CC BY
29
УДК 539.374; 621.983
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ИЗОТЕРМИЧЕСКОГО ДЕФОРМИРОВАНИЯ ПИРАМИДАЛЬНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ В РЕЖИМЕ КРАТКОВРЕМЕННОЙ ПОЛЗУЧЕСТИ
Изложена математическая модель деформирования пирамидальных элементов из анизотропного материала в режиме кратковременной ползучести. Установлено влияние анизотропии механических свойств на силовые режимы и предельные возможности деформирования.
Ключевые слова: анизотропия, математическая модель, пирамидальный элемент, кратковременная ползучесть, повреждаемость, напряжение, деформация, разрушение, формоизменение.
Рассмотрим в режиме кратковременной ползучести деформирование системы пирамидальной формы, состоящей из стержней одинаковой длины, между которыми находятся плоские треугольные пластины, жестко приваренные к стержням по боковой поверхности. При нагружении к центральной точке прикладывается внешняя сила Р в направлении, перпендикулярном к плоскости системы. Предположим, что жесткость стержней значительно больше жесткости пластины. Формоизменение осуществляется в режиме вязкопластического течения материала. Пренебрегаем упругими и пластическими деформациями. Материал ортотропный с цилиндрической анизотропией, удовлетворяющей уравнениям теории течения [1,
Осуществим решение этой задачи для группы материалов, механические свойства которых подчиняются энергетической теории кратковременной ползучести и повреждаемости.
Свойства этих материалов описываются уравнениями
эквивалентная скорость деформации, эквивалентное напряжение и повреждаемость по энергетической теории разрушения при вязкопластическом течении материала; т, к, d - константы материала; ое - предел текучести, соответствующий степени деформации еео и эквивалентной скорости
С.Н. Ларин
2].
(1)
- удельная работа разрушения, X , о е, ю А
деформации X при температуре деформирования T, найденный при ста-
e0
тических испытаниях образцов.
В силу симметрии системы сила N и напряжение о в стержнях определяются по следующим соотношениям
P
N = —, (2)
c sin —
о cp = 2 Pi (cF0sin2—), (3)
где c - число стержней, a, l = a¡cos — - начальная и текущая длины стержня, F = a Fo /1 - площадь поперечного сечения стержня в текущий момент
времени, — - угол наклона стержня относительно основания конструкции. Скорость деформации стержня находится по формуле
Xcp = — tg —. (4)
Подставим в первое из уравнений состояния материала (1) входящие величины оe, Xe с учетом выражений (3) и (4) и соотношений
о e =
з( Rf + Rf)
2( Rf + Rf + R?Rj)
о z =bcp оcp; X ? =jp Xcp, (5)
где - коэффициенты анизотропии при деформировании в режи-
ме кратковременной ползучести.
Тогда получим
1/
P/kdt =
о
e0
m/
e0
X Є0 (bcp)
m+k+1 k
[ln( 1/cos—)] ^k (l - w A )dk x
x (sin 2a)/ k tgada.
Рассмотрим режим нагружения, когда
X = xf = const.
Представим уравнение (6) с учетом выражения (4) в виде
r cF(
(6)
о
P =
е0
[ln(1/cos—)]m (1 - wcA) (sin2—)(xcp )
m+k+1
(7)
Величина накопленных повреждений юСр может быть вычислена по выражению
W
cp _
= 1 -
1 -
e0
\m+k+1
xf) (1 - d )tm+1
(e eo)m (b cp)
m+k+1
x k0 Anp (m + 1)
1
1-d
(8)
Это соотношение определяет юСр = ю(?). Изменение угла а в зависимости от времени находится по выражению
a = arccos
v
(9)
Определив wA (t) из соотношения (8) и a(t) из выражения (9) и подставив их в уравнение (7), найдем силу P(t), обеспечивающее деформирование системы пирамидальных элементов при ХСР = const.
На рис. 1 приведены графические зависимости изменения относительной силы деформирования P = Pj(cF0oe0) от времени при постоянной скорости деформации для алюминиевого сплава АМг6 при температуре деформирования 7=450°, механические характеристики которого приведены в работах [1, 2]. Анализ графических зависимостей показывает, что с увеличением времени деформирования до определенного предела при постоянной скорости деформации наблюдается резкое возрастание величины относительной силы P, однако в дальнейшем оно уменьшается с ростом t .
Рис. 1. Зависимости изменения Р от ?: кривая 1 - ХСр = 0,0041/с ; кривая 2 - ХСр = 0,0081 с (энергетическая теория)
На рис. 2 и 3 приведены зависимости изменения относительных времени разрушения и (= 1*1 ¿*из , где t* и ?*из - время разрушения для анизотропного и изотропного материалов) и критического угла деформирования а * (а * = а */ а *из , где а * и а *из - критические углы деформирования для анизотропного и изотропного материалов) от коэффициентов анизотропии кср (кс/ = кур = кср) и «г (кср * к;с) при постоянной скорости деформации соответственно.
Рис. 2. Зависимости изменения /* и а* от Кср при постоянной скорости деформации Х\ = 0,004 1/с
Рис. 3. Зависимости изменения /* и а* от коэффициента анизотропии КС при постоянной скорости деформации Х\ = 0,004 1/с
Графические зависимости (рис. 2, 3) свидетельствуют, что относительные время разрушения t* и критический угол деформирования a *
уменьшаются с возрастанием коэффициентов анизотропии Rccp и Rf при постоянной скорости деформации соответственно. Увеличение коэффициента анизотропии R(^p при фиксированной величине R£p приводит к
уменьшению относительных величин t* и a*.
Полученные данные могут быть использованы при проектировании технологических процессов изготовления пирамидальных элементов в режиме кратковременной ползучести.
Работа выполнена по государственному заданию Министерства образования и науки Российской Федерации на 2012-2014 годы и грантам РФФИ.
Список литературы
1. Изотермическое деформирование высокопрочных анизотропных материалов / С.С. Яковлев [и др.]. М.: Машиностроение, 2004. 427с.
2. Изотермическая пневмоформовка анизотропных высокопрочных листовых материалов / С.С. Яковлев [и др.]. М.: Машиностроение, 2009. 352 с.
Ларин Сергей Николаевич, д-р техн. наук, проф., mpf-tula@rambler.ru, Россия, Тула, Тульский государственный университет
MATHEMATICAL MODEL OF ISOTHERMAL DEFORMATION PYRAMIDAL ELEMENTS
MODE SHORT-TERM CREEP
S.N. Larin
A mathematical model is presented pyramidal deformation elements of an anisotropic material in short-term creep mode. The influence of the anisotropy of mechanical properties on the power and limits of modes of deformation.
Key words : anisotropy , mathematical model, the pyramidal cell, short-term creep, defect, stress, strain, fracture , forming.
Larin Sergei Nikolaevich, doctor of technical science, professor, mpf-tula@rambler. ru, Russia, Tula, Tula state University
