CC BY
45
УДК 519.859
КВАЗИ Ф-ФУНКЦИЯ ДЛЯ СФЕРОКОНУСОВ С ПОВОРОТАМИ
СЁМКИН В.В., ЧУГАЙ А.М., ПАНКРАТОВ А.В.
Предлагается квази Ф-функция для пары неориентированных сфероконусов. Данная функция позволяет записать условия взаимного непересечения объектов в виде набора систем неравенств, левые части которых являются бесконечно дифференцируемыми функциями. Введение
На сегодняшний день наименее исследованными в классе задач размещения геометрических объектов являются задачи размещения трехмерных объектов, которые допускают непрерывные повороты. В то же время данные задачи являются востребованными как с научной, так и с практической точек зрения [1-3].
Для построения адекватных математических моделей таких задач необходимо выполнить аналитическое описание взаимоотношений (касание, пересечение и непересечение) размещаемых геометрических объектов. Однако в связи с отсутствием конструктивных средств математического моделирования этих отношений для класса неориентированных (допускающих непрерывные повороты) трехмерных объектов существует проблема применения известных методов локальной и глобальной оптимизации для поиска решения рассматриваемых задач. Решить эту проблему позволяет подход, основанный на методе Ф-функций [4].
На данный момент в классе неориентированных трехмерных геометрических объектов построены Ф-функции для многогранников [5] и для многогранника и шара [6].
Данная статья расширяет множество трехмерных неориентированных объектов, для которых может быть построена математическая модель задачи оптимальной упаковки.
Целью данной работы является математическое моделирование взаимодействия неориентированных сфероконусов.
Для достижения поставленной цели необходимо выполнить следующие задачи: построить квази Ф-функцию и псевдонормализованную квази Ф-функцию для сфероконусов.
1. Постановка задачи
В качестве сфероконуса в работе рассматривается выпуклый геометрический объект
sK; = G1; U F; U G2i (рис. 1), где F; - усечённый конус высоты 2h; радиуса верхнего и нижнего оснований Гц и Г2І соответственно, Гц > Г2І ; Gli - верхний сферический сегмент высоты wu и радиуса основания Гц ; G21 - нижний сферический сегмент высоты W2i и радиуса основания Г2і . При этом Gki получены из шаров Ski радиусов
Pki = Гкі + Wkl ,k = 1,2. Обозначим также 2wki
Tki =Pki -wki,k =1,2 •
Рис. 1. Сфероконус
Условия выпуклости сфероконуса записываются в виде условий на его метрические характеристики:
Мп.- Г20 > 0, + Мм] > 0.
1i 2hi 2i 2hi
В работе рассматриваются сфероконусы, для которых t1i > 0.
Пусть вектор Ді = (hl,Гll,Г2l,Wll,W2l) задает метрические характеристики сфероконуса sKi. Изменяя значения вектора Ді, можно получить следующие геометрические объекты: конус
( Ді = (hi, Гц ,0,0,0)); усеченный конус
( ді =(і1,Г1і,Г21,0,0)); круговой цилиндр
(Ді = (hi ,Г11, Г21,0,0), Г) = Г21); сфероцилиндр
( Ді = (hi,Гц,Г21, W11, W21 ),Гц = Г21); сферический сегмент (Ді = (0,Гц,0^1і,0)); сферический диск
( Ді = О0, Г11 ,Г21, W11, W21 ) = Г21 ) .
Сфероконус допускает аффинные преобразования трансляции и поворота. В работе сфероконус sKi является объектом вращения вокруг оси Oz, поэтому его ориентация задается углами 0i =(ai, Pi) вокруг осей Ox и Oy соответственно. Зададим матрицу поворота R(0i) = (Rx (0i),Ry (0i),Rz (0i)), где
Rx (0i ) = (cos Pi,sin ai sin Pi, - cos ai sin Pi) ,
Ry (0i) = (0,cosai,sinai) ,
Rz (0i ) = (sin Pi, - sin ai cos Pi, - cos ai cos Pi) . Сфероконус sKi , транслированный на вектор Vi =(xi,yi,zi) и повёрнутый на углы 0i =(ai,Pi), обозначим sKi (ui), где ui =(vi, 0i) - вектор движения сфероконуса.
