Математическая модель асинхронного двигателя со статическим эксцентриситетом ротора Текст научной статьи по специальности «Электротехника, электронная техника, информационные технологии»

УДК 621.313.333

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ АСИНХРОННОГО ДВИГАТЕЛЯ СО СТАТИЧЕСКИМ ЭКСЦЕНТРИСИТЕТОМ РОТОРА

THE MATHEMATICAL MODEL OF ASYNCHRONOUS MACHINE WITH THE ROTOR STATIC ECCENTRICITY

П. В. Беляев, А. П. Головский, Д. С. Садаев

Омский государственный технический университет, г. Омск, Россия

P. V. Belyaev, A. P. Golovskii, D. S. Sadaev

Omsk State Technical University, Omsk, Russia

Аннотация. В статье показано, что сегодня существует необходимость в совершенствовании математических моделей АД для установления новых или уточнения имеющихся связей между диагностическим признаком и диагностируемым дефектом. Приведена математическая модель асинхронного двигателя, имеющего статический эксцентриситет. На основе математической модели разработана имитационная s-модель и произведено моделирование в среде компьютерной математики Simulink/Matlab. Произведено сравнение полученной имитационной модели и результатов ее расчетов с имеющимися в среде компьютерной математики Simulink/Matlab имитационными моделями асинхронного двигателя. Сделан вывод о возможности моделирования работы асинхронного двигателя с различными значениями статического эксцентриситета ротора.

Ключевые слова: диагностика, асинхронный двигатель, математическая модель, эксцентриситет.

DOI: 10.25206/2310-9793-7-2-10-18

I. Введение

Согласно исследованиям асинхронные электродвигатели (АД) являются одними из наиболее многочисленных приемников электрической энергии и потребляют более 80% всей вырабатываемой энергии. Обусловлено это тем, что АД обладают рядом неоспоримых достоинств: простое устройство, а значит, низкая цена и высокая надежность; простая схема запуска; способность работать при кратковременных перегрузках; высокий КПД. АД обладают и рядом недостатков, ограничивающих их применение, основным из которых является высокая повреждаемость [1]. При этом исследования показывают, что до 40% всех повреждений АД приходится на повреждения подшипников [1], [2]. Для своевременного определения неисправностей, для решения задач безопасности эксплуатации, а также экономических задач, в целях повышения безотказности, ремонтопригодности, долговечности, для того чтобы более точно спрогнозировать остаточный ресурс, а также увеличить надежность, в настоящее время бурно развиваются методы диагностики АД.

Известно множество методов диагностики технического состояния АД: метод акустической эмиссии, виброакустический метод, методы тепловизионного контроля, методы, основанные на измерении магнитного потока в зазоре и, наконец, органолептический метод. Однако наиболее предпочтительными методами являются те, которые позволяют осуществлять диагностику АД «на лету», без непосредственного доступа к АД - к таким методам относится электрический. Принцип, который положен в основу этого метода, заключается в том, что любые возмущения в работе электрической или механической части АД приведут к изменению магнитного потока в зазоре. Именно эти изменения и улавливаются системами диагностики. Формализованные в виде технического параметра, который указывает на наличие того или иного диагностируемого дефекта и позволяют определять его, они называются диагностическим признаком дефекта. Так, например, диагностическим признаком наличия эксцентриситета АД является увеличение тока на одной из нижеследующих (1) частот [4]:

fH = ла ± Ь^) (1)

где f1- частота напряжения питающей сети, s - скольжение, р - число пар полюсов.

Определение связи между диагностируемым дефектом и диагностическим признаком является сложной технической задачей, которая может быть решена как экспериментально, так и теоретически (при помощи моделирования), что, очевидно, является более предпочтительным. Это подтверждается и тем фактом, что над созданием более совершенных математических моделей, в том числе для определения диагностических взаимосвязей, работает большое число исследователей [5], [6], [7].

