CC BY
69
УДК 629.113.001
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ДЛЯ РАСЧЕТА КОЭФФИЦИЕНТА СЦЕПЛЕНИЯ ОТ ПРОСКАЛЬЗЫВАНИЯ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ НОРМАЛЬНЫХ И КАСАТЕЛЬНЫХ РАСПРЕДЕЛЕННЫХ НАГРУЗОК ПО ДЛИНЕ ПЯТНА КОНТАКТА ЭЛАСТИЧНОЙ ШИНЫ С ДОРОГОЙ И БЕГОВЫМ БАРАБАНОМ ДИАГНОСТИЧЕСКОГО СТЕНДА
1 9
© А.В. Бойко1, В.Б. Распопина2
Иркутский государственный технический университет, 664074, Россия г. Иркутск, ул. Лермонтова, 83.
Предлагается разработанная математическая модель процесса взаимодействия эластичной шины с опорной поверхностью бегового барабана и дорогой, позволяющая исследовать распределения нормальных и касательных нагрузок по длине пятна контакта эластичной шины. Ил. 9. Библиогр. 9 назв.
Ключевые слова: математическая модель; диагностирование; пятно контакта; распределенная нормальная нагрузка; распределенная касательная нагрузка; эластичная шина; цилиндрическая поверхность; стенды с беговыми барабанами.
MATHEMATICAL MODEL TO CALCULATE ADHESION COEFFICIENT FROM SLIPPAGE USING NORMAL AND TANGENTIAL DISTRIBUTED LOADS OVER THE LENGTH OF THE ELASTIC TIRE CONTACT PATCH WITH THE ROAD AND CHASSIS DYNAMOMETER TEST BENCH A.V. Boiko, V.B. Raspopina
Irkutsk State Technical University, 83 Lermontov St., Irkutsk, 664074, Russia.
The article proposes a mathematical model of elastic tire interaction with either the supporting surface of the chassis dynamometer test bed or with the road. The new development allows to calculate the adhesion coefficient and identify slippage when studying the distribution of normal and tangential loads along the length of the elastic tire contact patch. 9 figures. 9 sources.
Key words: mathematical model; diagnosis; contact patch; distributed normal load; distributed tangential load; elastic tire; cylindrical surface; chassis dynamometer test bench.
Повышение эффективности контроля технического состояния автомобиля на стендах с беговыми барабанами настоятельно требует создания математических моделей процесса торможения колеса, с учетом кривизны опорной поверхности беговых барабанов [1, 5, 6]. Математические модели процесса торможения колеса с эластичной шиной на сегодняшний день, как правило, используют формулу Расе]ка Н.В. [9]. Распространение этой формулы говорит как о простоте ее использования, так и о высоком качестве описания процесса торможения колеса. К сожалению, для точного сравнения процесса торможения колеса на беговом барабане и на плоской опорной поверхности необходимы иные математические модели, учитывающие кривизну опорной поверхности [5, 6]. С этой целью авторами статьи была разработана математическая модель, учитывающая кривизну опорной поверхности.
Для определения распределенной нормальной нагрузки в статике по длине пятна нами предложена формула
дд = • - 7), если ДДг1 < ДЯгмАХ, (1)
( ДЯгмАх, если ДД^ > ДК2МАХ где КА - коэффициент распределения нормальной нагрузки по длине пятна контакта; - текущее значение отрезка по длине пятна контакта; 1д - длина пятна контакта, мм; ДЯгмАХ - максимальное значение распределенной нагрузки по длине пятна контакта колеса с эластичной шиной, Н/мм.
Максимальное значение распределенной нагрузки по длине пятна контакта колеса с эластичной шиной складывается из двух составляющих: сжатия воздуха и деформации каркаса шины в зависимости от прогиба [2, 8].
Сжатие воздуха связано с прогибом каркаса шины и изменением объема шины, вызванным деформацией от нагрузки на колесо [2].
