CC BY
32
УДК 621.983; 539.374
М.В. Грязев, д-р техн. наук, проф., ректор,
(4872) 35-14-82, mpf-tula@rambler.ru,
С.С. Яковлев, д-р техн. наук, проф.,
(4872) 35-14-82, mpf-tula@rambler.ru,
С.Н. Ларин, канд. техн. наук, доц., (4872) 35-14-82, mpf-tula@rambler.ru (Россия, Тула, ТулГУ)
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ИЗОТЕРМИЧЕСКОГО ДЕФОРМИРОВАНИЯ ПОЛУСФЕРИЧЕСКИХ ДЕТАЛЕЙ ИЗ ТРАНСВЕРСАЛЬНО-ИЗОТРОПНЫХ МАТЕРИАЛОВ В РЕЖИМЕ ПОЛЗУЧЕСТИ
Изложена математическая модель изотермического деформирования полусферических деталей из трансверсально-изотропных материалов в режиме ползучести. Приведены основные соотношения и уравнения для оценки кинематики течения материала, напряженного и деформированного состояний заготовки, силовых режимов, геометрических размеров изготавливаемой детали и предельных возможностей формоизменения.
Ключевые слова: анизотропия, математическая модель, высокопрочные материалы, полусферические детали, пневмоформовка, ползучесть, повреждаемость, разрушение.
Сферические листовые оболочки являются корпусами емкостей для топлива и жидкого азота, которые применяются в авиакосмических аппаратах. Традиционные методы их изготовления представляют собой многопереходную прессовую вытяжку с промежуточными термообработками или молотовую штамповку в подкладных штампах, которые являются трудоемкими.
Изотермическое формоизменение куполообразных деталей газом из листовых высокопрочных алюминиевых и титановых сплавов имеет значительные преимущества перед традиционными методами обработки и весьма перспективно при использовании его в промышленности [1].
Основные предположения. Рассмотрим деформирование круглой листовой заготовки радиусом Я и толщиной ^ свободным выпучиванием в режиме вязкого течения материала под действием избыточного давления газа р = Р0 + ^р^пр в сферическую матрицу (рис. 1). Здесь Р0, ар, Пр - константы нагружения. По внешнему контуру заготовка закреплена. Материал заготовки принимается трансверсально-изотропным с коэффициентом анизотропии Я, напряженное состояние оболочки - плос-
ким, т.е. напряжение, перпендикулярное плоскости листа, равно нулю (а г = 0).
Рис. 1. Схема к расчету деформированного состояния срединной поверхности заготовки в меридиональной плоскости
Рассматривается деформирование в меридиональной плоскости оболочки как мембраны. В силу симметрии механических свойств материала относительно оси заготовки и характера действия внешних сил меридиональные, окружные и нормальные к срединной поверхности заготовки напряжения и скорости деформаций являются главными. Срединная поверхность заготовки на каждом этапе деформирования остается частью сферической поверхности. В любом меридиональном сечении оболочки реализуется радиальное течение материала по отношению к новому центру на каждом этапе деформирования.
В силу принятых допущений радиусы кривизны меридионального сечения рт срединной поверхности и сечения оболочки конической поверхностью, перпендикулярной дуге меридиана, р г определяются по формуле
н2 + д§
2Н
(1)
где Н - высота купола в данный момент времени деформирования.
Так как траектории точек срединной поверхности ортогональны в данный момент образующемуся профилю, то в полюсе срединной поверхности (точка «с») скорости деформаций в меридиональных сечениях будут определяться как
2 НН Н2 + До
£с
тс
2 НН Н2 + я<2
(2)
где Н = dH|dt; /2 = .
По контуру заготовка закреплена (точка “к”), т.е. скорость деформации вдоль контура £с^ = 0, и в соответствии с ассоциированным законом течения имеем
тк .
£ tk =0; а tk =
£ гк = -£ тк =
(3)
где Д - коэффициент нормальной анизотропии при вязком течении материала.
В дальнейшем не делается ограничений на изменение толщины оболочки вдоль дуги окружности в меридиональном сечении. В этом случае скорости деформации в меридиональном £ т, окружном направлении
£с и деформации по толщине £с оболочки определяются по следующим выражениям соответственно
П
£ = т
V
0 Бт а
у
V
Б1П а
а;
£с =
У
П
(4)
Здесь 0 - текущий угол между вертикальной осью симметрии заготовки и радиусом-вектором, определяющим положение точки в сечении срединной поверхности диагональной плоскостью; а = dа /dt.
