CC BY
43
МАШИНОСТРОЕНИЕ И МАШИНОВЕДЕНИЕ
УДК 629.11.012 (075.8)
Е. А. Тарасов
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ, КАК ОСНОВА КОМПЬЮТЕРНОГО ЭКСПЕРИМЕНТА ДЛЯ ТЕХНОЛОГИЧЕСКОГО АГРЕГАТА С РЕКУПЕРАТИВНЫМ ГИДРОПРИВОДОМ
Аннотация. Разработанная математическая модель легла в основу проведения компьютерного эксперимента для технологического агрегата с рекуперативным гидроприводом. В целом она подтвердила правильность предпосылок, заложенных при обосновании конструкции агрегата с рекуперативным гидроприводом и доказала способность предложенной схемы на существование.
Ключевые слова: компьютерный эксперимент, математическая модель, рекуперативный гидропривод.
Abstract. The developed mathematical model has formed the basis of the computer experiment for a technological unit with a recuperative hydraulic actuator. Integrally the model has proved that the preconditions built into substantiation of the unit design are correct and confirmed the offered scheme be quite useful.
Key words: computer experiment, mathematical model, recuperative hydraulic actuator.
Введение
При работе на лесных вырубках ходовая часть трактора и почвообрабатывающее орудие постоянно подвергаются знакопеременным нагрузкам вследствие наличия большого числа препятствий в виде пней, корней, камней и неровностей поверхности. Поэтому для повышения экономической эффективности технологических агрегатов целесообразно оснащать их системами рекуперации энергии. Для изучения возможности оснащения рекуперативным гидроприводом (РГ) почвообрабатывающего агрегата разработана математическая модель, описывающая динамическое поведение агрегата в процессе работы на вырубке.
1. Построение модели технологического агрегата
В работе [1] предложено использовать рекуперативную систему, встроенную в гидросистему трактора. Элементами, непосредственно воспринимающими внешние усилия, являются гидроцилиндры, устанавливаемые между балансирами кареток трактора, гидроцилиндр навесной системы и гидроцилиндр предохранительного механизма культиватора. Для оптимизации параметров элементов рекуперативной гидросистемы была разработана имитационная компьютерная модель.
При проектировании современных конструкций высокопроизводительных технологических агрегатов математическое моделирование играет очень
важную роль. Существующие аналитические и компьютерно ориентированные методы моделирования, в конечном счете, сводятся к формированию системы уравнений, описывающей моделируемый объект, и к дальнейшему анализу этой системы [2].
Для компьютерного моделирования исследуемого объекта разработаны специальные алгоритмы, основанные на вышеуказанном методе, и программное обеспечение, для написания которого выбран язык программирования Object Pascal и среда программирования Borland Delphi 7.0.
При моделировании исследуемого объекта оказалось целесообразным разбить его на две подсистемы, существенно различные по своей физической природе: механическую и гидравлическую. Благодаря этому при моделировании представилось возможным проводить независимо механический и гидравлический расчеты. В то же время необходимо было учитывать взаимное влияние подсистем друг на друга в таких элементах исследуемого объекта, как гидроцилиндры кареток и гидроцилиндр навесного механизма.
Исходя из конструкции агрегата, он, как механическая система, был условно разбит на семь тел, как показано на рис. 1. Кроме того, был определен набор точек, в которых тела контактируют друг с другом при помощи рассмотренных выше четырех типов связей: цилиндрических шарниров (12-22, 24-32, 13-52, 42-54, 63-71), невесомых нерастяжимых тяг (01-11, 14-62, 15-61), пружин (23-33, 43-53, 64-72) и гидроцилиндров (23-33, 43-53).