В работе [7] в целях описания в аналитическом виде условий непересечения выпуклых объектов введено понятие квази Ф-функции. Эта функция зави-
сит не только от параметров размещения объектов, но и от некоторых дополнительных переменных Yj, количество k которых зависит от размерности
пространства, в котором заданы геометрические объекты.
Определение 1. Квази Ф-функцией Q;j (u;,Uj,Yj
для ф -объектов [8] O; (u;) и Oj (uj) называется
непрерывная всюду определённая функция, для которой выполняются следующие свойства:
max Qjj (,uj,Yj) < 0, еслиintO; (u; )1 intOj (uj) Ф 0
YeR1
ij
max
Y,eRk
max
Qij (i,uj,Yj ) = 0, еслиintOi (u; )1 intOj (uj ) = 0,
frO; (u; ) I frOj (uj) *0; Qij (u;,Uj, Yj) > 0, если Oj (u; ) I Oj (uj) = 0 .
YeR1
Таким образом, функция
ф(^ )=mXkQ (ui,uj,Yj
YeRk
является Ф-функцией для объектов O; (u; ) и
Определение 2. Квази Ф-функция Qdjij (;,Uj,Yj) называется псевдонормализованной квази Ф-функцией для ф -объектов O; (і; ) и Oj (uj ) , если для некоторого фиксированного значения d;j > 0 она удовлетворяет следующим условиям:
Y’^k Q;di1 (u;,u j, Y;j) <)если p(o; (u;), oj (uj)) < d;j;
ij
^ (ui,uj,Yij) = 0 еслиP(O; (ui),Oj (uj)) = d;j;
Y;jeR
Qdi1 (ui,uj,Yij) > 0если P(O; (ui),Oj (uj)) > d;j,
ij
где p(O; (u;),Oj (uj) - евклидово расстояние между объектами O; (u; ) и Oj (uj ) .
Легко видеть, что условие Qdij (;,Uj,Yj )> 0 обеспечивает нахождение объектов на расстоянии не меньшем, чем d;j .
2. Построение квази Ф-функции для двух сфероконусов
Рассмотрим полупространство
HS'(Y) = {x = (x,y,z)e R3 :f (X,YS)<0},
отделяемое плоскостью Л8 = frH- (Ys), которая задаётся уравнением
f (X,Ys ) = a(Vs )x + b((>.Vs )y + c( Vs ) + ds = 0 a ( Vs ) = sin Vs,b (Vs ) = - sin Фs cos Vs> c ( Vs ) = cos Фssin Vs, Ys = ( Vs,ds ).
Замечание. Заметим, что
ns (Ys У = ||(a(Vs )b(s> Vs ),c(s, Vs ))) = 1
поэтому величина
f (X0,Y
равна расстоянию от
0 3
произвольной точки X є R до плоскости Л%. Вначале построим Ф-функцию для сферического сегмента Gj; с sK; и полупространства H- (Ys).
Теорема 1. Нормализованная Ф-функция для сферического сегмента Gj; (u;) и полупространства
Hs (Ys) может быть представлена в виде
Ф
11 (U;,Ys) = max {Fi1s С(;,Ys) ,g3is (U;,Ys)},
где
Fii (Ui,Ys ) = min{g1is (Ui,Ys )g2is (Ui,Ys )} ,
gjis (U;,Ys) = f (V;,Ys) + h;q(0;,Ys)-^1-q(e;,Ys)2
g2;s ((pYs ) = f (V;,Ys ) +
( r2 ^ h; +Y
T1i
q (e;,Ys
g3is ((;; Ys ) = f (v;,Ys) + (;-T1i )q(e;,Ys )-P1i,
q(Є;, Ys ) = (Rz (Є; ),ns (Ys) . Доказательство. Сегмент G^ представляется, как пересечение шара Бц радиуса рц и конуса Кц
высоты — и радиуса основания Гц, образующие T1i
которого касаются шара Бц в точках окружности {х є R3 : x2 + y2 + (z + h; -Тц )2 - r^ = 0, z - h; = 0}. Обозначим ближайшую к плоскости Л,, точку основания конуса Кц через Лц, вершину этого конуса - Л;2, а точку шара Бц, ближайшую к Л., -через Л;3 (рис. 2).
