CC BY
37
Математическая подготовка студентов в метрическом компетентностном формате
Хузиахметова Алина Рифкатовна, ассистент кафедры высшей математики Казанский национальный исследовательский технологический университет, ул. К.Маркса, 68; г. Казань, 420015,(843)2314003 khuziakhmetovaalina@vandex.ru
Аннотация
Рассматривается организация процесса изучения курса высшей математики при подготовке инженеров в метрическом компетентностном формате. Предложен принцип построения базы учебных проблем по данному курсу. A new approach to the organization of the Mathematics' course learning during the engineers' preparation is discussed in this paper. Principe of the studying problems database building regarding this course has been proposed.
Ключевые слова
подготовка инженера, профессиональные математические компетенции, способности, база учебных проблем.
engineers' preparation, professional mathematical competencies, abilities, the studying problems database.
Введение
Современное общество выдвигает все более высокие требования к выпускнику вуза, его профессионализму, фундаментальной образованности, специальной (теоретической и практической) подготовке, осознанному отношению к труду, специальности и ответственности перед обществом за результаты своей профессиональной деятельности. В их числе - требования отработать новые подходы к преподаванию математических дисциплин, которые должны изучаться не только как общеобразовательные, но и как вооружающие студентов методами решения инженерных задач во взаимосвязи с другими аспектами их будущей профессиональной деятельности, как способствующие их интеллектуальному развитию.
Переформатизация дисцмплины «Математика» в метрический компетентностный формат
Курс «Высшая математика» состоит из множества профессиональных математических компетенций различного направления [1], которыми должен овладеть студент в процессе своего обучения в университете. Их совокупность по предмету удобно представить в виде пучка векторов, который для удобства будем называть «полем компетенций» (рис.1). Здесь ПК - i - я профессиональная математическая компетенция.
ПК1
ПК.,
4
пк:
КЗ
ПК5
Рис.1. Поле профессиональных математических компетенций
В рамках профессиональных компетенций существует множество проблем (задач), которые студент должен уметь разрешать. Проблемы могут рассматриваться как в рамках единственной математической компетенции, так и относиться к нескольким компетенциям одновременно.
Если схематически отметить на осях поля компетенций множество проблем предметной области, то часть проблем будет лежать непосредственно на осях, часть -на пересечении предметных компетенций, в пространстве между осями. Обозначив круг проблем, которые на данный момент может решать студент-инженер, мы получим представление о его «зоне актуального развития» [2].
Известно, что любой человек стремится к развитию своих способностей - для этого он должен уметь преодолевать трудности в своей «зоне ближайшего развития», которая выходит за рамки его актуальных возможностей. Этот процесс ведет к развитию его способностей и усвоению знаний. «Зона ближайшего развития» - это расхождение между уровнем актуального развития (оценивается трудностью самостоятельно решаемых проблем - задач) и уровнем потенциального развития ( каких результатов обучающийся может достичь в процессе подготовки). Именно благодаря стремлению к расширению своей «зоны ближайшего развития» происходит динамичное развитие студента - будущего инженера [3]. Как сформировать базу учебных проблем (базу задач) по дисциплине « Математика» для достижения наилучшего результата ?
Известно, что процесс разрешения проблемы (задачи) состоит их трех основных этапов [4]: формализация проблемы (операция А-формализация), конструирование решения (операция В-конструирование, преобразование проблемы в задачу), исполнение решения (операция С-исполнение). И инженер, используя свои знания, должен уметь делать все эти операции в комплексе, т.е. обладать АВС способностями , причем степень развития последних у каждого человека различны. Формализационные способности проявляются при решении так называемых задач с содержанием, когда возникает необходимость составить математическую модель, соответствующую условиям задачи.
Пример 1. Даны вероятности значений случайной величины X: значение 10 имеет вероятность 0,3; значение 2 - вероятность 0,4; значение 8 - вероятность 0,1; значение 4 - вероятность 0,2. Построить ряд распределения случайной величины Х. Пример 2. Приготавливается нитрующая смесь из трех компонентов, содержащих воду, азотную и серную кислоты. Описать с помощью системы линейных алгебраических уравнений процедуру приготовления М кг смеси, содержащей Ь1, Ь2 и Ь3 % соответственно Н2О, НNO3 и Н2SO4, если содержание воды, азотной и серной кислот в каждом компоненте известно и представлено в виде матрицы третьего порядка :
' а11 а12 а Л а13
«21 а22 «23
V аз1 «32 «33 )
Конструктивные способности проявляются при поиске решения имеющейся математической модели.
