CC BY
93
Перчёнок Олег Владимирович
КВАНТОВОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ АЛГОРИТМА ДОЙЧА В СРЕДЕ МАТЬАВ^ШиЬШК
Аннотация
Статья посвящена имитационному моделированию квантового алгоритма Дойча в среде МЛТЬЛБ/БтиИпк.
Ключевые слова: квантовый алгоритм Дойча, МЛТЬЛБ, 81ши1шк.
ВВЕДЕНИЕ
Необходимость построения квантового компьютера и разработки схемы квантовых вычислений возникает по двум причинам. Первая причина - технологическая. Фактическое развитие технологии изготовления больших интегральных схем неизбежно приводит к тому, что для записи бита классической информации требуются все более и более микроскопические объекты, по существу отдельные атомы и молекулы. Поведение этих объектов не укладывается в рамки классического описания, поэтому для дальнейшего развития таких технологий необходимо решать проблему организации вычислений на квантовых объектах.
Вторая причина, которая стимулирует исследования в области квантовых компьютеров, - это проявляющиеся принципиальные ограничения, которые возникают при использовании классических компьютеров для исполнения многих практически важных алгоритмов. Например, для факторизации (разложения на простые множители) 250-значного числа на существующих компьютерах потребуется примерно миллион лет! На квантовом компьютере разложение даже 1000-значного числа завершится всего за миллион шагов. Ввиду того, что данный алгоритм широко используется в криптографии, нельзя недооценивать возможность возникновения квантового компьютера. Кроме этого, принципиальным достоин-
© О.В. Перчёнок, 2010
ством квантовых вычислений является возможность осуществления параллелизма вычислений, принципиально недоступного в классических устройствах. Пример данного свойства - возможность вычисления глобального свойства функции с помощью алгоритма Дойча (подробнее см. п. 1).
В Санкт-Петербургском Государственном Электротехническом Университете (СПбГЭТУ «ЛЭТИ») исследованиями в области квантовых компьютеров занимается кафедра Систем автоматического проектирования (САПР) факультета Компьютерных технологий и информатики (ФКТИ). Автор статьи под руководством старшего преподавателя кафедры САПР Матвеевой И.В. в ноябре-декабре 2009 года выполнил работу по моделированию нескольких квантовых объектов информации в среде МЛТЬЛБ/81ши1тк. Среди них - квантовая цепь алгоритма Дойча, которому посвящена данная статья.
1. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ [1; 2]
В классической теории состояние определяется заданием всех координат и скоростей составных частей системы в определенный момент времени. В квантовой теории квантовое состояние - это полный набор данных (физических величин), определяющих свойства системы. Какие именно данные его определяют, зависит от конкретной системы. Так как состояние - совокупный набор данных, то можно сказать, что состояние есть вектор.
В квантовой теории информации аналогом классического бита является квантовый бит (кубит). Классический бит обладает двумя булевыми состояниями 0 или 1, принимаемыми с вероятностями либо P(0) = 1, либо P(1) = 1. Кубит, в отличие от него, находится одновременно сразу в обоих своих базисных состояниях, то есть образует когерентную суперпозицию базисные квантовыа состояний, которая в случае чистого (когерентного) квантового состояния описывается одним из двух эквивалентных способов, а именно:
а) вектором состояния, представляемым вектором-столбцом длиной 2:
\y) = a\ 0) + b i) =
a4
a2+b2=1, (!)
где а, | - комплексные амплитуды, \а\ ||2 - вероятности, с которыми кубит находится в базисных состояниях 0) =
11 =
0
0
V /
1
\ /
б) матрицей плотности:
2
D
\
* t
ab
(2)
a b b\
У /
Любая логическая операция с кубита-ми называется квантовым вентилем (преобразователем), или (в англоязычной литературе) гейтом (англ. gate - ворота). По числу кубитов преобразователи делятся на одно- и многокубитные. Преобразователь переводит одно состояние кубита (а в мно-гокубитном случае - квантового регистра) в другое.
Для демонстрации действия квантового преобразователя на кубиты используют матричную запись оператора.
