Математическая модель электрогиперфильтрационного процесса очистки технологических растворов медно-гальванических производств Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 66.081.6

DOI: 10.20310/1810-0198-2017-22-6-1383-1388

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ЭЛЕКТРОГИПЕРФИЛЬТРАЦИОННОГО ПРОЦЕССА ОЧИСТКИ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИХ РАСТВОРОВ МЕДНО-ГАЛЬВАНИЧЕСКИХ ПРОИЗВОДСТВ

© Д.О. Абоносимов1*, Д.Н. Протасов1*, О.А. Абоносимов1*, А.А. Арзамасцев2*, Д.С. Лазарев2*, А.Е. Стрельников1*

Тамбовский государственный технический университет 392000, Российская Федерация, г. Тамбов, ул. Советская, 106 E-mail: geometry@mail.nnn.tstu.ru 2) Тамбовский государственный университет им. Г.Р. Державина 392000, Российская Федерация, г. Тамбов, ул. Интернациональная, 33 E-mail: arz_sci@mail.ru

Работа посвящена разработке математической модели, которая позволяет рассчитать зависимости объемных потоков растворителя и концентрацию раствора от времени проведения процесса, концентрацию и удельный поток растворителя на выходе из электробаромембранных аппаратов за счет введения в нее ранее не учитывавшегося критерия Рэйнольдса, а также расход энергии на электробаромембранное разделение растворов. Ключевые слова: электробаромембранная очистка; осмотическое давление; математическая модель; массопере-нос

ВВЕДЕНИЕ

В работах [1-12] приводятся разработанные различными авторами методики расчета массопереноса и математическое описание процесса мембранного разделения. Однако, проанализировав данные работы, мы не выявили в полной мере наиболее простой с точки зрения расчета математической модели для ее описания. Таким образом, необходимо разработать математическую модель процесса электробаромембранного разделения промышленных медно-гальванических растворов.

ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНАЯ ЧАСТЬ

-Уе0егУи = 0. (2)

Рассмотрим задачу гидродинамики: для ламинарного, стационарного, установившегося течения уравнения движения жидкости имеют вид:

д2ы(х, у) 1 ( дР(х, у) дк( х, у)} ду2 Ц ^ дх дх )

Определяем граничные условия: ы(х, яу ) = 0, (4)

Рассмотрим задачу массопереноса через мембраны при наложении электрического поля для движения жидкости в плоском межмембранном канале. При этом примем следующие допущения: скорость электродных реакций намного ниже скорости массопереноса; рабочая плотность тока намного ниже критической; насос обеспечивает постоянство подачи; микропотоки растворителя и растворенного вещества учитываются через коэффициент задержания и удельный поток растворителя; течение раствора стационарное и режим движения жидкости в мембранном канале ламинарный [13-14].

Рассмотрим математическую запись задачи [15]:

V[^(Vu + (Vu)T)] + p(uV)u + VP = 0 , Vu = 0 ,

V[-DVc — zumFVU) = —uVc,

u(x—Ry ) = 0 .

(5)

Поскольку давление меняется только вдоль оси канала, то можно записать уравнение (3) в виде:

d 2u

1 ( dP d%

dy2 Ц v dx dx

(6)

Проинтегрируем уравнение (6) по переменной у , соответствующее направлению вдоль оси канала:

dы 1(dP dжЛ ^

— =—I---у+С,

dy Ц ^ dx dx)

ы(х, у) = — [ — - — |у2 + С1у + С2 , 2ц ^ dx dx )

где Сь С2 - постоянные интегрирования. Найдем С1 и С2 из уравнений (4) и (5):

и(х, Ку ) =

1 (аР аж

2ц ^ ах ах

■ Ку 2 + С1Ку + С2 = 0 ,

Обозначив X ■

3цк

~КГ

где X > 0, т. к. ц > 0 , к > 0 ,

К > 0, получим линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами:

и(х,-Ку ) = -

1 (ар аж

2ц ^ ах ах

■ Ку 2 - С1Яу + С2 = 0 .

а 2р(х) аХ

-ХР(х) = 0 .

