Математические методы, используемые для оценки точности положения и формы крупногабаритного рефлектора космического аппарата Текст научной статьи по специальности «Математика»

Крупногабаритные трансформируемые конструкции космических аппаратов

УДК 629.76/78.001.63

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ, ИСПОЛЬЗУЕМЫЕ ДЛЯ ОЦЕНКИ ТОЧНОСТИ ПОЛОЖЕНИЯ И ФОРМЫ КРУПНОГАБАРИТНОГО РЕФЛЕКТОРА КОСМИЧЕСКОГО АППАРАТА

Н. Н. Голдобин, Д. О. Шендалев

ОАО «Информационные спутниковые системы» имени академика М. Ф. Решетнева» Россия, 662972, г. Железногорск Красноярского края, ул. Ленина, 52. E-mail: dirtykola@rambler.ru

Рассмотрены некоторые математические методы, которые позволяют производить оценку точности положения, а также оценку точности формы отражающей поверхности крупногабаритного рефлектора космического аппарата. Приведены основные положения и примеры использования каждого метода.

Ключевые слова: космический аппарат, отражающая поверхность, рефлектор, параболоид, метод Левен-берга-Марквардта, метод Ньютона.

MATHEMATICAL METHODS USED TO ASSESS THE POSITION AND FORM ACCURACY OF A LARGE-SIZED SPACECRAFT REFLECTOR

N. N. Goldobin, D. O. Shendalev

JSC "Academician M. F. Reshetnev "Information Satellite Systems" 52, Lenin str., Zheleznogorsk, Krasnoyarsk region, 662972, Russia. E-mail: dirtykola@rambler.ru

The article considers some mathematical methods used to assess the position accuracy as well as the form accuracy of a reflecting surface of a large-sized spacecraft reflector. The basic points and examples of each method are given.

Keywords: spacecraft, reflecting surface, reflector, paraboloid, Levenberg-Marquardt method, Newton method.

Важнейшую роль в создании зеркальных антенн космических аппаратов играют крупногабаритные трансформируемые рефлекторы, реализующие отражающую поверхность, или, иными словами, зеркало, посредством которого происходит передача электромагнитной волны. Основная цель рефлекторов антенн сводится к преобразованию сферического фронта волны в плоский (справедливо и обратное утверждение).

Требуемая форма отражающей поверхности сетчатого рефлектора задается путем натяжения шнуров формообразующей структуры и определяется массивом из N точек фронтальной сети.

С увеличением размеров трансформируемых рефлекторов возрастает влияние различных факторов на точность рефлектора в орбитальных условиях, что приводит к снижению радиотехнических характеристик [1; 2]. Как правило, оценка точности рефлектора сводится к определению следующих параметров:

- точность положения (точность установки) рефлектора;

- точность формы поверхности рефлектора.

Точность установки рефлектора определяется: допустимым смещением фокальной точки рефлектора относительно номинального положения; допустимым угловым отклонением фокальной оси рефлектора от ее номинального положения.

Точность формы поверхности определяется как среднеквадратическое отклонение (СКО) точек отражающей поверхности рефлектора от параболоида наилучшего соответствия (ПНС) с фокусным расстоянием Б [3].

Для оценки точности установки рефлектора были разработаны следующие математические методы:

1. Метод, основанный на использовании кинематической схемы штанга-рефлектор. Данный метод связывает величины отклонений звеньев штанги с отклонениями фокальной точки и фокальной оси рефлектора, не учитывая деформацию отражающей поверхности (т. е. рефлектор абсолютно жесткий). Использование данного метода позволяет определить предельные отклонения фокальной точки, а также предельные угловые отклонения фокальной оси рефлектора.

2. Метод «вписывания» параболоида наилучшего соответствия с помощью алгоритма Левен-берга-Марквардта. Алгоритм Левенберга-Марк-вардта предназначен для оптимизации параметров нелинейных регрессионных моделей и заключается в последовательном приближении заданных начальных значений к искомому локальному оптимуму [4]. Применение алгоритма Левенберга-Марквардта позволяет «вписать» ПНС в деформированную отражающую поверхность рефлектора с заданной точностью, определив его ориентацию в пространстве относительно канонической системы координат, что дает возможность в дальнейшем определить СКО смещенных точек отражающей поверхности от ПНС или от теоретического профиля [5].

Решение проводится по следующим этапам:

1) задание функции оптимизации, описывающей положение параболоида вращения в пространстве;

2) задание критерия оптимизации, используется среднеквадратическая ошибка модели на заданной выборке;

3) выполнение расчета по алгоритму, описанному в [5].

Решетневскуе чтения. 2013

Для оценки точности формы отражающей поверхности рефлектора были разработаны следующие математические методы:

1. Выбор контрольных точек при радиально-кольцевом расположении. Для описания положения идеального параболоида необходимо и достаточно иметь координаты шести КТ (в соответствии с общим уравнением поверхности второго порядка). Поскольку отражающую поверхность рефлектора лишь условно можно назвать параболической, то нельзя говорить об избыточном количестве точек, по которым определяется «наилучшее» СКО. Однако количество и место положения КТ можно оптимизировать с целью ускорения машинного времени расчета контролируемых геометрических параметров рефлектора.