Таким образом, можно сделать вывод, что на сегодняшний день существует необходимость в совершенствовании математических моделей АД для установления новых или уточнения имеющихся связей между диагностическим признаком и диагностируемым дефектом.

II. Постановка задачи

Для определения новых или уточнения имеющихся связей между диагностическим признаком эксцентриситета и диагностируемым эксцентриситетом требуется изучить существующие и разработать математическую модель АД, в которой было бы учтена зависимость величины воздушного зазора S от угла поворота ротора при смещении его оси на заданное расстояние от оси вращения статора.

III. Теория

Как уже отмечалось выше, разработка более совершенных методов диагностики АД, а значит, и математических моделей, предназначенных для установления новых или уточнения известных диагностических взаимосвязей, является актуальной задачей. Сейчас вышеуказанной деятельностью занимается большое количество исследователей, использующих в своих работах разные подходы. Все подходы к составлению математических моделей АД можно условно поделить на три большие группы: модели, построенные на основе теории цепей (на основе уравнений Кирхгофа); модели, построенные на основе теории электромагнитного поля (на основе уравнений Максвелла); модели, построенные на основе теории обобщенного электромеханического преобразователя.

При этом третий метод объединяет два фундаментальных метода и составляет теоретическую основу современных исследований, когда исходя из картины поля в воздушном зазоре электромагнитного преобразователя записывают уравнения напряжений, а через токи или потокосцепления выражаются уравнения электромагнитного момента.

Обобщенный электромеханический преобразователь - двухполюсная двухфазная симметричная идеализированная машина, имеющая две пары обмоток на роторе и статоре. Эта модель представлена на рис. 1.

Рис. 1. Обобщенный электромеханический преобразователь

Для обобщенного электромеханического преобразователя справедливы уравнения напряжений (2), электромагнитного момента (3) и движения (4).

d г r ^__/ ' sa sa dt dtLm

^ а га dtLm d rra + 1tL

г ß - Lm®r Lraar

s ß_ 0 0

Lrßmr d

"rß + dtLrß

dL dtm

Lm®r

dL dtLm

d т

"sß+ dtLsß

'rß 'sß

(2)

где иаа, ига, игр , и,,р - напряжения, подводимые к обмоткам статора и ротора по осям а и р соответственно, , ¡¿п - токи, протекающие в обмотках статора и ротора по осям а и р соответственно, Ьш = Ь!,п, Ц

'sa ' 'ra ' 'rß ' 'sß

= Ьгп - индуктивности обмотки статора и обмотки ротора соответственно, г,,п = га, ггп = гга - активные сопро-

тивления обмотки статора и обмотки ротора соответственно, Lm - взаимная индуктивность между обмотками ротора и статора, сог - угловая скорость вращения ротора.

Me = m P Lmr2 ) (3)

2 LsLr - Lm " P

где m - число фаз, p - число пар полюсов, Lm , Ls, Lr - взаимная индуктивность между обмотками ротора и статора, индуктивности ротора и статора соответственно, Ysp, Yra, Ysa, Yrp - потокосцепление обмоток ротора и статора по осям a и p соответственно, которые определяются из выражений (5).

d Фт = - Mc - F®m ) (4)

dt J

где com = ar / p - механическая скорость вращения ротора, J - момент инерции вращения ротора, Me - электромагнитный момент, создаваемый электродвигателем, Mc - момент сопротивления, создаваемый нагрузкой на валу, F - коэффициент вязкого трения.

Y = Li + Li

sa sa sa m ra

Y sp = LsBhp + Lmirp

p p p p (5)

Y = Li + Li

ra ra ra m sa

Y rp = Lrphp + LmisP

где Lsa = Lsp, Lra = Lrp - индуктивности обмотки статора и обмотки ротора соответственно, Lm - взаимная индуктивность между обмотками ротора и статора, isa , ira, irp, isp - токи, протекающие в обмотках статора и ротора по осям a и p соответственно.