Для того чтобы получить вектор состояния результирующего кубита \yout), необходимо умножить вектор состояния исход-
ного кубита на матрицу преобразо-
вания М:
Ю = Ю М . (3)
Для того чтобы получить матрицу плотности результирующего регистра Боц4 из
матрицы плотности исходного регистра Б1п с помощью матрицы преобразования М, необходимо воспользоваться следующей формулой:
D
M • D • M
T
, t ^ . (4)
out in v /
Рассмотрим однокубитные гейты: Ада-мара и NOT. Приведем их матрицы (H и NOT соответственно):
H
1
42
11 i -1
NOT =
01 10
Набор N кубитов составляет квантовыш регистр. Принципиальным моментом теории является то, что этот регистр в общем случае также подчиняется принципу суперпозиции и находится одновременно во всех своих базовых классических состояниях, число которых Q = 2^
Общее состояние такой системы куби-тов описывается тензорным произведением входящих в нее кубитов. Для матриц произведение Кронекера (тензорное) выполняется по правилу:
а Ь \ (а В Ь В4
® В = её сВ ёВ
A ® B =
(5)
Одним из базовых двухкубитных преобразователей является преобразователь контролируемое НЕ (CNOT). При своем воздействии на двухкубитный регистр этот оператор оставляет первый кубит (Control) без изменения, а второй (Target) инвертирует, если Control равен 11, иначе оставляет без изменения. На рис. 1 помещено схематическое изображение CNOT. Приведем матрицу CNOT:
CNOT =
00 00
00 00
Далее перейдем к рассмотрению задачи Дойча и алгоритма, обеспечивающего ее решение [2].
Пусть имеются четыре бинарные функции /г (х) от двоичной переменной х = 0,1. При этом функции /1 и /2 постоянны и принимают значения /1 (х) = 0, /2 (х) = 1, функции /3 и /4 принимают значения /3( х) = х, /4( х) = |Х. Говорят, что функции
Рис. 1. Оператор СШТ
/3 и /4 сбалансированы. В задаче Дойча требуется определить, к какой группе (постоянные или сбалансированные) относится функция / (х).
Классическое решение такой задачи предполагает проведение как минимум двух операций - вычисление / (0) и / (1). Квантовый алгоритм позволяет решить задачу за одну операцию - квантовую цепь (цепь из квантовых гейтов) алгоритма Дойча (рис. 2).
На входе цепи находится двухкубитный регистр, состояние которого постоянно:
Уо) = I0) ® 11 = I01) .
Сначала на каждый из кубитов входного регистра действуем преобразованием Адамара Н. Далее к получившемуся регистру применяем оператор и, который представляется четырьмя матрицами размерности 4 X 4, определяющими четыре возможные функции / (х):
U =
U =
U =
U =
где I =
0 0 0 0
1 0 00 00 01
00 10 00 01
10 00 01 00
= I ® I;
= I ® NOT;
= CNOT;
И, наконец, воздействуя на первый из результирующих кубитов оператором Ада-мара, получим выходной регистр, состояние которого зависит от функции / (х):
10 -11
Уз = ±| f (0) © f (1))
42
Таким образом, измеряя состояние первого выходного кубита, можно получить значение f (0) © f (1), то есть квантовая цепь дает возможность определить глобальное свойство функции f (x), используя только одно вычисление f (x). Это явление называется квантовым параллелизмом.
Если состояние первого кубита на выходе цепи Ю, то f12(x) - постоянные функции. Если состояние первого кубита на выходе цепи Ц , то f3 4 (x) - сбалансированные функции. Существенно, что при этом не вычисляются значения самих функций. Квантовый компьютер выделяет «глобальную» информацию из суперпозиции состояний.
2. ОПИСАНИЕ СРЕДЫ МОДЕЛИРОВАНИЯ [3]
MATLAB (сокращение от англ. «Matrix Laboratory») - термин, относящийся к пакету прикладных программ фирмы Mathworks Inc. для решения задач технических вычислений и имитационного моделирования, а также к используемому в этом пакете языку программирования.
Язык MATLAB является высокоуровневым интерпретируемым языком программирования, включающим основанные на матрицах структуры данных, широкий спектр функций, интегрированную среду разработ-
= CNOT(I ® NOT) ,
единичная матрица.
Рис. 2. Квантовая цепь алгоритма Дойча
ки, объектно-ориентированные возможности и интерфейсы к программам, написанным на других языках программирования.
