Математическая модель формирования топографической интерферограммы поверхности Земли по данным съемок космического радиолокатора с синтезированной апертурой антенны Текст научной статьи по специальности «Физика»

ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА И МЕТОДЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ

УДК 528.856.044.1

Р. И. Шувалов

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ФОРМИРОВАНИЯ ТОПОГРАФИЧЕСКОЙ ИНТЕРФЕРОГРАММЫ ПОВЕРХНОСТИ ЗЕМЛИ ПО ДАННЫМ СЪЕМОК КОСМИЧЕСКОГО РАДИОЛОКАТОРА С СИНТЕЗИРОВАННОЙ АПЕРТУРОЙ АНТЕННЫ Рассмотрена математическая модель формирования топографической интерферограммы поверхности Земли по данным съемок радиолокатора с синтезированной апертурой антенны с околоземной орбиты. Получены соотношения, связывающие локальные углы наклона топографического рельефа с локальными углами наклона фазового рельефа на интерферограмме, которые необходимы для повышения точности построения цифровых моделей рельефа Земли методом космической радиолокационной топографической интерферометрии.

E-mail: Shuvalov.R.BMSTU@mail.ru

Ключевые слова: радиолокатор, синтезированная апертура, топография, радиолокационная интерферометрия, топографическая интерферо-грамма.

Одним из важных приложений данных съемок радиолокатора с синтезированной апертурой антенны (РСА), устанавливаемого на борту космического аппарата, является построение цифровых моделей рельефа (ЦМР) поверхности Земли. Являясь активным и когерентным датчиком, РСА способен выполнять интерферометрические измерения. Интерферометрический метод измерений основан на использовании эффекта интерференции волн и состоит в сравнении мало отличающихся друг от друга волновых фронтов [1]. Потенциальная точность метода составляет несколько долей используемой длины волны и, как правило, превышает точность других методов измерений. Интерферометрический метод получения ЦМР подстилающей поверхности по данным РСА состоит в формировании топографической интерферограммы по результатам совместной обработки данных двух радиолокационных съемок и извлечении из нее топографической информации [2-5]. Метод аналогичен известному в экспериментальной механике методу смещенного источника [1].

Получаемая топографическая интерферограмма поверхности Земли искажена действием фазового шума и, в силу геометрии съемки, может содержать области неоднозначности и области отсутствия адекватной фазы. Для успешного извлечения из такой интерферограммы

топографической информации необходима соответствующая математическая модель. В настоящей работе рассматривается математическая модель формирования топографической интерферограммы поверхности Земли по данным съемок РСА с околоземной орбиты. Цель работы — получение соотношений, связывающих локальные углы наклона топографического рельефа с углами наклона фазового рельефа на интерферограмме. Под фазовым рельефом понимается поверхность, изображающая зависимость фазы от пространственных координат.

Формирование топографической интерферограммы. Радиолокационная съемка заключается в облучении подстилающей поверхности радиоимпульсами и измерении амплитуды и фазы вернувшегося к радиолокатору отраженного электромагнитного сигнала. Зарегистрированный сигнал от различных точек подстилающей поверхности проходит специальную обработку, и формируется матрица комплексных величин — цифровое радиолокационное изображение (РЛИ) подстилающей поверхности

РЛИ формируется в системе координат "азимут-наклонная дальность", индексы т и п определяют положение точки на оси азимута и на оси наклонной дальности соответственно. Ось азимута совпадает с направлением орбитального движения РСА. Положение образа элемента подстилающей поверхности на оси наклонной дальности определяется фактической дальностью от РСА до этого элемента на момент его траверса. Два изображения одного и того же участка подстилающей поверхности, полученные под различными углами наблюдения при определенных ограничениях на геометрию съемки, образуют интерферометрическую пару. Полученные по результатам съемки снимки 11 и 12 интерферометрической пары пространственно совмещаются, т.е. между точками снимков устанавливается взаимнооднозначное соответствие, при котором каждая точка первого снимка и соответствующая ей точка второго снимка отвечают одной и той же точке подстилающей поверхности. Для двух комплексных значений радиолокационного сигнала, соответствующих одной и той же точке подстилающей поверхности, определяется комплексная корреляционная функция [5]

где г1, г2 — комплексные значения в соответственных точках РЛИ интерферометрической пары; Е [•] — оператор математического ожидания по множеству элементарных отражателей внутри соответствующей ячейки пространственного разрешения РСА на подстилающей

I = {imn} , m =1,...,M, n = 1 ,...,N;

C (ü,i2)

E [ii i2]

поверхности. Фаза р = arg [C] и амплитуда р = |C| комплексной корреляционной функции в точке называются интерферометрической фазой и когерентностью. Двумерный массив Ф = значений ин-

терферометрической фазы называется интерферограммой, а двумерный массив P = {pmn} значений когерентности — матрицей когерентности.

