Математическая модель роторно-винтового движителя Текст научной статьи по специальности «Математика»

Интернет-журнал «Науковедение» ISSN 2223-5167 http ://naukovedenie.ru/ Том 8, №4 (2016) http ://naukovedenie. ru/index.php?p=vol8-4 URL статьи: http://naukovedenie.ru/PDF/50TVN416.pdf Статья опубликована 02.08.2016. Ссылка для цитирования этой статьи:

Крашенинников М.С. Математическая модель роторно-винтового движителя // Интернет-журнал «НАУКОВЕДЕНИЕ» Том 8, №4 (2016) http://naukovedenie.ru/PDF/50TVN416.pdf (доступ свободный). Загл. с экрана. Яз. рус., англ.

Данная работа проводится в Нижегородском государственном техническом университете им. Р.Е. Алексеева при финансовой поддержке государства в лице Минобрнауки России (уникальный идентификатор проекта: RFMEFI57714X0105)

УДК 629.034

Крашенинников Максим Сергеевич

ФГБОУ ВО «Нижегородский государственный технический университет им. Р.Е. Алексеева», Россия, Нижний Новгород1

Научный сотрудник E-mail: maxim.krasheninnikov@mail.ru РИНЦ: http://elibrary.ru/author items.asp?authorid=625093

Математическая модель роторно-винтового движителя

Аннотация. Опыт создания и эксплуатации роторно-винтовых машин, как в нашей стране, так и за рубежом привел к накоплению значительного количества экспериментальных данных. Результаты исследований легли в основу создания различных математических моделей взаимодействия роторно-винтового движителя (РВД) с опорным основанием. Влияние геометрии движителя в этих моделях сводилось к учету, как правило, 4-6 его параметров.

Для повышения точности расчетов автором предпринята попытка создания универсальной (в плане применимости) математической модели РВД. При этом предполагается, что расчет процессов взаимодействия РВД с различными опорными основаниями будет производиться численными методами. Проведенный анализ известных конструкций показал, что поверхность движителя рационально представить набором отдельных граней.

Разработанная автором модель позволяет с высокой точностью построить поверхность любого классического роторно-винтового движителя в декартовой системе координат. Это достигается за счет учета 25 основных геометрических параметров движителя и описания его поверхности через совокупность 18 систем параметрических уравнений.

Построение поверхности происходит путем дискретного изменения параметров входящих в системы уравнений. Каждая система параметрических уравнений описывает 2 семейства кривых линий, являющихся сеткой внутренней системы координат. На узлах сетки можно сформировать элементарную треугольную площадку поверхности движителя. В работе приведены математические зависимости для определения основных характеристик произвольной элементарной площадки.

Предполагается, что расчет взаимодействия с опорным основанием будет производиться для каждой контактирующей площадки с последующим суммированием

1 603950, Россия, г. Нижний Новгород, ул. Минина, д. 24, НОЦ «Транспорт» 1

результата. В таком случае предложенная математическая модель обеспечит высокую точность расчетов уже на ранних стадиях исследования. Модель базируется на принципах описания геометрии в САПР системах, что облегчает переход к использованию в расчетных программах STL файлов, способных описать менее идеализированную поверхность движителя.

Ключевые слова: математическое моделирование; поверхность; параметрическое уравнение; элементарная площадка; роторно-винтовой движитель; численный метод; триангуляция поверхности; опорное основание

Введение

Исследованию роторно-винтовых машин были посвящены труды многих отечественных и зарубежных ученых. В нашей стране начало исследований роторно-винтовых машин берет начало в 1920-х годах с исследований профессора А.А. Крживицкого [1]. В это же время в Канаде Дж. Тюкером был создан снегоход с роторно-винтовым движителем и частичной разгрузкой массы на лыжи [2]. При этом первым теоретическим исследованием роторно-винтового движителя принято считать работу Б. Коула. В работе [3] приведены экспериментальные исследования движения лабораторной модели с роторно-винтовым движителем по грунту и воде и получены теоретические зависимости. В разное время работы по изучению роторно-винтового движителя велись польскими [4-5], японскими [6-7] и норвежскими [8-12] учеными.

В работах М.Г. Беккера и В.И. Гавага также приводится информация о исследованиях роторно-винтовых машин [13-14]. Исследованию машин с роторно-винтовым движителем отводится значительная часть научных работ Н.Ф. Кошарного [15-17]. Оригинальный подход к описанию процесса взаимодействия роторно-винтового движителя с переувлажненными грунтами осуществлён в исследованиях Р.А. Хабутдинова [18].

Исследованию движения роторно-винтовых машин по снежному покрову посвящены работы многих ученых Нижегородской научной школы вездеходных машин С.В Рукавишникова, В.И. Вологдина, В.И. Захаренкова [19-24]. Авторами накоплен значительный экспериментальный материал по испытанию моделей и транспортных средств с роторно-винтовым движителем, выполненных по разным конструктивным схемам, рассмотрена работа ряда технологических роторно-винтовых машин в типичных условиях эксплуатации.

В работах В.Е. Колотилина и Л.С. Левшунова [25-26] рассмотрены вопросы взаимодействия роторно-винтового движителя со снежным покровом (определены эпюры нормальных и касательных реакций снега на роторы).

Крупнейшим исследователем теории движения роторно-винтовых машин является А.П. Куляшов [27-29]. Им определены и обоснованы области использования роторно-винтовых машин; разработана и систематизирована теория установившегося движения; найдены выражения для всех, действующих на роторно-винтовую машину сил, в том числе и при движении по снегу и многое другое.

Дальнейшее развитие теории движения роторно-винтовых машин проведено в работах нижегородских ученых В.А. Шапкина, Ю.И. Молева, А.А. Кошуриной, И.Г. Куклиной, Т.В. Водопьянова, С.В. Доровских, Ю.В. Щербакова и др. [30-36].

Глубокий анализ научно-исследовательских работ, связанных с роторно-винтовым движителем, показал, что рекомендации по выбору рациональных геометрических параметров роторно-винтового движителя основывался на результатах расчетов, в которых учитывалось 4-6 параметров движителя.

1. Основные геометрические параметры в модели роторно-винтового движителя

Описание роторно-винтового движителя в отдельной модели позволяет учитывать влияние формы и размеров каждого конструктивного элемента движителя на характер взаимодействия со средой движения. Модель роторно-винтового движителя представляет собой математическое описание формы его поверхности. В такой постановке движитель удобно рассматривать как совокупность последовательно объединенных характерных участков. Каждый из участков характеризуется постоянством определенных геометрических параметров. На рисунке 1 приведено принятое в модели разделение роторно-винтового движителя на участки.

Рисунок 1. Характерные участки роторно-винтового движителя: 1 - носовой наконечник без винтовой лопасти; 2 - носовой наконечник с винтовой лопастью; 3 - базовый цилиндр;

4 -хвостовой наконечник с винтовой лопастью; 5 - хвостовой наконечник без винтовой

лопасти (составлено автором)

Для описания поверхности РВД ее удобно представить в виде совокупности поверхностей, каждая из которых является гранью ротора. Под гранью в здесь и далее понимается определенный участок поверхности движителя отделимый от других поверхностей движителя характерными линиями стыка - криволинейными ребрами (рис. 2).

Рисунок 2. Грани роторно-винтового движителя на различных участках: а) носовой наконечник; б) базовый цилиндр; в) хвостовой наконечник (составлено автором)

При таком подходе можно выделить 18 основных поверхностей, в соответствии с позициями на рисунке 2 (в скобках указаны индексы для предстоящего обозначения параметров данных поверхностей):

1. Торец носового наконечника (ТНН);

2. Поверхность носового наконечника без винтовой лопасти (ЧНН);

3. Поверхность носового наконечника с винтовой лопастью (ЛНН);

4. Поверхность базового цилиндра (БЦ);

5. Поверхность хвостового наконечника с винтовой лопастью (ЛХН);

6. Поверхность хвостового наконечника без винтовой лопасти (ЧХН);

7. Торец хвостового наконечника (ТХН);

8. Торец винтовой лопасти на носовом наконечнике (ТВЛНН);

9. Пассивная грань винтовой лопасти на носовом наконечнике (ПГ_НН);

10. Верхняя грань винтовой лопасти на носовом наконечнике (ВГ_НН);

11. Активная грань винтовой лопасти на носовом наконечнике (АГ_НН);

12. Пассивная грань винтовой лопасти на базовом цилиндре (ПГ_БЦ);

13. Верхняя грань винтовой лопасти на базовом цилиндре (ВГ_БЦ);

14. Активная грань винтовой лопасти на базовом цилиндре (АГ_БЦ);

15. Пассивная грань винтовой лопасти на хвостовом наконечнике (ПГ_ХН);

16. Верхняя грань винтовой лопасти на хвостовом наконечнике (ВГ_ХН);

17. Активная грань винтовой лопасти на хвостовом наконечнике (АГ_ХН);

18. Торец винтовой лопасти на хвостовом наконечнике (ТВЛХН).

Здесь стоит отметить, что такие формы профиля винтовой лопасти как трапецеидальная, треугольная и листовая образуются тремя основными гранями (названными пассивной, верхней и активной), и поэтому не имеют принципиальных отличий в математическом описании. Разница будет только в различных соотношениях размеров граней винтовой лопасти у основания и при вершине. Принятые названия граней дают им функциональное описание. Активная грань воспринимает реакции снега формирующие тяговое усилие. Пассивная грань в процессе движения стремиться выйти из контакта со снегом из-за наличия буксования. Верхняя грань формирует вершину лопасти и связывает активную грань с пассивной.

Форма и размеры наружной поверхности роторно-винтового движителя могут быть определены параметрами, приведенными на рисунке 3. Размеры профиля винтовой лопасти изначально задаются в сечении плоскостью, ориентированной по нормали к винтовой линии (плоскость у на рисунке 3). Затем истинные размеры профиля пересчитываются в размеры в осевом сечении лопасти - сечение А на рисунке 3.

Рисунок 3. Основные размеры роторно-винтового движителя (составлено автором)

Описание такого количества поверхностей рационально осуществлять в одной системе координат, в качестве которой удобно использовать декартову прямоугольную систему. При

этом использовать общий для всех поверхностей вид записи уравнений. Поскольку большинство поверхностей движителя имеет структуру, схожую с винтовой линией (рис. 4), удобно будет воспользоваться параметрической записью уравнений.

Рисунок 4. Винтовая линия (составлено автором)

Уравнение винтовой линии в параметрическом виде для декартовой системы координат, имеет вид (1):

Г X = а ■ соз( г);

\ ¥ = а ■ 8ш( г); (1)

[ г = ь ■ г.

где: а - расстояние от оси винтовой линии; Ь - шаг винтовой линии; I - параметр.