Программы, написанные на MATLAB, бывают двух типов - функции и сценарии (англ. scripts). Функции имеют входные и выходные аргументы, а также собственное рабочее пространство для хранения промежуточных результатов вычислений и переменных. Сценарии же используют общее рабочее пространство. Как сценарии, так и функции не компилируются в машинный код и сохраняются в виде текстовых файлов. Основной особенностью языка MATLAB является его широкие возможности по работе с матрицами, которые создатели языка выразили в лозунге «думай векторно».
Simulink - это компонент среды MATLAB, предназначенный для структурно-функционального имитационного моделирования и анализа динамических систем. Он состоит из инструмента составления блочных диаграмм и изменяемого набора библиотек блоков (элементов). Simulink позволяет провести интеграцию построенных диаграмм c остальной средой MATLAB. Возможен вызов на выполнение моделей Simulink из сценариев и функций MATLAB и вызов функций MATLAB из блоков Simulink. Компонент широко используется в области теории управления и цифровой обработки сигналов для моделирования и проектирования.
3. ОПИСАНИЕ МОДЕЛИ
Модель квантовой цепи алгоритма Дойча была построена в Simulink. Изобразим ее на рис. 3.
На вход цепи подаются вектора состояний двух кубитов Q1 и Q2 и номер функции (Number of function) i. На каждый из кубитов действуем оператором Адамара (функция H1, см. п. 4.1). Далее к преобразованным кубитам применяем оператор Uf. Данное преобразование реализуется с помощью функции apply_Uf (см. п. 4.2). И наконец, к первому из результирующих ку-битов применяем оператор Адамара (функция H_on_1, см. п. 4.3). На выходе получаем вектора состояний двух результирующих кубитов Q1' и Q2'.
Модель может функционировать в двух режимах.
Режим «калькулятора» (РК) - режим демонстрации модели, при котором входные величины вводятся непосредственно во входные блоки, а запуск модели происходит в окне модели Simulink. Выходные значения изображаются в блоках Display, напоминающих дисплей калькулятора.
Режим временных диаграмм (РВД) - режим демонстрации модели, при котором входные величины вводятся во входные блоки через сценарий визуализации, который изображает временные диаграммы. Непосредственно в блоки ставятся имена переменных. Запуск модели осуществляется в
Щ MAT LAS P*1!
U J Function
Q1
НИ (и)
Г
ш
MATLAE Function
Р*11
Q2
H1(uL
Number of function
[5*1]
MATLAB ;4x4^ MATLAB
Function Function
д p p ly_ Uffu')
H_on_1(u)
St!
нНШ
Щ
si m out
Рис. 3
To Woitepace
среде MATLAB с помощью сценария визуализации.
Для ввода исходных кубитов используется элемент Constant, в котором указываются непосредственно векторы состояния кубитов. Для ввода номера функции используется элемент Constant, в котором указывается непосредственно число (при функционировании модели в РК) или переменная i (при функционировании модели в РВД).
Для вызова функций H1, apply_Uf, H_on_1 используются блоки MATLAB Function.
Для вывода выходных кубитов Q1' и Q2' используются блоки Display (обеспечивают РК) и блок To Workspace (обеспечивает вывод объединенного вектора из векторов состояния Q1', Q2' в переменную simout для демонстрации модели в РВД). Блок Display, выводящий кубит Q2' свернут, так как значение вектора состояния этого ку-бита нас не интересует.
4. ОПИСАНИЕ ФУНКЦИЙ MATLAB, ИСПОЛЬЗУЕМЫХ В МОДЕЛИ
4.1. ФУНКЦИЯ H1
Для осуществления преобразования Ада-мара разработана функция H1.
Формат вы13ова: Q1=H1(Q).
Параметрыi: Q - вектор состояния исходного кубита.
Возвращаемое значение: Q1 - вектор состояния выходного кубита.
Приведем листинг функции H1 (см. листинг 1).
Описание алгоритма.
Осуществляется вычисление вектора состояния выходного кубита на основе вектора состояния входного кубита и матрицы Адамара по формуле (3).
