Математическая модель двухкомпонентной фильтрации применительно к механическому обезвоживанию осадков Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 676.1.026.5

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ДВУХКОМПОНЕНТНОЙ

ФИЛЬТРАЦИИ ПРИМЕНИТЕЛЬНО К МЕХАНИЧЕСКОМУ ОБЕЗВОЖИВАНИЮ ОСАДКОВ

А.Б. Коновалов1

Санкт-Петербургский государственный университет сервиса и экономики (СПбГУСЭ),

191015, г. Санкт-Петербург, ул. Кавалергардская д.7, лит. А

Аннотация - Разработана математическая модель процесса механического обезвоживания сжимаемого осадка путем прессования влажного бумажного полотна в прессовом захвате бумагоделательной машины, образованном двумя прессовыми валами.

Ключевые слова: механическое обезвоживание осадка; пресс; бумажное волокно; поровое пространство; система уравнений; метод конечных разностей.

MATHEMATICAL MODEL OF THE TWO-COMPONENTAL FILTRATION WITH REFERENCE TO MECHANICAL DEHYDRATION OF DEPOSITS

A.B. Konovalov

The St.-Petersburg state university of service and economy (СП6ГУСЭ), 191015, St.-Petersburg, streetKavalergardsky, 7, lit. A Summary -The mathematical model of process of mechanical dehydration of a compressed deposit by pressing of a damp paper cloth in press capture, car for paper manufacturing, formed by two pressing shafts is developed.

Keywords: mechanical dehydration of a deposit; a press; a paper fibre; pinhole space; system of the equations; a method of final differences.

Для многих отраслей промышленности задача повышения эффективности обезвоживания сжимаемых осадков имеет большую практическую значимость. Так, например, при производстве бумаги себестоимость и качество выпускаемой продукции напрямую связано с эффективность обезвоживания бумажного полотна в прессовой части. Также решение проблемы экологической безопасности невозможно без решения проблемы утилизации отходов сточных вод предприятий, относящихся к различным отраслям промышленности. Для решения этих задач широко используются различные методы механического обезвоживания осадков. В данной работе предложена математическая модель процесса механического обезвоживания сжимаемого осадка на примере прессования влажного бумажного полотна в прессовом захвате бумагоделательной машины, образованном двумя прессовыми валами.

Прессовый захват характеризуется шириной площадки контакта валов а и законом распределения внешнего давления ц(х) по ширине площадки контакта (рис.1).

Выжимаемая из бумажного полотна вода удаляется в прессовое сукно, играющее роль фильтровальной перегородки и имеющей незначительное по сравнению с бумажным полотном гидравлическое сопротивление. Часто прессование происходит между двух сукон, что позволяет значительно повысить эффективность обезвоживания в результате сокращения пути фильтрации удаляемой воды.

Полагаем, что вода, выжимаемая из осадка, движется в направлении, перпендикулярном движению осадка, а ширина площадки контакта а на порядок меньше радиусов валков и на порядок больше толщины сжимаемого осадка Ъ. В связи с этим при выводе уравнения, описывающего процесс обезвоживания осадка в прессовом захвате, можно рассматривать уплотнение элемента осадка единичной площади, лежащего на водопроницаемом основании и нагружаемого внешней нагрузкой, изменяющейся по закону д(), где ^ = х / V, где V - скорость движения фильтрующей ткани.

Рисунок 1 - Схема прессового захвата: 1 -

верхний вал; 2 - фильтровальная ткань (прессовое сукно); 3 - обезвоживаемый осадок; 4 - нижний вал; 5 - эпюра внешнего давления

Сжимаемый осадок будем рассматривать как пористую среду, состоящую из твердых частиц, связанных между собой и образующих «скелет» осадка, воды и воздуха, находящихся в порах осадка. При отсутствии воды и воздуха уплотнению осадка под действием внешней нагрузки препятствовало бы только сопротивление сжатию «скелета». В действительности на «скелет» действует только часть внешней нагрузки. Другая ее часть воспринимается находящимися в порах водой и воздухом. В результате в поровой воде и воздухе создается избыточное гидростатическое давление. Будем считать давление воздуха в порах осадка и давление воды одинаковыми, т.е. будем пренебрегать капиллярным давлением.

