CC BY
30
VL/
RAYS AND CAUSTICS IN THE COORDINATE-PULSE SUBSPACES PRECANONICAL MASLOV OPERATOR FOR PROPAGATION
IN IONOSPHERIC PLASMA
Andrey S. Kryukovsky,
PHd, professor, Russian New University (RosNOU), Moscow, Russia, kryukovsky@rambler.ru
Yuliya I. Skvortsova,
Russian New University (RosNOU), Moscow, Russia, julia_bova@mail.ru
This work was supported by RFBR (grant № 15-02-04206-a).
Keywords: the canonical operator, maps, numerical modeling, propagation of signals, ionosphere, bi-characteristic system, disturbances, cusp, caustics, rays.
An effective tool for calculating the amplitude and phase structures of electromagnetic fields in the Earth's ionosphere is the canonical operator of V.P. Maslov. The canonical operator of V.P. Maslov provides a uniform asymptotic solutions for wave equations in regular domains, and in the singular regions, which correspond to the caustic and their singularities - wave catastrophes. It is known that solutions of bicharacteristic Hamiltonian systems in the phase space can be uniquely parameterized and do not intersect. Caustics arise in the design of the phase space in the configuration one. If we choose another subspace of the phase space, then it ray paths can not cross, and the divergence of Jacobian of ray flux will not vanish. The Fourier transform of the of ray representation is a solution of the original problem. It turns out rapidly oscillating integral (pre-canonical operator), the multiplicity of which is determined by the number of pulses involved in the formation of coordinate-pulse subspace. It turns out that there is a projection of the phase space of coordinate-pulse subspace always, which lacks the caustics and their singularities. Therefore, to build a global solution is necessary to sew different "maps", passing from one coordinate-momentum subspace to another coordinate-momentum subspace.
On the basis of generalization of the results obtained previously compared projection of the phase space in the two-dimensional subspace corresponding to the different maps of the canonical operator of V.P. Maslov, for propagation in ionospheric plasma in the undisturbed and disturbed cases. Caustics and caustic singularities in these projections are considered. Amplitude multipliers along the rays for different maps and analyzed singularities are calculated. As disturbances of the ionospheric F-layer are considered: a E-layer, a sporadic layer and a local elliptical disturbance in the vicinity of the main peak with a reduced electron density. It was shown that even the canonical subspace in the undisturbed case contain caustic. Introduction disturbances significantly complicates ray and caustic painting and makes it necessary the transition from the integral solutions to the wave catastrophe theory.
Для цитирования:
Крюковский А.С., Скворцова Ю.И. Лучи и каустики в координатно-импульсных подпространствах предканонического оператора Маслова при распространении радиоволн в ионосферной плазме // T-Comm: Телекоммуникации и транспорт. - 2016. - Том 10. - №9. - С. 57-65.
For citation:
Kryukovsky A.S., Skvortsova Yu.I. Rays and caustics in the coordinate-pulse subspaces precanonical Maslov operator for propagation in ionospheric plasma. T-Comm. 2016. Vol. 10. No.9, pр. 57-65.
1. Introduction
In recent years, for the calculation of amplitude-phase structure of the electromagnetic fields in the Earth's ionosphere Maslov canonical operator (COM) is actively used. [1-4]. Unlike ray techniques, for example, the method of geometrical optics, COM provides a uniform asymptotic solutions of wave equations, not only in regular, but in the singular regions, which correspond to the caustic (envelopes ray families) and their singularities |5-8J. As it is known the divergence of the ray flow on caustics described by the Jacobian of divergence vanishes, which leads to infinities for radial solutions. Main idea of COM [5, 6, 9, 10] lies in the fact that by virtue of Cauchy's theorem for ordinary differential equations if the necessary conditions on the smoothness of the right parts solutions bicharacteristic Hamiltonian system in the phase space uniquely parameterized and do not overlap. Caustics arise only in the progection of the phase space in the configuration. If you select another subspace of the phase space (pulsed or mixed), then it ray paths can not cross, and the Jacobian divergence will not vanish.