Пример 3. Найти единичный вектор, перпендикулярный векторам а = i + ] + 2к и Ь = 2i + 2Ч + к .
Пример 4. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку М (3; -1; -5) и перпендикулярной плоскостям 3 X - 2 у + 2 г = 0 и 5 X - 4 у + 3 г + 1 = 0.
Исполнительские способности проявляются непосредственно при решении той или иной задачи (использование различных алгоритмов при решении дифференциальных уравнений, вычислении кратных интегралов, исследовании функций и т.п.).
Пример 5. Применяя формулу Грина, вычислить
2 + у 2)dx + (х2 + у 2)^у, если С - контур треугольника с вершинами А(1;1) ,
с
В(2;2), С(1; 3).
Пример 6. Используя метод Крамера, найти решение системы
х + 2у - г = 2, <2 х - 3 у + 2 г = 2, 3х + у + г = 8.
Не всегда решение задач развивает все три способности сразу . Для проблем начального уровня рассматривается только операция исполнения (С - задачи), поскольку проблема уже сформирована как задача с известным методом решения . Примером может послужить следующая задача (рассматривается тема «Дифференциальное исчисление функции одной переменной»): Найти производные 2-го порядка от следующих функций:
2 4 2 + 4х 1. у = 3 - 2 X +— X ; 2. у = -¡= .
3 ' 2-4Х
Следует отметить, что большинство задач, рассматриваемых в курсе «Математика», связаны только с операциями конструирования и исполнения (конструктивно-исполнительские задачи - ВС - задачи ) , для решения которых требуется применить определенный алгоритм и провести соответствующие вычисления. Следовательно, следующая группа задач - на развитие конструктивно - исполнительских способностей студентов. Например:
1. Составить уравнение такой нормали к параболе y = X2 - 6 X + 6, которая перпендикулярна к прямой, соединяющей начало координат с вершиной параболы.
2. Для функции у = X л/ 1 — X2 найти интервалы возрастания и убывания и точки экстремума.
Задачи, развивающие ABC - способности, это задачи, решаемые по схеме математического моделирования. Например:
В реакторе протекают следующие реакции:
2СН4 — С2 Н2 + 3Н2 СН4 + О2 — СО + Н2 + Н2О 2СН4 — С2Н4 + 2Н2 С2Н4 -^ С2Н2 + Н2
С2Н4 + 0.502 — С2Н2 + Н2О Н2 + 0.502 — Н2О С2Н2 — 2С + Н2
Требуется: 1) составить стехиометрическую матрицу; 2) определить число независимых реакций, выбрать независимые реакции и ключевые вещества; 3) записать уравнения суммарных независимых реакций образования ключевых продуктов.
Исходя из сказанного, можно сделать следующий вывод. База учебных проблем по дисциплине «Математика» должна создаваться по принципу: в начале -задачи с известным алгоритмическим способом решения ( приоритетное развитие исполнительских способностей), затем задачи с неявным и неизвестным способом решения (приоритетное развитие конструктивных и формализационных способностей)/
После того, как база задач сформирована, из нее осуществляется подбор задач для конкретного контингента студентов (зависит от их первоначальной математической подготовки). Глубина владения математическими знаниями оценивается полнотой (параметр POL) и целостностью (параметр CHL) владения этими знаниями. Полнота знаний - это мера знаний теории в рамках дисциплины «Математика», а целостность знаний - это мера взаимосвязи этих знаний . Задачи на проверку полноты и целостности знаний формируются в виде тестов. Пример тестового задания (рассматривается тема « Линейная алгебра»):
1. Как изменится обратная матрица А-1 , если в данной матрице А:
а) переставить i-ю и j-ю строки;
б) к i-й строке прибавить j-ю строку, умноженную на любое число, или провести аналогичные преобразования со столбцами.
2. Как может измениться ранг матрицы, если к ней приписать (или из нее вычеркнуть) один столбец (одну строку), два столбца (две строки)?
■ На каждый вопрос теста приводится несколько вариантов ответа.
■ Таким образом, решение проблемы определенной сложности функционально зависит от параметров А, В, С, POL, CHL, т.е. эффективность решения проблемы является функцией этих 5 параметров: чем выше значения этих параметров, тем больше вероятность того, что студент сможет разрешить проблему. Параметры, определяющие эту эффективность, взаимосвязаны между собой и составляют пятимерную измерительную систему (шкала качества владения компетенцией, шкала КВК) (рис.2).