Для описания какой-либо грани участка движителя, содержащего винтовую лопасть, необходимо ввести в уравнение винтовой линии еще один параметр, отвечающий за формирование фигуры в плоскости ХУ, которая в дальнейшем будет, являясь образующей, двигаться по винтовой линии (направляющей), образуя поверхность. В таком случае общее уравнение граней движителя с «винтовой структурой» имеет вид (2):

Г X = / ( г ) ■ еов[ / (Р )];

\ ¥ = / (г) ■ ¡¡т[ / (Р )]; (2)

[ г = / ( Н ) ■ / ( Р ).

где: / (г) - функция изменения радиуса, определяет диапазон и характер изменения удаленности от оси вокруг которой осуществляется вращение, в данном случае от оси Z;

/(Р) - функция, определяющая диапазон и характер изменения угловых границ фигуры и их положение в сечениях плоскостями параллельными ХОУ;

/(И) - функция, определяющая высоту фигуры.

Таким образом, описание поверхности движителя сводиться к описанию совокупности линий, лежащих в плоскости параллельной ХУ и дальнейшем их перемещении вдоль направляющей, которой является винтовая линия. При этом совокупность этих линий должна образовывать контур фигуры, показанный на рисунке 5, в торцевом сечении роторно-винтового движителя. Сам контур будет включать в себя два фрагмента окружности (дуги) для описания базового цилиндра и верхней грани лопасти, а также два фрагмента архимедовой спирали для описания пассивной и активной граней винтовой лопасти.

Рисунок 5. Пояснение к способу задания профиля винтовой лопасти (составлено автором)

Профиль винтовой лопасти полностью определяется через торцевое сечение. Разница радиуса вершины винтовой лопасти и радиуса базового цилиндра будет являться высотой к винтовой лопасти. В соответствии с рисунком 5 углы а и у будут являться угловыми эквивалентами толщины винтовой лопасти соответственно у основания и при вершине. Углы в\ и в определяют наклон граней в профиле винтовой лопасти. Углы а, у, и вг могут быть легко определены через пропорции в соответствии с рисунком 6. Например, угол а может быть определен по зависимости (3).

Рисунок 6. Схема развертки винтовой лопасти (составлено автором)

а = -• 360

(3)

Важно отметить, что на рисунке 5 приведен пример однозаходной винтовой лопасти, в случае большего числа заходов угловые размеры винтовой лопасти (углы у, в\ и вг) остаются неизменными, а угловые границы контура базового цилиндра будут уменьшены в число раз равное числу заходов винтовой лопасти. Для замыкания контура в данном случае потребуется создать круговой массив поверхностей путем аффинного поворота вокруг оси Z такое количество раз, которое будет равно числу заходов винтовой лопасти, уменьшенному на единицу.

В соответствии с рисунком 3 в модели роторно-винтового движителя рассматриваются 25 основных геометрических параметров:

Параметры базового цилиндра:

1.

- длина части носового наконечника без лопасти, м;

2.

- длина части носового наконечника с лопастью, м;

р

ь

ь

3. 1 НН " 1ЧНН + 1 ЛНН - длина носового наконечника, м;

4. 1БЦ - длина базового цилиндра, м;

5. 1ЛХН - длина части хвостового наконечника с лопастью, м;

6. 1 чхн - длина части хвостового наконечника без лопасти, м;

7. 1 ХН " 1ЛХН + 1ЧХН - длина хвостового наконечника, м;

8. 1РВД 1 ЧНН + 1 ЛНН + 1БЦ + 1 ЛХН + 1 ЧХН - общая длина роторно-винтового движителя, м;

а НН г = -

НН

9. 2 - радиус и диаметр носка (торца) носового наконечника роторно-винтового движителя, м;

г

ХН

а ХН

10. 2 - радиус и диаметр носка (торца) хвостового наконечника роторно-винтового движителя, м;

" БЦ

г = -

БЦ

11. 2 - радиус и диаметр базового цилиндра, м; Параметры винтовой лопасти:

П

12. вл_бц - число навивок винтовой лопасти на базовом цилиндре, шт.;

П

13. ш1_нн - отношение числа заходов винтовой лопасти на носовом наконечнике к числу заходов винтовой лопасти на базовом цилиндре, безразмерная величина;

14. ^ = *1 - направление навивки винтовой лопасти: (+1) - правая, (-1) - левая;

15. Р - ход винтовой навивки, для однозаходного ротора этот параметр будет равен шагу навивки, м;

16. к нн - торцевая высота винтовой лопасти на конце носового наконечника, м;

к

17. БЦ - высота винтовой лопасти на базовом цилиндре, м;

18. к хн - торцевая высота винтовой лопасти на конце хвостового наконечника, м;

19. {АГ-БЦ-И - истинный наклон активной грани винтовой лопасти (в нормальном к

лопасти сечении) на участке базового цилиндра, м;

t„

20. вг_бц_и - истинная толщина винтовой лопасти при вершине (в нормальном к лопасти сечении) на участке базового цилиндра, м;

21. ' ПГ-БЦ-И - истинный наклон пассивной грани винтовой лопасти (в нормальном к лопасти сечении) на участке базового цилиндра, м;

Интернет-журнал «НАУКОВЕДЕНИЕ» Том 8, №4 (июль - август 2016)

http://naukovedenie.ru publishing@naukovedenie.ru

^ АГ_БЦ_И

^ АГ_БЦ =

22. к - наклон активной грани винтовой лопасти в осевом сечении

базового цилиндра, м;

г

ВГ_БЦ_И

г ВГ_БЦ =

23. к - толщина винтовой лопасти при вершине в осевом сечении

базового цилиндра, м;

г ПГ_БЦ_И

г ПГ_БЦ =

24. к - наклон пассивной грани винтовой лопасти в осевом сечении базового цилиндра, м;

25. гОСН_БЦ гАГ_БЦ + гВГ_БЦ + гПГ_БЦ - толщина винтовой лопасти у основания на участке базового цилиндра, м.

Вспомогательные элементы уравнений:

К = сой ! аШп

1.

1 п Л БЦ ^ - коэффициент пересчета истинных размеров в размеры осевых сечений, безразмерная величина;

Ь РВД Ь ЧНН Ь ЧХН

р = -Д-• 360

2. Р - полный угол вращения контура торцевого сечения

движителя относительно начального положения, град.

Данный угол определяет сколько всего оборотов совершит винтовая лопасть с пересчетом в градусы. Профиль винтовой лопасти будет равномерно вращаться по мере подъема вдоль оси движителя. Ориентация профиля лопасти займет начальное положение при подъеме на полный шаг (будет совершен полный оборот). Полный угол вращения контура имеет значение только для участков движителя, содержащих винтовую лопасть. Этот угол обеспечивает поворот профиля эквивалентный длине соответствующего участка, этим обеспечивается точность положения винтовой лопасти в местах стыка характерных участков.

Стоит отметить, что в настоящей модели роторно-винтового движителя форма лопасти в торцевом сечении наконечников принята производной от формы лопасти в торцевом сечении на базовом цилиндре. Принято, что размер верхней грани на всех участках лопасти является одинаковым. В общем же случае торцевые сечения на наконечниках не обязательно должны совпадать или соответствовать торцевому сечению на базовом цилиндре. Однако этот случай здесь не рассматривается ввиду небольшой практической значимости данного фактора.

Угловые эквиваленты размеров винтовой лопасти для построения торцевого сечения базового цилиндра:

г

АГ_БЦ о",

а АГ_БЦ ---360

1. Р - угловой эквивалент размера активной грани лопасти для торцевого сечения ротора, град;

г

ВГ_БЦ о™ а ---360

ВГ_БЦ

2. Р - угловой эквивалент размера верхней грани лопасти для торцевого сечения ротора, град;

р

гПГ БЦ

а ПГ_БЦ = —— • 360

3. Р - угловой эквивалент размера пассивной грани лопасти для торцевого сечения ротора, град;

360

Р= -— а — а — а

БЦ АГ_БЦ ВГ_БЦ ПГ_БЦ

4. ВЛ_БЦ - угловой эквивалент размера грани базового цилиндра, град.

Угловые эквиваленты размеров винтовой лопасти для построения торцевого сечения носового наконечника:

к НН

г = г •

АГ_НН АГ_БЦ

1. БЦ - наклон активной грани винтовой лопасти на торце носового наконечника, м;

2. гВГ_НН гВГ_БЦ - толщина винтовой лопасти на торце носового наконечника, м;

/1

г ПГ_НН г ПГ_БЦ

3. к БЦ - наклон пассивной грани винтовой лопасти на торце

носового наконечника, м;

г АГ НН

а АГ НН = —- • 360

4. Р - угловой эквивалент размера активной грани лопасти для

торцевого сечения ротора, град;

г вг нн

а вг нн = —-• 360

5. Р - угловой эквивалент размера верхней грани лопасти для торцевого сечения ротора, град;

г пг нн

а пг_нн = —— • 360

6. Р - угловой эквивалент размера пассивной грани лопасти для торцевого сечения ротора, град;

360

Р= -— а — а — а

НН АГ НН ВГ НН ПГ НН

7. п ВЛ_БЦ " ВЛ_НН - угловой эквивалент размера

грани базового цилиндра на носовом наконечнике, град;

Угловые эквиваленты размеров винтовой лопасти для построения торцевого сечения хвостового наконечника:

А

г = г • —

АГ_ХН АГ_БЦ

1. БЦ - наклон активной грани винтовой лопасти на торце хвостового наконечника, м;

2. гВГ_ХН гВГ_БЦ - толщина винтовой лопасти на торце хвостового наконечника, м;

г = г •

ПГ_ХН ПГ_БЦ

3. БЦ - наклон пассивной грани винтовой лопасти на торце хвостового наконечника, м;

НН

^ АГ ХН

а АГ ХН = —- • 360

4. Р - угловой эквивалент размера активной грани лопасти для

торцевого сечения ротора, град;

^ вг хн

а вгхн = —-• 360

5. Р - угловой эквивалент размера верхней грани лопасти для

торцевого сечения ротора, град;

^ ПГ ХН

а пгхн = —_-• 360

6. Р - угловой эквивалент размера пассивной грани лопасти для торцевого сечения ротора, град;

360

Р= -— а — а — а

ХН АГ_ХН ВГ_ХН ПГ_ХН

7. п ВЛ_БЦ - угловой эквивалент размера грани базового цилиндра на хвостовом наконечнике, град.

2. Построение основных поверхностей роторно-винтового движителя

В соответствии с общим подходом к формированию математической модели роторно-винтового движителя и основными геометрическими параметрами были сформированы уравнения для одноцилиндрового движителя с коническими наконечниками.

