CC BY
83
_________________________________________ISSN 2227-1252
Мости та тунелі: теорія, дослідження, практика, 2014, № 6
МОСТИ ТА ТУНЕЛІ: ТЕОРІЯ, ДОСЛІДЖЕННЯ, ПРАКТИКА
УДК 624.21
А. А. ДАВЫДЕНКО*
* Каф. «Мосты и тоннели», Национальный транспортный университет, ул. Суворова 1, Киев, Украина, 01010, тел. +38 (050) 471 33 99, эл. почта alexsandros@inbox.ru
МАРКОВСКИЕ МОДЕЛИ НАКОПЛЕНИЯ ПОВРЕЖДЕНИЙ В ОЦЕНКЕ И ПРОГНОЗИРОВАНИИ ТЕХНИЧЕСКОГО СОСТОЯНИЯ МОСТОВ
Цель. Разработка марковских моделей накопления повреждений для оценки и прогноза технического состояния автодорожных железобетонных мостов Украины. Методика. Теоретическое исследование. Результаты. Получены новые модели оценки и прогноза технического состояния автодорожных железобетонных мостов. Научная новизна. Впервые выполнено обобщение марковских моделей деградации подкрепленное статистическими данными истории эксплуатации автодорожных мостов Украины. Практическое значение. Полученные модели представляют собой практический инструмент управления надежностью и ресурсом автодорожных мостов.
Ключевые слова: деградация железобетонных элементов; жизненный цикл элементов мостов; марковская модель; интенсивность отказа; остаточный ресурс элементов мостов
Введение
Статья посвящена проблеме моделирования вероятностного процесса накопления повреждений в оценке и прогнозировании технического состояния мостов. В последние 15-20 лет проблема безопасной эксплуатации мостов обострилась в связи с чередой неблагоприятных факторов. Среди них - недостаточное финансирование дорожной отрасли, слабо развитая система эксплуатации автодорожных мостов Украины.
Очевидно, что вопрос построения адекватной модели деградации, позволяющей прогнозировать жизненный цикл транспортного сооружения, был и будет предметом внимания многих исследователей. Научные разработки, направленные на получение реалистического прогноза безопасного функционирования сооружения, всегда будут среди приоритетных в силу большого социально-экономического значения проблемы.
В таких жестких условиях эксплуатации, для безаварийной работы мостов, нужны новые научные подходы к оценке технического состояния сооружений, которые дали бы количественные критерии уровня надежности, риска и алгоритмы прогноза остаточного ресурса и их элементов.
Украина сегодня имеет достаточно много публикаций по проблемам надежности и долговечности сооружений. Так в работах А. И. Лантух-Лященко [8-11] широко развит аппарат Марковских моделей накопления повреждений для оценки и прогнозирования технического состояния эксплуатируемых автодорожных мостов [7].
В работах Д. И. Бородай [2, 3], Ф. В. Яцко [13, 14], Л. Л. Янчук [12] предлагаются модели прогноза ресурса железобетонных элементов мостов основанные на современных теориях физики железобетона. Эти модели дают возможность прогнозировать ресурс железобетонного элемента на всех этапах жизненного цикла, начиная с проектирования.
Широко известны работы ученых Дельфт-ского технологического университета (Нидерланды) по проблеме управления безопасностью эксплуатации транспортных сооружений. Так в работе M. J. Kallen и J. M. van Noortwijk [17] рассматриваются вопросы применения марковских моделей в управлении мостами Нидерландов.
D. M. Frangopol, профессор университета Лихай, Пенсильвания, США в своей работе [15] исследует критерии оценки технического состояния мостов с точки зрения возможности
© А. А. Давыденко, 2014
40
_________________________________________ISSN 2227-1252
Мости та тунелі: теорія, дослідження, практика, 2014, № 6
МОСТИ ТА ТУНЕЛІ: ТЕОРІЯ, ДОСЛІДЖЕННЯ, ПРАКТИКА
управления надежностью и прогнозирования ресурса.
Тайванский исследователь Rong-Yau Huang, профессор Центрального государственного университета, в работе [16] рассматривает простой подход использования данных обследования для оценки затрат на техническое обслуживание мостов на протяжении всего срока службы. Все факторы неопределённости для процесса деградации здесь рассматриваются в рамках теории надежности.