Известно, что при механическом уплотнении влажного осадка удается удалить только часть воды, находящейся в нем. При этом предельная сухость осадка, достигаемая при механическом уплотнении, определяется физикомеханическими свойствами частиц осадка. Одним из объяснений этого может быть двойная пористость осадка. Поро-вое пространство может быть разделено на две части: внешнее поровое пространство и внутреннее поровое пространство. Первое представляет собой пространство между частицами осадка. Второе образовано порами внутри частиц осадка. При построении математической модели будем считать, что частицы осадка не сжимаемы и что количество воды, находящейся внутри них, в процессе механического уплотнения осадка остается неизменным. Также известно, что не вся вода,

находящаяся во внешнем поровом пространстве может быть удалена из материала в результате его механического уплотнения. Поэтому ту часть внешнего порового пространства, занимаемого удаляемой механическим путем водой, будем называть активным. Оставшуюся часть внешнего порового пространства и внутреннее поровое пространство - неактивным поровым пространством. Одной из важнейших характеристик пористого материала является пористость т. Активная пористость будем определять

^ ПО а

по формуле т = , где Fnopa - объем

внешнего порового пространства, занимаемого подвижной жидкостью и воздухом в случае его присутствия в материале, в рассматриваемом объеме V бумажного полотна.

Объем бумажного полотна V складывается из объема воды V\ и объема воздуха V2 во внешнем поровом пространстве, объема частиц осадка V3 и суммы объема воды, находящейся внутри частиц, и объема неподвижной воды во внешнем поровом пространстве, Vi н

V = V* + V* + V2+V3 . (2)

В дальнейшем удобнее вместо пористости т использовать коэффициент пористости. Будем использовать коэффициент активной пористости е и предельный коэффициент пористости 8цт, определяемые по формулам

V*

£=

_ ' пор _ 1\ +^2

V■>

з

Slim_

з

VH

пор

1Г'

(з)

Активная пористость связана с коэффициентом активной пористости соотношением

£

т =

(4)

1+ £

В процессе прессования осадка в прессовом захвате одновременно с течением воды и воздуха через «скелет» осадка происходит деформирование и самого «скелета» в результате переупаковки образующих его частиц. Поэтому для описания течения воды и воздуха в деформируемом осадке будем использовать уравнение Дарси-Герсеванова [1] кх • (1 + є) др

г/, —щ ~

fV9r

д z

(5)

(6)

к2 • (1 + в) др

(а2-ф2-в дг где: г/ь г/г - скорости воды, воздуха и частиц осадка, отнесенные к занимаемой ими части поперечного сечения материала; к\, &2 - проницаемости бумажного полотна для воды и воздуха; фьфг - насыщенность пор водой и воздухом соответственно; ць цг - коэффициенты динамической вязкости воды и воздуха; р - гидростатическое давление.

Перемещение верхней границы бумажного полотна затрудняет формулировку граничных условий задачи. Целесообразнее формулировать задачу с использованием лагранжевой массовой координаты. Выделим двумя горизонтальными плоскостями, перемещающимися со скоростями, равными скоростям волокон «скелета», элементарный слой сжимаемого осадка, представляющий собой параллелепипед, высота которого равна dz, а площадь основания 1. В процессе уплотнения полотна величина будет изменяться, а масса волокон в элементарном слое будет оставаться постоянной и равной ее начальному (перед действием внешней нагрузки) количеству. Таким образом, эйлеровы координаты г верхней и нижней плоскостей в моменты времени 1 и 1+Л 1 будут разными, а массовые координаты 5 будут одинаковыми (рис.2).

Ч(*)

М лш I5

и (О

22 & г1 (I)

О

„ ^ (] ?' ■-І ІМ 14 І. Ч ГТТЧ 2 q(t+Лt)

21 (Ї+Лі) 21

г, (І+Дї)

О

шиши

О

Рисунок 2 - Схема к пояснению перехода к массовой координате

Массовая координата ^ связана с координатой г соотношением

Рз

*=/

о 1 + 8 + 8Ит

•йі,

(7)

где рз - плотность частиц «скелета».