Поверхность каждой грани описывается системой параметрических уравнений и представляет собой криволинейную поверхность, содержащую внутренние координаты i, j. Каждой точке такой поверхности соответствуют определенные значения внутренних координат (i, j) и определенные значения координат (X, Y, Z) декартовой системы координат. Значения координат (X, Y, Z) для каждой точки определяются с помощью системы параметрических уравнений, содержащих переменные, которые зависят от параметров i и j. Для построения поверхности грани роторно-винтового движителя необходимо дискретно (с некоторым шагом) изменять параметры i и j для чего использован прием репараметризации. В модель вводятся дополнительные параметры u и v принимающие некоторые конечные значения для каждой отдельной поверхности. Прием репараметризации позволяет дискретно изменять величины параметров i и j от нулевых значений до значений u и v соответственно. При этом считается, что параметры i и _j могут принимать только целочисленные значения. В уравнения вводятся переменные i/u и j/v, значения которых будут меняться от 0 до 1. Конечное значение параметров u и v определяется для каждой поверхности отдельно и соответствует максимальному количеству точек лежащих на ребрах граней поверхности. Чем большее конечное значение примут параметры u и v, тем по большему количеству точек будет построена поверхность движителя. Построенные точки в декартовом пространстве будут вершинами треугольников (элементарных площадок) формирующих поверхность грани.

Плотность распределения точек (вершин), формирующих поверхность, определяет качество построения поверхности. Для точного описания поверхности роторно-винтового движителя можно принять условие, что максимальное расстояние между точками не превышает 1 мм.

Для управления качеством построения всей поверхности движителя необходимо в выражения для определения максимальных значений параметров u и v ввести общий параметр, отвечающий за точность. Параметр влияющий на точность модели обозначим SP, м

(4).

SP =

step 1000

(4)

где: step - назначаемый максимальный размер ребра элемента сетки, мм; 1000 -константа для учета размерностей.

Торец носового наконечника

Максимальные количества точек, принадлежащие ребрам граней (5):

u = ГГш • SP 1 • v = Г2* • rHH • SP

(5)

Система параметрических уравнений координатных функций (6):

X TNN . . = RNK • cos( W );

Y TNN . . = RNK • sin( W );

i,j

Z TNN . . = 0.

(6)

I z t

[ - i,j

Переменные, входящие в систему параметрических уравнений (6):

RNK = г • — W . = 2 * • —

RNK , _

где: 1 - переменная, изменяющая значение радиуса от 0 до величины нн ;

ж .

] - переменная для построения семейства окружностей, формирующего поверхность.

Часть носового наконечника без лопасти

Максимальные количества точек, принадлежащие ребрам граней (7):

Г

L ЧНН +

(г

(г

) L ЧНН

)• L ЧНН

2 1 • SP 1

v = Г2* • ;

• SP 1

(7)

где НН - значение радиуса носового наконечника в месте

перехода с участка без лопасти на участок с лопастью.

Система параметрических уравнений координатных функций (8):

. = П • cos( W );

X_CNN

i.j '

Y_CNN =

Z CNN

i,j '

(8)

= LF

Переменные, входящие в систему параметрических уравнений (2, 8):

u

v

u =

НН

ЬЕ ; = Ь ЧНН ■ _ П i = Г НН + (г

НН V ПРОМ НН НН

\ 1 } )■ — W , = 2я ■ —

u ■ } v

до

ЬЕ. ь

где: 1 - переменная, изменяющая значение длины наконечника от 0 до ЧНН ;

П

1 - переменная для равномерного увеличения радиуса наконечника от значения ж_нн по мере увеличения длины (постепенное прибавление перепада в радиусах);

W

] - переменная для построения семейства окружностей, формирующего поверхность.

Часть носового наконечника с винтовой лопастью

Максимальные количества точек, принадлежащие ребрам граней (9):

Г

¡ъ

u = | -и(2ж ■ г

1

БЦ

)2 + P 2 ■ ■ 2 ■ & , V =

P I

2п ■ г,

в I

• г

БЦ

SP

360

Система параметрических уравнений координатных функций (2.10):

. = П ■ соэС яе ■ 5 + яс ■ RS нн + яс ■ а то нн );

х_ьыы П

1.)

у_ьж _ П ■

2 ьыы _ ЬЕ

Переменные, входящие в систему параметрических уравнений (10):

П = г + ( Г — Г

I ПРОМ_НН V БЦ ПРОМ_НН

* ^ = -ЛНН-

)_ 1 (Ь — Ь — Ь )

и ■ V РВД ЧНН ЧХН /

■ в ■-

^ НН V ,•= в ,

(9)

(10)

в НН +(в БЦ — в НН )■ L Ьр{ = ь

и •

?

Г

ЧНН + ь ЛНН ■

i 1

(о

I а

* 1

где:

п .

переменная для равномерного увеличения радиуса наконечника от значения

г пром_нн до Гбц по мере увеличения длины (постепенное прибавление перепада в радиусах);

1 - переменная, которая определяет угловое смещение начальной точки для построения дуги (образующей носовой наконечник) по мере увеличения длины наконечника;

переменная, которая определяет последовательное изменение угловых

границ дуги в плоскости параллельной ХУ от в нн до

в б

Г

нн

Г

НН

в

и

(

и

2

и

1 —

1 - угловые границы дуги для промежуточной длины наконечника;

а

ТО_НН . ^

1 - переменная, определяющая дополнительный поворот начального положения точки, от которой начинается построение дуги (торцевого сечения наконечника). Величина этого поворота зависит от угловых эквивалентов пассивной и верхней грани винтовой лопасти в торцевых сечениях базового цилиндра и носового наконечника. Таким образом, дополнительный поворот обеспечивает позиционирование торцевых сечений винтовых лопастей относительно середины верхних граней.

и. ь

1 - переменная, изменяющая значение длины наконечника от 0 до ЛНН

построение поверхности начинается с уровня ь Чнн .

. При этом

Базовый цилиндр

Максимальные количества точек, принадлежащие ребрам граней (11):

^ • ^ БЦ )2 + Р 2 ^

2 Ь БЦ

5Р

2л • г

в

БЦ

• г

БЦ

5Р

360

(11)

Система параметрических уравнений координатных функций (12):

Х_С = г БЦ • сой (зс • 5 + • № БЦ + • ато_нн );

¥-С , ,■ = г к„ • 81п (• 5 + • № к„ + • атсш );

1 ^

1.}

у 2_С . , =

1,3

Переменные, входящие в систему параметрических уравнений (12):

(12)

5 =-ЛНН-• р +---

1 (1 — 1 — 1 ) (1 — 1 — 1 )

^ РВД ЧНН ЧХН ' ^ РВД ЧНН чхн >

■• Р •и

^ БЦ ] = Р БЦ

ЬР 1 = 1 НН + 1 БЦ ^ '

где: 1 - переменная, которая определяет угловое смещение начальной точки для построения дуги (образующей базовый цилиндр) по мере увеличения длины базового цилиндра. При этом учитывается, что торцевое сечение уже частично поворачивалось на участке носового наконечника с винтовой лопастью. На участке базового цилиндра торцевое сечение обернется пропорциональное длине этого участка число раз.

,

- переменная, позволяющая построить дугу (образующая базового цилиндра) в

плоскости параллельной ХУ в угловом диапазоне от 0 до

Р Б

дополнительное угловое смещение начальной точки, от которой начинается

построение дуги;

Р

и =

V =

р

ь

а

ВГ_БЦ

а = а +

ТО_НН ПГ_БЦ

2

V

и

а

LF.

- переменная, изменяющая значение длины базового цилиндра от 0 до значения

Ь БЦ . При этом построение поверхности начинается с уровня ь нн

Часть хвостового наконечника с винтовой лопастью

Максимальные количества точек, принадлежащие ребрам граней (13):

Г

• ^ БЦ ) 2 + P 2 •

1

■ • 2 • SP | v =

2л • r,

в

БЦ

360

• SP

Система параметрических уравнений координатных функций (14):

. = П • cos (sc • S + sc • RS XH + sc • aT0 HH );

X_LXN = П

'.j

Y_LXN = П •

'.j

Z_LXN = LF

'.j

Переменные, входящие в систему параметрических уравнений (14):

\ _ Г = Г +(г — Г

) ■ ПРОМ_ХН ХН V БЦ ХН

П . = r „„ — (r ГТ1 - r

i БЦ V БЦ ПРОМ_ХН

) L ЧХН

(13)

(14)

S. =

L ЛНН + L БЦ

• в +

• в

• П • ■

(L — L — L ) (L — L — L )

V РВД ЧНН ЧХН / V РВД ЧНН ЧХН /

;

в ХН_ПРОМ i = в БЦ — (в БЦ — в ХН )• - LFi= L HH + L БЦ + L

RS x^ ; = в :

Г

Г

a 1 1 Г

a ВГ_БЦ | I I

— I ! (a

i L L

)

i i L

a ВГ_БЦ a ВГ_ХН ) ^ I

u J

11

J.

П .

где: 1 - переменная для равномерного уменьшения радиуса наконечника от значения Гбц до Г ПРОМ_ХН по мере увеличения длины (постепенное вычитание перепада в радиусах);

Г

пром_хн - значение радиуса хвостового наконечника в месте перехода с участка, содержащего лопасть, на участок без лопасти;

я.

1 - переменная, которая определяет угловое смещение начальной точки для построения дуги (образующей хвостовой наконечник) по мере увеличения длины наконечника;

RS

XH i,j

переменная, которая определяет последовательное изменение угловых границ дуги в плоскости параллельной ХУ от в БЦ до в ХН •

в

ХН ПРОМ

1 - угловые границы дуги для промежуточной длины наконечника;

L

u =

P

sc

sc

XH

TO

u

ХН

L

u

u

a ПГ_БЦ +

a

ТО НН

2

2

u

у

то_нн г - переменная, определяющая дополнительный поворот начального положения точки, от которой начинается построение дуги (торцевого сечения наконечника). Величина этого поворота зависит от угловых эквивалентов пассивной и верхней грани винтовой лопасти в торцевых сечениях базового цилиндра и хвостового наконечника. Таким образом, дополнительный поворот обеспечивает позиционирование торцевых сечений винтовых лопастей относительно середины верхних граней.

.

- переменная, изменяющая значение длины хвостового наконечника от 0 до

значения 1ЛХН . При этом построение поверхности начинается с уровня (1 нн + 1БЦ)

Часть хвостового наконечника без лопасти

Максимальные количества точек, принадлежащие ребрам граней (15):

Г

Г

1 ЧХН + | \ГБЦ ГХН

) 1 ЧХН

12

1

• ЯР

л • г • ЯР

■л ' ПРОМ ХН ЯР

| L 1 ХН ] ^ V = Г2л •,

; .