В работе финских ученых Asko Sarja и Erkki Vesikari [18] (Финский технический исследовательский центр), предлагается при прогнозе ресурса моста учитывать потребность в ремонтах на протяжении всего жизненного цикла сооружения.
В наших работах [5, 6] показано, что кривая деградации принятая для оценки и прогноза ресурса в системе эксплуатации мостов Украины как нормативная, совпадает с натурными данными только в первой половине жизненного цикла. Эти расхождения приводят к существенным погрешностям в оценке остаточного ресурса сооружения. В представленном ниже исследовании выполнен поиск марковской модели в большей степени, приближающейся к натурным данным системы эксплуатации мостов Украины.
Цель исследования
Глобальной целью представленного исследования является разработка марковских моделей накопления повреждений для оценки и прогноза технического состояния автодорожных железобетонных мостов Украины. Ставится задача развития марковских стохастических моделей деградации, наиболее подходящих для количественной оценки уровня надежности, риска и алгоритмов прогноза остаточного ресурса железобетонных мостов Украины.
Методика
Систему отказов, которая является следствием износа элемента сооружения, будем рассматривать как поток случайных дискретных событий Марковской цепи. Рассматривается процесс с «качественными состояниями». Роль случайной величины играет «дискретное состояние системы» [4].
Введем 5 дискретных состояний - S1, S2, S3, S4, S5. Опишем состояния подборкой качественных и количественных показателей накопления повреждений, как иерархию постепенных отказов элемента.
В терминах дискретного марковского процесса c непрерывным временем задача сводится к поиску абсолютных вероятностей пребывания системы на произвольном шаге к в состоянии
S.-
д. (к) = Prob[S(к) = S. ]; к = 1,2,...,5; j = 1,2,3,4 .
Вероятности р. (к) выражаются через
условные вероятности перехода системы S на шаге к в состояние S}-, если на шаге к -1 она
была в состоянии S. :
Р.. (к) = Prob [ S (к ) = Sj | S (к -1) = S. ]; j = 1,2,3,4
Вероятности перехода (2) составляют квадратную матрицу переходов размером, n = 5 в нашем случае. Обозначим ее Р0. На главной диагонали матрицы Р0 стоят вероятности задержки системы в данном состоянии Si на шаге к , которые обозначаются рй (к), на боковых диагоналям стоят р(к) - вероятности перехода системы из состояния Si и в состояние Sj .
В силу того, что на каждом шаге система может находиться только в одном из двух взаимоисключающих состояниях, сумма всех вероятностей одной сроки равна единице
I Pj (t) = 1. (3)
j=1
Поиск вероятностей перехода, которые содержит стохастическая матрица Р0 является доминантой, центральным местом в разработке марковской модели. Когда матрица Р0 найдена, по известным значениям условных вероятностей перехода и начальному значению безусловной вероятности нахождения системы в
© А. А. Давыденко, 2014
41
_________________________________________ISSN 2227-1252
Мости та тунелі: теорія, дослідження, практика, 2014, № 6
МОСТИ ТА ТУНЕЛІ: ТЕОРІЯ, ДОСЛІДЖЕННЯ, ПРАКТИКА
состоянии Si все другие безусловные вероятности находятся по рекуррентной формуле:
Pj (k) = Z Pi (k -!)Pj,k = 1,2,...; j = 1,2,...,n . (4)
i=1
Будем считать, что переход системы из одного состояния в другое происходит как в пуассоновском потоке событий со скоростью (интенсивностью) \j (t). Переход из одного состояния St в состояние Sj происходит в момент, когда наступает первое событие потока. Вектор скоростей пуассоновского потока обозначим Е.
Искомые вероятности Марковской цепи Р1 (t) , Р2 (t) ,--,Рп (t) - функции времени является вероятностями того, что система в момент t находится в состоянии St, и определяются из системы обыкновенных дифференциальных уравнений с переменными, в общем случае, коэффициентами. Это известные уравнения Колмогорова, описывающих эволюцию дискретного Марковского процесса с непрерывным временем.