Для многофазной обмотки взаимная индуктивность между обмотками статора и ротора L в уравнениях (2), (3), (5) определяется из выражения (6).

2m^0 2 TlS

Lm =-2ГСкоб\) (6)

pn о ks

где ju0 - магнитная постоянная, p - число пар полюсов, m - число фаз, ф - количество витков в обмотке статора, £об1 - обмоточный коэффициент статора, т - полюсное деление, l - длина активной части статора, - коэффициент Картера, О - величина воздушного зазора.

При наличии эксцентриситета величина воздушного зазора является функцией от положения ротора (угла поворота ротора) и времени, описывается выражением (7).

8(0, t) = О0 - es cos в- ed cos(wrt - в) (7)

где S0 - номинальная величина воздушного зазора, es - величина статического эксцентриситета, ed - величина динамического эксцентриситета, wr - скорость вращения ротора, в - положение ротора (угол поворота ротора).

При этом если эксцентриситет чисто статический, то тогда величина воздушного зазора является функцией только от положения ротора (угла поворота ротора) и выражение (7) вырождается в (8)

8(0) =О0 -es cose . (8)

Учтем зависимости (8) в (6), (5) и (6) в (2); учтем, что полные индуктивности обмоток статора и ротора Lsa = Lsp = Lse + Lm , Lra = Lrp = LrE + Lm , а также то, что cor является первой производной в по времени, и

представим выражения (2), (3), (4) в виде системы уравнений в форме Коши (9).

d ш

_"m = и _ ' i

j. sa sa s sa dt

d _ . sp = Usp _ rJsp

d m = U _ r i _ C m

^ ra Ura 'r'ra Cr rp

d _ ■

— mrp = Urp _ '¿гp + Cr mra

dt

d CO' =4 (Me _ Mc _ Far / P) dt J

d n

— О = ar dt r

m sa = (Lss ^ Lm sa ^ Lm^ra msp = (Lss + Lm )^sp + Lm^rp mra = (Lrs ^ Lm ra Lmi.sa mrp = (Lrs + Lm )irp + Lmhp

Me = mTP spmra _msamrp)

2 T T — T2

2 tls

Lm =-2-(C\коб\)

(9)

pn

(s0 _ es cos °kg

где иаа, ига, ыгр , ир - напряжения, подводимые к обмоткам статора и ротора по осям а и р соответственно, ¡ш, 1га , 1гр, 1,,р - токи, протекающие в обмотках статора и ротора по осям а и р соответственно, г , гг - активные сопротивления обмотки статора и обмотки ротора соответственно, - взаимная индуктивность между обмотками ротора и статора, , 1ге - индуктивности рассеяния статора и ротора соответственно, тг - угловая скорость вращения ротора, в - положение ротора (угол поворота ротора), ¿и0 - магнитная постоянная, р - число пар полюсов, т - число фаз, ах - количество витков в обмотке статора, - обмоточный коэффициент статора, т - полюсное деление, I - длина активной части статора, к3 - коэффициент Картера, J -момент инерции вращения ротора, Ме - электромагнитный момент, создаваемый электродвигателем, Мс -момент сопротивления, создаваемый нагрузкой на валу, ¥ - коэффициент вязкого трения.

Таким образом, получена математическая модель АД, которая позволяет смоделировать работу АД при различных значения статического эксцентриситета ротора.

IV. Результаты экспериментов

Полученная математическая модель АД, имеющего статический эксцентриситет (9), требует верификации. Для этого предлагается произвести моделирование АД в среде компьютерной математики Simulink/Matlab с использованием стандартных sps-моделей Simulink/Matlab из библиотеки SimPowerSystems, моделирование работы модели (9) при помощи стандартных s-блоков Simulink/Matlab и сравнения полученных результатов.

Встроенными в Simulink/Matlab инструментами (блоками) для непосредственного моделирования работы АД с короткозамкнутым ротором являются Asynchronous Machine pu Units, Asynchronous Machine SI Units, Asynchronous Machine Squirrel Cage (fundamental). Все они расположены в разделе SimPowerSystems.