(7)

Таким образом, имеем решение в виде:

, ч 1 (ар а%Л 2 1 (ар аж) п 2

и(х, у) =--1---I-у2---1---I-Ку 2 =

2ц ^ ах ах) 2ц ^ ах ах)

= -± ■( - - ^Ьу 2 - У 2).

2ц ^ ах ах)

Расход жидкости через канал определяем по следующей формуле:

_ 2ьку (ар_аж

3ц ^ ах ах

Решение дифференциального уравнения (7) принимает вид Р(х) = С+ С2. Определив постоянные интегрирования С1 и С2 с учетом граничных условий, получаем:

Р(х) = рк - Рп^Ь е^х + Рп^Ь - рк е-Лх

4хЬ -у[}Ь у[}Ь -4хь .

е - е е - е

В результате проведенных преобразований и расчетов можно сделать вывод, что первая производная гидродинамического давления будет равна, соответственно:

Электроосмотический поток, как возникающий в результате электроосмотического давления, можно записать как:

б = --

2ЬК2 ( а (АР -А ж) 3ц

ах

Приведем дифференциальное уравнение для проницаемости

бх+Ах - бх = аб=2ЬУ(х)ах. Отсюда получаем:

^ = -2ЬУ(х) . ах

Знак "-" из-за того, что расход в канале убывает. Учитывая вышеприведенные преобразования, получим

ар( х) _ Рк - Рпе-АЬ.еАхА_РпеЛЬ - Рк „-Ах ,

ах

АЬ - АЬ е - е

АЬ - АЬ е - е

(8)

где

а = 4Х =

^3Я3уцк

Я

■У

Для случая оттока под действием электроосмотического давления имеем:

2 ■ ь ■ к3 (а Же (х

3 ц

ах

ах=-2 ■ ь ■ к ■ж (х) ■ ах

Проведя аналогичные преобразования для электроосмотического давления, получим:

аже(х) _ жек -жепе

ах

АЬ - АЬ е - е

„Ах ,_ жепе - жек - Ах ,

'е А АЬ - АЬ е А ' е -е

Таким образом, с учетом (7, 8) можно записать:

^ = -2Ьк(АР - Аже ), ах

ах

аб2

ах

= -2ЬкАР

= 2ЬкАж„ .

Уравнения для случая оттока под действием трансмембранного давления представляем как:

- (а2 р(х))ах=-2ЬкР( х)ах. 3ц ах2

(и и - АЬ Рк - Рпе „Ах

и(х, у) = -— 2ц

еАхА --

ге~ АхА -

- АЬ

жек - еп е „Ах

„ АЬ „

ж„ е -жек - Ах

К - у2) =

_еАх а + _

АЬ - АЬ е А + АЬ - АЬ е -е е -е

■е-АхА

А_

2ц

{Р, - Ре-АЬ „

1 к 1 пе Ах р п

е -

реА - рк - Ах

АЬ - АЬ е - е

АЬ - АЬ е - е

- АЬ _ АЬ_

жек жепе _еАх + жепе жек - Ах

АЬ - АЬ е - е

АЬ - АЬ е - е

(у2 - к2).

Проницаемость мембраны с учетом электроосмотического давления определяем как:

V = к■ (АР-Аж) = к■ (Рп -Р(х)-же(х) + жеп) .

(9)

3

АЬ

п

АЬ - АЬ е - е

Подставив выражения для составляющих давления в уравнение проницаемости (9), получаем:

у(х, у )= к

( п п -ЛЬ „ ЛЬ „ ^

Р - Рк -Рпе еЛх - Рпе -Рк -Лх __

п ЛЬ - ЛЬ ЛЬ -ЛЬ

е -е

- ль

е -е

ль

пек ~%епе Ах _ "епе ~пек - Ах

~е ,т ,т е

ль -ль е -е

ль - ль е -е

( п п -ЛЬ п ЛЬ п

Р _ Рк -Рпе еЛх _ Рпе -Рк е-Лх +

п ЛЬ - ЛЬ ЛЬ - ЛЬ

V (х) = к

е -е

Кек -

е -е

■п ль „ „ль

Кек -Пепе „лх лепе -пек -лх

+ К„„-----—е----—е

ль -ль е -е

ль -ль е -е

Для упрощения записей и расчетов определим промежуточную величину

Подставляем полученные выражения для продольной и поперечной скорости в уравнение (1) и решаем его совместно с уравнением (2) численным методом, находим распределение концентрации анионов по длине и высоте канала.