В матричной форме уравнения имеют вид:
^ = P(i,t).E. (5)
dt
К уравнению (5) запишем начальные условия:
t = 0; p1 (t) = 1;
1 . (6) A(t) = P2 (t) = Ps(t) = 0
Кроме того, при решении системы обыкновенных дифференциальных уравнений используем условие нормирования:
Z Pi (t) = 1. (7)
i=1
Формула (7) является следствием того, что события цепи Маркова несовместимы и создают полную группу.
Матрица вероятностей перехода P (i, t) в (5), очевидно, зависит от времени t. Подчеркнем, что время считается от начала процесса. Что касается матрицы интенсивностей перехода (скоростей деградации) E - то она, в общем случае, является зависимой от времени. До сих
пор пригодные для практического употребления модели получали с независимой от времени матрицей E и даже в случаях E = const [4, 7]. В нашей постановке исследования, рассматриваются именно стохастические модели с непрерывным временем и неравными промежутками времени между дискретными состояниями.
Результаты. Модель с переменной скоростью деградации
Рассмотрим марковскую модель с дискретными состояниями и непрерывным временем, аналогичную [7, 9]. Особенностью предлагаемой модели является задание функции скоростей деградации, зависящей от времени. Ставится задача найти вероятности состояний Pj (t) , p2 (t) ,..., pn (t) в заданные моменты времени t1, t2,...,tn -1, n = 5. Граф процесса деградации показан на рис. 1.
Искомые вероятности модели
Р1 (t) , Р2 (t) ,...,Р5 (t) - функции времени,
определяются решением системы дифференциальных уравнений Колмогорова:
dP
dt
P1 0
-^2 P2 ^ P1
-Х3 P3 ^2 P2
A P 4 Х3 P3
К P 4 0
(8)
Определим функцию скоростей деградации дискретно, численно. Из серии выполненных численных экспериментов приведем три
наиболее характерных (табл. 1).
Таблица 1
Скорости деградации
Эксперимент 1 Эксперимент 2 Эксперимент 3
21 0,027 0,040 0,054
22 0,056 0,042 0,060
23 0,056 0,044 0,072
Х4 0,053 0,046 0,074
© А. А. Давыденко, 2014
42
_________________________________________ISSN 2227-1252
Мости та тунелі: теорія, дослідження, практика, 2014, № 6
МОСТИ ТА ТУНЕЛІ: ТЕОРІЯ, ДОСЛІДЖЕННЯ, ПРАКТИКА
Эксперимент 1. Для построения теоретической кривой соответствующей графу процесса деградации рис. 1 скорости принимаются по формуле:
h = Ут , (9)
/ 1i+1
где T+1 - заданный термин эксплуатации для каждого состояния, i = 1,2,3,4.
Заданные термины для эксперимента 1 приняты по средним натурным данным, прогнозированные по нормативной методике [7]: Т2 = 37 лет; Т3 = 18 лет; Т4 = 18 лет и Т5 = 21 лет.
Эксперимент 2. Здесь значения скоростей деградации приняты по формуле:
h!+1 =h + 0,05 -h г ,i = 1,2,3,4, (10)
где A,j = 0,04 принято, как для нормативной модели прогнозирования [7] при условии T2 = T3 = T4 = Т5 = 25 лет.
Эксперимент 3. Скорости приняты как значения средних статистических интенсивностей отказа полученных из натурных данных средних значений срока службы железобетонных мостов всех типов. (Используемые здесь исторические натурные данные получены из Автоматизированной экспертной системы управления мостами Укравтодора - АЭСУМ) [1].
Параметры теоретических кривых деградации полученных численными экспериментами приведены в табл. 2, графики кривых - на рис. 2.
