Математические аспекты динамики сорбции газов Текст научной статьи по специальности «Математика»

Математические аспекты динамики сорбции газов

Ю.И. Фёдоров, к.ф.-м.н., Оренбургский ГАУ

Математическая теория динамики сорбции была создана в цикле важных работ по математическому моделированию динамики химических процессов, выполненных выдающимся математиком современности академиком А.Н. Тихоновым. Постановка задачи о сорбции газа была связана с созданием новых систем противогазов. Сейчас математическая теория динамики сорбции составляет основу теории расчёта очистных сооружений и систем, исследований по восстановлению атмосферы. Актуальность этих исследований только возросла, т.к. резко обострились проблемы экологии.

Цель данного исследования — изучение некоторых свойств решений линейных гиперболических уравнений динамики сорбции газов методом, основанным на применении точных дифференциалов и разработанным автором.

Напомним, что математическая модель сорбции газа из потока воздуха слоем зернистого материала сводится к краевой задаче для линейного гиперболического уравнения [1]. Пусть через трубку, заполненную поглощающим веществом (сорбентом), пропускается смесь воздуха и газа. За ось х выбрана ось трубки. Обозначим через у время, ы(х, у) — концентрацию газа, находящегося в порах сорбента в слое х, а(х, у) — количество газа, поглощённого единицей объёма сорбента. Скорость V газа считается достаточно большой, а диффузия не участвует в переносе газа. Сорбент характеризуется изотермой сорбции Генри, справедливой для малых концентраций газа а(х, у) = у-1- р, где р — концентрация газа, находящегося в равновесии с сорбированным количеством газа, у-1 — коэффициент Генри.

В рамках этой модели задача нахождения функции ы(х, у) сводится к задаче об определении решения гиперболического уравнения

ы„, + В-уих + --иу = 0 с постоянными коэф-

ху II у У

фициентами по заданным значениям решения на

характеристиках уравнения: ы(х, 0) = ы0- ехр(— в ■ х),

У

ы(0, у) = ы0, где Р — кинетический коэффициент, ы0 — концентрация газа на входе. Такая задача в теории гиперболических уравнений называется задачей Гурса [2]. А.Н. Тихоновым было найдено решение задачи о сорбции газа [1].

С помощью понятия потенциала сопряжённых пар, введённого нами, исследованы некоторые свойства решений одного класса линейных гиперболических уравнений, который включает линейные уравнения динамики сорбции газа.

(1)

Опишем рассматриваемый класс уравнений и область их определения. Пусть односвязная область В — бесконечная вертикальная прямоугольная полоса в первой четверти плоскости ХОУ, ограниченная характеристиками х = 0, х = 1 и у = 0, с вершинами и 0(0, 0) и А(1, 0), где 1 — фиксированное положительное число (длина трубки, заполненной сорбентом), т.е. Б = {(х, у ):0 < х < й, у > 0} .Воб-ласти В рассматривается линейное гиперболическое дифференциальное уравнение с частными производными второго порядка:

1(и) = иху + а( х, у)их + Ь( X, у)Пу + +с( х, у)и = 0 с коэффициентами (вообще говоря, переменными), удовлетворяющими условию

а( х, у), Ь( х, у), с( х, у), ах (х, у),

- (2) Ьу(х,у) еС(Б). у

Условия гладкости функции ы(х, у) : ы(х, у)е С, где С — функциональный класс, С = С1 (Б) п С2 (Б).

Введём основное понятие применяемого метода — понятие потенциала сопряжённых пар. Обозначим Ь*(ы) дифференциальный оператор, формально сопряжённый с оператором Ь(ы) [3], как:

^ М = ^ху - а)х - Ь)у + СУ . (3)

У и ( х, у ), у( х, у ) е С справедливо тождество Грина:

2(уЬ(и) - и£ (у)) = (уиу - иуу + 2аиу)х -

-(иух - Шх - 2Ьиу) у.

(4)

Введём обозначения Р(х, у) = иух - уих - 2Ьиу,. Q(х, у) = уиу - иуу + 2аиу.

Из тождества (4) следует, что если Ь(ы) = 0,Х*^) = 0 в области В, то

(иух - уих - 2Ьиу)у = (уиу - иуу + 2аиу)х, т.е.