Уравнение Нернста-Планка имеет вид:

У(-ПУс(х, у) - 2ытКЧи(х, у)) =

= -( ы(х х, у) ^ + ф, у) ^

у дх ду

С граничными условиями: с(0, у) = Со ,

Яу(х-Я)ф-Я) = ОУф-Яу) +

+ гЫтРо( х,-Яу )Чи (х,-Яу ),

Яф, Яу )с(х,Яу ) = ПЧс(х, Яу ) + гытДс{х,Яу )Чи(х,Яу ) .

Уравнение Пуассона-Больцмана имеет вид: -Уе0егУГ(х, у) = 0 .

При граничных условиях:

и(х,-Яу ) = -У,о ,

и(х, Яу ) = ^о , и(Ь, у) = 0, и(0, у) = 0 .

При расчетах используются основные кинетические характеристики электрогиперфильтрационного процесса, полученные при экспериментальных исследованиях разделения модельных медно-гальванических растворов.

Расход энергии на процесс концентрирования водного раствора в электробаромембранном аппарате:

(

ь ь

¡V (х) ■ dx =\ к

0 0

о о -ЛЬ Рк - Рпе „Лх

--е

ЛЬ - ЛЬ е - е

Л

Рпе - Рк 0 - Лх,

--е +

ЛЬ -ЛЬ е - е

тт тт „-ль тт „ль , пек ~^епе лх _ У -лх

+ 'е ль - ль е л - ль е

е -е

и

--к(рп + %еп ^ Сх- к

^ек-жепе Рк - Рпе

е -е

ЛЬ \

dx =

ль -ль е -е

ЛЬ -ЛЬ е - е

| е^Сх-0

( ль п ЛЬ о \

*епе -жек , Рпе -Рк

ль - ль ЛЬ -ЛЬ е -е е -е

\е-ЛхСх=

= кр +*еп ^Ь - к

- ль

жек -жепе +Рк -Р

Р - Ре

-ЛЬ \

ль -ль е -е

ЛЬ -ЛЬ е -е

Лх\Ь е \ +

0

)

к

( ль и ЛЬ г, \

*епе -же^Рпе - Рк

ль -ль ЛЬ -ЛЬ е -е е -е

- Лх

= к(Ря + Кп )Ь--

е-^ , Рк - Рпе-ЛЬ

\(еМ -1)+

+ \%епе л -Ъек | РпеЛЬ - Рк \-Л1

|(е -1)

Количество трубок в аппарате определяется как: .1 ■

~~У(х)

Количество секций в каскаде: N =

1(ск) Ь '

Из уравнений материального баланса запишем выражение, позволяющее найти концентрацию на выходе из секции:

в0 - (1 - к )■ п

■ п •-■

^(х)

• dx

<20 -п-1

^(х)

• dx

2 -

|V(х) • dx + ¡V(х) • dx

= С

0•'

2 -п-1

^ (х)

• с!х

Ж = 26,8(С - С0У +

^пер (АР -АК)(1 - К)

Проницаемость на границе мембраны можно записать как:

( ь

к^п^ — I

1 +-0

^(х)

• сСХ

2 - п-г

ь

^(х)

• сСХ

Р

п

0

к

0

+

0

ль -м е - е

ЛЬ -ЛЬ

е - е

ь

0

СК = С0 •

0

ь

ь

0

0

0

С0 •

= С

k{Pn +T,n Y - -\ F л l

- AL

V -1)+

\ ^

k ■ n

1 + -

i I AL П AL П

k|V -%ek Pne -Pk ¡ -AL

á\ al -al al -al

A e - e e - e

И-1)

í

Qo -

kp + *я )L - -

, f al n a

k| У -*ek Pne

t \ al -al al

a e - e e -

-+

Pk -P.e-

Г-l)

11+

И -1)

' П

Видим, что на выходе концентрация увеличивается на величину:

АС = С0 ■

F

k ■ n ■

L

\ ^

k(pn + *en)L -

4

- AL

Pk - Pne

-AL )

AL -AL e -e

AL -AL e -e

k

l A l

AL n AL D \

V -4_+Pne - pk

AL -AL e -e

AL -AL e -e

(eAL-1)