Система параметрических уравнений координатных функций (16):

Х_СХЫ = П

У_СХЫ = П •

I СХЫ — 1Е

Переменные, входящие в систему параметрических уравнений (16):

\ 1 ]

!•- Ж = — = 1 НН + 1 БЦ + 1 ЛХН + 1

П = г — (г — г

г ПРОМ_ХН V ПРОМ_ХН ХН

(15)

(16)

П.

где: 1 - переменная для равномерного уменьшения радиуса наконечника от значения г пром_хн до г хн по мере увеличения длины (постепенное вычитание перепада в радиусах);

ж .

] - переменная для построения семейства окружностей, формирующего поверхность;

1Р т

1 - переменная, изменяющая значение длины наконечника от 0 до ЧХН . При этом

построение поверхности начинается с уровня

(1 НН + 1 БЦ + 1 ЛХН )

Торец хвостового наконечника

Максимальные количества точек, принадлежащие ребрам граней (17):

и = ГГхн • ЯР 1 . V = Г2л • Гхн • ЯР 1 ; .

Система параметрических уравнений координатных функций (18):

(17)

и =

и

V

и

х_тхы

у_тхы

2_тхы

= ЯЫК ■ еок( W ); = ЯЫК ■ 81п( W );

= Ь _ .

(18)

Переменные, входящие в систему параметрических уравнений (18):

ЯЫК = Г ■ — W = 2л ■ —

1 „ ■ —

и

V

яык

где:

W

- переменная, изменяющая значение радиуса от 0 до величины

— - переменная для построения семейства окружностей, формирующего поверхность.

Торец винтовой лопасти на носовом наконечнике

Максимальные количества точек, принадлежащие ребрам граней (19):

Г

360 — в.

1

v = | 2 л ■ г ■-— ■ яр

Г, г,г, I ПРОМ НН " I

и = Г к ТНН ■ ЯР 1 , I _ 360 I

; .

Система параметрических уравнений координатных функций (20):

■ = ят ■ со8( ■ а то НН + ■ а см НН — ■ а РИС НН );

(19)

х_туьы

1.]

у_туьы

1.]'

2 туш

1.]

= ят ■ 8Ш( ■ а то НН + ■ а см НН — ■ а т

(20)

Переменные, входящие в систему параметрических уравнений (20):

ЯТ = Г + к

ПРОМ НН ТНН

1

1—

У

-1

и )

У

-1

и)

ят

где: 1 - переменная, увеличивающая высоту торца лопасти от 0 до величины ТНН а то_нн - угловой сдвиг, определяющий начало построения дуги (образующей торец);

а

см_НН

1 - угловое смещение начальной точки построения дуги (образующей торец);

переменная, которая определяет угловые границы дуг в торцевом сечении.

Г

ХН

1

а

а

а — а

ПГ НН ПГ НН

а

то НН

2

и

и

а

а

Пассивная грань винтовой лопасти на носовом наконечнике

Максимальные количества точек, принадлежащие ребрам граней (21):

Г

д/(2л • г бц )2 + Р 2 • 1 ЛНН

1 ™ 1 v = • 2 • ЯР |

2 л • г

• г

360

+ Ь БЦ • ЯР

(21)

Система параметрических уравнений координатных функций (22):

X РУШИ . . = (П + Ь 1,1 v

ПРОМ_ВЛ_НН

7 РУ1ИИ

1

1.}

= (П + Ь

ПРОМ ВЛ НН

) • сой (дс • ) • йт ( дс • а

с • Я — ДС • Ж ); • Я — дс • Ж ) ;

I РУ1ИИ . . = ЪЕ 1,1

Переменные, входящие в систему параметрических уравнений (22):

(22)

П = г + (г — г

■ ПРОМ_НН V БЦ ПРОМ_НН

! = Ь • —

ПРОМ_ВЛ_НН ПРОМ_НН

1,} 1

Ь = Ь + (Ь — Ь ) • —

ПРОМ НН ТНН V БЦ тнн /

1 Я. =

(1 — 1 — 1 )

V РВД ЧНН ЧХН /

•р • ж . .=

и 1,}

1 I

+ (а ПГ_БЦ — а ПГ_НН ) • _ = 1 ЧНН + 1 ЛНН • _

и

и

Г

-=1а

ПГ_НН + (а ПГ_БЦ а ПГ_НН

)• -

1 [

Г / )•'1

" ВГ_НН V ВГ_БЦ ВГ_НН

П

где:

переменная для равномерного увеличения радиуса наконечника от значения

г пром_нн до гщ по мере увеличения длины (постепенное прибавление перепада в радиусах);

ПРОМ ВЛ НН

, } - переменная, увеличивающая высоту лопасти от 0 до величины

на промежуточном значении длины наконечника;

1 - переменная, изменяющая высоту винтовой лопасти в торцевом сечении от

Ь Ь

тнн до БЦ по мере увеличения длины наконечника;

1 - переменная, определяющая начальную точку для построения фрагмента архимедовой спирали (торцевого сечения пассивной грани) на каждой длине наконечника;

я .

1 - переменная, которая определяет угловое смещение начальной точки для построения фрагмента архимедовой спирали (торцевого сечения пассивной грани) по мере увеличения длины наконечника;

а

БЦ

и =

ч

У

и

1

а

и

а = а

ПРОМ НН ПГ НН

и

а

2

и

Ь

Ь

а

Интернет-журнал «НАУКОВЕДЕНИЕ» Том 8, №4 (июль - август 2016)

http://naukovedenie.ru publishing@naukovedenie.ru

W г ■

- переменная, которая обеспечивает последовательное построение фрагмента

а

^ ПРОМ_НН

архимедовой спирали в пределах 1 ;

а

ПРОМ_НН ^ ч ^ /

1 - угловой размер фрагмента архимедовой спирали (торцевого сечения пассивной грани), меняющийся по мере увеличения длины наконечника;

ь^ ь

1 - переменная, изменяющая значение осевой длины лопасти от 0 до ЛНН . При этом

построение начинается с уровня Ь ЧНН .

Верхняя грань винтовой лопасти на носовом наконечнике

Максимальные количества точек, принадлежащие ребрам граней (23):

u = и/(2л- r бц )2 + P 2 • ^ • 2 • SP I v

a

ВГ БЦ

2л • ( r БЦ + h БЦ ) •—- • SP

360

(23)

P

Система параметрических уравнений координатных функций (24):

x_wLrn t . = (п + h ПРОМ _НН )• cos (sc • aTOJffl + sc • S — sc • W ) ;

, Y_VVLNN . =(n + h ПРОМ НН )• sin (sc • a тонн + sc • S — sc • W ); (24)

I _

I Z VVLNN . . = LF . [ - '. j

Переменные, входящие в систему параметрических уравнений (24):

П = r + (r — r )• — h = h + (h — h )• —

. ПРОМ_НН V БЦ ПРОМ_НН / ПРОМ_НН THH V БЦ THH /

u ■ i

Г / ч i 1

a — + (a ВГ БЦ — a ВГ НН ) • | L i

I а ВГ_НН + \а ВГ_БЦ а ВГ_НН / ■ I „

_ _иА Я = -—--в ■ _ —

а то НН = i (ь — ь — ь ) и w 1 — = а пром нн ■

1 2 • \ь РВД ь ЧНН ь чхн i и • ^ ■> _ 1 V •

; ; ;

1 г

а пром_нн = а вг_нн + (а вг_бц — а вг_нн ) ■ ЬЕ 1 = Ь ЧНН + Ь ЛНН ■

1 и ; и

5 1

П

где: 1 - переменная для равномерного увеличения радиуса наконечника от значения 1РОМ_НН до Гбц по мере увеличения длины (постепенное прибавление перепада в радиусах);

к ПРОМ_НН

1 - переменная, изменяющая высоту винтовой лопасти в торцевом сечении от

к

THH

до БЦ по мере увеличения длины наконечника;

1 - переменная, определяющая дополнительный поворот начального положения точки, от которой начинается построение дуги (торцевого сечения верхней грани);

h

a

ТО НН

Я.

1 - переменная, которая определяет угловое смещение начальной точки для построения дуги (торцевого сечения верхней грани) по мере увеличения длины наконечника;

ж . .

1,3

- переменная, которая обеспечивает последовательное построение дуги в

пределах ~ 1 ;

а

ПРОМ_НН ^ / ^ ч ^

1 - угловой размер дуги (торцевого сечения верхней грани), меняющийся по мере увеличения длины наконечника;

1 - переменная, изменяющая значение осевой длины лопасти от 0 до ЛНН . При этом построение начинается с уровня 1 ЧНН .

Активная грань винтовой лопасти на носовом наконечнике

Максимальные количества точек, принадлежащие ребрам граней (25):

и = |д/(2л • г БЦ )2 + Р 2 • ^ • 2 • ЯР

I Р

1

2 л • г

• г

360

+ Ь БЦ • ЯР

(25)

Система параметрических уравнений координатных функций (26):

X ЛУШИ . . = (П + и

7 ЛУШИ . . = (П + к 1,1 v

I ЛУШИ . = 1Е . 1,1

ПРОМ ВЛ НН

ПРОМ ВЛ НН

) • сой (— )•йт (— д

; • Я + ДС • Ж ); • Я + дс • Ж ) ;

Переменные, входящие в систему параметрических уравнений (26):

П . = г „„„,, „„ + (г Г11 — г

(26)

\ 1 , 1

) • — к = к • — Ь = Ь +

1 ' ПРОМ_НН ' V БЦ ' ПРОМ_НН > ПРОМ_ВЛ_НН . ПРОМ_НН ПРОМ_НН тнн + V* БЦ Ь тнн

и - 1'} 1 V • 1 и

к + (к - к )• —

тнн V БЦ тнн /

а =| а + (а — а )• —1 +

то_нн I аг_нн V аг_бц аг_нн ' 1

1 I и

1 IС

. Я. = -ЛНН--р •-

С1 РВД — 1 ЧНН — 1 ЧХН ) и ■

_ } _ 1_ _

Ж -■ -■ = а ПРОМ_НН . • а ПРОМ_НН . = а АГ_НН + (а АГ_БЦ — " АГ_НН ) • 1Е ; = 1 ЧНН + 1 ЛНН •

1 V • 1 и • и

1,1

п .