Так как

1С=Т^—- <8>

О Z 1 + 8 + 8цт

то уравнения (5 - 6) могут быть записаны следующим образом

щ=*га-.г£. (9)

/4-ер • £ о $

и2 -

• А др /^-(1 — Ф)- є дя

(10)

где г/1, 112 ~ скорости воды и воздуха относительно волокон «скелета».

В рассматриваемом элементарном слое содержится масса волокна ds, масса воды, находящейся в активном поровом пространстве,

сіМі - є-ф- — -ёъ Рз

и масса воздуха

Р2

(11)

(12)

сіМ2 - є-(І-ф)- — •(!$.

Рз

За промежуток времени йї из рассматриваемого слоя через его нижнюю границу вытекает масса воды, равная

• щ -т -ф (13)

а через верхнюю границу поступает масса воды, равная

щ-т-(р + —(щ-т-(р)-сІ$ -сії. (14)

РГ

д$

В результате за промежуток dt в рассматриваемом слое увеличение массы воды составит

^-( р[ ■ • ш • ф) • • <Й = ...

V <15)

д в

д_

д$

• А ■ Рз

•сів-сії

Дг(1+ £+ %т)

С другой стороны это увеличение будет равно

д

дt

Приравнивая выражения (15) и (16), получим уравнение, описывающее течение воды в бумажном полотне,

■Л.

(16)

V А • А др

&г £Пт) д5 У

(17)

Аналогичным образом можно получить уравнение для воздуха

п ( - \ г

6(1- ф)-

^2 ' А' А

/*2-(1+ ^ ^Иш) 05

(18)

Для преобразования этих уравнений к более удобному для решения виду воспользуемся фильтрационно-компрессионными характеристиками осадка и уравнением состояния воздуха. Коэффициент пористости зависит от эффективных напряжений в «скелете» осадка. Эту зависимость, называемую компрессионной характеристикой осадка, можно представить в виде

8= §-е~а0 (19)

где Во -коэффициент активной пористости осадка перед прессованием, а - коэффициент сжимаемости; а - эффективное напряжение в «скелете» осадка, равное q - р.

Решение поставленной задачи осложняется также тем, что сжимаемый осадок не является абсолютно упругим материалом и при полном снятии внешней нагрузки восстанавливается не полностью. Примем, что разгрузка осадка, которая начинается при уменьшении эффективного напряжения, описывается уравнением

^ о а /лл\

8 — 80 • С • (20)

Параметры разгрузочной кривой определяются по формулам

\ п а

Чиах

^ * Чгах

(21)

Ш1П

где сттах - максимальное эффективное напряжение, достигаемое в данной точке осадка на стадии уплотнения.

Проницаемость осадка для воды и воздуха может быть представлена в виде

^7 — к а ■ кфі, / — 1, 2, (22)

где: ка - абсолютная проницаемость бумажного полотна; кф1, кф2 - относитель-

ные фазовые проницаемости осадка для воды и воздуха соответственно.

Абсолютная проницаемость зависит только от пористости бумажного полотна. Эта зависимость может быть представлена в виде

ка = К

1+ а- є

Пі!!

1+ ^0 + £ Пт

£

V Є 0

\п

(23)

где к0 - абсолютная проницаемость осадка перед прессованием, п - фильтрационный коэффициент.

Относительные фазовые проницаемости зависят от насыщенности пор соответствующими компонентами и могут быть представлены в виде

Ґ Л3'5

Фг — Ф кр і

кфі ~

1-ф

/' = 1,2,

Ч - т Кр 1 у

где ф кр г - критическая насыщенность материала 7-й фазой, т.е. такая насыщенность г-й фазы при которой ее движение прекращается.

Уравнение состояния воздуха при изотермической фильтрации будет иметь вид

Р2=Р,-Е±Е^. (24)

Ра

где ра - плотность воздуха при атмосферном давлении ра.