Рис. 2. Отклонения контрольных точек сегмента
Вычислим отклонение точки Лц от плоскости Лs. Имеем, Л;1В;1 = V;T; - V;L; - М;Л;1, т.е.
f (Лil,Ys )= f (v;,Ys) + h; cos ю-гц sin ю, откуда, учитывая, что ю - угол между единичными векторами ns (Ys) и Rz (Є;), получаем
f (An,Ys ) = f (Vi,Ys) + h,q (ei,Ys)-Гц^ - q (91,YS )2. Отклонение точки Ai2 от плоскости Л,, равно
a12B12 = ViTi - ViEi, т.е.
f (A13,Ys )= f (i,Ys )-ViAi2 s1n^®-|j ,
откуда следует
(
f (Ai2,Ys ) = f (i,Ys) +
r2 ^
hi +
V
T1i
q (i,Ys).
И, наконец, отклонение точки от плоскости равно a13B13 = ViTi - OiDb т.е.
f (A13,Ys )= f (i,Ys )-ViOi s1n(®-|j-OiAi3, откуда f (Ai3,Ys ) = f (Vi,Ys )-(-Тц )q (0^ )-Pii.
Очевидно, что G1i (ui )П intHs (Ys ) = 0, если выполнено хотя бы одно из условий:
1) f(Au,Ys)>0, f(A^Ys)>0; 2) f(AB,Ys)>0.
Обозначим g1is (ui,Ys) = f (t, Ys),t = 1,2,3 .
Поэтому, если Ф11 (ui,Ys) > 0, то Fis (ui, Ys) > 0 или
g3is (ui,Ys ) > 0 , а значит G1i (ui) ПH- (Ys ) = 0 . Если Ф11 ((i,Ys) = 0, то Fs ((i,Ys) = 0 или
g3is (ui,Ys ) = 0, откуда intG1i (ui )ПintH- (Ys ) = 0
и frG1i (ui) ПfrH- (Ys) ^0 . Если же Ф11 (ui ,Ys) < 0 , то Fis (i, Ys) < 0 и g3is ((i, Ys) < 0 , из чего следует, что int G1i (ui) П intH- (Ys) ^0 .
Заметим, что Ai2 ^ Gn. Покажем, что или
ф11 K,Ys ) = g1is (ui,Ys ) = g2is (ui,Ys ) = g3is (ui,Ys ) ,
или ф11 (ui,Ys ) g2is (ji,Ys ).
Действительно, если
Fis (ui ,Ys ) = min{g1is (ui,Ys ) g2is (ui,Ys )} = g1is (ui. Ys ) то ф11 (ui,Ys ) g2is (ui,Ys ).
Иначе, пусть Fis (ui,Ys ) = g3is (ui,Ys ). т е.
g3is (ui ,Ys ) < gL (ui ,Ys ) . Тогда получаем
q(0i,Ys)<-—. Если g3is(ui,Ys)>g2isK,Ys), ри
Ф11 (i,Ys) g2is (ui,Ys).
В ином случае, если g3is (ubYs )< g!2is (ui,Ys), т.е.
ф11 ((i,Ys) = g2is K,Ys), имеем q (0i,Ys) > -—.
p1i
Таким образом, с одной стороны, q(0i, Ys) < -— , а
p1i
с другой
q (0i, Ys )>-—. Отсюда
p1i
q (0i,Ys ) = -—. Подставляя это значение в p1i
gL (ui,Ys ) g2is (i ,Ys ) и g3is ((i,Ys ) , получаем ф11 (ui ,Ys ) = g1is (ui,Ys ) = g2is (ui,Ys ) = g3is (ui,Ys ) . Поскольку функции g1is (ц, Ys), t = 1,2,3 , всюду определены и непрерывны, то и функция Ф11 (ui,Ys) всюду определена и непрерывна. Поэтому функция Ф11 (i,Ys), с учётом замечания, является нормализованной Ф-функцией сфероконуса sKi (ui) и полупространства H- (Ys). Теорема 1 доказана.