в
Конструктивные способности
Формализа1 способности
D
(готовность решать несложные проблемы)
Невысокий деятельностный _потенциал
Исполнительские способности
Е POL
CHL Целостность
Полнота
владения знаниями владения знаниями
Рис.2. Шкала качества владения компетенцией
Дидактические системы нового поколения основаны на технологии подготовки инженера в метрическом компетентностном формате (МКФ) [5], в которой (не)успешность студента оценивается на шкале КВК. Необходимо грамотно организовать деятельность по решению учебных проблем, управление этой деятельностью и иметь соответствующие ресурсы. В качестве регламента управления выступает учебная программа, где должны быть представлены все профессиональные компетенции, которыми должен овладеть обучающийся, а также прописаны все временные ограничения для приобретения и усвоения необходимых знаний. Управлением деятельностью по разрешению проблем, консультированием и администрированием занимается преподаватель [6]. В качестве ресурсов, необходимых для деятельности по решению учебных проблем, выступают база учебных проблем, база знаний и база вопросов теста.
Деятельность по решению математических проблем осуществляется в рамках дидактической среды развития, которая представляет собой личный кабинет студента, развернутый в реально-виртуальном пространстве. Кабинет функционирует следующим образом. Из базы учебных проблем (БУП) формируется поток проблем из «зоны ближайшего развития» студента. Синхронно с потоком проблем из базы знаний (БЗ) формируется поток знаний. Разрешая заданные проблемы, студент осваивает свою «зону ближайшего развития», т.е. надежно разрешает проблемы по сложности, относящие к этой зоне. Весь описанный процесс ориентирован на повышение параметров A,B,C, т.к. именно от них зависит эффективность разрешения проблем. Критерием усвоения материала и повышения определенных профессиональных компетенции является проверка компетенций с использованием базы вопросов теста. Если в результате проведенной проверки выясняется, что обучающийся обладает некими минимальными A, B, C способностями в рамках профессиональной компетенции, то знания считаются полученными, и на выходе этой модели строится шкала качества владения компетенцией, которая показывает актуальный уровень развития студента, т.е. уровень развития его ABC способностей (рис.3).
Рис. 3. Модель организации дидактической среды
Для реализации описанной организации среды необходимо построить базы данных, содержащих информацию о математической компетентности: базу учебных проблем (БУП), базу знаний (БЗ) и базу вопросов (БВ). В базе данных учебные проблемы будут рассматриваться в рамках отдельных тем (компетенций) и представляться с оценкой их сложности. Для объективной оценки сложности проблемы необходимо оценить ее через трудоемкость разрешения этой проблемы экспертом в (час/раб).
Базу учебных проблем (БУП), удобнее всего организовать в рамках некоторого принятого шаблона «Сетки сложности проблем». На рис.4 приводится пример такого шаблона организации БУП для дисциплины «Математика».
В блок 1 по теме 1 « Линейная алгебра» , например, входят однородные двадцать учебных проблем ПР1(1), ПР1(2), ..., ПР1(20). К сложности этих проблем следующие требования: Р(А)<2(мин/раб); Р(В)<2(мин/раб); Р(С)<2(мин/раб) эксперта (преподавателя) . В блок 2 входят проблемы ПР(21) , ..., ПР(40) сложности: Р(А)<4(мин/раб); Р(В)<4(мин/раб); Р(С)<4(мин/раб) эксперта (преподавателя) и далее аналогично.
БУЛ. Тема *
БУЛ. Тема 3
БУЛ. Тема 2
БУЛ. Тема 1
Содержание Сложность
СП ь ПР1(1) Р(А)<2(мин/раб)
о я Р(В)<2(мин/раб)
ПР1(20) Р(С)<2(мин/раб)
СП ь ПР1(21) Р(А)<4(мин/раб)
о 75 Р(В)<4(мин/раб)
N3 ПР1(40) Р(С)<4(мин/раб)
£ ПР1(41) Р(А)<6(мин/раб)
О я Р(В)<6(мин/раб)
00 ПР1(60) Р(С)<6(мин/раб)
СП ь ПР1(61) Р(А)<8(мин/раб)
о X Р(В)<8(мин/раб)
ПР1(80) Р(С)<8(мин/раб)
£ ПР1(81) Р(А)<10(мин/раб)
О X Р(В)<10(мин/раб)
1Л ПР1(100) Р(С)<10(мин/раб)
Рис. 4.Организация базы учебных проблем на « Сетке сложности проблем» по
дисциплине « Математика»
База учебных проблем является открытой системой, т.е. количество проблем в блоках и количество самих блоков может сколько угодно расти, а также шаблон «Сетка сложности проблем» может быть разным в зависимости от «зоны ближайшего развития» обучаемого [7]. «Сетка сложности проблем» накрывает проблемы той или иной темы дисциплины «Математика», что позволяет их идентифицировать и ранжировать по сложности. Чем более продвинутым окажется инженер по этой «Сетке сложности проблем», тем большим деятельностным потенциалом он будет обладать.