Математическая модель формирования интерферограммы.

Математическая модель формирования топографической интерферограммы включает в себя систему алгебраических уравнений, связывающую топографическую информацию, параметры съемки и фазовую информацию, а также модель искажающего действия фазового шума. Система уравнений, в предположении сферичности Земли, имеет следующий вид (рис. 1, а):

4п

ф = у (r2 - п);

r22 = r2 + B2 + 2r\B sin (а - y);

(R + H)2 + r2 - (R + h)2

(1) (2)

2 (Л + Н) Г! ' (3)

где ф — абсолютная интерферометрическая фаза, соответствующая данной точке на интерферограмме; Г1 и г2 — наклонные дальности,

Y = arccos

Рис. 1. Геометрическая модель интерферометрических измерений:

а — измерения в плоскости, перпендикулярной оси азимута; первая съемка точки Р проводится из положения $1, вторая — из положения Б2 (Земля предполагается сферической); б — связь приращения наклонной дальности Дг1 с приращением наземной дальности Дтс при ненулевом угле наклона рельефа ах = 0 (фронт волны предполагается плоским)

соответствующие данной точке на момент первой и второй съемок; Л — рабочая длина волны РСА; B — длина базовой линии; а — угол ориентации базовой линии; 7 — угол наблюдения, соответствующий первой съемке; R — радиус Земли; H — высота РСА на момент первой съемки; h — высота рельефа в данной точке. При фиксированных значениях параметров съемки (т.е. R, H, B, а), согласно системе уравнений (1)-(3), абсолютная интерферометрическая фаза ф является функцией наклонной дальности ri и высоты рельефа h:

ф = ф (r1,h). (4)

Зависимость (4) — нелинейная и может быть получена в явном виде путем подстановки (3) в (2) и (2) в (1). Линеаризация зависимости (4) в окрестности точки (r0, 0) приводит к выражению

дф дф ф (ri,h) и ф (го, 0) + д^ (ri - ro) + d^h, (5)

где r0 — наклонная дальность до центра кадра.

Формулу (5) перепишем в виде

ф (ri,h) и фо + фл + фт, (6)

где

дф дф фо = ф (ro, 0), фл = — (ri - ro), фт = тггh.

dr1 dh

Первая компонента (ф0) — постоянная по полю интерферограммы и полезной информации не несет. Вторая компонента (фл) описывает изменения наклонной дальности по полю кадра. Третья компонента — топографическая фаза фт — описывает изменения высоты рельефа по полю кадра. Операция компенсации фл называется устранением набега фазы по направлению наклонной дальности. Вычислим производные, входящие в формулу (5). Дифференцируя (1) c учетом (2) и (3), находим

дф 4п ri — r2 + B sin (а — 7)

dri A r2

дф 4n B± R + h 1

dh A Г2 R + H

\

(7)

(8)

1

(R + H)2 + r2 - (R + h)2

2 (R + H) ri

где B^ = B cos (а — 7).

Пусть 7о — угол наблюдения, соответствующий центру кадра. Для характерных значений параметров космической съемки РСА справедливы соотношения: h ^ R, H ^ R, ri ^ B, r2 ^ B и, как следствие,

2

приближенные равенства —— —~ ~ 1, г2 ~ Т\ ~ Го, которые позволя-

R + H

ют упростить формулу (8):

dé 4п Б±

— =---—. (9)

dh А г0 sin y0

дф

Отметим, что знак производной —— определяется знаком величины

dh

Б± (формула (8)), который, в свою очередь, определяется величиной угла х = а — y. Это обстоятельство учитывается при вычислении топографической интерферограммы, для которой обычно выполняется

дфт

неравенство —— > 0. Поэтому

dh

4п |Б||

¿фт = 4--dh. (10)

