CC BY
37
3(19)2012
Мелиорация и гидротехника
УДК 631.341
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ОПТИМИЗАЦИИ ОБЪЕКТОВ ИССЛЕДОВАНИЙ
© 2012 г. М.В. Кузнецова
Рассматривается расчет оптимальных элементов техники полива. Для окончательного определения оптимальных значений изучаемых факторов проводится несколько групп опытов с применением симплексно-суммируемого плана типа правильного шестиугольника. Составлена математическая модель в виде уравнения второго порядка.
Ключевые слова: многофакторная статистическая модель, симплексно-суммируе-мый план, поверхность отклика, математическое моделирование, матрица планирования.
Calculation of optimum elements of equipment of watering is considered. For finally determination of optimum values of studied factors some groups of experiences with application simplex summable plan such as the correct hexagon are carried out. The mathematical model in the form of the equation of the second order is received.
Key words: multiple-factor statistical model, the simplex summable plan, response surface, mathematical modeling, planning matrix.
Введение. Получение многофакторных статистических моделей, линейных по параметрам и не линейных по факторам, часто сводится к решению некорректно поставленных обратных задач, которые требуют разработки специальных методов их решений.
Цель и задачи. Сложность решаемых прикладных задач такова, что использование теоретико-аналитического подхода не всегда возможна. Тогда необходимо применять экспериментально-статистический подход, заключающийся в том, что формализованная информация предоставляется исследователем в виде математических моделей, необходимых для принятия решений, изучения, управления и оптимизации объекта исследования.
Методика исследований. Рассмотрим устойчивую структуру многофакторной статистической модели - структуру, которая характеризуется неизменностью множества главных эффектов и взаимодействий многофакторной статистической моде-
ли полиномиального вида при изменении значений результатов экспериментов (откликов), порождаемых случайными ошибками (погрешностями) результатов наблюдений, измерений, вычислений и неопределенностью искомой структуры модели.
В исследовании были проведены математическое моделирование и оптимизация элементов техники полива.
Для определения степени влияния поливной нормы (Dir), длины борозды (//), уклона (i), расхода в борозду (q), продолжительности полива (t), скорости движения воды в борозде (V) на глубину промачива-ния (h) проводилось 3 группы опытов в соответствии с матрицей планирования для шестифакторного плана. Кодирование и варьирование переменных показано в таблице.
Обработка результатов I группы опытов позволила получить искомую функцию отклика (глубину промачивания), которая может быть аппроксимирована линейным уравнением:
h
=1,03+0ДХ1 -0,09Х2 -0,07Х3 +0,007Х4 +0,05Х5 -0,01Х6.
(1)
По полученному уравнению построен следуемых факторов на глубину промачи-ранжированный ряд (рисунок), опреде- вания h . ляющий степень влияния каждого из ис-
97
Вестник аграрной науки Дона
3(19)2012
Анализ этого ряда позволил исключить из дальнейших исследований факторы расход и скорость, как менее значимые, и
провести вторую группу опытов с анало гичными I группе кодированием и варьированием переменных.
Кодирование и варьирование переменных
Факторы Код Основной Интервал Нижний Верхний
уровень(О) варьирования уровень(-) уровень (+)
3 Dir, тыс.м /га Xi 0,9 0,1 0,8 1,0
//, км Х2 0,15 0,1 0,05 0,25
i Х3 0,006 0,002 0,004 0,008
q, л/с Х4 1,5 0,5 1,0 2,0
t, час Х5 2,0 0,5 1,5 2,5
V, м/с Хб 0,16 0,04 0,12 0,20
С ° 00 '
л
X
О)
с
О)
h
О
(О
25
20
15
10
5
0
Ст
Степень влияния каждого из исследуемых факторов Xi на глубину промачивания
По результатам второй группы опытов c учетом статистической значимости получена модель вида (2) и установлены:
hmax 1,19 м» hmin 0,70 м,
/г=1,01+0,15Х1 -0,03Х2 -ОДЭБХ^ ++0,28Х32 -0,09ХзХ3 -0,08X3X3 -0,07Х2Х3 (2)
Для окончательного определения значений факторов X1(Dir) и Х2(//) проведена третья группа опытов с применением симплексно-суммируемого плана типа правильного шестиугольника с застабилизиро-
ванными значениями X3(i) = 0,005 и X4(t) = 2,5 ч.
Результаты исследований. По результатам проведенной группы опытов получена двухфакторная модель в общем виде (3):
(3)
/г=0,96+0,03 8Х3 -0,14Х2 +0,063Х32 -0,031Х22 +0,ПХ^,
Построенная модель адекватна, максимально устойчива. Эта модель была использована для анализа влияния различных факторов на глубину промачивания.
Выводы. Выбор плана эксперимента на основе симплексно-суммируемого плана позволил установить истинную структуру модели, не известную заранее исследовате-
98
3(19)2012
Мелиорация и гидротехника
лю, путем выбора статистически значимых эффектов из множества эффектов модели полного факторного эксперимента. Данный план рекомендован для определения оптимальных параметров основных элементов техники полива.
Литература
1. Тихонов, А.Н. Методы решения некорректных задач: учеб. пособие для вузов / А.Н. Тихонов, В.Я Арсенин. - 3-е изд., испр. - Москва: Наука, 1986. - 299 с.
2. Жуковский, Е.Л. Статистическая регуляризация решений обратных некорректно поставленных задач обработки и
интерпретации результатов эксперимента / Е.Л. Жуковский // Методы математического моделирования, автоматизация обработки наблюдений и их применения: сб.; под ред. А.Н. Тихонова, А.А. Самарского.
- Москва, 1986. - C. 47-72.
3. Hoerl, А.Е. Ridge regression: biased estimation for non-orthogonal problems / А.Е. Hoerl, R.W. Kennard // Technometrics.
- 1970. - Vol. 12. - P. 55-67.
4. Ивахненко, А.Г. Моделирование сложных систем: информационный подход / А. Г. Ивахненко. - Киев: Вища школа. Голов. изд-во, 1987. - 63 с.
Сведения об авторе
Кузнецова Мария Владимировна - канд. техн. наук, доцент кафедры математики Новочеркасской государственной мелиоративной академии (г. Новочеркасск).
Information about author
Kuznetsova Maria Vladimirovna - Candidate of Technical Sciences, associate professor of the mathematics department, Novocherkassk State Meliorative Academy (Novocherkassk).
99