В функции используется глобальная переменная (фактически константа) Hadamard. Она представляет собой матрицу Адамара и, как и все последующие используемые константы, задается в специально разработанной функции define_globals.
4.2. ФУНКЦИЯ APPLY_UF
Для осуществления преобразования разработана функция apply_Uf.
Формат вы1зова: newstate = apply_Uf(QQ)
Параметры : QQ - вектор, представляющий собой последовательное объединение векторов состояний исходных кубитов и номера функции.
Возвращаемое значение: newstate - матрица плотности выходного регистра.
Приведем листинг функции apply_Uf (см. листинг 2).
Описание алгоритма.
Формируем трехмерный массив, другими словами, массив матриц операторов.
Из частей исходного объединенного вектора QQ c помощью специально разработанной функции density, действующей по формуле (2), получаем матрицы плотности исходных кубитов, выделяем номер функции i. Далее посредством встроенной функции MATLAB kron, реализующей тензорное произведение матриц - формула (5) -формируем матрицу плотности входного регистра. На полученную матрицу действуем оператором по формуле (4), извлекая нужную матрицу из трехмерного массива.
4.3. ФУНКЦИЯ H_ON_1
Для воздействия оператором Адамара на первый кубит в двухкубитном регистре разработана функция H_on_1.
Листинг 1
% hi.m однокубитное преобразование Адамара function Q1 = H1(Q) global Hadamard; Q1=Hadamard*Q;
Листинг 2
% apply_Uf.m Применение операторов Uf1-Uf4 в алгоритме Дойча function newstate = apply_Uf(QQ)
global I2x2; global NotGate; global CNotGate; % определение операторов постоянных функций Uf(:,:,1)=eye(4); Uf(:,:,2)=kron(I2x2,NotGate);
% определение операторов сбалансированных функций
Uf(:,:,3)=CNotGate;
Uf(:,:,4)=CNotGate*Uf(:,:,2);
pq1=density(QQ(1:2)); % получение матриц плотностей исходных кубитов pq2=density(QQ(3:4)); % по векторам состояния i=QQ(5); % получение заданного номера функции
state = kron(pq1,pq2); % получение состояния исходного регистра % применение оператора заданной функции newstate = Uf(:,:,i) * state * Uf(:,:,i)';
Формат вызова: newQQ=H_on_1(state1) Параметры: state1 - матрица плотности входного регистра
Возвращаемое значение: newQQ - вектор, представляющий собой последовательное объединение векторов состояний выходных кубитов.
Приведем листинг функции Н_оп_1 (см. листинг 3).
Описание алгоритма. Формируем матрицу М оператора с помощью функции кгоп из матрицы Адамара и единичной матрицы. На матрицу плотности исходного регистра действуем оператором М по формуле (4). После этого из результирующей матрицы выделяем плотности выходных кубитов с помощью функции den_from_state, из которых, в свою очередь, восстанавливаем вектора состоя-
ний посредством функции restore_qubit. И, наконец, формируем выходной объединенный вектор из векторов состояний кубитов результирующего регистра.
Функции den_from_state и restore_qubit разработаны автором статьи.
5. ДЕМОНСТРАЦИЯ РАБОТЫ МОДЕЛИ
Приведем извлечение из протокола тестирования модели в PK:
Проделана следующая последовательность действий:
1. Вызов функции define_globals из командной строки MATLAB.
2. Открытие файла модели Simulink «Deutsch. mdl».
3. Перебор всех возможный значений входны1х номера функции в модели Simulink:
Листинг 3
% H_on_1.m Воздействие преобразователя Адамара на первый кубит % в двухкубитном состоянии function newQQ=H_on_1(state1)
global Hadamard; global I2x2;
M=kron(Hadamard,I2x2); % подготовка матрицы оператора state = M * state1 * M'; % применение оператора
pq1=den_from_state(1,state); % получение матриц плотностей кубитов из pq2=den_from_state(2,state); % состояния результирующего регистра q1=restore_qubit(pq1); % получение векторов состояния из q2=restore_qubit(pq2); % матриц плотности newQQ=[q1 q2]';
Рис. 4. Вид окна модели при тестировании в режиме «калькулятора»
1,2,3,4. Для каждого значения осуществлялся его ввод в блок Constant «Number of function» модели Simulink и производился запуск. После окончания работы модели на верхнем блоке Display отображались результатыi, совпадающие с теоретическими. На рис. 4 изобразим вид окна модели после запуска со входным значением i = 1.