А го sin yo

Пусть заданы цифровая топографическая интерферограмма Ф = = {фтп} (массив абсолютных значений фазы) в системе координат "азимут-наклонная дальность" и ЦМР H = {hmn} в системе координат "азимут-наземная дальность". Наземная дальность — это расстояние от подспутниковой точки, измеряемое вдоль проекции направления наклонной дальности на поверхность Земли. Углом наклона фазового рельефа по направлению наклонной даль-

r п , фгп'п+1 фтп

ности будем называть величину ßx = arctg-, углом

n + 1 — n

наклона фазового рельефа по направлению азимута величину ßY =

, Фт+1/n фтп -i i

= arctg-, углом наклона топографического рельефа по

m + 1 — m

hh

, hm,n+1 hmn

направлению наземной дальности — величину ах = arctg---,

Ага

а углом наклона топографического рельефа по направлению азимута

hh

hm+1,n hmn п а л

— величину aY = arctg---. Здесь ArG и Аа — разме-

Аа

ры пикселя снимка по направлениям наземной дальности и азимута соответственно. Найдем соотношения, связывающие углы наклона фазового рельефа с углами наклона топографического рельефа. Из (10) имеем

4п \Б±\Агg drG

tg ßx = ^--:-tg а^ —, (11)

А r0sin y0 dr1

где ArS = Аг1 — размер пикселя снимка по направлению наклонной дальности; rG — наземная дальность, определяемая выражением rG = Rß (см. рис. 1, а). Из рис. 1, a находим

П = \J(R + H)2 + (R + h)2 — 2 (R + H) (R + h) cos ß, (12)

и после дифференцирования (12) имеем dr1

drG

(R+h) - (R+H) cos в + (R+H) (R+h) sin e-d^-

" " -drG. (13)

ri

de 1 ^

Поскольку rG = Rp, то —— = —. C учетом того, что для характерных

drG R

значений параметров космической радиолокационной съемки R ^ H, R » h и sin в ~ в, cos в ~ 1, формула (13) упрощается:

dri h — H dh rG

"T" =-"T" + ~. (14)

drG ri drG ri

h — H rG dh

Далее, поскольку - « — cos 70, — ~ sin 70 и -— = tg ax,

ri ri drG формула (14) принимает вид

dri = sin (yo — ax) (15)

7 . (15)

drG cos ax

Формула (15) имеет простую геометрическую интерпретацию (рис. 1, б). С учетом (15) формула (11) принимает следующий вид:

4п |BJ Ari sinax / п \ ПЛЛ

tg ex = ^--:---Г, ax e —x; Y . (16)

A ro sin Yo sin (yo — ax) 4 2/

Теперь найдем аналогичную формулу для направления азимута. Из соотношения (10) имеем

дфт = 4п |BJ dh (17)

da A r0 sin y0 da' где a — азимутальная координата, отсчитываемая вдоль траектории движения РСА.

Для упрощения дальнейших выкладок будем исходить из геометрии обзора в предположении плоской поверхности Земли. Введем прямоугольную систему координат с началом в точке на поверхности Земли и осями: A — ось азимута, RG — ось наземной дальности, Z — ось высоты над поверхностью Земли (рис. 2, а).

Пусть радиолокатор движется прямолинейно и равномерно вдоль прямой, определяемой пересечением плоскостей z = H = const и rG = 0 = const (см. рис. 2, а). Пусть в фиксированный момент времени радиолокатор расположен в точке (a, 0, H) и точка подстилающей поверхности, расположенная на заданной наклонной дальности rS, имеет координаты (a,rG, h). Предположим также, что соответствие точек подстилающей поверхности точкам снимка является

Рис. 2. Геометрия сканирования подстилающей поверхности в направлении полета РСА (а) и вспомогательные геометрические построения (б)

взаимно-однозначным. Тогда на подстилающей поверхности через каждую точку можно провести единственную линию равной наклонной дальности, которую РСА "вычерчивает", совершая азимутальное перемещение. Требуется найти приращение топографической фазы Афт, обусловленное приращением криволинейной координаты вдоль линии Т\ = const. Зададим некоторую точку P на подстилающей поверхности и ее малую окрестность. Пусть P' — ортогональная проекция точки P, а кривая rG = rG (a) — ортогональная проекция кривой равной наклонной дальности rS = const на плоскость нулевой высоты z = 0 в соответствующей окрестности точки P'. Если окрестность достаточно

мала, проекция кривой равной дальности будет описываться однознач-

drG

ной функцией rG = rG (a). Найдем производную —— в точке P'. Из

да

принятой геометрии обзора непосредственно следует

rs = \jr% (a) + (H - h (a, rG (a)))2

(18)

Условие постоянства наклонной дальности с изменением азимута (перемещением РСА) имеет вид

drs da

= 0.