где: 1 - переменная для равномерного увеличения радиуса наконечника от значения 1 до гБЦ по мере увеличения длины (постепенное прибавление перепада в радиусах);

ПРОМ_ВЛ_НН

1,1

- переменная, увеличивающая высоту лопасти от 0 до величины

на промежуточном значении длины наконечника;

а

2

а

V =

БЦ

у

V

1

(

1

и

2

г

к

переменная, изменяющая высоту винтовой лопасти в торцевом сечении от

к к

тНН до БЦ по мере увеличения длины наконечника;

1 - переменная, определяющая начальную точку для построения фрагмента архимедовой спирали (торцевого сечения активной грани) на каждой длине наконечника;

1 - переменная, которая определяет угловое смещение начальной точки для построения фрагмента архимедовой спирали (торцевого сечения активной грани) по мере увеличения длины наконечника;

W . . 1

- переменная, которая обеспечивает последовательное построение фрагмента

архимедовой спирали в пределах

ПРОМ_НН ^ л ^ /

1 - угловой размер фрагмента архимедовой спирали (торцевого сечения активной грани), меняющийся по мере увеличения длины наконечника;

ЬЕ. Ь

1 - переменная, изменяющая значение осевой длины лопасти от 0 до ЛНН . При этом

построение начинается с уровня Ь ЧНН .

Пассивная грань винтовой лопасти на базовом цилиндре

Максимальные количества точек, принадлежащие ребрам граней (27):

7(2» ■ г БЦ)2 + р2 -^-ар

V Ц р

1

2 л ■ г ,

360

+ к БЦ Р

Система параметрических уравнений координатных функций (28):

= (Г БЦ + к ПРОМ_БЦ С08 (яС ^ а ТО_БЦ + ЯС ■ Я — ЯС ■ 2 ) ;

= (Г БЦ + к ПРОМ БЦ (ЯС ^ а ТО БЦ + ЯС ■ Я — ЯС ■ 2 ) ;

хруьвс

1.]

уруьбс

1.]

2 руьвс

1.]

БЦ ПРОМ_БЦ

= ЬЕ .

Переменные, входящие в систему параметрических уравнений (28):

Ь „,„,

' = к ■ — а = а +

ПРОМ_БЦ БЦ а ТО_БЦ а ПГ_БЦ +

— V ■ 2

БЦ 5 . =

в +

(27)

(28)

1 (ь — ь — ь ) (ь — ь — ь )

V РВД ЧНН чхн / V РВД ЧНН ЧХН /

1

"■в ■и

] 1

2, = а пг бц ■ " ьЕ 1 = ь НН + ь БЦ ^

V - и

где:

- переменная, обеспечивающая построение пассивной грани путем

изменения высоты винтовой лопасти в торцевом сечении от 0 до

к

а

а

ПРОМ НН

а

ПГ_БЦ

V =

и =

/

ь

БЦ

к

11РОМ_БЦ

к

БЦ

а то_бц - угловое смещение начальной точки для построения фрагмента архимедовой спирали (торцевого сечения пассивной грани);

Я.

1 - переменная, которая определяет угловое смещение начальной точки для построения фрагмента архимедовой спирали (торцевого сечения пассивной грани) по мере увеличения длины базового цилиндра. При этом учитывается, что торцевое сечение уже частично повернулось на участке носового наконечника. На участке базового цилиндра профиль обернется пропорциональное длине этого участка число раз.

I .

1 - переменная, которая определяет последовательное построение фрагмента

01

архимедовой спирали в пределах ПГ_БЦ (угловых границ фигуры);

1Е1 - переменная, изменяющая значение осевой длины лопасти от 0 до 1БЦ . При этом построение начинается с уровня 1 нн .

Верхняя грань винтовой лопасти на базовом цилиндре

Максимальные количества точек, принадлежащие ребрам граней (29):

Л

2л-г БЦ )2 + Р 1 • • ЯР

Ц Р

ВГ_БЦ

2Л •( г БЦ + Ь БЦ )• - •ЯР

360

(29)

Система параметрических уравнений координатных функций (30):

X УУ1ВС

1,1

= (г БЦ + к БЦ )• С0Й ( ^ • а ТО БЦ + 5с • Я — 5с • 1 ) ;

7_УУ1ВС = (г бц + И БЦ ^ (дС • а ТО_БЦ + ^ Я — Ж ^ 1 ) ;

I УУ1ВС . . = 1Е . 1,1

Переменные, входящие в систему параметрических уравнений (30):

(30)

я. =

(1

— 1 — 1

РВД ЧНН ЧХН

ГР + 7-

) (1 РВД — 1

—1

ЧНН ЧХН

тр) и

1Е1 = 1 НН + 1 БЦ •

где: ТО_БЦ - угловое смещение начальной точки для построения дуги (торцевого сечения верхней грани);

Я.

1 - переменная, которая определяет угловое смещение начальной точки для построения дуги (торцевого сечения верхней грани) по мере увеличения длины базового цилиндра. При этом учитывается, что торцевое сечение уже частично повернулось на участке носового наконечника. На участке базового цилиндра профиль обернется пропорциональное длине этого участка число раз.

V =

и =

1

1

1

БЦ

а

ВГ_БЦ

а

ТО_БЦ

2

I

а

V

и

Интернет-журнал «НАУКОВЕДЕНИЕ» Том 8, №4 (июль - август 2016)

http://naukovedenie.ru publishing@naukovedenie.ru

2 .

] - переменная, которая определяет последовательное построение дуги в пределах а вг_бц (угловых границ фигуры);

ьЕ 1 - переменная, изменяющая значение осевой длины лопасти от 0 до 1БЦ . При этом построение начинается с уровня ь НН .

Активная грань винтовой лопасти на базовом цилиндре

Максимальные количества точек, принадлежащие ребрам граней (31):

1(

2л ■ г БЦ)2 + р'ар

Ц Р

2 л ■г

• г

360

+ к ,

■ ЯР

(31)

Система параметрических уравнений координатных функций (32):

х ауьвс

1 уауьвс

1} = (Г БЦ + к ПР0М_БЦ ) ■ С08( — ЯС ■ а ТО_БЦ + яС ■я + яС ■2); г— = (Г БЦ + к ПР0М_БЦ ) ■ 81п( — яС ■ а Т0_БЦ + яС ■ Я + яС ■ 2 );

2 ауьвс . . = ьЕ

Переменные, входящие в систему параметрических уравнений (32):

(32)

к = к ■ —

ПР0М_БЦ БЦ а

] V . Т0_БЦ

И т

БЦ

" ВГ_БЦ 5 = ---в + -

а АГ_БЦ + 1 (ь _ ь _ ь ) (ь _ ь _ ь )

V РВД ЧНН ЧХН / V РВД ЧНН ЧХН /

2

1

в ■и

] 1 2 ■ = а АГ_БЦ ^ _ ьЕ . = ь НН + ь БЦ ^ _

где:

- переменная, обеспечивающая построение активной грани путем

изменения высоты винтовой лопасти в торцевом сечении от 0 до к БЦ ;

то_бц - угловое смещение начальной точки для построения фрагмента архимедовой спирали (торцевого сечения активной грани);

а.

1 - переменная, которая определяет угловое смещение начальной точки для построения фрагмента архимедовой спирали (торцевого сечения активной грани) по мере увеличения длины базового цилиндра. При этом учитывается, что торцевое сечение уже частично повернулось на участке носового наконечника. На участке базового цилиндра профиль обернется пропорциональное длине этого участка число раз.

2

—

- переменная, которая определяет последовательное построение фрагмента

архимедовой спирали в пределах

ье

(угловых границ фигуры);

- переменная, изменяющая значение осевой длины лопасти от 0 до БЦ . При этом

ь „„

построение начинается с уровня

а

2

V =

БЦ

и

)

V

ь

V

и

к

а

Пассивная грань винтовой лопасти на хвостовом наконечнике

Максимальные количества точек, принадлежащие ребрам граней (33):

Г

д/(2л т БЦ )2 + Р 2 •1^ • 2 • ЯР

1

2л •г

• г

360

+ и БЦ •ЯР

Система параметрических уравнений координатных функций (34):

X РУЬШ

УРУ—Ш

1'}

= (П + Ь

1'1

= (П + Ь

пром_вл_хн ) • С0й( • Я + • а то_хн — • Ж ) ПРОМ ВЛ ХН ) • 8'п( • Я + • а то хн — • Ж ) ;

г руьж . . = те 1'1

Переменные, входящие в систему параметрических уравнений (34):

(33)

(34)

П = г — (г — г

■ БЦ ч БЦ

1 Ь

ПРОМ ВЛ ХН

= Ь

БЦ ч БЦ ПРОМ_ХН

М

1 V и пром_хн = и бц — ( и бц — и тхн ) • _

я =

1

Ь ЛНН + ь БЦ

Р+

(— РВД ь ЧНН ь ЧХН ) (— РВД ь ЧНН ь ЧХН )

Г Г/

■•р —

и

а ВГ_БЦ I I Г /

—||_(С [

) 11 I

и J

ч 1 11

I

и \ I

Ж = а • — а

1 1 ПРОМ_ХН пром_хн ~ пг_бц Ч~пг_бц ~ пг_хн

1 V ■ 1 и

- а пг бц — (а пг бц — а пг хн ^ ЬЕ: = — НН + — БЦ + — ЛХН^

П

где:

переменная для равномерного уменьшения радиуса наконечника от значения

гщ до г пром_хн по мере увеличения длины (постепенное вычитание перепада в радиусах);

ПРОМ_ВЛ_ХН

1,1 - переменная, увеличивающая высоту лопасти от 0 до величины на промежуточном значении длины наконечника;

' ПРОМ_ХН

Ь

1 - переменная, изменяющая высоту винтовой лопасти в торцевом сечении от

Ь к

БЦ до ТХН по мере увеличения длины наконечника;

Я

1 - переменная, которая определяет угловое смещение начальной точки для построения фрагмента архимедовой спирали (торцевого сечения пассивной грани) по мере увеличения длины наконечника. При этом учитывается, что торцевое сечение уже частично повернулось на участках носового наконечника и базового цилиндра. На участке хвостового наконечника профиль обернется пропорциональное длине этого участка число раз.

а

V =

БЦ

и

у

V

)

и

и

1

с — с

ВГ БЦ ВГ ХН

С +

ПГ БЦ

а

ТО ХН

2

2

Ч

/

и

1 - переменная, определяющая начальную точку для построения фрагмента архимедовой спирали (торцевого сечения пассивной грани) на каждой длине наконечника;

W . . 1.]

- переменная, которая обеспечивает последовательное построение фрагмента

архимедовой спирали в пределах 1 ;

(X

ПР0М_ХН

1 - угловой размер фрагмента архимедовой спирали (торцевого сечения пассивной грани), меняющийся по мере увеличения длины наконечника;

ье . ь

1 - переменная, изменяющая значение осевой длины лопасти от 0 до ЛХН . При этом построение начинается с уровня (ь НН + ь БЦ).

Верхняя грань винтовой лопасти на хвостовом наконечнике Максимальные количества точек, принадлежащие ребрам граней (35):

Г

7(2» т БЦ )2 + Р 2 ■ — ■ 2 ■ 5Р Р

1

" ВГ БЦ

2» ■( Г БЦ + к БЦ )■ —— ■

360

(35)

Система параметрических уравнений координатных функций (36):

х_ууьхы У ууьхы

1.]