При деформации оболочки принималось, что на каждом этапе деформирования имеет место радиальное течение точки срединной поверхности в меридиональной плоскости относительно нового центра в момент t + dt, т.е. в направлении 0 + d0 .
Связь между углом а и временем деформирования t, когда задана функциональная связь Н = Н( {), устанавливается следующим образом:
н (t)
а = 2аг
Д0
(5)
Толщина оболочки в куполе срединной поверхности оболочки (0 = 0) определяется по выражению
Л2
1+Н2Й
(6)
Изменение толщины оболочки от времени деформирования t в месте ее закрепления (0 = а) оценивается по формуле
Н = к0—ґ-------------------------------Ш-• (7)
Л
1+н^ Л) )
н
агсґе—
Ло
Напряженное и деформированное состояние оболочки. Вырезая из мембраны элементы меридиональными плоскостями и коническими поверхностями в окрестности рассматриваемой точки и принимая, что напряжения равномерно распределены по толщине в элементе, запишем уравнение равновесия безмоментной оболочки, нагруженной равномерным давлением р, следующим образом:
аш + аt _ р . _ _ рр1 /О)
---+ — _~Т . ашх _^~Т • (8)
рш рt м 2^
Решая их совместно, с учетом того, что рш _ р I, найдем
аш _* _ ^ • (9)
2п
Эквивалентные скорость деформации и напряжение а е в вершине купола (точка «с») и в точке закрепления оболочки по контуру (точка «к») для анизотропного материала вычисляются соответственно по выражениям:
£ее _ ^ ; аес _ 2 ^2 + р ашс . (10)
се _[2(2 + я)и +1)1 ¿2с _[3 2К +1 1^2
4е* _(.3 2Я +1 / 4шк’ *ек _{2 (2 + Я)« +1) °шк •
Силовые режимы и предельные возможности формоизменения.
Рассмотрим медленное изотермическое деформирование оболочки из материала, для которого справедливы уравнения состояния энергетической теории ползучести и повреждаемости [2]
{е.»у*,]:. 4, .ай, (12)
(і - »с,)"'
А‘
Лпр
где В , п, ш - константы материала, зависящие от температуры испытаний; ю А - повреждаемость материала при вязкой деформации по энергетической модели разрушения; А^р - удельная работа разрушения при вязком течении материала; со А _ d юА / dt; и ае - эквивалентные скорость
Технологии и оборудование обработки металлов давлением деформации и напряжение; аео - эквивалентное напряжение, разделяющее вязкое и вязкопластическое течение материала.
Величина удельной работы разрушения Дгр при вязком течении анизотропного материала определяется по выражению
Др = D( + bicos а + ¿2 cos в + Ьзооб у),
где D,b0,bi,¿2,Ьз - константы материала; а = (а + а2 + аз)/3 - среднее напряжение; a¡,а2 и а3 - главные напряжения; а, в, у - углы ориентации первой главной оси напряжений а относительно главных осей анизотропии х,y и z соответственно.
Так как величина давления p в каждый момент деформирования
равномерно распределена по поверхности оболочки, то будем находить его величину в вершине купола оболочки (точка “с”).
Подставив в первое из уравнений состояния материала (12) входящие в него величины аe и ^, определяемые по формулам (10), с учетом соотношений (1), (4), (9) получим
П+1
pndt аПо(-шДс)+2(2 + R)~Hn+1hndH . (13)
i \n+1
Толщина оболочки И определяется по выражению (6).
с
Найдем величину накопления повреждаемости ю дс. Подставив во второе уравнение состояния (12) выражения (10) с учетом (1), (4) и (9) получим
Р
1 +
H 2
\2
R 2
<bcAc =——^ н. (14)
h0 Anp
Это уравнение удобно использовать, если нагружение такое, что p = const.
