(хк)~/(хк) =0 (к=г>г' +1) = (19)
где х, - узлы дескрипторной сетки А}: а =х0<х]<...<хк = Ь представленной на от-
т.е. параметрами сплайна являются интегралы 1]+1 и функции .
Формула (20) звена параболического сплайна используется для формирования составного глобального сплайна на всем отрезке [а, Ь]:
к-1
S2,l (x) - U S2,i(х) •
i-0
Для обеспечения устойчивости процесса аппроксимации здесь применяется специальный прием так называемого "слабого сглаживания". Он состоит в том, что сначала по значениям аппроксимируемой функции /(.хг) рассчитываются интегралы /гг+1 по всем отрезкам [х, хі+] а затем
осуществляется пересчет значений сглаженных
(осредненных) функций /і . Для пересчета используется алгебраическая система уравнений:
Рис. 6. Аппроксимация дискретной функции с помощью ин-тегро-дифференци-ального сплайна S2¡(x)
L
x
а)
Исходная функция
б)
Сплайн
о Узлы сплайна
Рис. 7. График (а) двумерного ИД-сплайна, аппроксимирующего заданную функцию в прямоугольной области [-2, 2]-[-2, 2]; сечение (б) сплайна и функции плоскостью у=0
/0 = /0 > /п = /, 1
к
= 3
/г -1 + 2
11
+
к+1 к
/ + Т
г+1 I к
/'г + 1 -
(21)
Т2+1
где г = 1,2,к-1
Внутренние уравнения этой системы получаются из условий непрерывности
4 р)( х) в узлах хг (I = 1,2,. ,к-1):
^2р)(х)|[х,-1'х"] - ^х) |[х'’х'+1],
1х - хх х1
где р = 0, 1.
Из сопоставления формулы (20) и (12) или (16) видно, что параболический сплайн является более простым для вычисления. При этом он обеспечивает третий порядок аппроксимации (р = -1, 0, 1), что позволяет достичь высокой точности моделирования криволинейного участка любой формы.
Пример расчета двумерного ИД-сплайна $22Ид(г^)(х,у) для аппроксимации аналитически заданной функции
f (x,у) - eх + у ) показан на рис. 7.
Другим достоинством метода интег-ро-дифференциальных сплайнов при аппроксимации сложной формы изделий является их логическая взаимосвязь с технологией обработки этих изделий, основные виды которой связаны с воздействием на определенную площадь или объем материала. Использование в качестве параметров не только сплайн-функций, но их интегралов позволяет достичь требуемых технологических условий обработки аппроксимируемых участков поверхностей изделий.
Для аппроксимации художественных форм, не соответствующих однозначным функциям, необходимо использовать параметрическое векторное представление пространственных кривых по формуле (1). Например, в случае обработки сложных изделий на многокоординатных станках с ЧПУ при решении задач глобальной ап-
I
I
г-1
+
к
проксимации в качестве параметра обычно используется накопленная длина хорд. Параметрический векторный сплайн (Б -сплайн) по аналогии с представлением радиуса-вектора г (г) записывается в виде:
Б - Б (г) - Бх (г) в\ + Бу (г) е2 + (г) ез, (22)
где Бх (г), Бу (г), (г) - скалярные сплайн-
функции, которые аппроксимирует взаимосвязанные координатные перемещения х(гг ), у (г г ), 2(гг ) . Построение скалярных сплайн-функций осуществляется по рассмотренной выше методике.
Таким образом, полученную при проектировании графическую модель сложной
1. Голованов Н.Н. Геометрическое моделирование. - М.: Изд-во физико-математической литературы, 2002. - 472 с.
2. Завьялов Ю.С., Квасов Б.И., Мирошниченко В.Л. Методы сплайн-функций. - М.: Наука, 1980.
- 352 с.
3. Киреев В.И. Интегро-дифферен-циальный метод приближения функций алгебраическими многочленами // Вычислительные технологии. -Новосибирск, ИВТ СО РАН, т.2, №6, 1993.
поверхности можно использовать не только для оценки эстетических свойств разрабатываемой формы изделия, но и для проектирования технологических операций изготовления данной поверхности на станках с ЧПУ, программное обеспечение которых поддерживает по-верхностное
моделирование, в частности методом В-сплайнов и NURBS-поверх-ностей [5]. Оценка эффективности ис-пользования в системах ЧПУ метода интерполяции кривых и поверхностей из-делий на основе интегро-дифферен-циальных сплайнов может быть дана в результате много-факторного анализа практических при-меров реализации или их имитационных моделей.
--------------- СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
4. Киреев В.И., Пантелеев А.В. Численные методы в примерах и задачах. - М.: Высшая школа. 2004. - 360 с.
5. Павлов Ю.А. Компьютерные системы проектирования и подготовки производства промышленных изделий из камня: Учеб. пособие в 3 частях. - М.: МГГУ, 2002. - 108 с.
6. L Piegl. On NURBS: A Survey // IEEE Computer Graphics and Applications, Vol. 11, No. 1, Jan 01, 1991. Р. 55 - 71.
— Коротко об авторах -----------------------------------------------------------------
Киреев В.И. - доктор физико-математических наук, профессор кафедры "Высшая математика", Павлов Ю.А. - кандидат технических наук, профессор кафедры "Технология художественной обработки материалов",
Московский государственный горный университет.
'S'-