Of course, this ray representation will not be a solution to the original problem, but, as shown in [5, 9-11], its Fourier transform is the desired solution. The result is a rapidly oscillating integral (precanonical operator), the multiplicity of which is determined by the number of pulses (the wave vectors), involved in the formation of coordinate-pulse subspace.
In general, it can be shown (see, for example, [12]) that there is always a projection of the phase space on coordinate-pulse subspace, which has no the caustic and their singularities. But this is true only locally. Therefore, to build a global solution to the problem it is necessary to sew different "maps", passing from one coordinate-pulse representation to another.
It should be noted that the ray structure and caustic singularities arising in pulsed or mixed-case subspaces in ionospheric propagation of radio waves have been insufficiently studied in detail, in contrast to similar results [13-20], obtained for the configuration (coordinate) space. In an effort to fill this gap, in this study we have investigated ray and caustic structures of coordinate subspace pulse precanonical Maslov operator. Two situations are considered: the propagation in the disturbed and undisturbed ionospheric layer and studied singularities arising in the coordinate-pulse space under perturbation of the ionospheric plasma.
2. Model of the effective permittivity of the Earth ionosphere
We consider an isotropic model of effective permittivity of the ionospheric plasma, ie, the model does not take account of the Earth's magnetic field:
£ = 1-v, (1)
\2 ,
_ N (2)
m or
where e = 4,8029 10"'°CGSE-electron charge, me =9,108 10"!S g
- mass of the electron, of N - value of the electron density at a fixed point in space, and co - the circular frequency of the radiation. Model ionospheric electron concentration can be represented as
A1'
N{f)=N,
1-0-
extMi
COSJ
P
+-exp
z-Zgj/2
+N. +N„
J 2
where
2
71 X z — Zy,
exp
2 k z»a j
N, = p sin
the relative frequency of the sporadic layer and
NP = Pp exp
( V { V ( v"
V X,lli J I ) I ^ J _
(3)
(4)
(5)
the relative frequency of the disturbance.
In the formulas (3-4) introduced parameters: z0l - the height of the maximum of the F2 layer, zml - conventional half-thickness of the F2 layer, ft - the dimensionless coefficient, which characterizes the degree of ionization and the sporadic layer and E layer with respect to the main layer, z02 - the height of the maximum of sporadic layer, z02 /2 - height the maximum of the lower E layer, zml - the conditional half-thickness of the lower layers, the value N0 is the maximum electron density in the main layer F2. In the calculation used the following values for these parameters^: Ng - 2 106 sm~zm( = 100 km, = 300 km,
zm 2 = 10 km, Zq2 - 200 km, x=0- The characteristic horizontal
size of sporadic layer*, = 600 km.
In the formula (5), describing elliptical disturbance, 15 km,ymy= 10 km, zmi- 10 km, and the ellipsoid is rotated:
jx„ = j: cos^ ) - z sin(#j) ^ }z„ = jc s i n ( 6X) + z c os{ d; ) rJ,3=XjCOs(^)-zisin(£fi)i z„i=x3sm(Oi) + z3cos(&i)
(6)
In the expressions (6) 75 km, 290 km, and the rotation angle dx is 10.The parameter pp is the dimensionless coefficient, which characterizes the degree of ionization of the disturbance.
The following two cases are compared: /5-0, fip= 0 and P= 0,3,/^=-0,3.
200 400 600
X, tail
Fig. i. The electron concentration of the ionosphere. /M),/fp=0
VL/
7T>
My
(19)
M =
Sk, dkx
dç drj
dy dy
ec drj
dk: 8k:
m d,j
e£ ¡ar
dxj dû)
ar /ar
"SA,. / ëco
dv je r
5z / 3<y
(20)
Fig. 17 and 18 are presented undisterbed and disterbed cases in sequence. Analyzing Fig. 17, we see tbat with the increase in the exit angle ray angle of the initial inclination of the trajectory in the figure grows, the coefficient along the path initially increases and then decreases sharply, and finally, the leftmost downward ray corresponds to a cusp. "Fringes" are not available, but the coefficient along each ray lends to -°o. The role of the disturbances is clearly visible in Fig. 18. Appears "fringes", since there are additional caustic. Several steeply decaying paths on the right correspond to the rays of the wave channel Upper oblique trajectory associated with scattering by local inhomogeneity.