(19)

Дифференцируя соотношение (18), получаем

r (a) dr'G (a) (h h) (— + dh drG drs da \da drG da

da

rs

(20)

Подставляя (20) в (19), приходим к уравнению

1 í \drG (a) H — h (a,rG (a)) Л drG (a)\

—rG (a) —----tg ay + tg ax—^- = 0.

rS da rS V da J

(21)

Учитывая что — = siny0, - = cosy0 (см. рис.2,а), разрешая

rS rS

~ drG

уравнение (21) относительно производной-, получаем

da

drG = cos Yo cos ax tg ay ^

da sin (y0 — ax)

dr'G

Обозначив —— = tg £, из принятой геометрии обзора (рис. 2) мож-

da

но записать

dh

— = tg ay + tg £ tg ax. (23)

Подставив в формулу (23) выражение (22), имеем

dh sin Yo cos ax ,

jt = tg ay—¡-v. (24)

da sin (y0 — ax)

Подставляя (24) в (17), получим

4п | B± | Дa tg ay cos ax

tg ßy =

A ro sin (yo - ax):

П \ ( П П

ax 2; Y), ay e\- 2;2

(25)

Формулы (16) и (25) связывают углы наклона фазового рельефа с углами наклона топографического рельефа (рис. 3). При стремлении угла наклона рельефа по направлению дальности к значению угла наблюдения (aX ^ y) наклон фазового рельефа по направлению дальности возрастает до бесконечности: Дтх = tg (вх) ^

а при убывании ^ах ^ — —^ этот наклон имеет асимптотический

предел ATX = ДТх = tg вХ. При этом наклон фазового рельефа по направлению дальности зависит лишь от угла наклона рельефа в этом же направлении: Дтх = Дтх (ах) (рис.3,а).

Обращая формулы (16) и (25), получаем формулы обратного преобразования в виде

Аго sin2 yo tg вх

tg ax = tg ay =

4n IB± | Ars + Aro sin Yo cos Yo tg ßx' Aro Ars sin Yo tg ßy

4n | B± | Ars Aa + AroAa sin yo cos yo tg ßx '

ex e (ex;2), A- 6 (-) ,

Рис.3. Зависимость физической фазовой разности по направлению наземной дальности Атх = вх (а) и физической фазовой разности по направлению азимута Дуу = ву от компонент топографического градиента дх = tg ах и ду = ау при параметрах съемки, характерных для РСА ERS-1: го = 853 км,

Л = 5,7 см, Дгв = 8 м, Да = 4 м, 70 = 22°, Б± = 150 м

Наличие нижней границы ßX следует из условия непрерывности

Отметим, что в работе [6] аналогичные соотношения между мгновенными значениями пространственной частоты (instantaneous frequencies) интерферограммы по дальности и азимуту и локальными углами наклона рельефа в соответствующей точке получены другим способом. Они получены для интерферограммы, содержащей наряду с топографической фазой фазу наземной дальности, и переходят в формулы (16), (25) после компенсации частоты, обусловленной наземной дальностью, и соответствующей замены переменных.

Фазовый шум. Поскольку приемная аппаратура измеряет лишь главное значение фазы электромагнитного сигнала, наблюдаемая ин-терферометрическая фаза р определена на отрезке длиной 2п радиан (—п ^ < п). Наблюдаемая фаза р содержит составляющую фазового шума, обусловленного декорреляцией снимков интерферо-метрической пары, и полезную составляющую , представляющую собой главное значение абсолютной полезной фазы фт. Модель взаимодействия полезной и шумовой составляющих фазы имеет вид [7]

Здесь символом W [•] обозначен оператор свертки по модулю 2п

рельефа: || < П.

ф = W [фТ + ^N] , фТ = W [фТ] .

(26)

Рис. 4. Плотность распределения вероятностей наблюдаемой интерферометри-ческой фазы p на отрезке [—п; п) при значениях р = 0,5, L = 4, рт = 0

радиан, определяемый выражением [8]

W [ф] = arg {exp {j^}} , ф е R,

где j — мнимая единица. Фазовый шум предполагается некоррелированным с полезной составляющей фазы, а его математическое ожидание равным нулю [9, 10]. При этих допущениях плотность распределения (по реализациям в точке) наблюдаемой на интерферограмме фазы р на отрезке [—п; п) имеет вид [9] (рис. 4)

F(L +£)(1 — p2)Lß (1-P2)L / 1

РФ (р|р, рт, L) = ^-J--L+1 + ( ■ р ) • F(L, 1; -; ß2

F (L) (1 — ß2)L+1 2п V 2

ß = р cos (р — рт) ,

(27)

где рт — математическое ожидание фазы р; р — когерентность; L — число независимых наблюдений, F (•) — гамма-функция Эйлера, F (•) — гипергеометрическая функция Гаусса.

