CC BY
62
ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА И МЕТОДЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ
УДК 536.2:539.3
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ НЕЛОКАЛЬНОЙ ТЕРМОВЯЗКОУПРУГОЙ СРЕДЫ. Ч. 1. ОПРЕДЕЛЯЮЩИЕ УРАВНЕНИЯ
Г.Н. Кувыркин
МГТУ им. Н.Э. Баумана, Москва e-mail: fn2@bmstu.ru
На основе соотношений рациональной термодинамики необратимых процессов с внутренними параметрами состояния предложена математическая модель сплошной среды с учетом эффектов нелокальности и вращательных степеней свободы элементов структуры.
Ключевые слова: нелокальная среда, внутренние параметры состояния, законы термодинамики, необратимый процесс, энтропия, свободная энергия.
MATHEMATICAL MODEL OF NON-LOCAL THERMAL VISCOELASTIC MEDIUM. PART 1. DETERMINING EQUATIONS
G.N. Kuvyrkin
Bauman Moscow State Technical University, Moscow e-mail: fn2@bmstu.ru
Based on relationships of rational thermodynamics of irreversible processes with internal state parameters, the mathematical model of continuum is proposed taking into account the effects of nonlocality and rotational degrees offreedom of structure elements.
Keywords: nonlocal continuum, internal state parameters, laws of thermodynamics, irreversible process, entropy, free energy.
Современные конструкционные и функциональные материалы, представляющие собой совокупность микро- и наноструктурных элементов, часто называют структурно-чувствительными материалами. К таким материалам в чистом виде неприменима методология континуума. Тем не менее бывает допустимым распространение методов и математических моделей классической механики сплошной среды на нано- и микроуровень. Такой прием распространения взглядов классической механики сплошной среды на среду с микро- и наноструктурой называют методом непрерывной аппроксимации [1]. Область науки, в которой поведение материалов с микро- и наноструктурой изучают с использованием метода непрерывной аппроксимации, иногда называют обобщенной механикой сплошной среды [1]. В методе непрерывной аппроксимации используют такие понятия, как полярность (микрополярность) и нелокальность.
Важный этап в создании и использовании рассматриваемого класса материалов — построение математических моделей, позволяющих
описать поведение этих материалов в широком диапазоне изменения внешних воздействий. Однако общая методология построения таких моделей еще далека от завершения.
В статье предложена термомеханическая модель материалов с малоразмерной структурой, учитывающая временные эффекты при аккумуляции и распространении теплоты и деформировании, а также эффекты пространственной нелокальности.
Для получения определяющих уравнений воспользуемся соотношениями, полученными в [2] для микрополярной среды с внутренними параметрами состояния. Достаточно полный обзор по микрополярной теории упругости приведен в работах [3, 4], авторы которых, однако, или не упоминают о влиянии температуры на напряженно-деформированное состояние, или учитывают это влияние в классической постановке [5]. В настоящей работе дано обобщение и распространение полученных ранее результатов по построению математических моделей сплошной среды с внутренними параметрами состояния на микрополярную нелокальную среду с внутренним трением.
Определяющие уравнения нелокальной среды с внутренними параметрами состояния можно получить в рамках теории малой деформации, используя закон сохранения энергии [5-7]:
дик дфк dqk
ри = а3к —--e3km °ктф3 + Щк дХ--ддХх~ + qv , г' j' k, m = 1, 2, 3,
x3 x3 Хк (1)
где р — плотность материала; и — массовая плотность внутренней
• д( )
энергии; ( ) = , t — время; а,к = ак, — компоненты тензора напряжений; ик — проекции вектора перемещения на оси Охк прямоугольной системы координат; x, — декартовы координаты; е,кт — символы Леви-Чивиты; ф, — проекции вектора микроповорота; т,к — компоненты тензора моментных напряжений; С1к — проекции вектора плотности теплового потока; qv — объемная плотность мощности внутренних источников (стоков) теплоты. После использования преобразования Лежандра [7]
и = A + Th,
где A, h — массовые плотности свободной энергии Гельмгольца и энтропии, T — абсолютная температура, уравнение (1) принимает вид
pTh = - + qv + SD, (2)
дхк
х -ик . , дфк .• + , где SD = а,кд^.--езкш°ктф3 + т,кд^.--P(A + Th) — диссипативная
функция.