Существует ряд критериев выбора количества и расположения контрольных точек (КТ), описывающих отражающую поверхность рефлектора, к которым относятся: диаметр апертуры рефлектора; компоновочная схема рефлектора; конструктивно-силовая схема рефлектора и др. В зависимости от этих критериев количество КТ может достигать нескольких сотен и даже тысяч. Для поиска оптимального количества КТ был рассмотрен метод радиально-кольцевого расположения КТ в системе координат теоретического параболоида (СК ТП).

Данный метод позволяет: определить погрешность измерения СКО отражающей поверхности, измеренной по КТ, от СКО реальной отражающей поверхности рефлектора; подобрать оптимальное количество КТ, необходимых для расчета СКО.

2. Определение СКО с помощью метода Ньютона. Использование метода Ньютона позволяет определить среднеквадратическое отклонение точек отражающей поверхности рефлектора от параболоида наилучшего соответствия, а также от теоретического параболоида (ТП) [5].

Решение данной задачи состоит из следующих этапов:

1. Задание функции оптимизации, определяющей наикратчайшее расстояние от точки до поверхности параболоида;

2. Определение расстояний от точек, описывающих радиоотражающую поверхность рефлектора, до ТП;

3. Определение СКО поверхности рефлектора от ТП.

Рассмотренные математические методы позволяют

проводить полную оценку точности положения и точности формы отражающей поверхности рефлектора, определяя основные геометрические параметры рефлектора, такие как положение фокальной точки и фокальной оси, а также среднеквадратическое отклонение отражающей поверхности рефлектора от теоретического профиля. Данные методы могут быть применены как на этапе проектирования антенной системы, так и в процессе обработки результатов экспериментальных исследований.

Библиографические ссылки

1. Tibert G. Deployable tensegrity structures for space applications [Electronic resource] / Doctoral thesis.

Stockholm: Royal Institute of Technology, 2002. URL:

http://www.mech.kth.se/thesis/2002/phd/phd_2002_gunn

ar_tibert.pdf.

2. Harada, S., Meguro, A., Watanabe, M. A High Precision Surface Shape Design for Large Deployable Mesh Antenna [Electronic resource] / meeting paper AIAA 2003-1497 of 44th AIAA/ASME/ASCE/AHS/ASC Structures, Structural Dynamics, and Materials Conference. Norfolk, VA, 2003. Access via AIAA Electronic Library. URL: http://www.aiaa.org.

3. Голдобин Н. Н. Обоснование методики оценки формы радиоотражающей поверхности крупногабаритных трансформируемых рефлекторов космических аппаратов с применением алгоритма Левенберга-Марквардта // Инновационные технологии и технические средства специального назначения : тр. V Обще-рос. науч.-практ. конф. СПб. : 2012. С. 93-98.

4. Marquardt D. An algorithm for Least-Squares Estimation of the Nonlinear Parameters. SIAM Journal on Applied Mathematics. 1963. 11 (2). С. 431-441.

5. Голдобин Н. Н. Методика оценки форм радио-отражающей поверхности крупногабаритного трансформируемого рефлектора космического аппарата // Вестник СибГАУ. 2013. Вып. 1(47). С. 106-111.

References

1. Tibert G. Deployable tensegrity structures for space applications [Electronic resource] / Doctoral thesis. Stockholm: Royal Institute of Technology, 2002. URL: http://www.mech.kth.se/thesis/2002/phd/phd_2002_gunn ar_tibert.pdf.

2. Harada, S., Meguro, A., Watanabe, M. A High Precision Surface Shape Design for Large Deployable Mesh Antenna [Electronic resource] / meeting paper AIAA 2003-1497 of 44th AIAA/ASME/ASCE/AHS/ASC Structures, Structural Dynamics, and Materials Conference. Norfolk, VA, 2003. Access via AIAA Electronic Library, URL: http://www.aiaa.org.

3. Goldobin N. N. Obosnovanie metodiki ocenki formi radiootragayshey poverhnosti krupnogabaritnih transformiryemih reflectorov kosmicheskig apparatov c primeneniem algoritma Levenberga-Markvardta (Rationale for assessment methodology forms reflector surface large transformable spacecraft using the LevenbergMarquardt) Trudi pyatoy obshrossiyskoy naychno-prakticheskoy konferencii "Innovacionnie tehnologii I tehnicheskie sredstva specialnogo naznacheniya". SPb.: 2012, pp. 93-98.

4. Marquardt D. An algorithm for Least-Squares Estimation of the Nonlinear Parameters. SIAM Journal on Applied Mathematics 11 (2), 1963. С. 431-441.

5. Goldobin N. N. Metodika ocenki formi radiootra-gaushey poverhnosti krupnogabaritnogo transfor-miryemogo refleectora kocmichesskogo apparata (The estimation of the form of a large-sized transformed reflector surface for a spacecraft). Vestnik SibGAU. 2013. № 1 (47), pp. 106-111.

© Голдобин Н. Н., Шендалев Д. О., 2013