(e-AL-1)

k(pn + *en)L -

4 -v

- AL

AL -AL e -e

-+

pk - Pne

-AL )

AL -AL e -e

l l

AL n AL n ^

У -4 Pne - Pk

AL -AL AL -AL

e - e e - e

(eAL-1)

(e-AL -1)

Расчет ведется методом последовательных приближений, задавая различные длины и выходя на заданную концентрацию.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Усовершенствована математическая модель элек-тробаромембранного процесса, основанная на уравнениях Нернста-Планка и Пуассона-Больцмана с учетом основных допущений и граничных условий, позволяющая рассчитывать концентрации по растворенному веществу на выходе из аппарата (в ретентате) и в пер-меате и находить среднюю величину удельного потока растворителя при разделении технологических растворов электролитов меднения.

ОБОЗНАЧЕНИЯ

L - длина мембранного канала в трубчатом элементе, м;

Ry - параметр по полувысоте межмембранного канала, м;

С, Сп - параметр, характеризующий концентрации растворенного вещества в исследуемом растворе и в прикатодном или прианодном пермеате соответственно, кг/м3;

С0 - концентрация на входе в мембранный канал, кг/м3;

R - радиус трубчатой мембраны; n - количество мембран в модуле; J - удельный поток растворителя, м3/м2-с; П - выход по току; Упер - объем пермеата, м3; FH - площадь одной мембраны; U - продольная скорость течения раствора в трубчатом элементе, м/с;

V - поперечная скорость течения раствора в трубчатом элементе, м/с;

в - параметр, характеризующий величину коэффициентов массоотдачи от раствора к мембранам, м/с;

k - параметр, характеризующий коэффициент задержания растворенного вещества в мембранах;

1(ск) - длина секций, позволяющих получить заданную концентрацию на выходе.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Муравьев Л.Л. Моделирование работы обратноосмотических установок с рулонными фильтрующими элементами // Химия и технология воды. 1989. Т. 11. № 2. С. 107-109.

2. Байков В.И., Зновец П.К Ультрафильтрация в плоском канале с одной проницаемой поверхностью // ИФЖ. 1994. Т. 72. № 1. С. 3237.

3. Абоносимов О.А., Лазарев С.И., Алексеев А.А. Математическая модель массопереноса в обратноосмотических аппаратах рулонного типа // Труды ТГТУ: сб. науч. ст. молодых ученых и студентов. Тамбов: Изд-во Тамб. гос. техн. ун-та, 2000. Вып. 6. С. 101-104.

4. Головашин В.Л. Кинетика массопереноса в процессах обратноос-мотического разделения водных растворов низкомолекулярных органических веществ: дис. ... канд. техн. наук. Тамбов, 2000.

5. Чепеняк П.А. Кинетика электрохимической мембранной очистки фосфатсодержащих сточных вод: дис. ... канд. техн. наук. Тамбов, 2011.

6. Байков В.И., Бильдюкевич А.В. Нестационарная концентрационная поляризация при ламинарной ультрафильтрации в плоском канале // ИФЖ. 1994. Т. 67. № 1-2. С. 103-107.

7. Горбатюк В.И., Старов В.М. Гидродинамика мембранных процессов при ламинарном режиме течения // Химия и технология воды. 1983. Т. 5. № 1. С. 8-12.

8. Lebrun R.E., Bouchard C.R., Rollin A.L., Matsuura T., Sourirajan S. Computer simulation of membrane separation processes // Chem. Eng. Sci. 1989. V. 44. № 2. P. 366-375.

9. Evangelista T. Improved graphical-analitical method for the design of reverse-osmosis plants // Ind. and Eng. Chem. Process Pess. and Dev. 1986. № 2. P. 366-375.

10. Горбачев А.С. Кинетика электробаромембранного разделения водных сульфатосодержащих растворов (в производстве оптических отбеливателей): дис. ... канд. техн. наук. Тамбов, 2006.

11. Лазарев С.И., Головашин В.Л., Ворожейкин Ю.А. Математическое описание биоультрафильрационного разделения водных растворов крахмально-паточных производств // Вестник Тамбовского университета. Серия Естественные и технические науки. Тамбов, 2012. Т. 17. Вып. 2. С. 694-696.