Плотность распределения вероятностей (27) наблюдаемой интер-ферометрической фазы является периодической функцией с периодом 2п радиан. Поэтому ее можно рассматривать как плотность распределения вероятностей абсолютной интерферометрической фазы ф на отрезке [фт — п; фт + п), заменив аргумент р е [—п; п) аргументом ф е [фт — п; фт + п), а параметр рт параметром фт. Среднеквадрати-ческое отклонение оФ (р, L) наблюдаемой фазы р от действительного значения рт по определению выражается формулой (рис. 5)

°ф (р, L) =

(р — ро)2 РФ (р|р, ро, L) dр

ро = 0. (28)

Фазовые разности. Введем обозначения: 8 — относительная фазовая разность; А - абсолютная фазовая разность; Ат — физическая фазовая разность; 8Х — шумовая фазовая разность. Введенные фазо-

2

1.8 1.6 1.4 1.2 1

0.8 0.6 0.4 0.2

"о 01 02 03 04 05 06 ОТ 03 09 р

Рис. 5. Зависимость среднеквадратического отклонения <ф наблюдаемой интерферометрической фазы р от когерентности р при разных значениях параметра накопления 1

вые разности связаны между собой соотношениями

8 = W [А], Л = Лт + ; 8 е [-п; п), 8N е (-2п; 2п) , Лт € К, Л € (Лт - 2п; Лт + 2п) С К.

Из четырех фазовых разностей непосредственно наблюдаемой является лишь относительная фазовая разность, представляющая собой конечную разность главного значения фазы, свернутую в интервал

[-п;п):

8у (т, п) = W [<рт+1,п - ^тп], 8х (т, п) = W [ут<п+\ - ^т«].

Абсолютная фазовая разность Л представляет собой сумму детерминированной компоненты Лт и случайной компоненты 8N. Она является конечной разностью абсолютной фазы

Лх (т, п) = фтп+1 - Фтп, Лу (т, п) = фт+1,п - Фт«.

Физическая фазовая разность Лт является детерминированной функцией топографии подстилающей поверхности и параметров съемки. В приложениях именно она несет полезную информацию об объекте интерферометрических измерений. Интерферометрические измерения стремятся организовать так, чтобы физическая разность в каждой точке интерферограммы не превышала по модулю п радиан, но это удается не всегда. Шумовая фазовая разность 8N является случайной величиной, закон распределения вероятностей которой не зависит от величины Лт.

= <

Рассмотрим теперь законы распределения вероятностей случайных величин А и 8. Конечные разности Ах и Ду являются случайными величинами, распределенными на отрезках (Атх — 2п; Атх + 2п) и (Дту — 2п; Ату + 2п) соответственно. Плотности распределения вероятностей фазовых разностей на этих отрезках даются сверткой (рис. 6):

Рах (Ах |Атх ) =

п

J рф (Дх—Дтх+Р) Рф (Р) ¿Р, Дх€ (Дтх—2П; Дтх);

—п—(Ах—А тх ) п—(Ах-А тх)

J рф (Дх—Дтх+р) Рф (р) ¿Р, Дх € [Дтх ; Дтх + 2п);

-п

(29)

Рау (Ду |Ату) =

п

J рф (Ду—Дту+р) Рф (р) ¿р, Ду € (Дту—2п; Дту);

—п—(Ау — А ту ) п—(Ау—А ту )

J рф (Ду—Дту+р) Рф (р) ¿р, Ду € [Дту; Ату+2п) .

—п

(30)

Здесь введена вспомогательная функция рФ (р) = рф (р + рт) и использовано определение физической фазовой разности, как разности топографических абсолютных фаз:

дтх (т,п) = (Фт)т>п+1 — (Фт)тп ; дту (т,п) = (Фт)т+1,п—(Фт)тп .

Плотности распределения вероятностей относительных фазовых разностей 8х и 8у выражаются формулами (рис. 7)

, . ^ Рах (8х + 2пk|Дтx), 8х € [—п;п); р (8х |дтхк=—^ (31)

0, 8х € [—п; п),

^ Рау (8у + 2пк|дту), 8у € [—п;п); р (8у |Дтук=—^ (32)

0, 8у € [—п; п).

