CC BY
24
УДК 66.011
Профессор Ю.И. Шишацкий, аспирант С.Ю. Плюха
(Воронеж. гос. ун-т. инж. технол.) кафедра промышленной энергетики, тел. (473) 255-37-51
Математическая модель процесса извлечения экстрактивных веществ из сырья в форме сферы
Построена математическая модель процесса извлечения экстрактивных веществ из частиц сферической формы, образующих плотный слой. Выполнена проверка на адекватность экспериментальным данным.
Construction of mathematical model of process of extraction substances from particles of the spherical form forming a dense bed. Check on adequacy to experimental data is executed.
Ключевые слова: сферические частицы, неподвижный слой, целевой компонент, экстрагент, адекватность модели.
Математическое описание построено для процесса излечения веществ, протекающего в твёрдых телах простейшей геометрической формы - сферических частицах, образующих в реакторе неподвижный слой (рис.1) [2,4]. К таким телам в нашем случае относятся зёрна ячменя, желуди и корни цикория, измельчённые в крупку.
Экстрагент
Рис. 1. Схема движения жидкого экстрагента в реакторе через неподвижный слой пористых частиц в процессе СО2-экстрагирования
Постановка задачи. Дано сферическое тело (шар) радиуса Я с известным начальным распределением концентрации /(Сд). В частном случае концентрация может быть одинакова и равна С0. В начальный момент времени поверхность шара мгновенно отдаёт экстрактивные вещества до некоторой концентрации, равной Ср, которая поддерживается постоянной на протяжении всего процесса СО2-экстрагирования.
© Шишацкий Ю.И., Плюха С.Ю., 2012
Требуется найти конечное время тк полного освобождения слоя от экстрактивных веществ. Процесс происходит равномерно, так что концентрация зависит только от радиуса частицы Я и времени т[3].
Сформулируем основные допущения:
- распределение частиц целевого компонента по объёму частиц равномерное, а пористые частицы изотропны в диффузионном отношении;
- значение диффузионного критерия Пекле достаточно велико, чтобы пренебречь диффузией вещества в направлении длины слоя;
- слой монодисперсный.
Принятые допущения не нарушают физику процесса, но позволяют получить аналитические решения уравнений модели, приемлемые для выполнения инженерных расчётов.
Решение задачи. Рассмотрим
выражение для относительного
массосодержания частиц [4]:
Мс з Ср
■ = 4>х
M 0
(1)
+П),
Р (1-^3) р
+ н- С <И(1 -ч\)(ч\ р 2 где Мс - массосодержание частиц слоя, кг; М0 - начальное массосодержание единицы объёма слоя, кг; р - усреднённая плотность вещества целевого компонента, кг/м3;
р1 - безразмерный радиус поверхности фронта растворения.
В выражение (1) входит параметр п, который представлен соотношением
Р(1 -Ч\)
ёт
7
где т — время, мин; у = уРе1/2; у = г — Я (Я -радиус частицы, м; г — пространственная
координата выбранной сферической системы). В начале процесса экстрагирования,
когда
концентрация
на
поверхности твёрдого тела, кг/м3), второе и третье в (1) слагаемые малы в силу малости
1 -р. Условиями окончательного этапа
процесса являются С « 0 (С - концентрация компонента, усреднённая по объёму частицы, кг/м3); р «0 . Отсюда видно, что величина второго слагаемого мала вследствие малости концентрации С, а величина третьего слагаемого мала в силу малости р .
Тогда, пренебрегая в выражении (1) вторым и третьим слагаемым, запишем его в виде
М
м п
■ = ч\ .
(2)
Когда происходит движение жидкой двуокиси углерода сквозь слой пористых частиц, целевой компонент переходит из твёрдых частиц в жидкую фазу.
Нестационарное одномерное поле
концентрации С1 описывается уравнением:
дС1 дС1 = Д д2 С д
- V, —- = Д дт дг
П дг2
(3)
где С - концентрация целевого компонента внутри пористых частиц, кг/м3; С1 -концентрация целевого компонента в жидкой двуокиси углерода вне частиц, кг/м3; у2 -скорость движения жидкой двуокиси углерода сквозь слой, м/с; £ - порозность слоя; ДП -коэффициент продольной диффузии, м2/с; д - мощность источников вещества (масса вещества, переходящего в раствор в единицу времени из единицы объёма слоя), кг.
Члены левой части уравнения (3) означают изменение концентрации в слое во времени и по оси г.
Первый член правой части уравнения (3) представляет поток, идущий на изменение
концентрации частиц, а второй - мощность источников вещества по отношению к порозности.
В соответствии с принятым допущением
о том, что значение диффузионного критерия Пекле достаточно велико (Ре>>1), в уравнении (3) пренебрегаем членом, включающим ДП :
Д д2Сі дСі
ДП —^ << у.