Представленная модель, направленная на повышение ABC способностей студента-инженера и, следовательно, на повышение его деятельностного потенциала [8], позволяет преподавателю достичь основной своей цели: построить эффективную стратегию продвижения студента по сетке сложности для скорейшего усвоения
материала. В целом, модель среды подготовки может быть реализована в разных вариантах с поддержкой систем электронного образования и развернута в разных оболочках, например, в Moodle, но, как показывает практика, лучше использовать специально разработанные ситемы с элементами исскусственного интеллекта [9-11].
Литература
1. Журбенко Л.Н., Хузиахметова Р.Н. Непрерывное математическое образование бакалавров в технологическом университете на основе проектирования систем междисциплинарных задач // Международный электронный журнал "Образовательные технологии и общество (Education Technology & Society)" -2008 - V.11. - № 4. - С. 325-329. - ISSN 1436-4522.
2. Нуриев Н.К., Журбенко Л.Н., Старыгина С.Д. Системный анализ деятельности инженера. - Казань, Изд-во Казан. гос. технол.ун-та, 2008. - 88 с.
3. Галимов А.М., Нуриев Н.К., Старыгина С.Д. Проектирование дидактических систем нового поколения как средство управления качеством саморазвития студента // Высшее образование сегодня. - 2010 . - № 7. - С. 65 - 70.
4. Нуриев Н.К., Старыгина С.Д. и др. Подготовка инженеров в дидактических системах нового поколения // Международный электронный журнал "Образовательные технологии и общество (Education Technology & Society)" -2011 - V.14. - № 4. - С. 386-403. - ISSN 1436-4522.
5. Нуриев Н.К., Старыгина С.Д. и др. Технология подготовки инженера в метрическом компетентностном формате в реально-виртуальной среде развития // Международный электронный журнал "Образовательные технологии и общество (Education Technology & Society)" - 2013 - V.14. - № 4. - С. 569 - 589. - ISSN 1436-4522.
6. Дегтярева О.М., Хузиахметова Р.Н., Хузиахметова А.Р. Современные проблемы преподавания математики при подготовке бакалавров направления "Химическая технология" в национальном исследовательском университете // Вестник Казанского государственного технологического университета. - № 3. - 2014. -С. 361-362.
7. Старыгина С.Д., Нуриев Н.К., Титов А.Н., Тазиева Р.Ф. Разработка базы учебных проблем для подготовки инженеров в метрическом компетентностном формате с использованием метода прототипирования // Международный электронный журнал "Образовательные технологии и общество (Education Technology & Society)" - 2013 (http://ifets.ieee.org/russian/periodical/journal.html) -V.16. - N 4. - С. 430-444 c. - ISSN 1436-4522.
8. Нуриев Н.К., Старыгина С.Д. Цифровая модель деятельностного потенциала инженера // Альма-Матер - 2011. - № 10. - С.49-55.
9. Нуриев Н.К., Галимов А.М., Старыгина С.Д. Системный анализ и исследование операций интеллектуальной деятельности в контексте проектирования дидактических систем нового поколения // Международный электронный журнал "Образовательные технологии и общество (Education Technology & Society)"- 2010 (http://ifets.ieee.org/russian/periodical/journal.html) - V.13. - N 4. -С. 268-299 c. - ISSN 1436-4522.
10. Нуриев Н.К., Журбенко Л.Н., Старыгина С.Д. Проектирование web -психодидактических систем // Международный электронный журнал "Образовательные технологии и общество (Education Technology & Society)"-2007 (http://ifets.ieee.org/russian/periodical/journal.html) - V.10. - N 3. - 23 c. -ISSN 1436-4522.
11. Старыгина С.Д., Нуриев Н.К. Дидактическая инженерия как метрико-
ориентированная методология инженерного образования // Международный электронный журнал "Образовательные технологии и общество (Education Technology & Society)" - 2014 (http://ifets.ieee.org/russian/periodical/iournal.html) -V.17. - N 3. - С. 569 - 582 c. - ISSN 1436-4522.