Если подставить первое уравнение состояния во второе, то имеем другую форму уравнения для нахождения повреждаемости:
é% = ^0V -у . (15)
n+1
n
Ac BVn
^npu
Это уравнение удобно использовать, если ^cc = ^1 = const. В последнем случае интегрирование уравнения (15) приводит к выражению вида
n - m
n
n+1
n Ge0t
n Ac B1n
^npu
n - m
(16)
Время разрушения t* определяется из условия ю Ac = 1:
AcpB1 nn
t*=------- -------^ (17)
ст,о (" - т Д^21)"
Давление р, необходимое для реализации условий деформирования, будет вычисляться по соотношению
. ,0 (.22 (2 + ) ■,1,, (18|
л/3 вV" ( + я02, \ '
Зависимость ю А = ю А () находится согласно соотношению (16), а Н = Н() может быть определена из уравнения
H2 ■ п2
.ln
t = ^ Я02 + R2. (19)
Предельную высоту купола H* найдем по уравнению (19) при
t — t
* •
Задание функции Н = Н(:) позволяет найти ю А =ю А () из выражений (15) или (16), а функцию р = р^) вычисляют по формуле (13).
Аналогичным образом выполнены исследования напряженного и деформированного состояний заготовки в точке закрепления оболочки (точка «к»), а также получены основные уравнения и соотношения для решения поставленной задачи в предположении, что поведение материала подчиняется уравнениям кинетической теории ползучести и повреждаемости при известном законе давления от времени р = р (?) и при постоянной
эквивалентной скорости деформации в куполе заготовки £ ,1.
Разработаны алгоритм расчета силовых и деформационных параметров исследуемого технологического процесса и программное обеспечение для ЭВМ.
Оценены напряженное и деформированное состояния, кинематика течения материала, силовые режимы и предельные возможности исследуемого процесса деформирования, связанные с накоплением микроповреждений, в зависимости от анизотропии механических свойств исходного материала, закона нагружения, геометрических размеров заготовки и изделия.
Расчеты выполнены для титанового сплава ВТ6С при температуре Т = 860 °С, поведение которого описывается энергетической теорией ползучести и повреждаемости, и для титанового сплава ВТ 14 при температуре Т = 950 °С, поведение которого подчиняется кинетической теории ползучести и повреждаемости. Механические характеристики этих материалов при формоизменении в условиях вязкого течения материала приведены в работах [1, 2].
Графические зависимости изменения величин давления газа р, относительных величин толщины заготовки в куполе Нс = Нс/ Н0 и в месте ее закрепления = Н^/Н^, высоты куполообразной заготовки Н' = Н / Я от
времени деформирования ? для титанового сплава ВТ6С (Т = 860 °С) при постоянной величине эквивалентной скорости деформации в куполе заготовки £,1 представлены на рис. 2. Здесь экспериментальные данные обозначены точками.
МПа
0,12 --
0,09 --
Н'
0,00 -I- 0,00
ъ
А- ^ V ч
Л Л і N \
/ ' / 1 V?.. ■ ч \ Ч Ъ/
,ч \Я' Ес/ / • •
/ / // % ^ і
115 230 345 4В0 575 030
і------------------------►
Рис. 2. Зависимости изменения р, И' и И в рассматриваемых точках заготовки от і для титанового сплава ВТ6 (Д0 = 300; £еі = 0,002 1/с)
Из анализа результатов расчетов и графических зависимостей следует, что с ростом времени деформирования ? до определенного предела осуществляются резкое увеличение относительной высоты заготовки Н' и уменьшение относительной толщины заготовки в куполе Нс и в месте ее закрепления Н£. Дальнейшее увеличение времени деформирования ? приводит к плавному изменению исследуемых величин. В момент времени ?, близкого к разрушению заготовки, происходит резкое изменение относительных величин Нг, Нс и Н^. Это связано с интенсивным ростом накопления микроповреждений в заключительной стадии процесса.
Установлено, что изменение относительной толщины в куполе заготовки Нс происходит более интенсивно по сравнению с изменением относительной толщины в месте ее закрепления Н£. С ростом времени деформирования ? эта разница увеличивается и может достигать 50 %.
Показано, что для обеспечения постоянной эквивалентной скорости деформации в куполе заготовки закон изменения давления р во времени деформирования ? носит сложный характер. В начальный момент формоизменения наблюдается резкий рост давления р , так как происходит существенное изменение радиуса полусферы рт. Дальнейшее увеличение времени деформирования ? сопровождается уменьшением величины давления газа р .
Сопоставление теоретических и экспериментальных данных по относительной толщине в куполе заготовки Нс и месте ее закрепления Н^, а
также относительной высоте заготовки Н' указывает на удовлетворительное их согласование (до 10 %).