Fig. 17. The amplitude coefficient jk ( o / /t| : undisturbed <
Fig. IS. The amplitude coefficient t | : disturbed case
6. Conclusion
Thus, in the present work we compared the projection of a 6-dimensional phase space into two-dimensional subspaces corresponding to different cards Mjaslov canonical operator, in the unperturbed and perturbed eases. The singularities
(envelopes) of ray families (caustics), arising from these projections are investigated. With the same purpose in the work amplitude multipliers along the rays for different maps are calculated and the singularities associated with the touch the ray of the caustics analyzed. As the F layer ionospheric perturbations three additional structures are considered: a layer E, □ sporadic layer and local elliptical disturbance in the vicinity of the maximum of the main ionospheric layer F, ft must be emphasized that the transition from the classical representation of the solution in the ray form in the configuration space to the integral representation (in particular in the form of the Maslov canonical operator) is carried out in order to construct a uniform asymptotic solutions and the presence of caustics on the canonical maps near caustics of the configuration space is undesirable. Subspaces considered even in the undisturbed case contain caustic, and maintenance of such disturbances (not very complicated) makes the ray and caustic painting very confusing. Most preferably, in this sense it seems to shift the pulse subspace by two variables (i'-coord in ale in this problem can not particularly give off), but this increases the integral multiplicity.
Therefore it remains an urgent problem of a thorough analysis of the ray caustic structures in concrete problems and the transition from the integral describe to the wave catastrophe theory 14-8, 24-28]. Although it should be noted that the cross-linking of different canonical maps and direct integration also leads to a successful solution [1-4, 12].
References
1. Ipatov Eu.B.. Litkin D.S., Palkin Eu.A. The numerical implementation of the method of the canonical Maslov operator in problems of propagation of short radio waves in the Earth's ionosphere // Proceedings of the universities. Radio Physics. 1990. Vol.33. No. 5, Pp. 562-573. (in Russian)
2. Ipatov Eu.B.. Lukin D.S.. Palkin En.A. Maslov canonical operator in problems of diffraction and propagation of waves in inhomogeneous media // Sov. J. Numer. Anal. & Math. Modelling., 1990, Vol.5. No. 6. P.465-488.
3. Ipatov Eu.B.. Lukin D.S.. Palkin Eu.A.. Shkolnikov V.A. Maslov canonical operator in problems of diffraction and EM waves propagation in inhomogeneous media // Papers of technical meeting on electromagnetic theory / OFSET-90. The Institute of Electrical Engineers of Japan. 1990. Pp. 39-48.
4. Ipatov Eu.B.. Kiyukovsk}' A S. . Lukin D.S.. Palkin Eu.A., RastyOgaev D.V. Methods of simulation of electromagnetic wave propagation in the ionosphere with allowance for the distributions of the electron concentration and the Earth's magnetic field // Journal of Communications Technology and Electronics. 2014. Vol. 59. No. 12. Pp. 1341-1348.