= (П + к

I,]

= (П + к

ПР0М_ХН ) ■ с°< яС ■ Я + яС ■ а то_ХН — яС ■ W ) ; ПРОМ ХН ) ■ 81п( яС ■ Я + яС ■ а то ХН — яС ■ W ) ;

2 ууьхы . .= ье 1.]

Переменные, входящие в систему параметрических уравнений (36):

П = г — ( г — г

• бц ^ бц пр0м_хн

I 1

)■ — к = к — (к — к )■ —

/ пр0м_хн бц у бц тхн '

(36)

я =

ь ЛНН + ь БЦ

в +

1 (ь - ь — ь ) (ь — ь — ь )

V РВД ЧНН чхн / V РВД ЧНН ЧХН /

-■в ■-

ГГ.

( а

— а )

ВГ_БЦ ВГ_ХН '

111

и ]

w = а ■ — а = а — (а — а

1 ] пр ом_хн пр 0м_хн вг_б ц 4 вг_б ц вг_хн

1 v - 1 и

)■ - ьЕ . = ь НН + ь БЦ + ь ЛХН ■ -

П

где: 1 - переменная для равномерного уменьшения радиуса наконечника от значения до Г пром_хн по мере увеличения длины (постепенное вычитание перепада в радиусах);

а

а

V =

и

1

и

и

ь

и

а

а

ТО ХН

2

2

Ч

/

и

г

переменная, изменяющая высоту винтовой лопасти в торцевом сечении от

Ь

БЦ до ТХН по мере увеличения длины наконечника;

Я.

1 - переменная, которая определяет угловое смещение начальной точки для построения дуги (торцевого сечения верхней грани) по мере увеличения длины наконечника. При этом учитывается, что торцевое сечение уже частично повернулось на участках носового наконечника и базового цилиндра. На участке хвостового наконечника профиль обернется пропорциональное длине этого участка число раз.

1 - переменная, определяющая дополнительный поворот начального положения точки, от которой начинается построение дуги (торцевого сечения верхней грани);

ж . . 1,1

- переменная, которая обеспечивает последовательное построение дуги в

пределах 1 ;

п

ПРОМ_ХН

1 - угловой размер дуги (торцевого сечения верхней грани), меняющийся по мере увеличения длины наконечника;

ь^ ь

1 - переменная, изменяющая значение осевой длины лопасти от 0 до ЛХН . При

этом построение начинается с уровня (— нн + — БЦ).

Активная грань винтовой лопасти на хвостовом наконечнике

Максимальные количества точек, принадлежащие ребрам граней (37):

Г

д/(2л т БЦ ) 2 + Р 2

-•2 • ЯР

1

Р

2 л • г ,

360

+ Ь БЦ •Ж

(37)

Система параметрических уравнений координатного функций (38):

x лутш = ( п + и 1,1

7 ЛУ—Ш . . = (П + к

1,1

I ЛУ—Ш = ЬЕ .

1,1

пром_вл_хн ) • с0й( • Я — • а то_хн + *с • Ж ); промвлхн )•sin( ^^ — то хн + *с Ж );

Переменные, входящие в систему параметрических уравнений (38):

(38)

П- = г БЦ — (г БЦ — г ПРОМХН ^ _ Ь ПРОМ_ВЛ_ХН . . Ь 1

1 - и ■ 1'}

1 V .

пром хн

= ь бц — (ь бц — ь тхн )

Я =

Ь ЛНН + Ь БЦ

Р +

(— РВД Ь ЧНН Ь ЧХН ) (Ь РВД Ь ЧНН Ь ЧХН )

■• Р • —

Ь

Ь

а

а

2

а

Ь

V =

и =

/

Ь

и

( а ^

С ВГ_БЦ С АГ БЦ + -

_Ц 2 V у

Г Г/ ч 111

| г п | (а ВГ БЦ — а ВГХН )-~| I

I I ( \ 1 1 1_Л I

— | Г АГ_БЦ — С АГ_ХН ^ и 1 + 2 |

[ ] ;

?

} 1 1

Ж1} = а промхн • _ а промхн = а аг бц — ( С аг бц — С аг хн ЬЕ- = — НН + — БЦ + — ЛХН^_

IV ; I и ; 1 и

5 5 5

П

где: 1 - переменная для равномерного уменьшения радиуса наконечника от значения гщ до г пром_хн по мере увеличения длины (постепенное вычитание перепада в радиусах);

Ь

ПРОМ_ВЛ_ХН

1 1 - переменная, увеличивающая высоту лопасти от 0 до величины

к ПРОМ_ХН

1 на промежуточном значении длины наконечника;

Ь

ПРОМ ХН

1 - переменная, изменяющая высоту винтовой лопасти в торцевом сечении от

ЬЬ

БЦ до ТХН по мере увеличения длины наконечника;

Я,

1 - переменная, которая определяет угловое смещение начальной точки для построения фрагмента архимедовой спирали (торцевого сечения активной грани) по мере увеличения длины наконечника. При этом учитывается, что торцевое сечение уже частично повернулось на участках носового наконечника и базового цилиндра. На участке хвостового наконечника профиль обернется пропорциональное длине этого участка число раз.

ПЕ

ТО_ХН

1 - переменная, определяющая начальную точку для построения фрагмента архимедовой спирали (торцевого сечения активной грани) на каждой длине наконечника;

Ж . .

1 1 - переменная, которая обеспечивает последовательное построение фрагмента

(X

ПРОМ_ХН

архимедовой спирали в пределах 1 ;

(X

ПРОМ_ХН

1 - угловой размер фрагмента архимедовой спирали (торцевого сечения активной грани), меняющийся по мере увеличения длины наконечника;

те . Ь

1 - переменная, изменяющая значение осевой длины лопасти от 0 до ЛХН . При

(—нн + ьБЦ)

этом построение начинается с уровня нн БЦ .

Торец винтовой лопасти на хвостовом наконечнике

Максимальные количества точек, принадлежащие ребрам граней (39):

Г, 360 — Р ХН „р 1

г, „р -, у = |2л ПРОМХН •-• ЯР |

и -\h ТХН •ЯР 1 ; | _ 360 I

; .

Система параметрических уравнений координатных функций (40): 26

(39)

хтуь = ят

1,1

утуь = ят

1,1

2_туь = ь

1,3 НН

= ят ■ С°< 5с ■ в + 5с ■ а то_хн + ■ а СМ_ХН — ■ а РИС_ХН = ят ■ Зт( 5с ■ в + 5с ■ а то_хн + ■ а СМ_ХН — 5С ■ а РИС_ХН

) ; );

Переменные, входящие в систему параметрических уравнений (40):

Ят = Г + к

I ПР0М_ХН ТХН

г,]

У

1

и )

У

1

и)

ят

I

и ]

V

(40)

где: 1 - переменная, увеличивающая высоту торца лопасти от 0 до величины тхн а то_хн - угловой сдвиг, определяющий начало построения дуги (образующей торец);

ПЕ

СМ_ХН

1 - угловое смещение начальной точки построения дуги (образующей торец);

переменная, которая определяет угловые границы дуг в торцевом сечении.

3. Определение характеристик элементарной площадки поверхности роторно-винтового движителя

Системы параметрических уравнений, представленные в предыдущем подразделе, позволяют построить поверхность любого классического роторно-винтового движителя или его участка. На рисунке 7 приведен пример поверхности движителя, построенной в программе Mathcad 15 [37] на основе представленной математической модели. Построенная поверхность обладает высокой точностью, учитывает большое количество геометрических параметров и отражает все ключевые особенности движителя.

Поверхность движителя сформирована из набора поверхностей граней, представляющих собой множество точек, лежащих в узлах сетки внутренней системы координат. Пример такой сетки, видимый при сильном увеличении, приведен на рисунке 8.

а

а

а СМ ХН а ПГ ХН а ПГ ХН

2

и

а

а

Рисунок 7. Поверхность роторно-винтового движителя, полученная аналитическим путем

(составлено автором)

Рисунок 8. Сетка внутренней системы координат на поверхности роторно-винтового

движителя (составлено автором)

Представление поверхности роторно-винтового движителя в виде сетки удобно для последующей триангуляции - способа представления поверхности в виде большого числа элементарных треугольных граней. Именно эти элементарные треугольные грани будут использоваться для моделирования взаимодействия со средой движения. Треугольные грани рационально строить на основе вершин базовых элементов сетки (искривленных четырехугольниках) путем их условного разделения на две части по диагонали (рис. 9).

а) б)

Рисунок 9. Способ триангуляции поверхности движителя: а) формирование произвольного элемента сетки; б) разделение элемента сетки на треугольники (составлено автором)

Рассмотрим произвольный элемент сетки (рис. 9 б), который формируется путем кругового обхода соседних узлов относительно начального положения в точке (/, j). Разделив такой элемент на два треугольника ABC и ACD можно легко определить основные характеристики элементарной площадки - положение, ориентацию и площадь.

Положение площадки в пространстве можно соотнести с положением центра масс треугольника (рис. 9), определяемого с помощью координат его вершин (41):

X t + X 2 + X з у t + у 2 + у з Z д + Z 2 + Z X^^^ y д + y 3 + y „ z 1 + z 3 + z 4 ^

m i(-;-;-) m 2(-;-;-)

3 3 3 -3 3 3

?

Введем следующие обозначения (42):

(41)

AB ( х 2 " Х 1; У 2 " У1 ; Z 2 - z 1) = b (ъх ; b ; b ); у z'

AC ( х3 " х i; У 3 - у 1 ;z3 - z1) = c ( c 4 х ; c ; c ); у z

AD (х, 4 4 - х 1; У 4 - у 1 ^ Z 4 - Z 1) = d ( d ; d ; d ) х у z y

(42)

Тогда с учетом (42) площади треугольников (рис. 9) будут определяться (43): 28

Интернет-журнал «НАУКОВЕДЕНИЕ» Том 8, №4 (июль - август 2016)

http://naukovedenie.ru publishing@naukovedenie.ru

S г = -1- \b x с 1= 1 - -/(b -c - b -c )2 + (b -c - b -c )2 + (b -c - b -c )2 = -1- l, ,

ДАБС L J \l y y Z z y J K z x x z J K x y y x J 1 5

2 2 y y 2

1

1 Г """i 1 I 2 2 T

S . = — - |c X rf 1= — - ../(c - rf - c - rf ) + (c - rf - c - rf ) + (c - rf - c - rf ) = — - l_,

Д ACD L J \1 y z z y 7 vz x x z 7 vx y y x 7 2'

2 2 v y y y y 2

(43)

l l \b x c I \c x rf I

где 1 и 2 - длины псевдовекторов L ■'и L , которые численно равны двойным площадям треугольников ABC и ACD, соответственно.