Комбинируя (2) с неравенством Клаузиуса-Дюгема [7] ■ dqk qk дТ
pTh + ëX~k - T dXk- qv >0 (3)
и принимая в качестве реактивных переменных тензор микродеформации с компонентами
1 / duk дщ \
ekl = S kl + eklm (Urn — = ~ I + J +
1 ( дщк дщЛ + 2 V ~дх~ - д^ ) + eikm^rr, k, l, m = 1, 2, 3,
1 (дщ дщ \
где Ski = — -7;--+ — — компоненты симметричного тензора ма-
2 \ дх1 дхк)
лой деформации, градиент вектора микроповорота с компонентами
(kl = дг~, абсолютную температуру Т и ее градиент с проекциями
дх1 дТ
vk = ——, а также внутренние параметры термодинамического состо-
дхк
яния: скалярный к, векторный с проекциями кк и два тензорных с
(1) (2)
компонентами кк/ и кк1 , получаем
дА дА , дА дА
j = ,Щк = P8Z~,h = -дТ, ЩдТ/дХк) =0 (4)
и вместо (3) —
qk дТ + S > 0 S = Р ( дАк+ дАк + дАК(1) + дА ■ (2) Т дхк + Sd >0, Sd=-р{дКК+ дК-кKk + Kjk + K
Так как в дальнейшем рассматриваем геометрически линейную среду, то |ej | ^ 1, IZj|-1 ^ L, где L — характерный размер рассматриваемого тела. Положим также, что к — термодинамическая температура, ассоциированная с локально неравновесными процессами аккумуляции теплоты; Kk — проекции вектора, характеризующего распространение теплоты и ассоциированного с решеточным (фононным) или другим преобладающим физическим процессом теплопроводно-
I I // 1 (1) (2)
сти, | Kk | ^ 1; Kjk и Kjk — компоненты тензоров, определяющих на
микроуровне эффекты вязкости, ij" | ^ 1 и |Kj2)| ^ 1.
Зададим объемную плотность свободной энергии в виде разложения в ряд Тейлора в окрестности нулевых значений аргументов eij, Zij, Kj и Kj при температуре Т = Т0 естественного состояния, а также примем дА/дкi = 0. Тогда для окрестности точки с радиусом-вектором х, принадлежщей области V, занимаемой элементом микро-или наноструктуры, получаем
pA{eki, (ki, 4м 4м T, к) = pAo+
+ J (^(x,x')ej(x') + D,4(x,®%,-(x')JdV(x') + + 1У dV(x')J (Cjiki(x, x', x")eki(x')eij(x") +
V V
+ С,™(X, х', «'')С«(х')^(х'') + 3(х, х', х'')к£)(х')к(;)(х'') +
+ В%(х, х', х'О^х'К^х'') + (х, х', х'%1 (*Оеу (х'') + + (х, х',Х') «^(х') ез(х'') + 2^^(х')^(х'')+ + 2%ы (х, х', х'')^(х')к(2)(х'') - 23 (х, х', х'')екР(х')егз(х'')-- 2Й(х, х', х'')екК)(х') е^ (х'')) ¿V(х'') + р (Т - То) Во(к), (5)
где е^), е^) — компоненты тензора температурной микродеформации и тензора, зависящего только от термодинамической температуры, |екТ)| ^ 1 и |екКК)| ^ 1; в естественном состоянии А0 = 0, В0 = 0. Положим также, что
Взг(х, х') = В^(|х' - х|), Б^ч(х, х') = |х' - х|),
¿^(х, х', х'') = ОзШ(р( |х' - х|)<р(|х'' - х|),...,
Йш (х, х', х'') = Йпк1 <р(|х' - х|)<р(|х'' - х|),
где <^(|х' - х|), <^(|х'' - х| — функции влияния, определяющие эффект пространственной "памяти", и
I р(|х' - х|)^(х') = у р(|х'' - х|)^(х'') = 1,
а также <^(|х' - х|) = 0 только при (|х' -х|) € V(х') и <^(|х'' - х|) = 0 только при (|х'' - х|) € V(х'').