5. Lukin D.S.. Palkin Eu.A, Numerical canonical method in problems of diffraction and propagation of electromagnetic waves in inhomogeneous media. Moscow: M1PT, 1982. 159 p. (in Russian)
6. KryukovskyA.S., Lukin D.S.. Palkin Eu.A. Uniform asymptotic behavior of integrals of rapidly oscillating functions with degenerate saddle points Preprint / IRE USSR. M./l984. No. 41 (413). 75 p. (¡>1 Russian)
1. Kryukovsky A.S. Necessary and sufficient conditions for the formation of the main wave catastrophes with corank of two. // Propagation and diffraction of electromagnetic waves. Moscow : MIPT, i 993. Pp. 4-19. (;>? Russian)
8. Kryukovsky A.S. Uniform asymptotic theory of edge and corner wave catastrophes. Monograph. Moscow: RosNOU, 2013. 368 p. (in Russian)
9. Maslov V.P. The iheory of perturbations and asymptotic methods, Moscow: Moscow State University, 1965. 553 p, (hi Russian)
10. Maslov V.P., Fedoryuk M.V. Sem¡class¡cal approximation for the equations of quantum mechanics. Moscow: Nauka. 1976. 2% p. (in Russian)
!l. Mishchenka A.S., Stern in B.Yu.. Shatalov V.Eu. Lagrangian manifolds and the canonical operator method. Moscow: Nauka, 1976. 352 p. (in Russian)
12. Kryukovsky A.S., Lukin D.S., Palkin Eu.A. Comparison integral asymptotic methods // Proceedings of the X School Workshop on Diffraction and Wave Propagation. 7-15,02.1993. Moscow: MIPT, 1993. Pp. 3-35. (inRussian)
13. Kryukovsky A.S., Lukin D.S., Rastyagaev D. V. Investigation of the influence of local inhomogeneities of the ionospheric plasma on the propagation of short radio waves // Journal of Russian New University. A series of "Management, Computing and Informatics". Moscow: RosNOU, 2010, Issue 3. Pp. 17-25. (in Russian)
14. Kryukovsky A.S.. Rastyagaev D. V,. Skvortsova Yu.I. Investigation of propagation of frequency-modulated space-time signals in inhomogeneous anisotropic ionosphere // Journal of Russian New University. A series of "Management, Computing and Informatics". Moscow: RosNOU, 2013. Issue 4. Pp. 47-52, (in Russian)
15. Kryukovsky A.S., Lukin D.S., Kiryanova K.S. Method of extended b i characteristic system in simulating wave propagation in ionospheric plasma II Journal of Communications Technology and Electronics, 2012. Vol. 57. No. 9. Pp. 1039-1045.
16. Kryukovsky A.S., Rastyagaev D. V., Skvortsova Yu.I. Propagation of frequency-modulated space-time radio waves in the anisotropic ionosphere // Proceedings of the XXIV All-Russian Scientific Conference "Radiowave propagation" (29 June to May 2014; Irkutsk) / ¡rkutsk: 1STP, 2014. Vol.4. Pp. 126-129. (in Russian)
17. Kryukovsky A.S., Skvortsova Yu.I. Application of catastrophe theory to describe the space-time structure of the frequency modulated signal in plasma II Electromagnetic waves and electronic systems. 2013. Vol. 18. No. 8, Pp. 18-23. (in Russian)
18. Kryukovsky A.S.. Kiryanova K.S. Dynamic modeling of propagation of radio waves in the vicinity of the equatorial anomaly based on the method ^characteristics // Electromagnetic waves and electronic systems. 201 I. Vol.16. No. 8. Pp. 21-25. (in Russian)
19. Kiryanova K.S., Kryukovsky A.S. Singularities ray propagation of radio waves in the Earth's ionosphere II T-Comm. 2012, Vol. 6. No. 11, Pp. 25-28.
20. Kryukovsky A.S., Lukin D.S., Rastyagaev D.V.. Skvortsova Yu./. Numerical modeling of the spacc-tlme frequency-modulated radio waves in an anisotropic medium // T-Comm. 2015. Vol. 9. No. 9. Pp. 40-47.
2!. Kryukovsky A.S.. Lukin D.S., Rastyagaev D. V. Investigation of the propagation of short radio waves in an inhomogeneous anisotropic ionosphere // Electromagnetic waves and electronic systems, 2009. Vol. 14. No. 8. Pp. 17-26, (in Russian)
22. Kazantsev A.N., Lukin D.S.. Spiridonov Yu.G. The research method of radio propagation in inhomogeneous magnetoactive ionosphere H Space Research, 1967. Vol. 5. No. 4. Pp. 593-600. (inRussian)
23. Lukin D.S.. Spiridonov Yu.G. Application of the method of characteristics to the numerical solution of problems of radio wave propagation in inhomogeneous and nonlinear media // Technology and Electronics, 1969. Vol. 14. No. 9. Pp. 1673-1677, (in Russian)
24. Kryukovsky A.S.. Lukin D.S.. Palkin Eu.A. Application of the theory of edge catastrophes to construct uniform asymptotic of rapidly oscillating integrals II Diffraction and wave propagation / Moscow: MIPT. 1985. Pp. 4-21. (in Russian)
25. Kiyukovsh' A S., Rogachev S.V., Lukin D.S. Special Software for Computing the Special Functions of Wave Catastrophes II Revista de Matematica: Teoria y Aplicaciones ! San Pedro Montes de Oca, San José, Costa Rica: Universidad de Costa Rica, 2015. Pp. 21-30.
