CC BY
2813
УДК 621.315
Б. К. Чостковский, Д. А. Смородинов
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ВИТОЙ ПАРЫ РАДИОЧАСТОТНОГО КАБЕЛЯ ОБЪЕКТА УПРАВЛЕНИЯ
Разработана математическая модель формирования электрических параметров витой пары ЬЛЫ-кабелей, на основе которой становится возможным точный расчет параметров межконтурной связи, обеспечивающей оптимизацию двухконтурной системы автоматического управления параметров экструдируемой пористой изоляции.
Первичные и вторичные параметры передачи и параметры взаимных влияний кабелей связи определяются геометрическими и электрическими параметрами направляющей среды. Не имеющими общего решения являются задачи оценивания рабочей ёмкости кабеля и эквивалентной диэлектрической проницаемости среды между двумя проводниками. Решение данной задачи является актуальным при алгоритмизации автоматического управления параметрами экструдируемой пористой изоляции с введением межконтурной связи, которая обеспечивает компенсацию влияния динамической ошибки регулирования одного из параметров (диаметра или диэлектрической проницаемости изоляции) на обобщённый параметр качества кабеля (рабочую ёмкость или волновое сопротивление) путём формирования возмущённого процесса в контуре автоматической стабилизации второго параметра (диэлектрической проницаемости или диаметра изоляции) [1].
В настоящей работе рассматривается задача определения электрических параметров витой пары, которая составляет основу радиочастотных кабелей для передачи данных (ЬА^кабель). На рис. 1 показано сечение неэкранированной витой пары, содержащей две жилы.
Обычно эквивалентная диэлектрическая проницаемость направляющей среды оценивается как средневзвешенное значение изоляции обеих жил, с учётом соотношения площадей их сечения. Данная оценка характеризуется невысокой точностью, что недопустимо при проектировании и изготовлении кабелей с высокой пропускной способностью. Для оценки рабочей ёмкости традиционно останавливаются на формуле, выведенной В.Н. Кулешовым [2], которая также характеризуется невысокой точностью. Решение данной задачи ищется методом конформных преобразований.
Для получения исходных соотношений, определяющих процессы в цепях, используют первичные параметры цепи (рис. 2): К, Ь, С, С, где К — погонное сопротивление линии, Ь — погонная индуктивность, С — погонная ёмкость линии, С — погонный коэффициент утечки.
Если значение первичных параметров цепи остаются неизменными по всей длине, то такую цепь называют регулярной (однородной) [3]. При этом активные потери электромагнитной энергии при её распространение вдоль цепи обусловлены первичными параметрами К и С: первый характеризует тепловые потери в проводниках и других металлических частях направляющей системы (экран, оболочка, броня), второй — потери в изоляции.
Рассмотрим однородную цепь с первичными параметрами К, Ь, С, С (рис. 2). Система диффе-
Рис. 1. Сечение ЬЛ^кабеля: В — рас- Рис. 2. Эквивалентная схема линии связи
стояние между жилами; В1, В2 — соответствующие размеры жил, Ви1, Ви2 — соответствующие размеры изоляций
ренциальных уравнений, определяющая напряжение и ток в любой точке цепи как функции координаты х, имеет следующий вид [4]:
-ш = и(о-эиС)
(1)
Данная система справедлива по отношению к любой однородной цепи, независимо от её конструкции. Изменение конструкции приводит только к изменению значений первичных и вторичных параметров, в том числе волнового сопротивления
(2)
Будем рассматривать ЬА^кабель как линию без потерь. Это значит, что утечка полагается равной нулю (С = 0), т. е. считается, что пространство между проводниками является непроводящим. Кроме того, пренебрегаем потерями в проводах, считая их идеально проводящими (К = 0). Так как для идеальных проводников внутренняя индуктивность равна нулю, то в этом случае полная погонная индуктивность линии Ь сводится к её внешней индуктивности Ье. При этих упрощениях формула (2) принимает вид
2 = \/5- (3)
Для определения рабочей ёмкости С воспользуемся конформным преобразованием, используя дробно-линейную функцию, которая имеет вид [5]
аг + Ь ,л,
ш =-------;> (4)
сг + й
где а, Ь, с, й — постоянные, причём ай — Ьс = 0. Разрешая соотношение (4) относительно г, получаем обратное дробно-линейное преобразование
—йш + Ь , Л
* = --------• 5
сш — а
Дробно-линейное преобразование обладает важным свойством сохранения симметричных точек: оно преобразует любую пару точек г1 и г2, симметричных относительно произвольной окружности Сг в плоскости С, в пару точек Ш1 и Ш2, симметричных относительно Сш —образа окружности Сг на плоскости Ш [5].