Используя приведенные выше соотношения, уравнения (17) и (18) можно записать в виде

а • ф • &

д ір

кфі' £ Рі' Рз' є

+ а- ф- £•

(1-<р)- £

Д1

Р ^

Р

(25)

8

-А

д -ф

...+ а р2-

Р2 Яр дер

Г Т0 д т

Ґ

кф2 • £ А' Рз' др_ д 1р

/12

(\-(р)-£$,1 дд

+••• (26)

А

где ^ - постоянная величина, характеризующая свойства конкретного осадка перед прессованием и равная

<г=

кп

£•”•(1+ а- єит)

(27)

Для удобства решения данная система записана в безразмерных перемен-

ных Т——, тр-—,где 2Го - продол-

!()

жительность прессования.

Введем следующие обозначения:

и =

Р

1. = ^*

а-є-ср-

, і.

Р_

Р

£-{\-<ру[ р, ----------- а-р2+— I

Р 3 Ра )

(28)

р 1

----

Р 3

Р 2

— Є

Р:

Тогда система уравнений (25 - 26) может быть записана в матричной форме

I-

ди

(29)

Полученная система уравнений может быть решена методом конечных разностей. Воспользуемся консервативной разностной схемой, для построения которой используем интегро-интерполяционный метод. Применяя чисто неявную схему, обеспечивающую абсолютную устойчивость и монотонность при любом соотношении шагов по у/ и г и равномерную сетку, состоящую из N узлов, систему уравнений (29) можно записать в виде

М,

/-0,5

•г/,--1

Мі-0,5 + Мі+0,5 /г

М,

7+0,5

/?

•г/7+1 =-Ц-Щ-Иг Ад,

(30)

где /? = А\|/ Ах ; йг - значение неизвестной переменной в /-ой точке в момент времени х ; г/г - значение неизвестной переменной в той же точке в момент времени х+Ах ; А q - приращение внешней нагрузки за промежуток времени Ах .

Обозначим

Лі _ мі-0,5

в і -Ц +

м

У-0,5

+ М,

7+0,5

Пі=-Ц-Пі-Ні

И ' ' И

Д9. (31)

Тогда в конечно-разностной форме система уравнений (29) примет вид

А1 ■ г/0 - В1 • г/1 + А2 • и 2 = /)},

/\ 2 * г/1 В2 * г/ 2 ~* г/ ^ ^,

АМ-2 '11 . 3 Вн_2 ' ИN-2 + •••

(32)

и

N

-1=Д

аЛ?-1 "ЛГ-2

ЛГ—2» г/л

N-1 "N-1

... + А^ • им —

Для решения системы уравнений, описывающей обезвоживание бумажного полотна, ее необходимо дополнить двумя уравнениями, учитывающими граничные условия. Рассмотрим половину ячейки, граничащей с проницаемой нижней поверхностью (рис.3).

Рисунок 3 - Схема граничного элемента слоя материала

В выделенном элементе содержится массовое количество воды, равное

_Д

2 Рз’

в него поступает за промежуток времени Л ї массовое количество воды, равное

( £ф)о

и

к

(игтчр- рХУ А/ =

Чі-А-Рз- І

А

• Д

Д0 =

/0,5

а вытекает Жо -А /.

Уравнение баланса для выделенного элемента будет иметь вид

3 Д5 д

ді 2 р3

кФі • А Я' ?■ Ї др

д 5

(33)

-Ж0.

V И ,

Используя компрессионную характеристику материала и безразмерные переменные, можно переписать это уравнение в следующем конечно-разностном виде

м л'

-Р 3 * ^0

•(г7-е-^)0 -(д, -/>0 ) +

+

РіЛ2 / - ,

. ° ^оМ^-^о) =

-/7з * о (34)

Кг Рі4

л

(л -

Аналогично, рассматривая баланс воздуха в выделенном элементе, можно получить уравнение

рО рО п00 -°01 рО рО -°10 -°11

(35)

^*1' Рг' Р г'ё '4

\

/12

/ 0,5

/ > АГ

ІРі-Ро )*-------7 +

Д(/у

+ ^ 6° *[«*б'*(1-д’)*р2] * Д<7 - Г° • 50

-Рз ‘^о

В матричной форме эти уравнения можно записать так — В() ■ £/д + Ау ■ Ну = + Д*0’ (36)

где

2 А- Т0

Рг (8)о _(Р2'8)о.