21 Т2
31 Т3
41 Т4
51 Т5
Рис. 1. Представление опытного агрегата в имитационной модели в виде совокупности твердых тел
Массы тел и полярные координаты контактных точек имеют следующие значения:
- тело 1 (рама трактора): m\ = 2834 кг; J\ = 4782 кг-м2; гп = 1,332 м; фи = -12,3°; г12 = 0,6876 м; ф12 = -141,5°; г13 = 0,7056 м; ф13 = -37,0°; г14 = 1,713 м; фі4 = -10,0°; Гі5 = 1,661 м; фі5 = 12,5°; Гі6 = 1,330 м; фі6 = -166,4°; Г17 = 0,906 м; ф17 = 55,5°; Г18 = 2,62 м; ф18 = -10,0°;
- тело 2 (большой балансир): m2 = 46 кг; J2 = 1,238 кг-м2; г2\ = 0,1227 м; ф21 = -142,5°; г22 = 0,2717 м; ф22 = -13,5°; г23 = 0,1948 м; ф23 = -83,5°; г24 = 0,1716 м; ф24 = 9,0°;
- тело 3 (малый балансир): m3 = 37 кг; J3 = 0,7180 кг-м2; г31 = 0,0947 м; ф31 = -56,0°; г32 = 0,1437 м; ф32 = 156,0°; г33 = 0,1931 м; ф33 = -67,0°;
- тело 4 (малый балансир): m4 = 37 кг; J4 = 0,7180 кг-м2; г41 = 0,0947 м; ф41 = -124,0°; г42 = 0,1437 м; ф42 = 24,0°; г43 = 0,1931 м; ф43 = -113,0°;
- тело 5 (большой балансир): m5 = 46 кг; J5 = 1,238 кг-м2; г51 = 0,1227 м; ф51 = -37,5°; г52 = 0,2717 м; ф52 = -166,5°; Г53 = 0,1948 м; ф53 = -96,5°; г54 = 0,1716 м; ф54 = 171,0°;
- тело 6 (рама орудия): m6 = 410 кг; J6 = 8,121 кг-м2; г61 = 0,585 м;
ф61 = -112,5°; г62 = 0,260 м; ф62 = -145,5°; Г63 = 0,410 м; ф63 = -20,5°; Г64 = 0,330 м; ф64 = 80,0°; 2
- тело 7 (стойка орудия с рабочим органом): m7 = 90 кг; J1 = 2,820 кг-м2; г71 = 0,300 м; ф71 = 90,0°; г72 = 0,442 м; ф72 = -62,2°; г73 = 0,100 м; ф73 = -90,0°.
В начальный момент времени тела необходимо расположить в пространстве (т.е. задать координаты их центров масс) и сообщить им начальные скорости таким образом, чтобы выполнялись условия кинематической связности механизма. Для этого в программе, описанной ниже, используется соответствующий алгоритм. Кроме того, для устранения неизбежных искажений механизма в процессе численного интегрирования периодически (каждые 50 шагов интегрирования) производится коррекция координат с помощью того же алгоритма.
Общая система уравнений содержит 34 дифференциальных уравнения второго порядка и схематично может быть представлена следующим образом:
(-)
21
<22
221
и1
и13
Численное интегрирование полученной системы уравнений производилось с помощью модифицированного метода Эйлера - Коши. Шаг интегрирования для основных расчетов составлял Лt = 1,5-Ю-4 с.
Гидравлическую подсистему агрегата можно условно разбить на элементы шести типов: гидроцилиндр двухстороннего действия, клапан, дроссель, трубопровод, тройник, пневмогидравлический аккумулятор (ПГА). Составим уравнения для основных элементов таким образом, чтобы в результате решения получить значения переменных (давлений, расходов, скоростей,
перемещений и т.п.) в точках соединения гидроэлементов, именуемых узлами. Каждый из рассматриваемых элементов имеет не более трех узлов, связывающих его с другими элементами и соответствующих (кроме тройника) входу элемента, его выходу, а также подводу или отбору мощности. Условимся, что вход и выход элемента определяется принятым на схеме направлением потока рабочей жидкости через этот элемент. При изменении направления потока соответствующие величины (перепад давления, расход) меняют знак. В уравнениях введем обозначения: индекс i - узел на входе элемента, ] -узел на выходе элемента, k - узел подвода или отбора мощности. Последовательно составим уравнения базовых элементов гидросистемы, воспользовавшись методикой, представленной в работе [3].
Для использования в модели предлагаемая схема гидропривода [3] была сведена к описанным выше шести базовым гидроэлементам (рис. 2). Взаимное влияние механической и гидравлической подсистем друг на друга учитывается в общих для данных подсистем элементах - гидроцилиндрах (в каретках и в навесном механизме).