Максимальное значение распределенной нагрузки по длине пятна контакта колеса с эластичной шиной определяется по формуле
1Бойко Александр Владимирович, кандидат технических наук, доцент кафедры автомобильного транспорта, тел.: 89149293650, e-mail: veator@ramler.ru
Boiko Alexander, Candidate of technical sciences, Associate Professor of the Department of AutomobileTransport, tel.: 89149293650, e-mail: veator@ramler.ru
2Распопина Вера Борисовна, кандидат технических наук, доцент кафедры сопротивления материалов и строительной механики, тел.: (3952) 405131, e-mail: vbr2604@mail.ru
Raspopina Vera, Candidate of technical sciences, Associate Professor of the Department of Strength of Materials and Structural Mechanics, tel.: (3952) 405131, e-mail: vbr2604@mail.ru
ЬКгмлх = К1Д • Р1Д •—, (2)
где К1Д - коэффициент, учитывающий степень повышения давления при деформации шины, К1Я = 155; Р1Я - внутреннее давление в шине, в расчетах принимаем Р1Я = 0,21 МПа; Щ - коэффициент, учитывающий максимальную радиальную деформацию, обусловленную величиной свободного радиуса колеса; К1 - коэффициент, учитывающий длину пятна контакта, обусловленную величиной свободного радиуса колеса.
Коэффициент, учитывающий максимальную радиальную деформацию, которая зависит от геометрических размеров шины (свободного радиуса колеса), определяется по формуле
= (3)
где Амах - максимальная радиальная деформация шины в пятне контакта, в мм; гСВ - свободный радиус колеса с эластичной шиной, в мм; Ща - коэффициент, учитывающий соотношение максимальной радиальной деформации к свободному радиусу колеса.
Коэффициент, учитывающий длину пятна контакта, обусловленную величиной свободного радиуса колеса, определяется по формуле
КЬ = 1 + Г-СВ.
1 Ьд
(4)
Результаты математического моделирования с использованием вышеизложенных формул позволили получить распределенную нормальную нагрузку в статике по длине пятна контакта шины с плоской и цилиндрической опорными поверхностями в зависимости от нормальной нагрузки на колесо (рис. 1) и от давления в шине (рис. 2).
б)
Рис. 1. Распределенная нормальная нагрузка в статике в зависимости от нагрузки на колесе: 1 - Я2 = 1000 Н; 2 - Я2 = 2000 Н; 3 - Я2 = 3000 Н; 4 - Я2 = 4000 Н; 5 - Я2 = 5000 Н; а - на плоской опорной поверхности; б - на цилиндрической опорной поверхности диаметром вБ = 0,2 м
б)
Рис. 2. Распределенная нагрузка в зависимости от давления в шине: 1 - РВ=0,21 МПа; 2 - РВ = 0,18 МПа;
3 - РВ = 0,14 МПа; 4 - РВ = 0,1 Мпа; а - на плоской опорной поверхности; б - на цилиндрической опорной поверхности диаметром вБ = 0,2 м
Распределенная нормальная нагрузка в динамике по длине пятна определяется по формуле [1]
= ЬЯ21 + Мп, (5)
где ЬЯ22 - распределенная нагрузка по длине пятна контакта шины, возникающая в результате качения колеса.
= (6)
где - коэффициент, учитывающий трение в шине при качении; шк - угловая скорость колеса; ^- угол КО/ (рис. 3).
Рис. 3. Расчетная схема взаимодействия эластичной шины с плоской опорной поверхностью дороги
Под действием продольной касательной силы пятно контакта изменяет свою длину [4]. Для учета этой особенности в математическую модель было добавлено описание, позволяющее корректировать длину пятна контакта
йр
(8)
где - продольная касательная сила в пятне контакта шины, Н; ^ - продольная сила, вызванная дефор-
мацией длины беговой дорожки шины; тш - масса шины в пятне контакта.
Продольная сила, вызванная деформацией длины беговой дорожки шины, определяется по формуле
= СТ • ДТ - КТ • К, (9)
где СТ - тангенциальная жесткость беговой дорожки шины; Дт - тангенциальная деформация беговой дорожки шины; Кт - тангенциальный коэффициент демпфирования беговой дорожки шины; Ц. - продольная скорость деформации беговой дорожки шины.