Перейдем к описанию демонстрации модели в РВД. Для данной демонстрации был разработан сценарий визуализации, выводящий временные диаграммы векторов состояний входных кубитов, номера функции и вектора состояния первого выходного ку-бита. Приведем извлечение из протокола тестирования модели в РВД:
Проделана следующая последовательность действий:
1. Открытие файла сценария визуализации «DeutschSim.m» в среде MATLAB.
2. Запуск сценария. В процессе его отработки сформировалось окно «Figure 1» («Изображение 1»). Содержимое окна представляет собой временныье диаграммыь (см. рис. 5). По диаграммам установлено, что результаты моделирования совпадают с теоретическими.
Рис. 5. Вид окна изображения при тестировании в режиме вектроных диаграмм
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
У читателя может возникнуть вопрос: «Почему для моделирования использовалась именно среда MATLAB/Simulink?» Действительно, существуют и другие средства, которые используются для моделирования квантовых объектов (так называемые квантовые си-муляторы). Например [4]:
• Библиотеки функций для языков программирования (C/C++, Java, LISP и др.)
• Симуляторы, созданные в математических пакетах (Maple, Mathematica и др.)
• Online-симуляторы (Quantum eXpress, GQC и др.)
Однако перечисленные выше средства не столь известны среди ученых различного профиля, как
MATLAB. Этот инструмент используют более миллиона инженерных и научных работников, он функционирует на большинстве современных операционных систем, включая GNU/Linux, Mac OS, Solaris и Microsoft Windows [3].
Существуют также библиотеки функций и сценариев MATLAB, моделирующие работу квантового компьютера [4] (например, CS 596 Quantum Computing, QLib). Но в этих решениях не используется Simulink, из-за этого они менее наглядны, чем описанная работа.
Привлечеиие специалистов из разных областей к исследованиям, связанным с квантовым компьютером, ускорило бы приближение к конечной цели - физической реализации квантового компьютера. Данная статья вносит некоторый вклад в такую «РЯ-кампанию». Кроме этого, МАТЬАБ изучают во многих технических вузах. Введение курса лабораторных работ по квантовому моделированию в среде МАТЬАБ вовлекло бы заинтересовавшихся студентов в эту область информатики будущего, которое постепенно становится настоящим.
Литература
1. Герасимов И.В., Калмычков В.А., Лозовой Л.Н. Комплементарное моделирование в средах САПР: виртуализация квантовых объектов информации. СПб.: Изд-во СПбГЭТУ «ЛЭТИ», 2007.
2. Deutsch D. Quantum Theory the Church-Turing Principle and the Universal Quantum Computer. Proc. Roy. Soc. London, 1985, V A400, # 1818, p. 57 / Перевод с англ. под ред. В.А. Садовничего: Сборник «Квантовый компьютер и квантовые вычисления». Ижевск. Ред. журн. «Регулярная и хаотическая динамика», 1999.
3. Википедия - свободная энциклопедия: http://www.wikipedia.org
4. Quantiki - энциклопедия по квантовому компьютеру: http://www.quantiki.org/wiki/index.php/ List of QC simulators
5. И.В. Герасимов, В.А. Калмычков, И.В. Матвеева, Л.А. Чугунов. Представление данных, исследования и визуализация в среде «Matlab». Практикум по дисциплине: «Информатика». СПб.: Изд-во СПбГЭТУ «ЛЭТИ», 2006.
6. Потемкин В.Г. MATLAB 6: среда проектирования инженерных приложений. М.: Диалог-МИФИ, 2003.
Abstract
The article is devoted to quantum Deutsch's algorithm simulation in the MATLAB/ Simulink environment.
Keywords: quantum Deutsch's algorithm, MATLAB, Simulink.
© Наши авторы, 2010. Our authors, 2010.
Перчёнок Олег Владимирович, магистрант 2 курса магистратуры СПбГЭТУ «ЛЭТИ», факультет Компьютерные технологий и информатики (ФКТИ), кафедра Автоматики и процессов управления (АПУ)
olegperch @mail. ru