Используя свойство дробно-линейного преобразования сохранять окружности, отобразим область между жилами ЬА^кабеля (рис. 3) на концентрическое кольцо, которое представляет собой простейшую двухсвязную область (рис. 4).
Если разыскать положение точек г1 и г2, одновременно симметричных относительно обеих данных окружностей С1 и С2, которые совпадают с поверхностями электродов, то при отображении
г — г1
ш =- 6
г — г2
окружностей С1 и С2 перейдут в окружности С1 и С2, для которых точки Ш1 = 0 и Ш2 = то также будут симметричными. Отсюда следует, что окружности С1 и С2 —концентрические, и их центр совпадает с началом координат в плоскости Ш, что даёт возможность определить рабочую ёмкость, возникающую между жил ЬА^кабеля, по известной формуле для сферического конденсатора (рис. 4).
Найдем теперь симметричные точки относительно окружностей С1 и С2 [5]. На основании данных
(рис. 3) получаем систему
а^-О — а2) = К2, (7)
а2(П — а1)= К22, (7)
разрешив которую относительно а1 и а2, получим:
а\ = Н\ ± \Jh\- В\, а,2 = Л-2 ± (®)
Рис. 3. Взаимное расположение жил ЬЛМ-кабеля Рис. 4. Взаимное расположение
в плоскости С жил ЬЛМ-кабеля в плоскости Ш
Здесь введены следующие обозначения:
Ь1 = ^{В2 + П\-К1), Ь2 = ^Р2 + д2_д2)_
В выражениях (8) перед корнями, очевидно, необходимо взять знак минус, так как а1 < К и а2 < К2.
Поместив начало координат в симметричную точку £1, расположенную внутри окружности С1, получим:
= 0, 2/2 = ^/^1 — -^1 “Ь '\/^'2 — -^2 = — -^1)
так как легко убедиться, что \Jh\ - К\ = — Щ-
Таким образом, функция ш имеет вид:
^ _ г-2у/к\ - К\' ^
Вычислим радиусы р1 и р2 (рис. 4). Радиус внутренней окружности С1 определим, например, по положению точки М1, соответствующей точке М1 (г = К1 — а1) окружности С1. Получаем
^ _в1-ь1 + л/к{-И{ _ (аА! ~ К1 + Д1 - пт
К\ — 1г\ — д//г.| — К\ 2К1{Н\ — К\)
Аналогично определим радиус окружности С2 по точке М2 (г = В + К2 — а1) окружности С2:
(\fh\- + -^2 + Л-г!
Р2= 2Л2(^2 + Й2) ' (П)
Принимая во внимание свойство сохранения неизменной величины ёмкости при конформных преобразованиях, найдём последнюю в плоскости Ш для параллельно расположенных жил кабеля [5]:
с = = 27ГЄ0Єзкв- 1п
Р1 -^2(^-2 + -^2) + -Кі — Лі]
- 2к„г,кв. 1п-> - 1 + (ж)) (\/(ж) “ 1 + (Й, ’ <12)
где еэкв — эквивалентная диэлектрическая проницаемость изоляции жил кабеля, £о — электрическая постоянная.