В качестве базы выберем блок Asynchronous Machine SI Units и составим имитационную модель. Ее внешний вид приведен на рис. 2.

В качестве объекта моделирования выберем встраиваемый АД АИРВ112В16БФ2 с КЗ ротором и одно -двуслойной обмоткой и полузакрытыми пазами статора. Параметры схемы замещения и прочие данные, необходимые для учета в имитационной модели (рис. 2) и рассчитанные по каталожным данным, приведены в табл. [8].

From ToWoikspace

Рис. 2. Имитационная sps-модель АД в Simulink/Matlab ТАБЛИЦА

ПАРАМЕТРЫ СХЕМЫ ЗАМЕЩЕНИЯ АИРВ112В16БФ2

Параметр Значение

Номинальная мощность, Вт 5500

Номинальное напряжение, В 380

Номинальная частота питающей сети, Гц 400

Приведенное активное сопротивление ротора, Ом 0,8802

Активное сопротивление статора, Ом 1,1582

Индуктивность рассеяния ротора, Гн 0,0005664

Приведенная индуктивность рассеяния статора, Гн 0,0005664

Взаимная индуктивность, Гн 0,0047339

Момент инерции вращения, кг*м2 0,023

Коэффициент вязкого трения, м2/с 0,00224

Число пар полюсов 16

Электродвигатель АИРВ112В16БФ2 предназначен для работы на вентиляторную нагрузку. Рабочий участок механической характеристики механизмов в общем случае относительно момента сопротивления можно описать выражением (10). Данное выражение учтено в подсистеме Load (рис. 3).

Mc = Mstart + (— - Mstart)(~)

w w

2

(10)

где - момент сопротивления при пуске (составляет 20...30% от номинального), Рп - номинальная мощ-

ность электродвигателя, - номинальная скорость вращения ротора АД, аг - текущая скорость вращения ротора АД.

Рис. 3. Подсистема Load

Для сборки s-модели АД, имеющего статический эксцентриситет, систему уравнений (9) необходимо уточнить с учетом выражения (10), учесть увеличение момента инерции вращения ротора ввиду подключения к нему нагрузки; учесть, что к короткозамкнутому ротору напряжение не подключается, а также то, что обмотка у моделируемого двигателя одно- двуслойная, а пазы статора - полузакрыты. Итоговая математическая модель имеет вид (11).

dш = _ ■

Фsa Usa rsisa

Ш

d _ .

чр — и.р - г.'.р

ШФ —-Г1 - т Ф

^ * га 'г1га "V -1- гр

Ш Ф гр — -ккй +тФ

г1гр Т тг 1 га

Штг — Р(Ые - Т (Р -)(^)2] - ¥тг / р) ш 23 wn wn

Ш а

— в — тг сИ

Фsа — (Т Кт )isа Т Кт^га

Ф.р — (Т Кт Т ^тКр

Фга — (Кге Т Кт ~)'га Т Фгр — (Кге Т Кт )'Гр Т Кт'чр

Ме — ГТ (Фspфга -ФsаФгР )

2 44 - ¿2т

+ МБ ) )

4, — ^(т-

т 2

рл

Л

л^ I 2р 5

2Шцх ът(-) (50 - е. соъ в)

С --

(Кг )2

(11)

5(50 - es СОъв) + К,

С --

(bss )2

5(50 - е. сОъв) + К

где Ьы Ьг - ширина шлица пазов статора и ротора соответственно, в - положение ротора (угол поворота ротора), 50 - номинальная величина воздушного зазора, е. - величина статического эксцентриситета, 12Г -