Ру (х, у) = Qx (х, у). (5)

Для выражения Р(х, у)йх + Q(х, у)йу выполнены условия известного признака полного дифференциала в односвязной области В [4]. Поэтому выражение (иух - уих - 2Ьиу)йх + (уиу - иуу + 2аиу)ёу является полным дифференциалом в области В, т.е. существует функция г(х, у), определённая в области В, такая, что йг = (иух - уих - 2Ьиу)йх +. (уи - иуу + 2аиу)йу.

В векторном анализе условие (5) является признаком того, что векторное поле Е(х, у) = (Р(х, у); Q(х, у)) — безвихревое в В [4]. При этом функцию и(х,у) такую, что Р(х,у)йх + Q(x,у)йу = — йи(х, у) , называют скалярным потенциалом безвихревого векторного поля Е . Из этих соображений далее рассматривается и(х, у) , а не 7(х, у):

х, у) = -Р( х, у -Q( х, у)ёу = (уих - иух + 2Ьиу)йх + (иуу - уиу - 2айу)<3у

Учитывая форму первого дифференциала функции двух переменных 1 й = их • 1х + и • 1у, это дифференциальное равенство преобразуем к системе уравнений

.. = уы - иу + 2Ьиу,

(6)

иу = иуу ■

■ Уй„

2аиу.

удовлетворяющим на границе области Оху условиям:

ду (£, у; х, у)

ду( х,п; х, у)

дп

= Ь(£, у) ■ у(£, у; х, у), а( х,п) ■ у( х,п; х, у),

Здесь ы(х, у) и у(х, у) — любые решения из С уравнений Ь(ы) = 0 и Х*(у) = 0 соответственно. Функция й(х, у) восстанавливается по своему полному дифференциалу с точностью до вещественного постоянного слагаемого й0 = й(х0,у0) по формуле:

й( х, у) = й0 +

м

+1 (уи^ - иу^ + + (иуп - уип - 2аиу, (7)

ма

где М0(х0, у0) фиксированная, а М(х, у) переменная точки области Б, криволинейный интеграл не зависит от формы дуги интегрирования МйМ [5]. ^

Функцию й(х, у) будем называть потенциалом сопряжённой пары ы(х, у) и у(х, у) в области Б, т.к. векторное поле

Р (х, у) = (Р( х, у); Q( х, у)) = (иу - уи - 2Ьиу; уи - иу + 2аиу)

^ х х у у

потенциалом которого является й(х, у) , формируется с помощью решений ы(х, у) исходного и у(х, у) сопряжённого уравнений [6].

В теории краевых задач для гиперболических уравнений хорошо известна роль функции Ри-мана [1]. Далее рассматриваются потенциалы сопряжённых пар, построенные с помощью функции Римана.

Пусть Ърц — прямоугольная декартова система координат. Зафиксируем произвольную точку М(х, у) области Б на плоскости ЕОц и проведём через неё характеристики Е = х и ц = у, пересекающие оси ОЕ и Оц соответственно в точках Я(х, 0) и 8(0, у). Обозначим через характеристический прямоугольник в области Б плоскости ЕОц, ограниченный этими характеристиками и отрезками ОЯ и ОБ осей (ОЯМБ), с вершиной в точке М(х, у). (Е, ц). — текущие координаты точек области Оху.

Пусть V = V (Е, ц; х, у) в системе уравнений (6) — функция Римана для уравнения (1) в области О^ [3]. Эта функция зависит от двух пар переменных: текущих координат (Е; ц) точек области О^ и фиксированных координат х, у точки М. Как функция текущих координат Е и ц, функция Римана V (Е, Ц; х, у) является решением сопряжённого уравнения

1* (у) = ущп - (ау)^ - (ЬУ)п + СУ = 0,

у( х, у; х, у) = 1.

При выполнении условий (2) функция Римана уравнения (1) существует и единственна [2]. Потенциал и = и (Е, ц; х, у), определённый в области О системой уравнений (6) или интегральной формулой (7), где V (Е, ц; х, у) — функция Римана, уже будет двухточечным, а роль начальной точки М0(х0, у0) линии интегрирования будет играть точка М° =О(0; 0).