Считая, что Лі = Л = Л, выражению (12) можно придать вид
С = ТГЄо^зкв' ІІ1 1 (л/^2 —^ ^
(13)
Чтобы определить эквивалентную диэлектрическую проницаемость еэкв снова воспользуемся конформным отображением, но теперь отобразим плоскость С (рис. 5) на плоскость Т (рис. 6):
где
с = f (*) = х(п, V) + іу(п, V), і = п +
(14)
(15)
Рис. 5. Взаимное расположение жил ЬЛМ-кабеля с изоляцией в плоскости С
Рис. 6. Результат отображения плоскости С на плоскость Ш
Для данного отображения необходимо, чтобы выполнялось следующее условие [5]:
2Г1Г2
г =
І(Гі + Г2)г + Г2 ' Учитывая выражения (14)—(16), определим п и V:
2ГіГ2 - Г2(х + ;у) 2ГіГ2 У , Г2
(16)
і =
І(гі + Ы(х + іу)
Г1 + Г2 X2 + У2
+ і
2ГіГ2
Гі + Г2 Гі + Г2 X2 + У2
(17)
с2
<?3
Сі
Є2
Єї
Отобразив плоскость С на плоскость Т, получим плоский конденсатор с бесконечными пластинами. В данном случае представляется возможным определение его диэлектрической проницаемости. Она и будет являться неизвестной эквивалентной диэлектрической проницаемостью среды между двумя проводниками.
Для решения данной задачи полученный конденсатор можно разделить на три последовательно соединённых конденсатора с однородными диэлектриками между их пластин с соответствующими диэлектрическими проницаемостями єі, £2, £ (см. рис. 7).
Общая ёмкость С схемы, расположенной на рис. 7,
Рис. 7. Эквивалентная схема соединения трёх конденсаторов с однородными диэлектриками определяется из выражения между их пластин
11 1 1
С1 С2 С2
X
Подставив параметры конденсаторов в выражение (18), получим
1 а Ь с
+----^ +
С є0 є13 є0 є23 є0є5’
из которого следует, что
С = єов---------Є-^---------, (19)
ає2є + Ьє1є + сє1 є2
где а, Ь, с — соответствующие расстояния между пластинами конденсаторов С1, С2,Сз (рис. 7), 3 — площадь их пластин.
Ёмкость конденсатора рассчитывается по формуле
С = (20)
где I — расстояние между пластинами:
I = а + Ь + с. (21)
Введём
є1є2є /00ч
Ш = ----------;----------. (22)
ає2 є + Ьє1є + сє1є2
Тогда
£экв = т(а + Ь + с). (23)
Остаётся лишь найти расстояния а, Ь, с, определив координаты точек на плоскости Т (рис. 6), имеющие на плоскости С (рис. 5) следующие координаты:
(2Г1; 0), (г 1 + г; 0), (-2г2; 0), (-Г2 - г; 0).
Используя (17), получим координаты этих точек на плоскости Т, соответственно:
(0-0) (о- "1 (0-1) (о- Г2(Г2 + Г + 2П)\
1 ’ > ’ V (>'1 + >'г)(п +г))' 1 ’ 1 ' V (>'1 + Г2)(Г2 + ?))'
Следовательно,
г2(п-г) ъ= П(г2-г) с = 1 ^
(Г1 + Г2 )(Г1 + г)’ (Г1 + Г2)(Г2 + г)
Подставляя выражения (22) и (24) в (23), и учитывая, что
Ви1 Ви2 й
Г1 = ----, г2 = --------, г =
I 2 ’ 2 ’ 2’
где Ви1, Ви2 —диаметры изоляций (см. рис. 1); й — диаметр проводящей жилы, получим
є1є2є
Ви2 (Ви1-Й) (Ви2+Й) +Ви1 (Ви2 — Й) (Ви1+Й) + (Ви1+Ви2) (Ви1+Й) (Ви2+Й)
(25)
е2еВи2 (Ви1—й) (Ви2+й) +е1еВи1 (Ви2 й) (Ви1+й) +е1е2 (Ви1+Ви2) (Ви1+й) (Ви2+й)
Подставляя (25) в (13), и учитывая, что
^ __ Ви1 Ви2 д ________ С?