зубчатое деление ротора и статора соответственно, ^Б - число больших катушек в катушечной группе, ^ -число пазов на полюс и фазу, 2Х - число пазов сердечника статора, иаа, ига, игр , и.р - напряжения, подводимые к обмоткам статора и ротора по осям а и р соответственно, Д - внутренний диаметр статора, ¡ш, 1га , 1гр , '..р - токи, протекающие в обмотках статора и ротора по осям а и р соответственно, г , г - активные сопротивления обмотки статора и обмотки ротора соответственно, - взаимная индуктивность между обмотками ротора и статора, Ь.е, Ьге - индуктивности рассеяния статора и ротора соответственно, тг - угловая скорость вращения ротора, в - положение ротора (угол поворота ротора), /л0 - магнитная постоянная, р - число пар полюсов, т -число фаз, т - количество витков в обмотке статора, I - длина активной части статора, Ые -электромагнитный момент, создаваемый электродвигателем, ¥ - коэффициент вязкого трения, - мо-

мент сопротивления при пуске (составляет 20...30% от номинального),Рп - номинальная мощность электродвигателя, wn - номинальная скорость вращения ротора АД.

Внешний вид данной модели, построенной в среде компьютерной математики Simulink/Mаtlаb, приведен на рис. 4. Поскольку sps-модели и s-модели в общем случае несовместимы, для задания напряжения в имитационной модели используются блоки УМ1.. ,УМ3.

I

г

2Г

Scope То Workspace

Рис. 4. Имитационная модель АД с эксцентриситетом ротора в Simulink/Matlab с нагрузкой

Имитационная модель самого АД представлена на рис. 5 и состоит из электрической подсистемы, механической подсистемы, подсистемы вычисления взаимной индуктивности, а также подсистем, предназначенных для прямого и обратного преобразования Кларка.

pair of poles

Рис. 5. Модель АД с эксцентриситетом ротора в Simulink/Matlab

Результаты выполнения модели АД, построенной из стандартных sps-блоков, (рис. 2) представлены на рис. 6, а выполнения модели АД, построенной из стандартных s-блоков (рис. 4), представлены на рис. 7.

Рис. 6. Зависимости скорости вращения вала и электромагнитного момента модели АД, построенной из стандартных sps-блоков, от времени

Как видно из рис. 6, 7, динамические процессы АД при полученной математической модели (11) и построенной в системе компьютерное математики Simulink/Matlab имитационной модели (рис. 4.) описываются неадекватно. В то же время математическая модель позволяет с достаточной точностью судить о работе АД в стационарном режиме по причине того, что модель (рис. 4) построена на основании выражений для стационарной работы (19).

Рис. 7. Зависимости скорости вращения вала и электромагнитного момента модели АД, построенной

из стандартных s-блоков, от времени

Таким образом, полученная математическая модель АД, имеющего статический эксцентриситет, в стационарном состоянии ведет себя аналогично стандартным sps-моделям Simulink/Matlab из библиотеки SimPowerSystems.

IV. Результаты экспериментов

Для исследования возможности определения эксцентриситета в модели (рис. 4) его значение было установлено равным 0,45 мм и произведено имитационное моделирование средствами Simulink/Matlab. По результатам моделирования произведено разложение тока фазы А статора в ряд Фурье и зафиксировано превышение тока на частотах 448 Гц и 350 Гц. Результаты FFT-анализа формы тока, потребляемого статором АД, приведены на рис. 8. Частоты, рассчитанные по аналитическому выражению (1): 446 Гц и 353 Гц.

Рис. 8. Результаты FFT-анализа ток фазы А статора АД со статическим эксцентриситетом 0,45 мм

Результаты моделирования в Simulink/Matlab показывают, что полученная математическая модель АД в стационарном состоянии позволяет выявлять частоты в спектре тока статора, соответствующие статическому эксцентриситету. Отклонение от значений, рассчитанных по аналитическому выражению (1) по частоте составило не более 0,9%.

V. Обсуждение результатов

Результаты моделирования показывают, что полученная математическая модель в стационарном состоянии позволяет выявлять диагностическую взаимосвязь между диагностируемым дефектом (статическим эксцентриситетом) и диагностическим признаком (превышение тока на характерной частоте в спектре тока статора АД).