Результаты математического моделирования процесса торможения колеса с учетом изменения длины пятна контакта под действием тормозной силы [4] представлены на рис. 4.
Ьд , мм
50 100
Рис. 4. Результаты математического моделирования изменения длины пятна контакта шины: 1 - качение колеса в ведомом режиме; 2 и 3 - в тормозном режиме
Необходимо отметить, что с целью повышения качества математической модели процесса торможения колеса следует учитывать и изменение длины пятна контакта, вызванное деформацией профиля шины в зоне пятна контакта A'-B'. (См. рис. 5) [2].
Длину пятна контакта корректируют с помощью формулы
ЬД = Ь'Д^Коь, (11)
где Коь - коэффициент, учитывающий окружную деформацию в пятне контакта.
/ х 0,0214
, (12)
где гБ - радиус бегового барабана. При математиче-
ском моделировании на дороге радиус бегового барабана гБ принимаем более 1000 м, т.е. пятно контакта имеет практически плоскую опорную поверхность.
Продольная касательная распределенная нагрузка определяется
,р _ [ДПХ1 + ДКХ2,если ДЯХ1 + ДЯХ2 < Мц • ц ДЯх = { М^ц ' ()
где ДЯХ1 - продольная касательная распределенная нагрузка ведомого колеса; ДЯХ2 - продольная касательная распределенная нагрузка, вызванная продольной силой; ц. - коэффициент трения.
Коэффициент трения описывается функцией
[1 = [1МАХ^2,7-А^), (14)
где ц.МАХ - максимальный коэффициент трения; Ац -эмпирический коэффициент, А^ = 0,01.
Максимальный коэффициент трения ^МАХ зависит от удельного давления в пятне контакта [4], поэтому была предложена функция, учитывающая изменение коэффициента трения в зависимости от изменения удельного давления:
№мах = Ц-ЦМАХ • 0,15 4, (15)
где q - удельное давление в пятне контакта [7].
Продольная распределенная нагрузка ведомого колеса пропорциональна углу контакта шины ак [3].
ДRX1 = СШ • [агсзт(со5ак • 1да{) - а;],
(16)
где СШ - жесткость шины.
Продольная распределенная нагрузка, вызванная продольной силой
ДаХ2=КТ1^^(ак+а0, (17)
где 5 - проскальзывание колеса относительно опорной поверхности.
Продольная распределенная нагрузка ведомого колеса представляет собой синусоидальную форму 1 (рис. 6) [3, 8]. Дополнительные продольные касательные распределенные нагрузки, вызванные продольной силой, представляют собой линейную зависимость 2 (рис. 6) [3].
Кривая 3 (рис. 6) является суммой двух слагаемых [3]: 1 - касательной распределенной нагрузки, возникающей при качении ведомого колеса; 2 - касательной
а) б)
Рис. 5. Схема, иллюстрирующая окружную деформацию шины неподвижного колеса: а - на дороге;
б - на беговом барабане
распределенной нагрузки, возникающей из-за продольной силы.
В тех местах, где продольная касательная сила больше силы трения, наступает проскальзывание (рис. 7). С повышением тормозной силы увеличивается зона проскальзывания колеса относительно опорной поверхности, распространяясь на переднюю часть пятна контакта: п1к; п2к; п3к; тормозная сила соответственно составляет 500 Н; 850 Н и 1700 Н.
Рис. 6. Результаты математического моделирования
распределенной нагрузки по длине пятна контакта колеса с эластичной шиной: 1 - касательная, возникающая при качении ведомого колеса; 2 - касательная, возникающая из-за продольной силы; 3 - сумма двух слагаемых 1 и 2; 4 - граница зоны силы трения
По мере увеличение продольной касательной силы, по длине пятна контакта будет возрастать распределенная касательная нагрузка, изменяющаяся по линейному закону (17). Рост распределенной продольной нагрузки продолжится до тех пор, пока не наступит проскальзывание элемента в пятне контакта. В случае, когда продольная касательная сила станет равной силе трения в пятне контакта, увеличение силы прекратится.