Тогда в силу первого и второго равенств из (4) имеем
3 = Взг + У ОзШр(|х' - х|)(еы(х') - е£Р(х'(х') +
V
+ 1 Fзiklф(|x' - х|)С«(х')^(х') + У Е3;^(|х' - х|)«2У)^(х')-
V V
-I Йзш^х' - х|)екКУ)^(х'), (6)
V
m3l = Dji + Gjikip(\x' - x\)Zki(x')dV(x')+
V
+ 1 Ъмм(|х'-х|)еы(х'^(х') + у Е®м(|х'-х^(х')вУ(х').
Так как массовую плотность энтропии определяет третье равенство из (4), то, используя (5), получаем
Р / с^мх - х|)
h = - CjikMIx'' - eij(x'')dV(x'') - Bo(k). (7)
V
Соотношения (6) являются достаточно общими, поэтому необходимо установить ограничения на коэффициенты Бзг, С^м, БзМ, (2)
, СуМ и Е^. Объемная плотность свободной энергии инвариантна к выбору направлений осей принятой системы координат, поэтому при изменении направления любой из осей координат на противоположное компоненты (Ы градиента вектора микроповорота в силу равенства = д^к/дх\ изменяют знак на противоположный. Поэтому изменяется и величина рА. Следовательно, Буг = 0, БзМ = 0. Кроме того, в силу очевидных равенств для дважды непрерывно дифференцируемой функции А
д2А д2 А д2 А д2 А
deij öeki dekidej д^ ö(ki д(ыд(^ д 2A д2 A д 2A d2A
deij дКы dKjdekJ dCij дКм д^дСы
имеем
С = С П = П Е(1) = Е(1) Е(2) = Е(2)
с3%ы = СЫ']г, Пзгк1 = Пк1з%, Е = Ек^г, Е ]гкЛ =
и число компонент С:цк1, Сцы, Е(1Ы и Е^ составляет 45; компонент Б^, задающих начальные напряжения в недеформированном теле — девять. Таким образом,
а3г = Буг + У Слым(|х' - х|)(еы(х') - ек?(х'))йУ(х') +
V
+ / е(Мм(|х'-х^кк^х'^У (х')-/ ИугкМ^'-х|)екК\х')дУ (х'),
V V
(8)
ш3г =1 03гк1 м(|х'-х|)Ск/(х')^У(х')+/Е® м(|х'-х|)«£?(х')^У(х').
V V
Предположим, что вязкие свойства микрополярной среды проявляются только при ненулевых значениях градиента вектора микроповорота с компонентами £тп и разности компонент тензоров линейного поворота штп = етпрШр (р = 1, 2,3) и линейного микроперемещения ^тп = етпр^р (штп - ^тп = 0). Кроме того, к^ зависят только от разности (штп - <£тп), а к^ только от £к1. Таким образом, вязкие свойства среды, определяемые этими параметрами, проявляются только
при макро- и микроповоротах и наличии градиента вектора микроповорота. в виде
тт (!) (2)
ворота. Для определения «к1 и «k/ зададим кинетические уравнения
К(!) + к(!) =
4 к1 + Кк1 =
= }Кк;тп^ (|х' - х|)(^тп(х',^) - Ртп^'^)^(x'), (9)
V
С4? + кк2) = IКк?^п^(|х' - х|)Стп(х',^(х'),
V
где , ¿т — времена релаксации параметров состояния.
Решения уравнений (9) при соответствующих начальных условиях (£ = 0, Штп = ^тп = 0, (тп = 0) имеют вид
кк!) (х',^) = У^п^(|х' - х|Л ^тп(х') ¿) - ^тп(х',^)-
V ^
4 \
^ехр -(^тп(х', ¿') - <Ртп(х',г'))^' 1 ¿V(х'),
t
0 / ' (10) 42' (*',0 = I - х|)1 Ст„(х' ,г)-
V ^
4 \
7 ехР ("^) ^* ¿V(х').