П дг2
дг
Тогда
■ = — N П М,
3 дт
(4)
(5)
где N - число частиц в единице объёма слоя; Мс - изменение массосодержания частиц, кг.
Выражение для монодисперсного слоя имеет вид
4 3 И-Я3 = 1 — є. 3
(6)
С учётом (4) - (6) запишем уравнение (3)
иначе
(д€х д€х Л „ дМс п
Тё7+^1гГ(1-£)1;г=а (7)
Для упрощения (7) введём переменную т=т- (г /уг). Она определяет время,
отсчитываемое от момента достижения экстрагентом точки с координатой г. Тогда
, дС1 ] дМс
є тгт)+(1 -є)~дт -0-
(8)
Полагая, что изменение
массосодержания частицы во времени равняется потоку вещества с поверхности частицы [4], запишем
А(Пм, )=д
Здесь т - пористость частицы в области диффузии Я1 < г < Я (Я1 - радиус сферической поверхности, совпадающей с фронтом растворения целевого компонента). Граничными условиями к уравнениях (8) и (9) служат условия второго рода на поверхности частицы
Д дС
— т р Д,
р 1 дг
= в(С р — С1)
(10)
и условие, которое определяет значение концентрации целевого компонента в жидкости в начальном сечении слоя:
С1 = С0 при г = 0. (11)
г=Я
В результате математическая модель процесса экстрагирования жидкой двуокисью углерода из пористых сферических частиц в неподвижном слое включает систему уравнений (8), (9) с граничными условиями (10), (11) и замыкающим выражением (1).
Перейдём к безразмерным переменным
р = г/Я; г = Бт /Я2;
в Я (1 ~£)т р Бг
В1 = —-----; а =---------7---,
тр Б
£УгЯ
где В1т - массообменный критерий Био; в - коэффициент массоотдачи, входящий в массообменный критерий Био;
Б - коэффициент диффузии, м2/с. Система уравнений (8)-(10), учитывая (2), преобразуется к виду дС1 _( дС Л
да
■ + 3
др
= 0;
У р=1
. 21 др Л ( дС Л
М0р I —— 1 = т..
( яг Л
С
др
дт ) (д^р=1
= В1т (Ср - О
(12)
(13)
(14)
/р=1
с граничными условиями
р(а,т) = 1 при т = 0, (15)
С1(а,т) = С0 при а = 0. (16)
Учитывая приближение (2), которое означает малость у, запишем выражение для параметра п:
П = 1 + у
11 —(у -1) +—-2 6р
(17)
С учётом соотношения [4]
= п
(р - 1Л
р\
(1 л2 / ( 1 2
I — 11 — 1
(р ) / (р )
С - С _______
С., - С,
+(1 -п)
преобразуем систему дифференциальных уравнений (12) - (14), при этом выразив
I дС Л
производную -------
(др)р=1
подставив в систему (12) - (14). Тогда
из уравнения (13) и
дС1. + М0 3р’0р.
дт
= 0;
(18)
(19)
Выразим концентрацию Ср целевого
компонента на поверхности частицы через концентрацию насыщенного раствора Сн . Для этого продифференцируем по аргументу р соотношение (17), полагая, что р = 1. Тогда
получим
( дС Л
др
/р=1
(Сн - Ср)
=-П71 -
р1
Л
(20)
Выражая С из (20), с учётом уравнения (13) получим:
Ср = С, + ^ р(1 -р р
трп дт
Подставив (21) в (19), получим
(21)
С = С
М 0р
п
др
дт
(22)
т рп
где р = р(а,т).
Заметим, что при п = 1 полученная система уравнений подобна системе уравнений, приведённой в [1] для идентичного процесса.
Для определения времени извлечения твёрдого вещества в начальном сечении слоя а= 0(г = 0) запишем уравнение для функции
р(0, т), которое получается интегрированием (22) при а= 0 :
тр(Сн -С0)г =
рр
2
М0
3В1
.3 Л
-(1 -р3)
(23)
Тогда из выражения (23) найдём время полного извлечения твёрдого компонента в начальном сечении слоя т0 (т0, мин), при этом приняв р1 = 0 :
М0
т0 =
тр(Сн -С0)
1
3В1,
1
6п
(24)
Разобьём процесс извлечения целевого компонента из пористой среды на две стадии. На первой стадии целевой компонент присутствует во всём объёме слоя, т < т0. На второй стадии при т > т0 объем слоя включает две зоны: зону 0< а < а0, в которой целевой
компонент отсутствует, и зону а0 < а < да , в которой есть целевой компонент. Положение границы между зонами зависит от времени а0. Ниже при рассмотрении второй стадии процесса экстрагирования эта зависимость будет получена.