Установлено, что разрушение заготовки при изотермическом деформировании происходит в куполе детали, где имеет место максимальное утонение заготовки.
Зависимости изменения времени разрушения и, относительной высоты Н* и толщины в куполе заготовки Н* в момент разрушения, определенных по величине накопленных микроповреждений при юА = 1, от величины постоянной эквивалентной скорости деформации в куполе заготовки £,1 и коэффициента анизотропии Я представлены на рис. 3 и 4 соответственно.
Показано, что увеличение параметров закона нагружения ар, пр и
величины постоянной эквивалентной скорости деформации в куполе заготовки £,1 приводит к уменьшению времени разрушения и и относительной высоты заготовки Н *, а также к увеличению относительной толщины в куполе заготовки Н*.
Из анализа графиков (рис. 4) следует, что коэффициент нормальной анизотропии Я существенно оказывает влияние на величину времени разрушения и относительные величины И*, Н*. С ростом коэффициента анизотропии Я относительная величина Н* резко увеличивается, а время разрушения и относительная высота заготовки И* резко уменьшаются. Установлено, что неучет анизотропии механических свойств заготовки при анализе процесса изотермического формоизменения сферической оболочки дает погрешность в оценке времени разрушения и порядка 35 %, а относительной высоты И* и толщины в куполе заготовки Н* в момент разрушения - 15 %.
3 .0 -г- 0,35 -г-
С -
я;
1 я;
'/
V / V
N у \
=^--г, ■- — -
0,5 1.0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5
Ус
£е-10_
Рис. 3. Зависимости изменения /* и И *, Н* в куполе заготовки от для титанового сплава ВТ6С (Я0 = 300)
■1 ,5 -г- 1,25 -г-
с --
я:
0,9 1 1 ,00 _1_
1,05 -- 0,17
/1ж /*
\ V-"’ *** *
/Ч/ ✓ < я;
уГ у / / <
1 / / // г у
К
Рис. 4. Зависимости изменения /* и И *, Н* от величины Я (кинетическая теория; Яо = 300; ро = 0,013 МПа ;
4-10-3 МПа / сПр ; пр = 0,6)
Анализ результатов расчетов показывает, что предельные возможности формоизменения в режиме вязкого течения материала, поведение которого подчиняется кинетической теории ползучести и повреждаемости (сплав ВТ 14), не зависят от условий нагружения заготовки. Показана существенная зависимость времени разрушения от параметров нагружения aр, пр и величины постоянной эквивалентной скорости деформации
—3 / n
1,4 -10 МПа/ с p и Шр с 0,5 до 0,8 при фиксированных других параметрах приводит к уменьшению времени разрушения t* в 1,8 раза.
Показано существенное влияние геометрических размеров заготовки на величину времени разрушения t*. Установлено, что увеличение относительной величины радиуса заготовки Rq = Rq / Hq от 200 до 800 приводит к уменьшению времени разрушения более чем в 4 раза.
Работа выполнена по ведомственной целевой программе «Развитие научного потенциала высшей школы (2009-2011 годы)», грантам РФФИ и по государственному контракту в рамках федеральной целевой программы «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России» на 2009-2013 годы.
Список литературы
1. Изотермическое деформирование высокопрочных анизотропных материалов / С.С. Яковлев [и др.]. М.: Машиностроение, 2004. 427с.
2. Изотермическая пневмоформовка анизотропных высокопрочных листовых материалов / С.С. Яковлев [и др.]. М.: Машиностроение, 2009. 352 с.
M.V. Gryazev, S.S. Yakovlev, S.N. Larin
THE MATHEMATICAL MODEL OF THE ISOTHERMAL DEFORMING OF THE HEMISPHERICAL DETAILS FROM TRANSVERSE-ISOTROPIC MATERIALS IN THE MODE OF CREEPING CONDITIONS
The mathematical model of the isothermal deforming of the hemispherical details from transverse-isotropic materials in the mode of creeping conditions is given. Basic relationships for the for estimating of material flow cinematics, stressed and deformed states, power circumstances, geometric sizes detail and extreme deformation levels are provided.
Key words: anisotropy, mathematical model, high-strength materials, hemispherical details, pneumatic forming, creeping, damageability, failure.
Получено 16.12.10
