CC BY
1075
Чупрунов В.Ю. О РЕШЕНИИ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ ЭЛЕКТРОДИНАМИКИ МЕТОДОМ ВЕКТОРНЫХ КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ
В последние десятилетия метод конечных элементов является одним из наиболее используемых методов решения краевых задач математической физики. В то же время для решения проблем, возникающих при моделировании процессов, описываемых векторными переменными (например, электромагнитные поля, задачи газо- и гидродинамики), до сих пор не существует такого единообразия методов и подходов, как при решении скалярных задач.
В 1980 году появилась статья Ж.С. Неделека [1], в которой были представлены новые семейства не-комформных конечных элементов в К3 ; 'эти два семейства (конечные элементы на кубах и тетраэдрах) являются конформными в пространствах н(га,а) и н(Лп, а), что позволило предложить использование этих элементов для аппроксимации уравнений Максвелла. В области электромагнетизма векторные конечные элементы (ВКЭ) исследовались в работах А. Боссавита [2] и А.Д. Григорьева [3]. .
В данной публикации кратко описан способ моделирования высокочастотных электромагнитных полей, базирующийся на методе векторных конечных элементов. Рассмотрены особенности метода ВКЭ в применении к электродинамическому анализу трехмерных волноведущих структур.
Решение краевой задачи методом ВКЭ состоит из следующих этапов:
1. переход от исходной постановки к эквивалентной вариационной:
2. дискретизация области решения (т.е. ее разбиение на геометрические конечные элементы);
3. выбор интерполяционных функций, определяющих свойства решения;
4. генерация системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ);
5. решение СЛАУ.
Предполагается, что все компоненты электромагнитного поля зависят от времени по гармоническому закону. Область V заполнена неоднородной средой, а на поверхности 5 заданы определенные граничные условия, обеспечивающие существование и единственность решения краевой задачи.
УхЙ = 1со80Ё + +У , (1)
V х Ё = -1 со /л0 /Й , (2)
Исключив из уравнений (1), (2) напряженность магнитного поля, получим уравнение второго порядка
V X (д V X Е) - к%ЕгЁ = -ісо/л01 (3)
Расчетная область разбивается на подобласти - конечные элементы (КЭ). Комплексная амплитуда вектора напряженности электрического поля внутри каждого КЭ представляется в виде разложения:
N
Ё{е) ='^а(іеЦе) . (4)
І = 1
—~(в) (в)
где е - номер элемента, му - векторные базисные функции, а> - неизвестные коэффициенты разложения
В соответствии с методом Галеркина [3,4] помножим уравнение (3) на координатную функцию wn и проинтегрировав по объему тетраэдра получим СЛАУ
И-И=И, (5)
где И - вектор столбец коэффициентов разложения,
Матрицы формируются в результате ассемблирования локальных матриц, т.е. локальные матрицы расширяются до размеров глобальной и суммируются.
Вк. - -га)1 (1 • м^с1У
VI
И=т - к^еК;+я;
где V - объем к-го конечного элемента (тетраэдра).
ту =\ (/Vх чх ^ )<&,
эк .
$ = I’
^2
Бу = J х х ^еІБ - интеграл по поверхности области.
5,
(6)
где I - длина ребра, п1, п2 вершины, принадлежащие ребру п (номер элемента опущен), ^ ^ 2 -
барицентрические функции начального и конечного узлов данного ребра.
Выбор интерполяционных (базисных) функций должен осуществляться исходя из требований, предъявляемых к решению (точность, гладкость).
Как правило, в методе используются вихревые пробные функции ( ), связанные с ребрами конечного элемента (реберные функции) [3]. В данном случае ВКЭ позволяет обеспечить граничные условия
для нормальных и касательных составляющих поля на поверхности раздела сред. Отмеченные особенности
снижают вероятность появления так называемых ложных решений.
В большинстве известных реализаций ВКЭ используются векторные пробные функции, линейно зависящие от координат (так называемые дифференциальные формы Уитни-1) В этом варианте для КЭ в форме тетраэдра N=6 , а базисные функции имеют вид:
4 = а + ькх + скУ + Лк2
- барицентрическая функция к-ой вершины тетраэдра, коэффициенты которых определяются из равен-
b1 c1 dy a xi x2 x3 x4
b2 c2 d2 a2 У1 У2 Уз У4
b3 c3 d3 a3 zi z2 z3 z4
b4 c4 d4 a4 1 1 1 1
здесь хъ, уъ, 2^ ,1 = 1...4 — координаты вершин тетраэдра. Для функций (б) справедливо равенство:
где
символ Кронекера. Соответственно, коэффициенты разложения в формуле (4) имеют смысл
проекций вектора Е на ребра тетраэдра.
Следует заметить, что использование в виде КЭ тетраэдров позволяет обеспечить моделирование изотропных электродинамических объектов различной конфигурации. В ВКЭ нахождение локальных матриц, необходимых для генерации глобальной СЛАУ, требует интегрирование функций по объему конечного элемента. Для упрощения вычислений вводят локальную систему координат для каждого КЭ. Для тетраэдров наиболее удобными оказываются барицентрические L-координаты [5,6]. Поэтому для того, чтобы рассматривать гиротропные электродинамические объекты необходимо адаптировать тензор магнитной проницаемости к L-координатам каждого КЭ. Такая задача является предметом дальнейшего исследования. Основная сложность состоит в произвольной ориентации тетраэдров в трехмерном пространстве.
ЛИТЕРАТУРА
1. Nedelec J.C. Mixed finite elements in R // Numer. Math. 1980. Vol. 35.P.315-341.
2. Bossavit A. Computational Electromagnetizm: Variational Formulation, Complementarity, Edge El-
ements. - Academic Press, 1997.
3. Григорьев А.Д. Моделирование волнового электромагнитного поля методом векторных конечных элементов различного порядка // Материалы МНТК «Актуальные проблемы электронного приборостроения», Саратов, 2004, с. 189-195.
4. Баландин М.Ю., Шурина Э.П. Векторный метод конечных элементов: Учеб. пособие. - Новосибирск: Изд. НГТУ, 2001.
5. Сегерлинд Л. Дж. Применение метода конечных элементов. -М.: Мир, 1979.
6. Соловейчик Ю.Г., Шурина Э.П. Решение краевых задач в составных областях: Учеб. пособие. - Но-
восибирск: Изд. НЭТИ, 1986.