Тб Т9
Рис. 2. Представление предлагаемой гидросистемы в модели в виде совокупности базовых гидроэлементов шести типов: Гі ... Г3 - гидроцилиндры двухстороннего действия; ПГА - пневмогидроаккумулятор; К1 ... К11 - клапаны;
Т1 ... Т21 - тройники; ТП1 ... ТП4 - трубопроводы
Для того чтобы учесть, что поршень мультипликатора давления подпружинен, в систему уравнений ввели еще одно уравнение, задающее дополнительную силу ^м, приложенную в конечном итоге к поршню гидроцилиндра и влияющую на давление в гидроцилиндре
fm = км (zm - zmo),
(2)
где кМ - жесткость пружины мультипликатора давления; zM и zM0 - текущее и начальное положения поршня.
Разработанная имитационная модель, несмотря на ряд сделанных допущений, предоставляет широкие возможности для изучения эффективности РГ, которыми оснащен агрегат, а также для оптимизации ее параметров. В математической основе модели около 160-ти дифференциальных и алгебраических уравнений, а также неравенств. Для реализации математических расчетов и проведения компьютерных экспериментов была составлена программа «Recuperation» на языке Object Pascal в интегрированной среде программирования Borland Delphi 7.0. Получено свидетельство об официальной регистрации программы для ЭВМ № 2006613263.
Из большого количества параметров (около 120), описывающих отдельные элементы модели, наиболее важные можно изменять перед запуском программы. Для этого на интерфейсной форме программы предусмотрены 16 окон для ввода числовых значений параметров и два окна-переключателя флажкового типа (рис. 3). Для остальных параметров, которые при проведении расчетов не изменяются, были выбраны наиболее характерные значения и занесены непосредственно в код программы.
Рис. 3. Изображение, выводимое на монитор во время проведения компьютерного эксперимента
Работа с программой осуществляется следующим образом. После открытия файла Recuperation.exe производится ввод или изменение исходных данных в окнах интерфейса и по нажатии кнопки «Запуск» начинается компьютерный эксперимент. Для контроля текущего состояния модели, а также для первичного визуального анализа происходящих процессов на экран компьютера регулярно выводится графическое изображение исследуемой системы. В частности, схематично изображаются механическая подсистема и рельеф поверхности (рис. 3). Кроме того, в разных областях экрана схематично изображаются основные элементы РГ: гидроцилиндры кареток, гидроцилиндр навески, мультипликатор давления и пневмогидравлический аккумулятор (ПГА). Для облегчения восприятия давления в сопряженных полостях гидроэлементов представляются наглядно в виде гистограмм, а также дублируются численными значениями. Кроме того, рядом с изображением каждого гидроэлемента выводятся значения объемов жидкости, поступившей в гидроэлемент и ушедшей из него. Выводятся также некоторые характерные расстояния между базовыми точками механизма, текущие значения времени, координаты трактора и значения характеристик, подлежащих исследованию.
По истечении заданного времени программа прекращает расчет. При нажатии на кнопки «Положение водителя», «Спектры колебаний», «Распределение ускорений» выводятся соответственно: зависимости от времени горизонтальной и вертикальной координат xв(t) и ув(0 точки расположения водителя трактора; амлитудно-частотные характеристики Лх(/) и Лг(/), рассчитанные по функциям хВ(0 и ув(0; распределения горизонтальных и вертикальных ускорений р(ах) и р(о/). Результаты расчетов выводятся в графическое окно интерфейса, а также записываются в файлы на жестком диске компьютера.
При проведении компьютерных экспериментов в разработанной программе предусмотрена возможность изменения следующих входных параметров, называемых в дальнейшем также «факторами»:
tобщ - общее время компьютерного расчета (время окончания интегрирования);
уаг - горизонтальная скорость движения агрегата;
Лсл - число, отвечающее за случайную генерацию рельефа поверхности;
рь - линейная плотность препятствий;
^пр тах и wпр тах - максимальные высота и ширина препятствий;
рнач - начальное давление в гидросистеме трактора;
ркр - критическое давление срабатывания предохранительного клапана;
Д-к и ЬГК - диаметр гидроцилиндра РГ каретки и среднее положение его поршня;
ДШГК - диаметр штока гидроцилиндра РГ каретки;
ск - коэффициент жесткости пружины каретки;
ДГМ - диаметр гидроцилиндра мультипликатора давления;
DШГМ - диаметр штока гидроцилиндра мультипликатора давления;
Ь0М и ^ - начальная длина и коэффициент жесткости пружины мультипликатора давления.