С помощью понятия двухточечного потенциала и (Е, ц; х, у) сопряжённой пары ы(Е, ц), V (Е, ц; х, у) найдены величины

Ф(Ж; М) = й (Ж; М) - у(Ж; М) ■ и (Ж) ¥(Т;М) = и {Т;М) + у(Т;М) ■ и(Т) ,

(8)

сохраняющие свои значения вдоль граничных характеристик БМ и ЯМ области Оху соответственно:

гй (Ж;М) - у(Ж;М) ■ и (Ж) =

УЖ(£,у) е БМ

УТ(х,п) е ЯМ

= й (Б;М) - у(Б;М) ■ и {Б) и(Т;М) + у(Т;М) ■ и (Т) =

(9)

(10)

ч= й Я;М) + у(Я;М) ■ и(Я),

Здесь Ж(Е, у) и Т(х, ц) — текущие точки отрезков граничных характеристик БМ и ЯМ области Оху, 8(0, у) и Я(х, 0) — точки граничных характеристик области Б. Эти величины напоминают римановы Р

инварианты и ± -

для уравнений акустики [5],

Ро ■ С0

поэтому функции (8) мы будем называть инвариантами.

Свойство постоянства значений функций Ф(Ж; М) и *¥(Т; М) позволяет найти структуру решения системы уравнений (6) в любой точке М(х, у) области Б: если в формулах (8)—(10) Ж(Е, у) = Т(х, ц) = М(х, у), то

(й(М; М); и (М )) = ¥(Я;М) + Ф(Б;М); ¥(Я;М)

Ф(Б; М)

(11)

где Ф(8; М), ^(Я; М)— граничные значения инвариантов (8) в точках 8(0, у) и Я(х, 0) граничных характеристик области Б.

Далее рассмотрена математическая модель сорбции газа, которая описывается задачей Гурса для уравнения (1) с данными на характеристиках

ы(0, у) = ы0, ы(х, 0) = ы0 • е-ь•х, 0 < х < ё, у > 0, (12) где ы(0, у) = ы0 — концентрация газа на входе;

ы(х, 0) = ы0- е ь'х — начальное распределение концентрации газа в слое; х, 1 — длина трубки;

Ь(х, у) = Ь — постоянный в области В коэффициент уравнения (1).

Если теперь в формуле (11) х = 1, т.е. М = М(1, у), ы(М) и и (М; М) — концентрация газа и потенциал на выходе в момент времени у, то указанные инварианты, сохраняющие свои значения вдоль граничных характеристик области Оху, имеют вид

VM (й, у) е SM (и (Ы;M) - и (Ы) = = и (S;Ы) - у(S;Ы) ■ и (S) =

u(d, y) = u0

= u(O;M) - u0 ■ v(0,0;d,y)-

y

- 2 ■ Uo Ja(0, t) ■ v (0, t;d, y)dt),

o

VT(x,n) e RM (U(T;M) + +v(T; M) ■ u (T) = U( R; M) + v( R; M) ■ u (R) = u (O;M) + uo ■ v(0,0;d,y).

(13)

(14)

С помощью величин (13), (14) по формуле (11) находим концентрацию газа и потенциал на выходе, т.е. решение системы уравнений (6) при х = 1:

v(0,0;d,y) + Ja(0,t) ■ v(0,t;d,y)dt

0

u (M;M) = u (O; M) -

y

-u0 J a(0, t) ■ v (0, t; x, y) dt.

(15)

(16)

Таким образом, для класса гиперболических уравнений (1) (включающего линейные уравнения динамики сорбции газа) с помощью понятия потенциала сопряжённой пары, введённого автором, найдены функции (8), сохраняющие свои значения вдоль граничных характеристик области Q^,. Эти функции позволяют найти структуру решений системы уравнений (6), к которой сводится задача о сорбции, выразить основные величины задачи через их граничные характеристические значения, коэффициенты уравнения и функцию Римана.

Литература

1. Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1972. 736 с.

2. Нахушев А.М. Уравнения математической биологии. М.: Высшая школа, 1995. 304 с.

3. Кошляков Н.С., Глинер Э.Б., Смирнов М.М. Дифференциальные уравнения математической физики. М.: ГИФ-МЛ, 1962. 767 с.

4. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике. М.: Наука, 1973. 720 с.

5. Годунов С.К. Уравнения математической физики. М.: ГИФ-МЛ, 1979. 392 с.

6. Фёдоров Ю.И. О свойствах линейных дифференциальных операторов, связанных с полными дифференциалами // Тезисы докладов на 3-й международной конференции, по-свящённой 85-летию чл.-корр. РАН, проф. Л.Д. Кудрявцева. М.: МФТИ, 2008. С. 341-344.