/?/«• £(р;0+с00

/з+—;

Ра

+ ...С

10

(37)

Л =

Д:ю д01 Д10 Д11

Д г

л

/

И

/0,5

\

V

Р2

/0,5

С2

£> =- °

О

-х..

ОТ (38)

2 Рз- Го

А[(Я Є(р\-(р0+ Ад) +{бф\]

Ґ

-(«АІР

^О1

<Ро

а- Р2+

а

■Ро+-

Щ =

и\ =

№.

0

г х;: _д_\ №

0 \х?\ а р 0 {<

Аналогичным образом можно записать и уравнение, учитывающее граничное условие на верхней поверхности бумажного полотна. В общем случае, учитывая возможность прессования между двух сукон, это уравнение будет иметь вид

Д\г • /V—1 — "11N = ^ — Хн ,

где

0

о

0

0

An -

00

N

10

N

к

A

A1

Ф1

Ф2

01 N 11 N .

R • Р • є І М

Рг' Рз' 6 £ М

(39)

/N-0.5

Л

/N-0.5

BN ~

п00 п

вы B

JN

>10

BN в

S2

-X ...

2 /93- 7J,

/?'(«' £ф)лг

■Ac00

£(1-ф)-(«- А+—)

Ра .

А' (8)л? “ (Рг s)n

(40)

4n

40

N

0

0

D N~

S2

11N ~

2 R • T0 Pn'

(£(1-Ф))

11N-1 - '

/}[( » Єф)№

\

&

a- p2+ —

Pa J N 0

-(Pn+ 5ФЫ •/V+(® p2)N- Ac-(є p)N-(pN

X

A'“U-

\PN-1

[ФлтГ ” 1 ІФлм

В случае прессования с одним сукном, когда верхняя граница бумажного полотна соприкасается с непроницаемой поверхностью верхнего вала пресса, потоки Жо' и Ж1' будут равны нулю. После добавления в систему уравнений (32) уравнений (36) и (37) система примет вид

—Во ■ ио + Ау ■ иу = Оо + Xо,

Ау • Щ- Ву • иу+ А2 ■ иг= Оу,

А2 'иу~ В2 ’и2 + А3 'и3= О2,

(41)

ним нижним сукном используется соотношение Хд = 7/0 • Х(° , где

„ _кгФ' Рг Их

'/О-----------1 •

И'г к\ф ' Р\

Данное соотношение получено на основании следующих определений для удельных массовых потоков воды и воздуха на нижней границе бумажного полотна

к =

К Pi- Рз дР A (l+£+£lim)

Ai ■ui-І~ Bi ■Ui+Ai+І •ui+І- Dv

(42)

w02 =

k~.

Рг Рз

д p

/о

\

(43)

/о

АЫ-2 ‘ иЫ-3~ ВЫ-2 ’ иЫ-2+ АЫ-у ' иЫ-у = °М-АМ-у ‘иИ-2~ВИ-у ‘иМс-у + АЫ'иЫ = DN,

Аы ■ и^ у- BN • и^ = DN - XN.

На границе прессового сукна с бумажным полотном давление будем считать давление заданым. При решении рассматриваемой задачи прессования с од-

И (І+Є+Єнт) ^

Таким образом, полученная сис--2, тема содержит 2('+1) уравнений и столько же неизвестных: Х0°, ф0 и рі, фі (і = 1,2, ... , '). Матрица системы имеет диагональную форму с шириной ленты 5 и система может быть легко решена методом Гаусса.

1 Коновалов Александр Борисович, кандидат технических наук, доцент, доцент кафедры сервиса торгового оборудования и бытовой техники, тел.: 3684289, e-mail: alex_bor_kon@mail.ru