26. Kryukovsky A.S., Lukin D.S. Local asymptotics of rapidly oscillating integrals, describing the wave field In the focus regions II Diffraction and propagation of electromagnetic waves Moscow: MIPT. 1984. Pp. 39-53. (in Russian)
21. Dorohina T.V., Kryukovsky A.S., MalyshenkoA.B. Development of numerical algorithms for the calculation and visualisation of wave catastrophes // Journal of Russian New University. A series of "Management, Computing and Informatics". Moscow: RosNOU. 2008. Issue 3. Pp. 25-48, (in Russian)
28. Dorokhin T V.. Ipatov Eu.B.. Kryukovsky A S.. LukinD.S., Palkin E.A.. Rastyagaev D. V. The mathematical computer modeling of wave fields such as catastrophes // Propagation: collection of reports XXI Scientific Conference. Yoshkar-Ola, 25-27 May 2005. Yoshkar-Ola: MarSTU. 2005. Vol. 2. Pp. 336-339.
ЛУЧИ И КАУСТИКИ В КООРДИНАТНО-ИМПУЛЬСНЫХ ПОДПРОСТРАНСТВАХ ПРЕДКАНОНИЧЕСКОГО ОПЕРАТОРА МАСЛОВА ПРИ РАСПРОСТРАНЕНИИ РАДИОВОЛН
В ИОНОСФЕРНОЙ ПЛАЗМЕ
Крюковский Андрей Сергеевич, д.ф.-м.н., профессор, декан факультета Информационных систем и компьютерных технологий автономной некоммерческой организации высшего образования Российский новый университет, Москва, Россия, kryukovsky@rambler.ru Скворцова Юлия Игоревна, заместитель декана факультета Информационных систем и компьютерных технологий автономной некоммерческий организации высшего образования Российский новый университет, Москва, Россия, julia_bova@mail.ru
Аннотация
Эффективным инструментом для расчета амплитудно-фазовых структур электромагнитных полей в ионосфере Земли является канонический оператор Маслова (КОМ) [1-3]. КОМ позволяет получить равномерные асимптотические решения волновых уравнений как в регулярных, так и в сингулярных областях, которым соответствуют каустики и их особенности - волновые катастрофы [4-7]. Известно, что решения бихарактеристиче-ской системы Гамильтона в фазовом пространстве однозначно параметризуются и не пересекаются. Каустики возникают при проектировании фазового пространства в конфигурационное. Если выбрать другое подпространство фазового пространства, то в нем лучевые траектории могут не пересекаться, а якобиан расходимости не будет обращаться в нуль. Фурье-образ такого лучевого представления является решением исходной задачи. Получается быстроосциллирующий интеграл (предканонический оператор), кратность которого определяется числом импульсов, участвующих в формировании координатно-импульсного подпространства (КИП). Существует такая проекция фазового пространства в КИП, в котором отсутствуют каустики и их особенности. Для построения глобального решения необходимо сшивать различные "карты", переходя от одного КИП к другому. На основе обобщения полученных ранее результатов, (см., например, [7-9]) сопоставлены проекции фазового пространства в двумерные подпространства, соответствующие различным картам канонического оператора Маслова, в невозмущенном и возмущенном случаях. Рассмотрены каустические особенности в этих проекциях. Рассчитаны амплитудные множители вдоль лучей для разных карт и проанализированы сингулярности. В качестве возмущений ионосферного слоя Р рассмотрены: слой Е, спорадический слой и локальное эллиптическое возмущение в окрестности главного максимума. Показано, что канонические подпространства даже в невозмущенном случае содержат каустики. Введение возмущений существенно усложняет лучевую и каустическую картину и делает актуальным переход от интегрального описания решения к волновой теории катастроф.