=

Рис. 6. Плотность распределения вероятностей абсолютной фазовой разности А на отрезке (-2п; 2п) при р = 0,5, Ь = 4, Ау = 0

Рис.7. Плотность распределения вероятностей относительной фазовой разности 5 на отрезке (—п; п) при р = 0,5, Ь = 4, Ду = 0,5п

Поскольку плотность распределения абсолютной фазовой разности рд (Д | Дт) отлична от нуля лишь на интервале (Дт — 2п; Дт + 2п), то в формулах (31), (32) суммирование достаточно провести по конечному числу значений индекса к: от значения к = кт¡п до значения к = ктах. Граничные значения определяются формулами

k ■ —

Дт - 8' 2п

k =

Дт - 8'

2п

+ 1;

здесь [•] — оператор взятия целой части числа. Отметим, что в формулах (29)-(32) параметры р (когерентность) и Ь (число независимых наблюдений) для краткости записи опущены. Параметр Дт определяет положение максимума, а параметры р и Ь — дисперсию.

Заключение. Рассмотрена математическая модель формирования топографической интерферограммы поверхности Земли по данным съемок радиолокатора с синтезированной апертурой антенны из космоса. Исходя из геометрии съемки получены соотношения, связывающие локальные углы наклона топографического рельефа с фазовыми разностями на интерферограмме. Эти соотношения необходимы для вычисления совместного априорного распределения вероятностей фазовых разностей на основе априорного распределения вероятностей топографического градиента для включения радиометрической инфор-

мации в постановку задачи обработки интерферограммы. Рассмотрено влияние на интерферограмму фазового шума. Получены формулы для распределений вероятностей основных видов фазовых разностей.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. КозачокА. Г. Голографические методы исследования в экспериментальной механике. - М.: Машиностроение, 1984.

2. Graham L. C. Synthetic interferometric radar for topographic mapping // Proceedings of the IEEE. - 1974. - Vol. 62. - P. 763-768.

3. ZebkerH. A.,Goldstein R. M. Topographic mapping from interferometric SAR observations // J. Geophys. Res. - 1986. - Vol. 91. - P. 4993-4999.

4. B a m l e r R. Digital terrain models from radar interferometry // Photogrammetric week '1997. Wichmann Verlag, Heidelberg, 1997. - P. 93-105.

5. R o s e n P., H e n s l e y S., J o u g h i n I., Li F., M a d s e n S., Rodriguez E., Goldstein R. Synthetic aperture radar interferometry // Proc. of the IEEE. - 2009. - Vol. 88. - No. 3.

6. Guarnieri A. M. SAR interferometry and statistical topography // IEEE Transactions on Geoscience and Remote Sensing. - 2002. - Vol. 40. - P. 25672581.

7. D a t c u M. Maximum entropy solution for interferometric SAR phase unwrapping // Proc. of the IGARSS '96 Conference.

8. Stramaglia S., Refice A., Guerriero L. Statistical mechanics approach to the phase unwrapping problem // Elsevier, Physics A. Vol. 276, No 3. 15 February 2000. - P. 521-534 (14).

9. L e e J. -S. et al. Intensity and phase statistics of multilook polarimetric and interferometric imagery // IEEE Transactions on Geoscience and Remote Sensing. -1994. - Vol. 32. - P. 1017-1028.

10. Lee J. -S. et al. A new technique for noise filtering of SAR interferometric phase images // IEEE Transactions on Geoscience and Remote Sensing. - 1998. - Vol. 36. - P. 1456-1465.

Статья поступила в редакцию 5.03.2010

Роман Игоревич Шувалов родился в 1984 г., окончил в 2007 г. МГТУ им. Н.Э. Баумана. Аспирант и ассистент кафедры "Вычислительная математика и математическая физика" МГТУ им. Н.Э. Баумана, инженер ОАО "ВПК "НПО машиностроения". Автор семи научных работ в области математического моделирования и обработки цифровых изображений Земли, получаемых космическими радиолокаторами с синтезированной апертурой антенны.

R.I. Shuvalov (b.1984) graduated from the Bauman Moscow State Technical University in 2007. Post-graduate and assistant lecturer of "Computational Mathematics and Mathematical Physics" department of the Bauman Moscow State Technical University. Engineer of NPO Mashinostroyenia. Author of 7 publications in the field of mathematical modeling for processing of digital images of Earth surface acquired by synthetic aperture radars.