, Нмм
Рис. 7. Результаты математического моделирования распределенной нагрузки по длине пятна контакта колеса на плоской опорной поверхности в зависимости от величины продольной касательной силы: 1 -500 Н; 2 - 850 Н; 3 - 1700 Н
Результаты разработанного математического описания позволили получить формы эпюр распределения нормальных и касательных нагрузок по длине пятна контакта эластичной шины с плоской опорной
5 Н
Д , НУмм
Рис. 8. Характеристики сцепления колеса с опорной поверхностью дороги в результате
математического моделирования
ю-
А Их, Н/мм
Рис. 9. Характеристики сцепления колеса с опорной поверхностью бегового барабана в результате математического моделирования
поверхностью (рис. 8) и цилиндрической опорной поверхностью стенда с беговым барабаном (рис. 9) в процессе торможения автомобильного колеса.
Графики зависимости коэффициента сцепления от проскальзывания (рис. 8 и 9) были получены в результате математического моделирования процесса торможения колеса на беговом барабане диаметром 0,2 м; нормальная нагрузка на колесе в расчетах составляла вк = 3000 Н; давление в шине в расчетах принимали Р1Д = 0,21 МПа.
Разработанная математическая модель позволяет расчетным путем анализировать влияние формы ци-
линдрических поверхностей опорных роликов стендов и характеристик шин, на форму и величину распределения нормальных и касательных реакций в пятне их контакта.
В заключение отметим, что разработанный метод позволил получить зависимости коэффициента сцепления от проскальзывания на основе распределенных нормальных и касательных реакций в пятне контакта эластичной шины как с плоской опорной поверхностью, так и с цилиндрическими поверхностями беговых барабанов диагностического стенда.
Статья поступила 12.09.2014 г.
Библиографический список
1. Бойко А.В. Математическая модель для расчета нормальных и касательных напряжений в пятне контакта эластичной шины с дорогой и беговым барабаном диагностического стенда // Вестник Иркутского государственного технического университета. 2012. № 11 (70). С. 128-132.
2. Петров М.А. Работа автомобильного колеса в тормозном режиме. Омск.: Зап.-Сиб. книжн. изд-во, 1973, 224 с.
3. Тарновский В.Н. и др. Автомобильные шины: Устройство, работа, эксплуатация, ремонт. М.: Транспорт, 1990. 272 с.
4. Федотов А.И., Бойко А.В. Анализ механики взаимодействия эластичной шины с цилиндрической опорной поверхностью бегового барабана диагностического стенда // Вестник Сибирской государственной автомобильно-дорожной академии. 2014. № 1 (35). С. 34-37.
5. Федотов А.И., Бойко А.В. Многомассовая модель для исследования процесса торможения автомобиля на стенде с беговыми барабанами // Вестник Иркутского государствен-
ного технического университета. 2007. № 4. С. 67-71.
6. Федотов А.И., Портнягин Е.М., Бойко А.В. Моделирование процесса торможения автомобиля с ABS на полноопорном диагностическом стенде с беговыми барабанами // Вестник Иркутского государственного технического университета. 2008. № 4. С. 95 - 100.
7. Федотов А.И., Бойко А.В., Цогт Д. и др. Экспериментальное исследование параметров, характеризующих взаимодействие автомобильного колеса с опорными роликами диагностических стендов // Вестник Иркутского государственного технического университета. 2009. № 4. С. 72 - 77.
8. Федотов А.И., Бойко А.В., Халезов В.П. Экспериментальные исследования процесса взаимодействия эластичной шины с беговым барабаном и дорогой // Вестник Иркутского государственного технического университета. 2012. № 9. С. 157-163.
9. Pacejka H.B. Some recent investigations into dynamics and frictional behavior of pneumatic tires. London, 1974. P. 348.