Таблица 2
Теоретические кривые деградации
№ Эксперимент 1 Эксперимент 2 Эксперимент 3 Натурная кривая
P T, лет P T, лет P T , лет P T , лет
1 0,999844 0 0,999844 0 0,999844 0 0,999844 0
2 0,999134 37 0,998307 25 0,997081 37 0,998363 37
3 0,996373 55 0,992406 50 0,986632 45 0,992461 45
4 0,990342 73 0,979716 75 0,964563 46 0,979771 46
5 0,979963 92 0,958298 100 0,928161 48 0,958351 48
Рис. 2. Теоретические кривые деградации. Модель с переменной скоростью деградации
Модель деградации с внезапным «проскоком»
В реальности процесс старения элемента сооружения состоит не только из постепенных
отказов, а также имеет внезапные отказы. Эта особенность отражается моделью деградации с «проскоками» [4]. В ней процесс накопления повреждений содержит внезапные «проскоки» через одно состояние, как показано на графе процесса на рис. 3.
Рис. 3. Граф процесса деградации с «проскоком»
Это также дискретный процесс с непрерывным временем. Система может оставаться в любом из них, последовательно переходить из одного соседнего состояния Si в другой с большим номером S+, или перескочить через
© А. А. Давыденко, 2014
43
_________________________________________ISSN 2227-1252
Мости та тунелі: теорія, дослідження, практика, 2014, № 6
МОСТИ ТА ТУНЕЛІ: ТЕОРІЯ, ДОСЛІДЖЕННЯ, ПРАКТИКА
соседнее состояние SM к следующему Sj+2. Состояние 5, как и в предыдущей модели — поглощающие.
Составим уравнения Колмогорова для модели с внезапным «проскоком»:
~~Х1 Р1 —Х13 р1 0 0 "
dP dt Х2 p2 Х24 р2 Х1р 0
—Х3 р3 Х35 р3 Х 2 р2 Х13 р1 . (11)
Х4 Р4 Х3 Р3 Х 24 р2 0
_ Х 4 Р4 Х35 р3 0 0
Приведем здесь два численных эксперимента с заданными скоростями деградации.
Эксперимент 1. Для Х1, Х2, Х3, Х4 принимается постоянная скорость деградации по формуле (9), где T1= T2 = T3 = Т4 = 25 лет. Принимается также, что в месте проскока скорость деградации возрастает в два раза.
Эксперимент 2. Скорости Х1, Х2, Х3, Х4 принимаются из анализа интенсивности отказа [5, 6] как значения для медианы натурных исторических данных. Скорости в месте «проскока», как и ранее, принимаются большими в два раза.
Принятые для экспериментов численные значения скорости деградации приведены в табл. 3.
Таблица 3
Скорости деградации для модели с «проскоком»
Эксперимент 1 Эксперимент 2
Х1 0,040 0,023
Х2 0,040 0,028
Х3 0,040 0,036
Х4 0,040 0,044
Х13 0,080 0,046
Х24 0,080 0,056
Х35 0,080 0,072
Параметры теоретических кривых деградации полученных численными экспериментами для модели с проскоками, приведены в табл. 4, графики - на рис. 4.
Таблица 4
Кривые деградации. Модель с «проскоком»
№ Эксперимент 1 Эксперимент 2 Натурная кривая
P T, лет P T, лет p T, лет
1 0,99984 0 0,99984 0 0,99984 0
2 0,98706 25 0,99539 37 0,99836 37
3 0,94212 50 0,97886 45 0,99246 45
4 0,85601 75 0,94464 46 0,97977 46
5 0,73161 100 0,88987 48 0,95835 48
Выводы
1. Этим исследованием можно считать доказанным, что марковская стохастическая модель накопления повреждений принятая для оценки и прогноза технического состояния автодорожных мостов Украины адекватна реальному процессу деградации железобетонных элементов. Резкое расхождение в прогнозе ресурса по нормативной кривой деградации и натурными данными показанное здесь на рис. 2 и 4, также в работах [5, 6] не есть недостатком модели. Причина в другом, причина в неадекватном задании скорости деградации. Кривая деградации с постоянной скоростью, принятая в нормативной методике [7] для рассматриваемого элемента моста, может корректно отражать действительный процесс только при условии выполнения регулярных мероприятий по поддержанию надлежащего технического состояния сооружения [6, 15].