12. Лазарев С.И., Богомолов В.Ю., Арзамасцев А.А., Полянский К.К., Вязовов С.А., Левин А.А. Эмпирическая модель ультрафильтрационного концентрирования белка в подсырной сыворотке // Вестник Тамбовского университета. Серия Естественные и технические науки. Тамбов, 2016. Т. 21. Вып. 2. С. 655-660.

13. Абоносимов Д.О., Лазарев С.И., Протасов Д.Н. Математическое описание электрогиперфильтрационного процесса очистки технологических растворов медно-гальванических производств // Виртуальное моделирование, прототипирование и промышленный дизайн: материалы 3 Междунар. науч.-практ. конф. Тамбов, 2016. Т. 2. № 3. С. 214-219.

14. Головашин В.Л. Математическая модель совместного электротеп-ломассопереноса в электробаромембранных системах // Вестник ТГТУ. 2014. № 4. С. 734-746.

Поступила в редакцию 21 августа 2017 г.

AL

ek

+

AL

AL

e

L

AL

*ene

AL -AL e -e

F

м

L

P

k

+

F

м

-n

L

k

+

Абоносимов Дмитрий Олегович, Тамбовский государственный технический университет, г. Тамбов, Российская Федерация, кандидат технических наук, младший научный сотрудник, е-mail: geometry@mail.nnn.tstu.ru

Протасов Дмитрий Николаевич, Тамбовский государственный технический университет, г. Тамбов, Российская Федерация, кандидат экономических наук, доцент, доцент кафедры высшей математики, е-mail: geome-try@mail.nnn.tstu.ru

Абоносимов Олег Аркадьевич, Тамбовский государственный технический университет, г. Тамбов, Российская Федерация, доктор технических наук, доцент, доцент кафедры прикладной геометрии и компьютерной графики, e-mail: geometry@mail.nnn.tstu.ru

Арзамасцев Александр Анатольевич, Тамбовский государственный университет им. Г.Р. Державина, г. Тамбов, Российская Федерация, доктор технических наук, профессор, зав. кафедрой математического моделирования и информационных технологий, e-mail: arz_sci@mail.ru

Лазарев Дмитрий Сергеевич, Тамбовский государственный университет им. Г.Р. Державина, г. Тамбов, Российская Федерация, магистрант, кафедра математического моделирования и информационных технологий, е-mail: ge-ometry@mail.nnn.tstu.ru

Стрельников Александр Евгеньевич, Тамбовский государственный технический университет, г. Тамбов, Российская Федерация, аспирант, кафедра прикладной геометрии и компьютерной графики, е-mail: geometry@mail.nnn.tstu.ru

UDC 66.081.6

DOI: 10.20310/1810-0198-2017-22-6-1383-1388

MATHEMATICAL MODEL OF ELECTRO-HYPERFILTRATION PROCESS FOR CLEANING TECHNOLOGICAL SOLUTIONS OF COPPER-GALVANIC INDUSTRIES

© D.O. Abonosimov1*, D.N. Protasov1*, O.A. Abonosimov1*, A.A. Arzamastsev2*, D.S. Lazarev2*, A.E. Strelnikov1*

1)1 Tambov State Technical University 106 Sovetskaya St., Tambov, Russian Federation, 392000

E-mail: geometry@mail.nnn.tstu.ru 2) Tambov State University named after G.R. Derzhavin 33 Internatsionalnaya St., Tambov, Russian Federation, 392000 E-mail: arz_sci@mail.ru

The work is devoted to the development of a mathematical model that allows to calculate the volume and volume of funds deferred until an agreement is reached on the electrobaric separation of solutions. Keywords: electrobaromembrane purification; osmotic pressure; mathematical model; mass transfer

REFERENCES

1. Muravev L.L. Modelirovanie raboty obratnoosmoticheskikh ustanovok s rulonnymi fil'truyushchimi elementami [The modeling of work of reverse-osmosis plants with roll filtering elements]. Khimiya i tekhnologiya vody — Journal of Water Chemistry and Technology, 1989, vol. 11, no. 2, pp. 107-109. (In Russian).