Ориентация треугольников определяется направлением единичного вектора нормали. Значения координат единичного вектора нормали можно получить путем нормализации

\b X c I \c x rf I , .

координат псевдовекторов L ■'и L J (45):

-— b - c - b - c b - c - b-c b - c - b - c —■

, y z z y z x x z x y y x\ , \

n 1(-; -; -) = n 1( n 1 x ; n 1 y ; n 1 z );

i, i, к

1 1 1 (45)

—► c -rf - c-rf c-rf - c-rf c-rf - c -rf —►

, y z z y z x x z x y y x -, , ч

n 2 (-; -; -) = n 2 ( n 2 x ; n 2 y ; n 2 z )■

12 12 12

Здесь стоит отметить, что для последующего моделирования необходимо обеспечить единое для всех граней направление единичных векторов нормалей относительно внутреннего объема движителя. Наиболее рациональным будет выбор в пользу направления изнутри наружу (из объема движителя). Такой выбор объясняется аналогичным ориентированием единичных векторов нормалей треугольных граней в формате STL (формат хранения данных о цифровых 3D моделях). Благодаря такому же принципу и подходу в представлении поверхности геометрических тел, 3D модели, полученные с помощью САПР систем и сохраненные в формате STL, смогут быть легко обработаны расчетной программой, что важно с точки зрения перспектив развития данного направления моделирования.

Для обеспечения единого для всех граней направления единичных векторов нормалей, относительно объема движителя, необходимо внести в зависимости для определения их координат дополнительные множители, приведенные в таблице 1.

Таблица 1

Перечень дополнительных множителей для координат единичных векторов

Грань движителя Дополнительный множитель

Торец носового наконечника -1

Поверхность носового наконечника без винтовой лопасти -1

Поверхность носового наконечника с винтовой лопастью -sc

Поверхность базового цилиндра -sc

Поверхность хвостового наконечника с винтовой лопастью -sc

Поверхность хвостового наконечника без винтовой лопасти -1

Торец хвостового наконечника +1

Торец винтовой лопасти на носовом наконечнике +sc

Пассивная грань винтовой лопасти на носовом наконечнике +sc

Верхняя грань винтовой лопасти на носовом наконечнике +sc

Активная грань винтовой лопасти на носовом наконечнике -sc

Пассивная грань винтовой лопасти на базовом цилиндре +sc

Верхняя грань винтовой лопасти на базовом цилиндре +sc

Активная грань винтовой лопасти на базовом цилиндре -sc

Грань движителя Дополнительный множитель

Пассивная грань винтовой лопасти на хвостовом наконечнике +sc

Верхняя грань винтовой лопасти на хвостовом наконечнике +sc

Активная грань винтовой лопасти на хвостовом наконечнике -sc

Торец винтовой лопасти на хвостовом наконечнике -sc

Выводы

На основе анализа известных конструкций роторно-винтовых движителей была впервые разработана универсальная математическая модель поверхности классического роторно-винтового движителя, которая обладает признаками научной новизны, заключающимися в явном учете винтовой лопасти и всей геометрии поверхности движителя в целом.

В модели поверхность роторно-винтового движителя описывается в декартовой системе координат в виде совокупности 18 основных поверхностей, учитывает 25 основных геометрических параметров, а также учитывает сложную форму поверхности движителя. Модель обладает высоким уровнем точности аналитического описания и базируется на принципах формирования поверхностей в САПР системах [38], что облегчает переход к использованию в расчетной программе STL файлов, описывающих менее идеализированную поверхность движителя.

Разработанная математическая модель роторно-винтового движителя является достаточно универсальной для точного описания процессов взаимодействия с различными деформируемыми опорными основаниями с помощью численных методов.

Данная работа проводится в Нижегородском государственном техническом университете им. Р.Е. Алексеева при финансовой поддержке государства в лице Минобрнауки России (уникальный идентификатор проекта: RFMEFI57714X0105).

ЛИТЕРАТУРА

1. Крживицкий А.А. Снегоходные машины. - М.: Машгиз, 1949. 235 с.

2. Снег. Справочник / под ред. Д.М. Грея, Д.Х. Мэйла. - Л.: Гидрометеоиздат, 1986. - 751 с. ил.

3. Cole B.N. Inquiry into amphibious screw traction. University of Birmingham, Vol. 175, No. 19 1961.

4. Soltynski A. Ocena "Pizektadni glebowej" modelowego pojaz du tere-nowego // Technika motoryzacyjna. - 1963. - T. 13, №10, - S. 321-329.

5. Soltynski A. Opory tocsenia mechanizmov jezdnych na miekhin podfosu // Tecnika motoryzacyina. - 1962. -T. 12, №9, - S. 287-293.

6. Mitsui archimedean screw tractor. Mitsui engineering and shipbuilding co. 1983.

7. Monbetsu Drift Ice Adventure 6 - Drift Ice Cruise "Garinko No. 2". Режим доступа: http://www.hokkaidolikers.com/en/articles/997 (дата обращения 01.07.2016).

8. Lars M., "Modeling, analysis, and joystick control of the "AMV Oil Spill Fighter", Master thesis in marine cybernetics, NTNU Trondheim, June 21, 2011, 67 p.

9. "Barents 2020 Assessment of international standards for safe exploration, production and transportation of oil and gas in the Barents Sea", Harmonisation of Health, Safety, and Environmental Protection Standards for The Barents Sea, Final Report Phase 4, 2012, 277 p.

10. Project no. 265863 Ocean. 2010-1 "Quantification of climate change impacts on economic sectors in the Arctic", Arctic Climate Change Economy and Society, 2013, 41 p.

11. Kristian N., "Requirements and concepts for arctic evacuation", Master thesis, NTNU Trondheim, 2011, 48 p.

12. Response techniques and resources / research and innovation, Sea & Shore Technical Newsletter n°36, 2012, 8-13 pp.

13. Беккер М.Г. Введение в теорию систем местность - машина. - М.: Машиностроение, 1973. - 520 с.

14. Гавага В.И. Эффективность частичной разгрузки движителей транспортных средств посредством воздушной подушки при движении на слабых грунтах. Сб. докладов науч.-тех. Конф. Применение АВП в народном хозяйстве страны. - М., 1970, с. 118-119.

15. Кошарный Н.Ф. Основы теории рабочего процесса и расчета движителей автомобилей высокой проходимости. Автореферат докторской диссертации. М., 1981. - 39 с.

16. Кошарный Н.Ф. Технико-эксплуатационные свойства автомобилей высокой проходимости. - Киев.: Высшая школа, 1981. - 208 с.: ил.

17. Кошарный Н.Ф., Цирульников В.А., Хабутдинов Р.А. Методика исследования опорно-тяговых качеств роторно-винтового движителя на моделях. -Автомобильный транспорт, 1972, вып. 10, с. 139-144.

18. Хабутдинов Р.А. Исследование взаимодействия роторно-винтового движителя с переувлажненным грунтом. Дис. канд. техн. наук. Киев, 1973.

19. Вологдин В.И. О влиянии параметров роторно-винтового движителя на тягово-сцепные качества снегохода // Сб. научн. тр. Снегоходные машины. Горький, 1969. - Вып. 9. - С. 73-77.

20. Вологдин В.И. Испытания лыжно-винтового снегохода ГПИ-- 16 ВС // Сб. научн. тр. Снегоходные машины. Горький, 1969 Вып. 9. - С. 80-87.

21. Вологдин В.И., Захаренков В.И. Влияние направления вращения винтовых роторов на стабилизацию прямолинейного движения снегохода // Сб. научн. тр. Снегоходные машины. Горький, 1971. Вып. 10. - С. 23-31.

22. Рукавишников С.В., Вологдин В.И. Роторно-винтовой движитель и его особенности. Тр. ГПИ - Горький, 1973, том ХХ1Х, вып. 5, с. 5-29.

23. Снегоходные машины / Барахтанов Л.В., Ершов В.И., Куляшов А.П., Рукавишников С.В. - Горький:. 1986. - 191 с.

24. Адясов Ю.П. Исследования в области транспортных средств на воздушной подушке с роторно-винтовым движителем. Дисс. канд. тех. наук - Горький, 1973. - 224 с.

25. Колотилин В.Е. Исследование процессов взаимодействия роторно-винтового движителя ледово-фрезерной машины со снежным покровом и динамических нагрузок в её силовом приводе. - Дис. канд. тех. наук. - Горький, 1976.-253 с.

26. Левшунов Л.С. Исследование поворота ледорезных машин с роторно-винтовым движителем. Дис. канд. техн. наук. Горький. ГПИ, 1978. 196 с.

27. Куляшов А.П. Специальные строительно-дорожные машины с роторно-винтовым движителем. Дис. докт. техн. наук. Горький. ГПИ, 1986.

28. Куляшов А.П. Специальные строительно-дорожные машины с роторно-винтовым движителем. Дис. докт. техн. наук. Горький. ГПИ, 1986. - 327 с.

29. Роторно-винтовые машины. Основы теории движения / И.О. Донато, В.А. Жук, Б.В. Кузнецов, А.П. Куляшов, В.А. Шапкин, Ю.В. Щербаков. - Н. Новгород, НПК, 2000 - 451 с.

30. Шапкин В.А. Разработка статистического метода оценки колебаний роторно-винтовых машин и путей снижения их уровня при движении по заснеженным основаниям. Дис. канд. техн. наук. - Киев, КАДИ, 1990. - 286 с.

31. Молев Ю.И. Прогнозирование экологических последствий воздействия снегоходной техники на окружающую среду. Дис. канд. тех. наук: 05.05.03. - Н. Новгород, 1995. - 204 с.

32. Кошурина А.А. Методика расчета сопротивлений движению ледорезных роторно-винтовых машин: Дис. канд. техн. наук: 05.05.04. - М., 1990. - 223 с.: ил.

33. Куклина И.Г. Разработка методики расчета колебаний и параметров упругой подвески транспортно-технологических роторно-винтовых машин при движении по льду. Дис. канд. тех. наук: 05.05.04. - Н. Новгород, 2001. - 238 с.

34. Водопьянов Т.В. Методика статистической оценки плавности хода роторно-винтовой машины при движении по ледово-снежному опорному основанию. Дис. канд. тех. наук: 05.05.03. - Н. Новгород, 1998. - 172 с.

35. Доровских С.В. Влияние различных типов движителей на экологию заснеженного опорного основания. Дис. канд. тех. наук: 05.05.03. - Н. Новгород,

1999. - 120 с.

36. Щербаков Ю.В. Разработка методики расчета и выбор рациональных параметров движения подводного транспортно-технологического средства с роторно-винтовым движителем. Дис. канд. тех. наук: 05.05.03. - Н. Новгород,

2000. - 167 с.