© А. А. Давыденко, 2014
44
_________________________________________ISSN 2227-1252
Мости та тунелі: теорія, дослідження, практика, 2014, № 6
МОСТИ ТА ТУНЕЛІ: ТЕОРІЯ, ДОСЛІДЖЕННЯ, ПРАКТИКА
2. В условиях Украины теоретическая кривая деградации, близкая к натурной может, быть получена только при переменной скорости деградации. Оба варианта, представленных здесь марковских моделей с переменной скоростью деградации, имеют теоретические кривые весьма близко совпадающие с натурными (см. эксперимент 2 на рис. 2 и 4).
3. Выполненное исследование содержит результаты позволяющие корректировать нормативную методику прогноза остаточного ресурса автодорожных мостов Украины [7].
Это исследование было выполнено под руководством д-ра технических наук, профессора
А. И. Лантуха-Лященка. Выражаю ему мою искреннюю благодарность.
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ
1. Боднар, Л. П. Програмний комплекс АЕСУМ: досвід впровадження, сучасний стан та напрями подальшого розвитку [Текст] / Л. П. Боднар,
О. П. Канін, Л. Г. Панібратець // Вісник Харківського національного автомобільно-дорожнього університету - Харків, 2012. - Вип. 57. -C. 20-23.
2. Бородай, Д. И. Модель прогноза долговечности железобетонных пролетных строений автодорожных мостов [Текст] / Д. И. Бородай // Вестник Днепропетровского национального университета железнодорожного транспорта имени академика В. Лазаряна - Днепропетровск, 2010. - Вып. 33. - C. 43-48.
3. Бородай, Д. И. Прогноз долговечности типовых железобетонных пролетных строений автодорожных мостов [Текст] / Д. И. Бородай // Вестник Донбасской национальной академии строительства и архитектуры - Макеевка, 2011. -Вып. 87. - C. 169-176.
4. Вентцель, Е. С. Теория случайных процессов и ее инженерные приложения [Текст] /
Е. С. Вентцель, Л. А. Овчаров - Москва : Высш. школа, 2000. - 383 с.
5. Давиденко, О. О. Аналіз довговічності автодорожніх мостів України [Текст] / О. О. Давиден-ко // Міжвідомчий науково-технічний збірник «Науково-технічні проблеми сучасного залізобетону» - Київ, 2013. - Вип. 78. - С. 225-235.
6. Давиденко, О. О. Оцінка технічного стану і прогнозування залишкового ресурсу автодорожніх мостів України [Текст] / О. О. Давиденко // Ав-тошляховик України - Київ, 2014. - Вип. 237. -С. 29-35.
7. Державний стандарт України ДСТУ-Н Б В.2.3-23:2009. Настанова з оцінювання і прогнозування технічного стану автодорожніх мостів [Текст]. - Введено вперше; надано чинності 2009-11-11. - Київ : Мінрегіонбуд України, -49 с.
8. Лантух-Лященко, А. И. К вопросу о «памяти» Марковской модели накопления повреждений [Текст] / А.И. Лантух-Лященко // Вестник Днепропетровского национального университета железнодорожного транспорта имени академика В. Лазаряна - Днепропетровск, 2010. -Вып. 33. - C. 150-155.
9. Лантух-Лященко, А. І. Марковські моделі деградації залізобетонних елементів мостів [Текст] / А. І. Лантух-Лященко // Промислове будівництво та інженерні споруди - Київ, 2009.
- Вип. 2. - C. 22-25.
10. Лантух-Лященко, А. І. Оцінка технічного стану транспортних споруд, що знаходяться в експлуатації [Текст] / А. І. Лантух-Лященко // Вісник Транспортної Академії України. - Київ, 1999. -Вип. 3. - C. 59-63.
11. Лантух-Лященко, А. І. Уточнення оцінки експлуатаційного стану мостів [Текст] / А. І. Лантух-Лященко // Збірник. Дороги і мости. Держ-дорНДІ - Київ, 2008. - Вип. 9. - C. 12-18.
12. Янчук, Л. Л. Обґрунтування моделі прогнозу життєвого циклу залізобетонних елементів мостового переходу [Текст] / Л. Л. Янчук // Вісник Національного університету «Львівська політехніка» - Львів, 2010. - Вип. 664. - C. 365-371.