7Т>
vL/
ПУБЛИКАЦИИ НА АНГЛИЙСКОМ ЯЗЫКЕ МАТЕМАТИКА
Ключевые слова: канонический оператор; карты; численное моделирование; распространение сигналов; ионосфера; бихарактеристическая система; возмущения; каустическое острие; каустика; лучи.
Литература
1. Ипатов Е.Б., Лукин Д.С., Палкин Е.А. Численная реализация метода канонического оператора Маслова в задачах распространения коротких радиоволн в ионосфере Земли // Известия вузов. Радиофизика. 1990. Т.33. № 5. C. 562-573.
2. Ipatov Eu.B., Lukin D.S., Palkin Eu.A. Maslov canonical operator in problems of diffraction and propagation of waves in inhomogeneous media // Sov. J. Numer. Anal. & Math. Modelling., 1990. Vol. 5. № 6. Pр. 465-488.
3. Ipatov Eu.B., Lukin D.S., Palkin Eu.A., Shkolnikov V.A. Maslov canonical operator in problems of diffraction and EM waves propagation in inhomogeneous media // Papers of technical meeting on electromagnetic theory / OFSET-90. The Institute of Electrical Engineers of Japan. 1990. Pp. 39-48.
4. Ipatov Eu.B., Kryukovsky A.S., Lukin D.S., Palkin Eu.A., Rastyagaev D.V. Methods of simulation of electromagnetic wave propagation in the ionosphere with allowance for the distributions of the electron concentration and the Earth's magnetic field // Journal of Communications Technology and Electronics. 2014. Vol. 59. № 12. Pp. 1341-1348.
5. Лукин Д.С., Палкин Е.А. Численный канонический метод в задачах дифракции и распространения электромагнитных волн в неоднородных средах. М.: МФТИ, 1982. 159 с.
6. Крюковский А.С., Лукин Д.С., Палкин Е.А. Равномерные асимптотики интегралов от быстроосциллирующих функций с вырожденными седловыми точками: Препринт / ИРЭ АН СССР. М., 1984. № 41 (413). 75 с.
7. Крюковский А.С. Необходимые и достаточные условия образования основных волновых катастроф с корангом, равным двум. // Распространение и дифракция электромагнитных волн. М.: МФТИ, 1993. C. 4-19.
8. Крюковский А.С. Равномерная асимптотическая теория краевых и угловых волновых катастроф. Монография. М.: РосНОУ, 2013. 368 с.
9. Маслов В.П. Теория возмущений и асимптотические методы. М.: МГУ, 1965. 553 с.
10. Маслов В.П., Федорюк М.В. Квазиклассическое приближение для уравнений квантовой механики. М.: Наука, 1976. 296 с.
11. Мищенко А.С., Стернин Б.Ю., Шаталов В.Е. Лагранжевы многообразия и метод канонического оператора. М.: Наука, 1976. 352 с.
12. Крюковский А.С., Лукин Д.С., Палкин Е.А. Сопоставление интегральных асимптотических методов // Труды X школы-семинара по дифракции и распространению волн. 7-15.02.1993. М.: МФТИ. 1993. С. 3-35.
13. Крюковский А.С., Лукин Д.С., Растягаев Д.В. Исследование влияния локальных неоднородностей ионосферной плазмы на распространение коротких радиоволн. //Вестник Российского нового университета. Серия "Управление, вычислительная техника и информатика". М.: РосНОУ, 2010. Выпуск 3. С. 17-25.
14. Крюковский А.С., Растягаев Д.В., Скворцова Ю.И. Исследование распространения частотно-модулированных пространственно-временных сигналов в неоднородной анизотропной ионосфере // Вестник Российского нового университета. Серия "Управление, вычислительная техника и информатика". М.: РосНОУ, 2013. Выпуск 4. С. 47-52.