- 2 ’ _ 2’
получим
пео £1^2 е(1 + Р + 9)
1п к ■ (£2е1 + + в1в2д) ’
где I = Ви2 (Ви1 — Л) (Ви2 + Й)) Р = Ви1 (Ви2 — (Ви1 + Й)) Ч = (Ви1 + Ви2) (Ви1 + Й) (Ви2 + Й)>
/„ _ , / (-С,и1+-Ои2) 7 | -Ои1+-С,и2
К - V 132 1 Н 23 •
Заметим, что выражение (25) будет справедливо и для экранированной витой пары ЬА^кабеля,
если ввести в него коэффициент экранирования и коэффициент скрутки.
Полученное выражение (26) позволяет оценить характер зависимости между регулируемыми диаметром и диэлектрической проницаемостью изоляции в процессе её наложения, которая обеспечивает инвариантность обобщённых параметров кабеля — рабочей ёмкости и волнового сопротивления — к возможным вариациям регулируемых параметров.
Данная зависимость определяется как решение уравнений [1]
P (Du, £и) = const, (27)
где P — обобщённый параметр кабеля, описываемый выражениями (25), (26).
Если считать, что Du(x) = const и £и(х) = const, то цель управления [1] имеет вид
AC(x) = Kd • Д^и(ж) + К • Деи(ж) = 0, (28)
а закон управления —
а) AD„(x) = — ^-Аеи(ж), если датчик диаметра изоляции установлен до датчика её диэлектрической проницаемости;
б) Аеи(ж) = —^P-ADn(x), если датчик диаметра изоляции установлен после датчика её диэлектрической проницаемости.
Здесь
Ке = 1Г = С ( /+ 1 +---------------+ ~
d£i + £i£p + £i £2 q £i,
Г.ҐУ / _P I Р+Ч I I I ч
Kd= дС _ КЄ0ЄіЄ2Є ( Dh1 + Ди1+(і + Dxl_d + Dml+Dm
дВи1 1п к \ є2єІ + є1єр + є1є2д
(г+Р + 9) + ЄіЄр ( Д^+5 + 0 +£і£29 (р^+5+ ри1+ри2)) _ у (І +р + д)
(є2єІ + єієр + £і£2<?)2 /с-ІпА:
^и1 + Ви2 1
V = ------- - -|--.
АсР\!{Ви1^и2)- - 1 Ъ1 Параметры кабеля выбираются согласно известным требованиям.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Чостковский, Б. К. Структурный синтез оптимального управления обобщенными параметрами электрических кабелей связи [Текст] / Б. К. Чостковский // Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер.: Техн. науки. — 2007. — 1. — С. 54-57. — ISBN 5-7964-0873-9.
2. Власов, В. Е. Кабели цифровых сетей электросвязи. Конструирование, технология, применение [Текст] / В. Е. Власов, Ю.А. Парфенов.— М.: Эко-Трендз, 2005. — 216 с. — ISBN 5-88405-072-0.
3. Ионов, А. Д. Линии связи: Учеб. пособ. для вузов [Текст] / А. Д. Ионов, Б. В. Попов. — М.: Радио и связь, 1990. — 168 с. — ISBN 5-256-00680-0.
4. Вайнштейн, Л. А. Электромагнитные волны [Текст] / Л. А. Вайнштейн; 2-е изд., перераб. и доп. — М.: Радио и связь, 1998. — ISBN 5-256-00064-0.
5. Миролюбов, Н. Н. Методы расчёта электростатических полей [Текст] / Н. Н. Миролюбов. — М.: Высш. шк., 1963. — 415 с. — ISBN 5-283-03052-0.
Самарский государственный технический университет, г. Самара Поступила 29.12.2007
Ьегіа_1987@таі1. ги
В окончательном варианте 17.01.2008
B. K. Chostkovsky, D. A. Smorodinov
MATHEMATICAL MODEL OF TWISTED PAIRS RADIO-FREQUENCY CABLE OF CONTROL OBJECT
Mathematical model of configuration of electrical quantities in LAN-cable twisted pairs has been developed; the exact calculation of inter contour connection parameters based on it became possible. That provides optimization of double-loop automatic control system of extruded bubble-formed insulation parameters.
Samara State Technical University, Samara Received 29.12.2007
beria_1987@mail. ru