Кроме того, предусмотрена возможность исключения из модели переключателями флажкового типа подсистемы РГ кареток ходовой части и навесного механизма трактора.
Во время каждого компьютерного эксперимента регистрировали следующие наиболее важные выходные характеристики:
^ар - время зарядки ПГА;
ЫР и ЫРН - средние за время компьютерного эксперимента значения мощности, возвращаемой всеми РГ и подсистемой РГ навесного механизма;
xв(t) и ув(0 - зависимости от времени горизонтальной вертикальной координат точки расположения водителя трактора;
Лх(f) и Л■f - амлитудно-частотные характеристики горизонтальных и вертикальных колебаний;
р(ах) и р(аг) - распределения горизонтальных и вертикальных ускорений точки расположения водителя трактора;
Ра(0 - зависимость давления в ПГА от времени.
Часть перечисленных характеристик (зар, ЫР, ЫРН и РА(0) позволяет судить об эффективности работы РГ, а остальные (хВ(0, уВ^), Лх(/), Лу(/), р(ах), р(ау)) - о динамических нагрузках на агрегат и о комфортности условий работы водителя трактора.
Результаты интегрирования системы дифференциальных уравнений, лежащей в основе модели, могут зависеть от начальных условий, т.е. от значений всех переменных в начальный момент времени t = 0. Поэтому остановимся на них подробнее.
В начальный момент времени координаты тел механической системы задаются исходя из условий связности механизма. Начальные значения горизонтальных и вертикальных компонент скорости всех тел равны нулю, а давления во всех элементах гидросистемы одинаковы и равны Рнач. Для того чтобы избежать сложностей привязки механизма к конкретному рельефу поверхности, при t = 0 агрегат приподнят над поверхностью на высоту 0,1 м. С началом интегрирования под действием сил тяжести агрегат начинает «падать». При этом возникает некоторый переходный процесс, в течение которого катки трактора и дисковый рабочий орган последовательно вступают в контакт с рельефом поверхности и происходит быстрое затухание колебаний корпуса трактора, вызванных падением. Как показали проведенные оценки, трактор выходит на установившийся режим движения по поверхности примерно через 2,4 с после начала эксперимента.
Так как рельеф поверхности генерируется случайным образом, возникает вопрос: какое минимальное время ^Э в течение компьютерного эксперимента агрегат должен двигаться по сгенерированной поверхности, чтобы случайная ошибка в определении основных характеристик (в частности, наиболее важных ЫР и Л^РН) была меньше некоторого заданного уровня е (было принято е = 2 %)? Оценка ^Э была произведена эмпирическим путем. Оказалось, что если трижды провести 200-секундный компьютерный расчет с одним и тем же набором входных параметров, но на различных случайно сгенерированных поверхностях, то среднее различие значений 4ар, ЫР и ЫРН для этих трех расчетов составляет около 3 %. Поэтому в дальнейшем каждый компьютерный эксперимент заключался в троекратном движении агрегата длительностью 200 с по различным (но статистически идентичным) поверхностям; затем все выходные характеристики 4ар, ЫР, ЫРН, Лх(/), Лг(/), р(ах) и р(аг) усреднялись по трем расчетам. При этом ошибка е для каждой из характеристик составляет менее 2 %, а суммарное время эксперимента составляет ^Э = 600 с, за исключением некоторого времени, уходящего на переход-
ные процессы на начальных этапах движения. Увеличение времени tK3 свыше 600 с нецелесообразно, так как зависимость s от tK3 носит обратно-коренной характер и дальнейшее увеличение времени компьютерных расчетов практически не приводит к уменьшению случайной ошибки.
Стоит отметить, что большинство компьютерных экспериментов проводилось при скорости агрегата 1 м/с, поэтому в пересчете на расстояние можно считать, что усреднение основных выходных характеристик производилось на участке лесной поверхности длиной 600 м.