о '
Подставив (9) в первое и второе равенства (8) соответственно, получим
з = Взг + У Сз-гЛ1 <р( |х' - х |) (ек1 (ж') - екГ)(ж')) ^ (х')+
V
+ 1 ¿V(ж') у М^ |ж' - ж|)^(|ж'' - ж|)( ^к1(ж'',*) - № («'',*)-
V V
t t 4
exp ( - -д {uki(x\t') - <ры (x'' ,t')) dt') dV (x'')- (11)
- HjikM\x' - x\)ekK\x')dV(x'),
V
mji = I GjtkM\x' - x\)(ki(x')dV (x') + J dV (x') j j p(\x' - x\)x
V V V
xip(\x" - x\) (cki(x'',t) - jexp (-) дСы™ dt' j dV(x''),
где М(1) = Е(1) К(1) М(2) = И(2) К(2)
^ Мугк1 Е уггпп1 тпк1, М з%к1 ИзгтпКшпк1"
Соотношения (11) определяют математическую модель стандартной линейной нелокальной микрополярной среды с учетом температурной микродеформации (е^^ и деформации, обусловленной неравновесностью процесса аккумуляции теплоты [еук1
Положив в (11) м(|х'-х|) и м(|х''-х|) равными ^-функции Дирака с соответствующим аргументом, получим
(т) (1) I
Uji = Bji + Cjiki (eki - ekl ) + M((iki\ Vki - Vki
t - ^ \ д , s „ (к)
- I eXP |--) of, (^ki - Vki) dt ) - H(ikiekl
mji = GjikiZki + ( (ы - f exp | -' ) dt' ). (12)
m
т - (Т) (к)
Такой же результат можно получить, если принять ек1, ехк1 , ек] ,
Шкг, Мк1 и Ска функциями х и Ь.
Если в материале определяющим является только один, фононный, процесс теплопроводности, то кинетические уравнения, описывающие изменение кг и термодинамической температуры к во времени в линейном приближении, можно принять в виде [8, 9]
Ь*г + АгуК у = Кг , Ьт^ + А44К = К, (13)
где Ь*, ЬТ — времена релаксации соответствующих параметров состояния; Кг, К — функции, определяющие равновесные значения параме-
t
тров состояния; Aj = A^, det (Aj) > 0. Термодинамическую температуру определяет спектр частот и амплитуд колебаний атомов на свободной поверхности микро- и наноструктурных элементов.
Полученные выражения для массовой плотности энтропии (7) и компонент тензоров напряжений и моментных напряжений (11) дают возможность описать процессы переноса энергии, количества движения и его момента с учетом особенностей структуры исследуемого тела.
Работа выполнена по гранту НШ-255.2012.8 Программы Президента РФ поддержки ведущих научных школ.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Введение в микромеханику / Онами М., Ивасимидзу С., Гэнка К. и др. / Пер. с япон. - М.: Металлургия, 1987. - 280 с.
2. Кувыркин Г. Н., Савельева И. Ю. Математическая модель микрополярной среды с внутренними параметрами состояния // Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. Естественные науки, 2011. - Спец. выпуск "Прикладная математика". - С. 51-62.
3. Амбарцумян С. А., Белубекян М. В. Прикладная микрополярная теория упругих оболочек. - Ереван: Гитутюн, 2010. - 136 с.
4. К р и в ц о в А. М. Деформирование и разрушение твердых тел микроструктурой. - М.: Физматлит, 2007. - 304 с.
5. Э р и н г е н А. К. Теория микрополярной упругости / В кн. Разрушение. Т. 2. - М.: Мир, 1975. - С. 646-751.
6. E г i n g e n A. C. Nonlocal continuum field theories. - New York-Berlin-Heidelberg: Springer-Verlag, 2002. - 393 pp.
7. Зарубин В. С., Кувыркин Г. Н. Математические модели механики и электродинамики сплошной среды. - М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2008. -512 с.
8. Кувыркин Г. Н., Савельева И. Ю. Математическая модель теплопроводности новых конструкционных материалов // Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. Естественные науки. - 2010. - № 3. - С. 72-85.
9. Зарубин В. С., Кувыркин Г. Н., Савельева И. Ю. Нелокальная математическая модель теплопроводности в твердых телах // Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. Естественные науки. - 2011. - № 3. - С. 20-30.
Статья поступила в редакцию 15.05.2012
Георгий Николаевич Кувыркин — д-р техн. наук, профессор, зав. кафедрой "Прикладная математика" МГТУ им. Н.Э. Баумана. Автор более 160 научных работ в области прикладной математики и математического моделирования термомеханических процессов в материалах и элементах конструкций.
G.N. Kuvyrkin — D. Sc. (Eng.), professor, head of "Applied Mathematics" department of the Bauman Moscow State Technical University. Author of more than 160 publications in the field of applied mathematics and mathematical simulation of thermomechanical processes in materials and construction members.