Аналогично, нормализованная Ф-функция для сферического сегмента G2i (ui) и полупространства
Hs (Ys) может быть записана, как
Ф
12
) = max {f? ((i,Ys), g32is ((i,Ys)},
где
f2 (ui ,Ys ) = min{g2is (ui,Ys ) g2is (ui,Ys )} ,
g1
l2is (i,Ys ) = f (Vi,Ys)-hiq(0i,Ys)-r2^1 -q(0i,Ys )2
g2is (ui,Ys) = f (Vi,Ys)-
hi +
Г2 ^ r2i
T2i
q (0i,Ys
g3is (ui,Ys )= f (i,Ys )-((-T2i )q(0i,Ys )-P2i . Поскольку сфероконус является выпуклым множеством, то sKi (ui)ПH-(Ys) = 0, если
Gu (ui)ПH-(Ys) = 0 и G3i(ui)ПH-(Ys) = 0. Поэтому функция
Ф1; (li,Ys ) = min {Ф1;1 (ui,Ys ), Ф1;2 (ll^Y; )} является нормализованной Ф-функцией для сфероконуса sKi (ui) и полупространства H- (Ys).
Заметим, что для случаев, когда сфероконус принимает форму конуса, усечённого конуса или цилиндра, Ф-функция Ф1, (ui,Ys) принимает вид
ф1; (i ,Ys ) = min{g1is (і,% )gl2is ((i,Ys )} .
Аналогичным образом, нормализованная Ф-
функция для сфероконуса sKj (uj) и полупро-
странства
H+(Ys ) = {X є R3 : f (X,Ys ) = -f (X,Y, )< 0} , Ys = (s, n + ys, -ds), может быть записана в виде
Ф3
где Ф3к (uj,Ys) - нормализованная Ф-функция для сегмента Gkj с sKj,k = 1,2, и полупространства H+(Ys). Для упрощения записи переобозначим
uj.Ys ) = min {ф 21 (uj,Ys),Ф З? (uj.Ys)}
Ys = Yij. Таким образом, сфероконусы гарантированно не пересекаются (не имеют общих внутренних точек), если плоскость Лу является разделяющей плоскостью этих объектов.
Теорема 2. Квази Ф-функция для сфероконусов
sKj (uj) и sKj (uj) может быть представлена в
виде Qjj (uj,Yjj) = тіп{фіі (Yj),фІ ('Yjj)}. Доказательство. Пусть
max Qjj (uj,uj,Yj) = Qjj (uj,Y*) > 0.
Тогда Ф-j ( Yij) > 0 и ФІ (uj, Yij) > 0, следовательно, плоскость Лjj является разделяющей плоскостью сфероконусов, причём
sKi (ui) с rntH+ (Yjj) и sKj (uj) c jntH- (Yjj).
Если max Qjj (;,uj,Yjj) = Qjj (uj,uj,Yj*) = 0, то не
YjGR
существует такого Yjj є R , что
Qij (uj,uj,Yjj*) > 0. Значит, ф1 (uj,Yj*) = 0 и
ф2((,^*) = 0, плоскость Л* является опорной плоскостью сфероконусов sKj (uj) и sKj (uj),
причём jntsKj (u; )1 jntsKj (uj ) = 0 и
frsKj (u; )1 frsKj (uj) ^0 .
Если max Qjj (,uj,Yjj )< 0, то для любого
Y^R
Yjj* є R3 выполняется Qjj (,uj, Yj*) < 0, а значит справедливо хотя бы одно из неравенств ф1 (ij, Yj*) < 0 или ф2 (, Yj*) < 0 . Следовательно,
3
в пространстве R не существует плоскости, разделяющей сфероконусы sKj (u; ) и sKj (uj).
Функция Qjj (,uj,Yjj) всюду определена и непрерывна в силу всюду определённости и непрерывности функций ф1 (Yjj) и ф2 (Yjj). Теорема 2
доказана.