VI. Выводы и заключение

По результатам выполнения данной работы можно сделать следующие выводы.

1. Получена математическая модель АД, которая позволяет произвести моделирование работы АД в стационарном состоянии при различных значениях статического эксцентриситета ротора.

2. Математическая модель реализована в Simulink/Matlab. Математическая модель в стационарном состоянии ведет себя аналогично стандартным sps-моделям Simulink/Matlab из библиотеки SimPowerSystems. Результаты моделирования в Simulink/Matlab показывают, что полученная математическая модель АД в стационарном состоянии позволяет выявлять диагностическую взаимосвязь между диагностируемым дефектом (статическим эксцентриситетом) и диагностическим признаком (превышение тока на характерной частоте в спектре тока статора АД).

3. Имеется возможность совершенствования полученной математической модели для моделирования смешанного эксцентриситета ротора АД.

Список литературы

1. Петухов В. С. Диагностика состояния электродвигателей на основе спектрального анализа потребляемого тока // Новости электротехники. 2005. № 1 (31). С. 23-26.

2. Neelam Mehala. Detecting of bearing faults of induction motor using Park's vector approach // International Journal of Engineering and Technology. 2010. Vol. 2 (4). C. 263-266.

3. Thomson W. T. On-Line MCSA to diagnose shorted turns in low voltage stator windings of 3-phase induction motor prior to failure // IEMDC 2001. IEEE International Electric Machines and Drives Conference. DOI: 10.1109/IEMDC.2001.939425.

4. Вейнреб К. Б. Диагностика неисправностей ротора асинхронного электродвигателя методом спектрального анализа токов статора // Электричество. 2012. № 7. C. 51-57.

5. Сарваров А. C., Халикова А. Р. Актуальные проблемы диагностики электропривода переменного тока // Электротехнические комплексы и системы. 2012. № 20. C. 386-389.

6. Темников Ю. В. Моделирование асинхронного двигателя со статическим эксцентриситетом ротора // Технические науки в России и за рубежом: материалы III Междунар. науч. конф. М.: Буки-Веди, 2014. C. 62-66. 7. Пантель О. В. Методика расчета параметров асинхронного двигателя для моделирования режимов его работы в среде Matlab/Simulink // Academy. 2015. № 2 (2). C. 7-11.

8. Прудников А. Ю., Боннет В. В., Логинов А. Ю. Математическая модель асинхронного двигателя с эксцентриситетом ротора // Вестник КрасГАУ. 2015. № 6 (105). C. 94-97.

УДК 621.315

ПЕРСПЕКТИВЫ ПРИМЕНЕНИЯ БЕСПИЛОТНЫХ ЛЕТАТЕЛЬНЫХ АППАРАТОВ ПРИ КОНТРОЛЕ И ДИАГНОСТИКЕ ОБЪЕКТОВ ЭНЕРГЕТИКИ

PROSPECTS APPLICATION OF UNMANNED AERIAL VEHICLES IN THE CONTROL AND DIAGNOSTICS OF ENERGY OBJECTS

П. В. Беляев, А. П. Головский, Д. С. Садаев

Омский государственный технический университет, г. Омск, Россия

P. V. Belyaev, A. P. Golovskii, D.S. Sadaev

Omsk State Technical University, Omsk, Russia

Аннотация. В работе рассмотрены перспективы применения беспилотных летательных аппаратов (БПЛА) для контроля состояния и диагностики воздушных линий электропередач и других энергетических объектов (градирен, зданий электростанций, охранных зон объектов), ветроэнергетических установок и станций, солнечных панелей и станций. Показан широкий спектр возможностей БПЛА: установка оборудования фото и видеофиксации, маневренность, способность приближаться к опасным для жизни человека объектам. БПЛА необходимо рассматривать как отдельные способы эксплуатации и диагно-