2. Baykov V.I., Znovets P.K. Ul'trafil'tratsiya v ploskom kanale s odnoy pronitsaemoy poverkhnost'yu [Ultrafiltration in two-dimensional channel with one permeable surface]. Inzhenerno-fizicheskiy zhurnal — Journal of Engineering Physics and Thermophysics, 1994, vol. 72, no. 1, pp. 32-37. (In Russian).

3. Abonosimov O.A., Lazarev S.I., Alekseev A.A. Matematicheskaya model' massoperenosa v obratnoosmoticheskikh apparatakh rulonnogo tipa [Mathematic model of mass-transfer in reverse-osmosis devices of roll type]. Sbornik nauchnykh statey molodykh uchenykh i studentov «Trudy Tambovskogo gosudarstvennogo tekhnicheskogo universiteta» [A Collection of Scientific Articles of Young Scientists and Students "Proceedings of Tambov State Technical University"]. Tambov, Tambov State Technical University Publ., 2000, no. 6, pp. 101-104. (In Russian).

4. Golovashin V.L. Kinetika massoperenosa v protsessakh obratnoosmoticheskogo razdeleniya vodnykh rastvorov nizkomolekulyarnykh organicheskikh veshchestv: dis. ... kand. tekhn. nauk [Kinetics of Mass-transfer in the Processes of Reverse-Osmosis Allocation of Water Solution of Low Molecular Organic Substances. Cand. tech. sci. diss.]. Tambov, 2000. (In Russian).

5. Chepenyak P.A. Kinetika elektrokhimicheskoy membrannoy ochistki fosfatsoderzhashchikh stochnykh vod: dis. ... kand. tekhn. nauk [Kinetics of electric-chemical membrane cleaning phosphates containing waste waters. Cand. tech. sci. diss.]. Tambov, 2011. (In Russian).

6. Baykov V.I., Bil'dyukevich A.V. Nestatsionarnaya kontsentratsionnaya polyarizatsiya pri laminarnoy ul'trafil'tratsii v ploskom kanale [Temporary concentration-polarization at laminar ultrafiltration in two-dimensional channel]. Inzhenerno-fizicheskiy zhurnal — Journal of Engineering Physics and Thermophysics, 1994, vol. 67, no. 1-2, pp. 103-107. (In Russian).

7. Gorbatyuk V.I., Starov V.M. Gidrodinamika membrannykh protsessov pri laminarnom rezhime techeniya [Hydrodinamics of membrane processes at laminar regime of stream]. Khimiya i tekhnologiya vody — Journal of Water Chemistry and Technology, 1983, vol. 5, no. 1, pp. 8-12. (In Russian).

8. Lebrun R.E., Bouchard C.R., Rollin A.L., Matsuura T., Sourirajan S. Computer simulation of membrane separation processes. Chem. Eng. Sci., 1989, vol. 44, no. 2, pp. 366-375.

9. Evangelista T. Improved graphical-analitical method for the design of reverse-osmosis plants. Ind. and Eng. Chem. Process Pess. and Dev., 1986, no. 2, pp. 366-375.

10. Gorbachev A.S. Kinetika elektrobaromembrannogo razdeleniya vodnykh sulfatosoderzhashchikh rastvorov (vproizvodstve opticheskikh otbelivateley): dis. ... kand. tekhn. nauk [Kinetics of electric-membrane division of water sulfate-containing solutions (in the production of optic bleaches). Cand. tech. sci. diss.]. Tambov, 2006. (In Russian).

11. Lazarev S.I., Golovashin V.L., Vorozheykin Yu.A. Matematicheskoe opisanie bioul'trafil'ratsionnogo razdeleniya vodnykh rastvorov krakhmal'no-patochnykh proizvodstv [Mathematical description bioultrafiltration separation of aqueous solutions of starch and syrup production]. Vestnik Tambovskogo universiteta. Seriya Estestvennye i tekhnicheskie nauki — Tambov University Reports. Series: Natural and Technical Sciences, 2012, vol. 17, no. 2, pp. 694-696. (In Russian).