Для первой стадии (т < т0) граничные условия к уравнениям (18), (21) представлены уравнениями (15), (16) и (23). Запишем
уравнение (22) в виде
М А
тр дт
з (
1 1
Л
Ві
П
Ч\_
2ц
Выполним дифференцирование по о, а
производную
дС1
до
заменим с помощью
соотношения (18). Тогда
д
додт
р
1
Ві„
Л
рр
2п
= — 3Р12 р
дт
Проинтегрировав по т, при учитывая условие (15), получим
д
до
.з (
1
Віт
Рр
2п
=1 — р
этом
(25)
Из (25) интегрируя, по о , имеем
р(о.т) О = |
р(0,г)
Р
1
Віт
Л
РР
п
1—р3
ёр.
(26)
Подставляя значение п = 1, получаем для первой стадии [1, 2]:
а = ф[р(а,т)]-ф[р,(0,т)];
Е =
р\(о,т) — Рі3(0,т) 1 — Р3(0,т)
С1 - С р
где Е =---------, величина Е — безразмерный
Сн - С р
комплекс, зависящий от концентрации С1, осреднённой в пределах объёма одной частицы [1]:
Ф(р) =
1—-
Л
1п(1 — р) —
т у 2р +1
—я
1+р +р
.2 •
Вторая стадия процесса (т > т0) описывается той же системой уравнений (18), (19) с граничными условиями
СДа0,т) = О,; (27)
р(а0,т) = С0. (28)
Решение системы (18), (19) с
граничными условиями (27), (28) для второй стадии процесса аналогично решению системы первой стадии процесса с граничными условиями (15), (16).
Тогда, результат решения системы (18), (19), (27), (28) можно представить в виде интеграла (26) со своими пределами:
( 1 ,1Л
о р(о,т)
| до = |
оо 0
р
1
Віт
рр
п
1—р3
ёр,
откуда находим (п = 1):
о — оо = Ф[р(о,т)]— Ф(0);
С С М0 Г1 з( у, ёо0
С1 = Сн-------[1 — р (о,т)]-
тг
ёт
(29)
Из выражения (29), учитывая условия (27), (28), можно выявить скорость
продвижения границы, отделяющей зону, содержащую целевой компонент, от зоны, уже не содержащей его: ёа0
ёт
т р (Сн — Ср) М 0
откуда после интегрирования положение линии разделения зон: тр(Сн -С0), ч
а0 =------Т7------(т-т0).
М0
находим
(30)
Подстановка (30) в (29) даёт распределение концентраций целевого компонента, обозначенное через Е:
Е =р1(а,т).
В итоге из соотношения (24), (30) следует, что конечное время тк (тк, мин) полного освобождения слоя от вещества равно (п = 1):
(
т„ =
1 1
Л
6 3ВІ
м0
Я2
(Сн — С0К Д
+■
(1 — є)М0 Я
(Сн — С0Є
где Н - высота слоя, м.
Сравним на соответствие модели экспериментальным данным (рис. 2-4)
Рис. 2. Кривые экстрагирования жидким диоксидом углерода экстрактивных веществ из зёрен ячменя (крупка): - расчётные данные;
о экспериментальные данные.
Время экстрагирования %, мин
Рис. 3. Кривые экстрагирования жидким
диоксидом углерода экстрактивных
веществ из жёлудя (крупка): — расчётные
данные; о экспериментальные данные
X
Время экстрагирования т, мин
Рис. 4. Кривые экстрагирования жидким диоксидом углерода экстрактивных веществ из корней цикория (крупка): — расчётные данные, о экспериментальные данные
Из полученных кривых экстрагирования рис. 2-4 видно, что модель адекватна
экспериментальным данным.
ЛИТЕРАТУРА
1. Выгодский, М.Я. Справочник по высшей математике [Текст] / М.Я. Выгодский.
- М.: АСТ: Астрель, 2006. - 991 с. ил.
2. Лобасова, М. С. Тепломассообмен [Электронный ресурс] : курс лекций / М. С. Лобасова, К. А. Финников, Т. А. Миловидова [и др.]. - Красноярск: ИПК СФУ, 2009. - 295 с.
3. Островский, Г. М. Новый справочник химика и технолога. Процессы и аппараты химических технологий [Текст] / под ред. Г. М. Островского [и др.]. Ч. II. - СПб.: НПО «Профессионал», 2006. - 916 с.
4. Протодьяконов, И.О. Гидродинамика и массообмен в дисперсных системах жидкость — твердое тело [Текст] / И.О. Протодьяконов, И.Е. Люблинская, А.Е. Рыжков. — Л.: Химия, 1987. — 336 с.