13. Яцко, Ф. В. Довговічність захисного шару залізобетонних елементів мостів [Текст] / Ф. В. Яц-ко // Вісник Дніпропетровського національного університету залізничного транспорту імені академіка В. Лазаряна - Дніпропетровськ, 2010.
- Вип. 33. - C. 190-196.
14. Яцко, Ф. В. Прогноз довговічності залізобетонних елементів мостів. Статистичний підхід [Текст] / Ф. В. Яцко // Вісник Національного університету «Львівська політехніка» - Львів,
2010. - Вип. 664. - C. 371-378.
15. Dan M. Frangopol. Reliability deterioration and lifetime maintenance cost optimization [Text] // ASRANet Conference, Glasgow, 2002.
16. Huang, R. Y. Estimation of bridge life cycle maintenance costs using reliability-based model [Text], ISARC 2010, 450 - 460.
17. M. J. Kallen & J. M. van Noortwijk. Statistical inference for Markov deterioration models of bridge conditions in the Netherlands, Life-Cycle Performance and Cost: Proceedings of the Third International Conference on Bridge Maintenance, Safety and Management [Text]. - London : Taylor & Francis (2006).
© А. А. Давыденко, 2014
45
________________________________________ISSN 2227-1252
Мости та тунелі: теорія, дослідження, практика, 2014, № 6
МОСТИ ТА ТУНЕЛІ: ТЕОРІЯ, ДОСЛІДЖЕННЯ, ПРАКТИКА
18. Sarja Asko & Erkki Vesikari. Life Cycle Manage- Finland. VTT Building Technology; from
ment of Concrete Infrastructures for Improved Sus- 01.01.2001 to 31.12.2003.
tainability [Text] // Technical Research Centre of
О. О. ДАВИДЕНКО*
* Каф. «Мости та тунелі», Національний транспортний університет, вул. Суворова 1, Київ, Україна, 01010, тел. +38 (050) 471 33 99, ел. пошта alexsandros@inbox.ru
МАРКОВСЬКІ МОДЕЛІ НАКОПИЧЕННЯ ПОШКОДЖЕНЬ В ОЦІНЦІ ТА ПРОГНОЗУВАННІ ТЕХНІЧНОГО СТАНУ МОСТІВ
Мета. Розробка марковських моделей накопичення пошкоджень для оцінки і прогнозування технічного стану автодорожніх залізобетонних мостів України. Методика. Теоретичне дослідження. Результати. Отримані нові моделі оцінки і прогнозу технічного стану автодорожніх залізобетонних мостів. Наукова новизна. Вперше виконано узагальнення марковських моделей деградації, підкріплене статистичними даними історії експлуатації автодорожніх мостів України. Практичне значення. Отримані моделі являються практичним інструментом управління надійністю і ресурсом залізобетонних автодорожніх мостів.
Ключові слова: деградація залізобетонних елементів; життєвий цикл елементів мостів; марковські моделі; інтенсивність відмови; остаточний ресурс елементів мостів
A. DAVYDENKO*
* Dept. of Bridges and Tunnels, National Transport University, 1 Suvorova str., Kyiv, Ukraine, 01010, tel. +38 (050) 471 33 99, e-mail alexsandros@inbox.ru
MARKOV MODELS OF DAMAGE ACCUMULATION FOR ASSESSMENT AND PREDICTION OF TECHNICAL STATE BRIDGES
Purpose. Development Markov models of damage accumulation for assessment and prediction of technical state highway reinforced concrete bridges of Ukraine. Methodology. Theoretical study. Findings. New models of assessment and prediction of a highway concrete bridges technical condition are developed. Originality. Generalization of Markov models degradation supported by statistical data of operating history highway bridges in Ukraine carried out for first time. Practical value. The resulting model is a practical management tool of highway bridges reliability and residual service life.
Keywords: degradation of reinforced concrete elements; life cycle of the bridge; Markov model; outcrossing rate; residual resource of the bridge elements
Статья рекомендована к публикации д.т.н, проф. А. И. Лантухом-Лященко (Украина), д.т.н., проф. Д. О. Банниковым (Украина).
Поступила в редколлегию 26.08.2014. Принята к печати 26.09.2014.
© А. А. Давыденко, 2014
46