12. Lazarev S.I., Bogomolov V.Yu., Arzamastsev A.A., Polyanskiy K.K., Vyazovov S.A., Levin A.A. Empiricheskaya model' ul'trafil'tratsionnogo kontsentrirovaniya belka v podsyrnoy syvorotke [Empirical model of ultra-filter protein concentration in cheese whey]. Vestnik Tambovskogo universiteta. Seriya Estestvennye i tekhnicheskie nauki — Tambov University Reports. Series: Natural and Technical Sciences, 2016, vol. 21, no. 2, pp. 655-660. (In Russian).

13. Abonosimov D.O., Lazarev S.I., Protasov D.N. Matematicheskoe opisanie elektrogiperfil'tratsionnogo protsessa ochistki tekhnologicheskikh rastvorov medno-gal'vanicheskikh proizvodstv [Mathematic description of electrichyperfiltraiton process of technological solutions cleaning of copper electroplated production]. Materialy 3 Mezhdunarodnoy nauchno-prakticheskoy konferentsii «Virtual'noe modelirovanie, prototipirovanie i promyshlennyy dizayn» [Materials of 3rd International Scientific-Practical Conference "Virtual Modeling, Prototyping and Industrial Design"]. Tambov, 2016, vol. 2, no. 3, pp. 214-219. (In Russian).

14. Golovashin V.L. Matematicheskaya model' sovmestnogo elektroteplomassoperenosa v elektrobaromembrannykh sistemakh [Mathematical Model of Joint Electric Heat and Mass Transfer in Electro-Baromembrane Systems]. Vestnik Tambovskogo gosudarstvennogo tekhnicheskogo universiteta — Transactions of the Tambov State Technical University, 2014, no. 4, pp. 734-746. (In Russian).

Received 21 August 2017

Abonosimov Dmitriy Olegovich, Tambov State Technical University, Tambov, Russian Federation, Candidate of Technics, Junior Research Worker, e-mail: geometry@mail.nnn.tstu.ru

Protasov Dmitriy Nikolaevich, Tambov State Technical University, Tambov, Russian Federation, Candidate of Economics, Associate Professor, Associate Professor of Higher Mathematics Department, e-mail: geometry@mail.nnn.tstu.ru

Abonosimov Oleg Arkadevich, Tambov State Technical University, Tambov, Russian Federation, Doctor of Technics, Associate Professor, Associate Professor of Applied Geometry and Computer Graphics Department, e-mail: geome-try@mail.nnn.tstu.ru

Arzamastsev Aleksander Anatolevich, Tambov State University named after G.R. Derzhavin, Tambov, Russian Federation, Doctor of Technics, Professor, Head of Mathematical Modeling and Information Technologies Department, e-mail: arz_sci@mail.ru

Lazarev Dmitriy Sergeevich, Tambov State University named after G.R. Derzhavin, Tambov, Russian Federation, Master's Degree Student, Mathematical Modeling and Information Technologies Department, e-mail: geometry@mail.nnn.tstu.ru Strelnikov Aleksandr Evgenevich, Tambov State Technical University, Tambov, Russian Federation, Post-graduate Student, Applied Geometry and Computer Graphics Department, e-mail: geometry@mail.nnn.tstu.ru

Для цитирования: Абоносимов Д.О., Протасов Д.Н., Абоносимов О.А., Арзамасцев А.А., Лазарев Д.С., Стрельников А.Е. Математическая модель электрогиперфильтрационного процесса очистки технологических растворов медно-гальванических производств // Вестник Тамбовского университета. Серия Естественные и технические науки. Тамбов, 2017. Т. 22. Вып. 6. С. 1383-1388. DOI: 10.20310/1810-0198-2017-22-6-1383-1388

For citation: Abonosimov D.O., Protasov D.N., Abonosimov O.A., Arzamastsev A.A., Lazarev D.S., Strelnikov A.E. Matematicheskaya model' elektrogiperfil'tratsionnogo protsessa ochistki tekhnologicheskikh rastvorov medno-gal'vanicheskikh proizvodstv [Mathematical model of electro-hyperfiltration process for cleaning technological solutions of copper-galvanic industries]. Vestnik Tambovskogo universiteta. Seriya Estestvennye i tekhnicheskie nauki — Tambov University Reports. Series: Natural and Technical Sciences, 2017, vol. 22, no. 6, pp. 1383-1388. DOI: 10.20310/1810-0198-2017-22-6-1383-1388 (In Russian, Abstr. in Engl.).