Разделение каждого компьютерного эксперимента на три отдельных 200-секундных расчета имеет также следующее важное преимущество. При некоторых наборах параметров, лежащих вблизи границ применимости модели, велика вероятность кинематического коллапса механизма. Если в каком-то из трех расчетов встречается комбинация препятствий, приведшая к коллапсу, то результаты данного расчета исключаются из рассмотрения и проводится дополнительный 200-секундный расчет с новой случайной поверхностью.
При постановке задач планировалось, что сложность разработанной модели и уровень ее программной реализации обеспечат приемлемую скорость расчетов на современных персональных компьютерах. Действительно, одним из важных достоинств разработанной компьютерной модели является довольно высокая скорость проведения расчетов при высокой степени универсальности и адекватности модели. На персональном компьютере с тактовой частотой процессора 2,8 ГГц и при интегрировании системы уравнений с шагом At = 1,5-Ю-4 с на обсчет одной секунды модельного времени уходит всего около 20 с машинного времени. При этом длительность проведения одного компьютерного эксперимента составляет около 3,5 ч машинного времени. Поэтому этап компьютерных расчетов, в рамках которого было проведено около 130 компьютерных экспериментов, занял три рабочих недели при одновременном использовании шести компьютеров класса 2,8 ГГц.
Для первичной проверки работоспособности модели и проверки согласованности получаемых результатов в компьютерном и натурном экспериментах был проведен компьютерный эксперимент с наиболее типичными значениями всех входных параметров (в дальнейшем будем называть этот эксперимент «базовым»).
Для базового эксперимента выбрали следующие значения входных параметров: уаг = 1 м/с; p = 2000; h^ тах = 10 см; max = 20 см; ртч = 40 атм; ркр = 90 атм; = 70 мм; Lre = 250 мм; ^ШГК = 50 мм; сК = 100000 Н/м;
Dm = 50 мм; ^шгм = 40 мм; Lom = 100 мм; см = 1000000 Н/м.
Дальнейшее исследование модели заключалось в согласованном изменении перечисленных параметров вблизи базовых значений и наблюдении за изменением при этом выходных характеристик модели.
При проведении базового эксперимента получены следующие результаты. Время зарядки ПГА составляет 4ар = 37,99 с. Данное значение хорошо согласуется со значением, полученным в лабораторном эксперименте на стенде (4арСэ = 40 с) и полевом эксперименте (4арПэ = 30 с).
Среднее значение мощности, возвращаемой РГ ходовой части трактора, составляет NP = 7421,2 Вт. Расчет условной потенциальной мощности NP производится по формуле
Np = PKp бы, (3)
где QН - объемный расход жидкости, сбрасываемой из напорной магистрали через предохранительный клапан при давлении Ркр.
При этом N является условным универсальным параметром для сравнительной оценки эффективности исследуемых РГ. Кроме этого, он позволяет упростить расчеты при определении численных значений расхода топлива каждым механизмом.
С учетом того, что в модели рассматривается только одна каретка из четырех, общая мощность, возвращаемая ТМ ходовой части, составит 29684,8 Вт. Мощность, возвращаемая ТМ навесного механизма, несколько ниже: Л^РН = 270,15 Вт.
На рис. 4 представлены зависимости от времени горизонтального хВ(0 и вертикального уВ(0 отклонений от некоторого среднего положения точки расположения водителя трактора. Для облегчения визуального восприятия результаты ограничены первыми 20 с компьютерного расчета.
Рис. 4. Изменение горизонтальной (а) и вертикальной (б) координат точки расположения водителя трактора в процессе движения агрегата
Средняя амплитуда горизонтальных отклонений водителя составляет около 0,20 м, вертикальных - около 0,15 м. Визуальное сравнение характера колебаний корпуса трактора в компьютерной модели со специально выполненной видеозаписью движения трактора со скоростью 1 м/с по местности, статистически эквивалентной используемой в модели функции рельефа, на качественном уровне подтверждает высокую адекватность модели реальному механизму.
Количественной характеристикой колебаний трактора являются амплитудно-частотные характеристики (АЧХ), т.е. спектры колебаний корпуса трактора А^(/) и А7(Д рассчитанные Фурье-преобразованием функций хВ(0 и Ув(0 (рис. 5).