15. Kryukovsky A.S., Lukin D.S., Kiryanova K.S. Method of extended bicharacteristic system in simulating wave propagation in ionospheric plasma // Journal of Communications Technology and Electronics, 2012. T.57. №9. Pp. 1039-1045.
16. Крюковский А.С., Растягаев Д.В., Скворцова Ю.И. Распространение частотно-модулированных пространственно-временных радиоволн в анизотропной ионосфере. // Труды XXIV Всероссийской научной конференции "Распространение радиоволн", (29 июня-5 июля 2014; Иркутск). Иркутск: ИСЗФ СО РАН, 2014. Т.4. С. 126-129.
17. Крюковский А.С., Скворцова Ю.И. Применение теории катастроф для описания пространственно-временной структуры частотно-модулированного сигнала в плазме // Электромагнитные волны и электронные системы. 2013. Т. 18. № 8. С. 18-23.
18. Крюковский А.С., Кирьянова К.С. Динамическое моделирование распространения радиоволн в окрестности экваториальной аномалии на основе метода бихарактеристик // Электромагнитные волны и электронные системы. 2011. Т.16. № 8. С. 21-25.
19. Кирьянова К.С., Крюковский А.С. Особенности лучевого распространения радиоволн в ионосфере Земли // T-Comm: Телекоммуникации и транспорт. 2012. № 11. С. 25-28.
20. Крюковский А.С., Лукин Д.С., Растягаев Д.В., Скворцова Ю.И. Численное моделирование распространения пространственно-временных частотно-модулированных радиоволн в анизотропной среде // T-Comm: Телекоммуникации и транспорт. 2015. Т. 9. № 9. С. 40-47.
21. Крюковский А.С., Лукин Д.С., Растягаев Д.В. Исследование особенностей распространения коротких радиоволн в неоднородной анизотропной ионосфере // Электромагнитные волны и электронные системы. 2009. Т.14. № 8. С. 17-26.
22. Казанцев А.Н., Лукин Д.С., Спиридонов Ю.Г. Метод исследования распространения радиоволн в неоднородной магнитоактивной ионосфере // Космические исследования, 1967. Т. 5. Вып. 4. С. 593-600.
23. Лукин Д.С., Спиридонов Ю.Г. Применение метода характеристик для численного решения задач распространения радиоволн в неоднородной и нелинейной среде // Радиотехника и электроника, 1969. Т. 14. № 9. С. 1673-1677.
24. Крюковский А.С., Лукин Д.С., Палкин Е.А. Применение теории краевых катастроф для построения равномерных асимптотик быстроосциллирующих интегралов // Дифракция и распространение волн. Междувед. сборник. M.: МФТИ, 1985. С. 4-21.
25. Kryukovsky A.S., Rogachev S.V., Lukin D.S. Special Software for Computing the Special Functions of Wave Catastrophes // Revista de Matematica: Teoria y Aplicaciones. San Pedro Montes de Oca, San Jose, Costa Rica: Universidad de Costa Rica, 2015. Pp. 21-30.
26. Крюковский А.С., Лукин Д.С. Локальная асимптотика быстроосциллирующих интегралов, описывающих волновое поле в областях
фокусировки // Дифракция и распространение электромагнитных волн: Междувед. сб. M.: МФТИ, 1984. С. 39-53.
27. Дорохина Т.В., Крюковский А.С., Малышенко А.Б. Разработка численных алгоритмов расчета и визуализации волновых катастроф // Вестник
Российского нового университета. Серия "Управление, вычислительная техника и информатика". М.: РосНОУ, 2008. Выпуск 3. С. 25-48. 28. Дорохина Т.В., Ипатов Е.Б., Крюковский А.С., Лукин Д.С., Палкин Е.А., Растягаев Д.В. Математическое компьютерное моделирование волновых полей типа катастроф // Распространение радиоволн: сборник докладов XXI Всероссийской научной конференции. Йошкар-Ола, 25-27 мая 2005 г. /Йошкар-Ола: МарГТУ, 2005. Т.2. С. 336-339.