Теорема 3. Пусть djj > 0. Тогда функция
QdjJ ^uj,uj,Yj) = Qjj (uj,uj,Yjj)--idjj является псевдонормализованной квази Ф-функцией для сфероконусов sKj (u; ) и sKj (uj).
3. Выводы
Научная новизна.. Впервые построена квази Ф-функция Qjj (;,uj,Yjj) для пары неориентированных сфероконусов.
Научные и практические результаты. Данная
функция позволяет записать условия взаимного непересечния объектов в виде набора систем неравенств, левые части которых являются бесконечно дифференцируемыми функциями.
Эта функция может быть использована для построения математической модели задач оптимальных упаковок неориентированных сфероконусов, сфероцилиндров, конусов, усеченных конусов, цилиндров, сферических сегментов и сферических дисков.
Функция Qjj (;,uj,Yjj) позволяет снизить вычислительные затраты при определении условий непересечения рассматриваемых трехмерных неориентированных объектов.
Кроме того, функция Qdj (,uj,Yjj) позволяет
учитывать ограничения на кратчайшие расстояния между рассматриваемыми объектами.
Литература: 1. Williams S.R. Random packing of spheres and spherocylmders simulated by mechanical contraction / S.R. Williams and A.P. Philipse // Physics Review E. 2003. Vol. 67, Article ID 051301. Р. 051301-1-051301-9. 2. Torquato S. Modeling of physical properties of composite materials / S. Torquato // Int. J. Solids Struct. 2000. Vol. 37, Issue 1-2. Р. 411-422. 3. Yi Y.B. Compression of packed particulate systems: simulations and experiments in graphitic li-ion anodes / Y.B. Yi, C.W. Wang, A.M.Sastry // Journal of Engineering Materials and Technology. 2006. Vol. 128, Issue 1. Р. 73-80. 4. Stoyan Yu.G. Ф-function and its basic properties / Yu. G. Stoyan // Доп. НАН України. 2001. №8. С.112-117. 5. Stoyan Yu. G. Mathematical modeling of the interaction of non-oriented convex polytopes / Yu. G. Stoyan, A.M. Chugay // Cybernetics and Systems Analysis. 2012. Vol. 46, №6. Р. 837-845. 6. Стоян Ю.Г. Построение свободной от радикалов Ф-функции для шара и неориентированного многогранника / Ю.Г. Стоян, А.М. Чугай // Доп. НАН України. 2011. №12. С. 44-50. 7. Панкратов О.В. Мате-матичш модєлі, методи та шформацшт технології розв’язання оптишзацшних задач розмщення
геометричних об’єктів: автореф. дис. на здобуття наук. ступеня доктора техн. наук: спец. 01.05.02 “Математичне моделювання та обчислювальш методи” / О.В. Панкратов. Харюв, 2013. 40 с. 8. Стоян Ю.Г. Математические модели и оптимизационные методы геометрического проектирования / Ю. Г. Стоян, С. В. Яковлев. К.: Наук. думка, 1986. 267 с.
Поступила в редколлегию 14.02.2014
Рецензент: д-р техн. наук Гиль Н.И. Сёмкин Владимир Владимирович, аспирант отдела математического моделирования и оптимального проектирования Института проблем машиностроения НАНУ им. А. Н. Подгорного. Адрес: Украина, 61046, Харьков, ул. Дм. Пожарского, 2/10, тел. раб. (0572) 349-47-77, тел. (095)188-45-86.
Чугай Андрей Михайлович, канд. техн. наук, старший научный сотрудник отдела математического моделирования и оптимального проектирования Института проблем машиностроения НАНУ им. А. Н. Подгорного. Адрес: Украина, 61046, Харьков, ул. Дм. Пожарского, 2/10, тел. раб. (0572) 349-47-77, тел. (068)319-12-54. Панкратов Александр Викторович, д-р техн. наук, старший научный сотрудник отдела математического моделирования и оптимального проектирования Института проблем машиностроения НАНУ им. А. Н. Подгорного. Адрес: Украина, 61046, Харьков,
ул. Дм. Пожарского, 2/10, тел.: раб. (0572) 349-47-77, моб. (067)681-95-10.