Согласно физическому смыслу АЧХ наличие на графике пика при некоторой частоте означает, что колебания корпуса трактора с данной частотой являются более выраженными, чем с другими частотами. Так, например, основная частота горизонтальных колебаний корпуса составляет около 0,35 Гц, т.е. примерно три колебания в секунду. Кроме того, ярко выражены колебания в частотном интервале 1,1-1,6 Гц. Вертикальные колебания корпуса происходят в диапазонах 0-0,7 и 1,5—1,9 Гц.
При каких-либо изменениях конструкции агрегата необходимо следить, чтобы не происходило увеличение амплитуды осциллирующей функции
АЧХ. Это свидетельствовало бы об увеличении динамических нагрузок на узлы агрегата и об ухудшении условий работы водителя трактора.
Рис. 5. Амплитудно-частотные характеристики горизонтальных (а) и вертикальных (б) колебаний корпуса трактора
Дополнительную информацию о динамическом поведении трактора несут распределения ускорений (рис. 6). Графики имеют квазигауссовскую форму, однако пик для вертикальных ускорений несимметричен, а его вершина несколько смещена в сторону отрицательных ускорений. Судя по графику на рис.6,а, горизонтальные ускорения точки расположения водителя не превышают \,\g (где g = 9,8 м/с2 - ускорение свободного падения). Функция р(аг) (рис. 6,б) вызывает больший интерес, так как, с одной стороны, она более размытая, чем р(ах), что означает возможность появления ускорений почти до 2g. С другой стороны, с физиологической точки зрения вертикальные ускорения гораздо опаснее для организма водителя, поэтому при оснащении агрегата РГ необходимо контролировать, чтобы не произошло ухудшения распределения р(аг).
Рис. 6. Распределения горизонтальных (а) и вертикальных (б) ускорений точки расположения водителя трактора
Зависимость давления в ПГА от времени (рис. 7) имеет характерный излом в точке 4ар = 37,99 с. Увеличение давления в аккумуляторе от Рнач до Ркр при ^ < 4ар происходит по вогнутой кривой. При достижении давлением значения Ркр, оно стабилизируется (горизонтальный участок на рис. 7), так как происходит сброс жидкости из напорной магистрали через предохранительный клапан.
Рис. 7. Зависимость давления РА в ПГА от времени t
Дальнейшие исследования заключались в том, чтобы, изменяя различные входные параметры модели, наблюдать за изменением результатов моделирования по сравнению с базовым экспериментом.
Список литературы
1. Посметьев, В. И. Перспективные рекуперативные системы для гидроприводов лесных почвообрабатывающих агрегатов / В. И. Посметьев, Е. А. Тарасов,
B. С. Кухарев // Наука и образование на службе лесного комплекса : сборник научных трудов. - Воронеж : ВГЛТА, 2005. - Т. 2. - С. 132-136.
2. Советов, Б. Я. Моделирование систем : учебное пособие / Б. Я. Советов,
C. А. Яковлев. - М. : Высшая школа, 1998. - 319 с.
3. Расчет и проектирование строительных и дорожных машин на ЭВМ : учебное пособие / под ред. Е. Ю. Малиновского. - М. : Машиностроение, 1980. - 216 с.
4. Пат. 2269050 РФ, МКИ Б 16 I 15 / 54. Рекуперативный гидропривод почвообрабатывающего агрегата / В. И. Посметьев, Е. А. Тарасов, В. В. Посметьев, В. С. Кухарев (РФ). - № 2005124070/12 ; заявл. 28.07.2005 ; опубл. 27.01.2007, Бюл. № 3. - 4 с.
Тарасов Евгений Александрович
кандидат технических наук, старший преподаватель, кафедра автомобилей и двигателей, Воронежская государственная лесотехническая академия
Tarasov Evgeny Alexandrovich Candidate of engineering sciences, senior lecturer, sub-department of automobiles and engines, Voronezh State Forestry engineering Academy
E-mail: bertolt@mail.ru
УДК 629.11.012 (075.8)
Тарасов, Е. А.
Математическая модель, как основа компьютерного эксперимента для технологического агрегата с рекуперативным гидроприводом /
Е. А. Тарасов // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Технические науки. - 2011. - № 2 (18). - С. 120-130.