37. Макаров Е.Г. Mathcad: Учебный курс (+CD). - СПб.: Питер, 2009. - 384 с.: ил.

38. Голованов Н.Н., Геометрическое моделирование. - М.: Издательство Физико-математической литературы, 2002. - 472 с.

Krasheninnikov Maksim Sergeevich

Nizhny Novgorod state technical university named after R.E. Alekseev, Russia, Nizhny Novgorod

E-mail: maxim.krasheninnikov@mail.ru

The mathematical model of the rotary-screw mover

Abstract. Experience of creation and exploitation of rotary-screw vehicles, both in Russia and abroad has led to the accumulation of a significant amount of experimental data. The research results formed the basis for the creation of different mathematical models of interaction between the rotary-screw mover and a support base. But early, influence of the mover's geometry in different models were limited just by 4-6 parameters.

The author attempted to create a universal (in terms of applicability) mathematical model of the rotary-screw mover for calculation accuracy increase. It is assumed, that the calculation of the interaction between the mover and different support base will be produced by numerical methods. The analysis of known structures showed that the best way for description of mover's geometry consists in representation the surface of mover by a set of individual facets.

The developed model allows to accurately building in the Cartesian coordinate system the surface of any classic rotary-screw mover. This is achieved by taking into account the 25 major geometric parameters of the mover and the description the mover's surface through a set of 18 systems of parametric equations.

Construction of the surface occurs by discrete changes in the parameters included in the equations. Each system of parametric equations describes 2 family of curves, which are the inner grid coordinate system. It allows creating an elementary triangular element of mover surface on the nodes of the grid. The paper presents the mathematical relationships for determination basic characteristics of an arbitrary elementary area.

It is assumed that the calculation of the interaction with the support base will be produced for each elementary area, then performed summation of results. In this case, the proposed mathematical model ensure high accuracy of the calculations in the early stages of research. The model is based on the principles of describe the objects geometry in CAD systems. It simplifies the transition of usage in analysis software the STL files, which can describe less idealized surface of mover.

Keywords: mathematical simulation; surface; parametric equation; elementary pad; rotary-screw mover; numerical technique; triangulation of a surface; support base

REFERENCES

1. Krzhivitskiy A.A. Snegokhodnye mashiny. - M.: Mashgiz, 1949. 235 s.

2. Sneg. Spravochnik / pod red. D.M. Greya, D.Kh. Meyla. - L.: Gidrometeoizdat, 1986. - 751 s. il.

3. Cole B.N. Inquiry into amphibious screw traction. University of Birmingham, Vol. 175, No. 19 1961.

4. Soltynski A. Ocena "Pizektadni glebowej" modelowego pojaz du tere-nowego // Technika motoryzacyjna. - 1963. - T. 13, №10, - S. 321-329.

5. Soltynski A. Opory tocsenia mechanizmov jezdnych na miekhin podfosu // Tecnika motoryzacyina. - 1962. -T. 12, №9, - S. 287-293.

6. Mitsui archimedean screw tractor. Mitsui engineering and shipbuilding co. 1983. 33

7. Monbetsu Drift Ice Adventure 6 - Drift Ice Cruise "Garinko No. 2". Rezhim dostupa: http://www.hokkaidolikers.com/en/articles/997 (data obrashcheniya 01.07.2016).

8. Lars M., "Modeling, analysis, and joystick control of the "AMV Oil Spill Fighter", Master thesis in marine cybernetics, NTNU Trondheim, June 21, 2011, 67 p.

9. "Barents 2020 Assessment of international standards for safe exploration, production and transportation of oil and gas in the Barents Sea", Harmonisation of Health, Safety, and Environmental Protection Standards for The Barents Sea, Final Report Phase 4, 2012, 277 p.

10. Project no. 265863 Ocean. 2010-1 "Quantification of climate change impacts on economic sectors in the Arctic", Arctic Climate Change Economy and Society, 2013, 41 p.

11. Kristian N., "Requirements and concepts for arctic evacuation", Master thesis, NTNU Trondheim, 2011, 48 p.

12. Response techniques and resources / research and innovation, Sea & Shore Technical Newsletter n°36, 2012, 8-13 pp.

13. Bekker M.G. Vvedenie v teoriyu sistem mestnost' - mashina. - M.: Mashinostroenie, 1973. - 520 s.

14. Gavaga V.I. Effektivnost' chastichnoy razgruzki dvizhiteley transportnykh sredstv posredstvom vozdushnoy podushki pri dvizhenii na slabykh gruntakh. Sb. dokladov nauch.-tekh. Konf. Primenenie AVP v narodnom khozyaystve strany. - M., 1970, s. 118-119.

15. Kosharnyy N.F. Osnovy teorii rabochego protsessa i rascheta dvizhiteley avtomobiley vysokoy prokhodimosti. Avtoreferat doktorskoy dissertatsii. M., 1981. - 39 s.

16. Kosharnyy N.F. Tekhniko-ekspluatatsionnye svoystva avtomobiley vysokoy prokhodimosti. - Kiev.: Vysshaya shkola, 1981. - 208 s.: il.

17. Kosharnyy N.F., Tsirul'nikov V.A., Khabutdinov R.A. Metodika issledovaniya oporno-tyagovykh kachestv rotorno-vintovogo dvizhitelya na modelyakh. -Avtomobil'nyy transport, 1972, vyp. 10, s. 139-144.

18. Khabutdinov R.A. Issledovanie vzaimodeystviya rotorno-vintovogo dvizhitelya s pereuvlazhnennym gruntom. Dis. kand. tekhn. nauk. Kiev, 1973.

19. Vologdin V.I. O vliyanii parametrov rotorno-vintovogo dvizhitelya na tyagovo-stsepnye kachestva snegokhoda // Sb. nauchn. tr. Snegokhodnye mashiny. Gor'kiy, 1969. - Vyp. 9. - S. 73-77.

20. Vologdin V.I. Ispytaniya lyzhno-vintovogo snegokhoda GPI-- 16 VS // Sb. nauchn. tr. Snegokhodnye mashiny. Gor'kiy, 1969 Vyp. 9. - S. 80-87.

21. Vologdin V.I., Zakharenkov V.I. Vliyanie napravleniya vrashcheniya vintovykh rotorov na stabilizatsiyu pryamolineynogo dvizheniya snegokhoda // Sb. nauchn. tr. Snegokhodnye mashiny. Gor'kiy, 1971. Vyp. 10. - S. 23-31.

22. Rukavishnikov S.V., Vologdin V.I. Rotorno-vintovoy dvizhitel' i ego osobennosti. Tr. GPI - Gor'kiy, 1973, tom KhKh1Kh, vyp. 5, s. 5-29.

23. Snegokhodnye mashiny / Barakhtanov L.V., Ershov V.I., Kulyashov A.P., Rukavishnikov S.V. - Gor'kiy:. 1986. - 191 s.

24. Adyasov Yu.P. Issledovaniya v oblasti transportnykh sredstv na vozdushnoy podushke s rotorno-vintovym dvizhitelem. Diss. kand. tekh. nauk - Gor'kiy, 1973. -224 s.

25. Kolotilin V.E. Issledovanie protsessov vzaimodeystviya rotorno-vintovogo dvizhitelya ledovo-frezernoy mashiny so snezhnym pokrovom i dinamicheskikh nagruzok v ee silovom privode. - Dis. kand. tekh. nauk. - Gor'kiy, 1976.-253 s.

26. Levshunov L.S. Issledovanie povorota ledoreznykh mashin s rotorno-vintovym dvizhitelem. Dis. kand. tekhn. nauk. Gor'kiy. GPI, 1978. 196 s.

27. Kulyashov A.P. Spetsial'nye stroitel'no-dorozhnye mashiny s rotorno-vintovym dvizhitelem. Dis. dokt. tekhn. nauk. Gor'kiy. GPI, 1986.

28. Kulyashov A.P. Spetsial'nye stroitel'no-dorozhnye mashiny s rotorno-vintovym dvizhitelem. Dis. dokt. tekhn. nauk. Gor'kiy. GPI, 1986. - 327 s.

29. Rotorno-vintovye mashiny. Osnovy teorii dvizheniya / I.O. Donato, V.A. Zhuk, B.V. Kuznetsov, A.P. Kulyashov, V.A. Shapkin, Yu.V. Shcherbakov. - N. Novgorod, NPK, 2000 - 451 s.

30. Shapkin V.A. Razrabotka statisticheskogo metoda otsenki kolebaniy rotorno-vintovykh mashin i putey snizheniya ikh urovnya pri dvizhenii po zasnezhennym osnovaniyam. Dis. kand. tekhn. nauk. - Kiev, KADI, 1990. - 286 s.

31. Molev Yu.I. Prognozirovanie ekologicheskikh posledstviy vozdeystviya snegokhodnoy tekhniki na okruzhayushchuyu sredu. Dis. kand. tekh. nauk: 05.05.03. - N. Novgorod, 1995. - 204 s.

32. Koshurina A.A. Metodika rascheta soprotivleniy dvizheniyu ledoreznykh rotorno-vintovykh mashin: Dis. kand. tekhn. nauk: 05.05.04. - M., 1990. - 223 s.: il.

33. Kuklina I.G. Razrabotka metodiki rascheta kolebaniy i parametrov uprugoy podveski transportno-tekhnologicheskikh rotorno-vintovykh mashin pri dvizhenii po l'du. Dis. kand. tekh. nauk: 05.05.04. - N. Novgorod, 2001. - 238 s.

34. Vodop'yanov T.V. Metodika statisticheskoy otsenki plavnosti khoda rotorno-vintovoy mashiny pri dvizhenii po ledovo-snezhnomu opornomu osnovaniyu. Dis. kand. tekh. nauk: 05.05.03. - N. Novgorod, 1998. - 172 s.

35. Dorovskikh S.V. Vliyanie razlichnykh tipov dvizhiteley na ekologiyu zasnezhennogo opornogo osnovaniya. Dis. kand. tekh. nauk: 05.05.03. - N. Novgorod, 1999. - 120 s.

36. Shcherbakov Yu.V. Razrabotka metodiki rascheta i vybor ratsional'nykh parametrov dvizheniya podvodnogo transportno-tekhnologicheskogo sredstva s rotorno-vintovym dvizhitelem. Dis. kand. tekh. nauk: 05.05.03. - N. Novgorod, 2000. - 167 s.

37. Makarov E.G. Mathcad: Uchebnyy kurs (+CD). - SPb.: Piter, 2009. - 384 s.: il.

38. Golovanov N.N., Geometricheskoe modelirovanie. - M.: Izdatel'stvo Fiziko-matematicheskoy literatury, 2002. - 472 s.