CC BY
90
УДК 514.185
В. А. КОРОТКИЙ
Южно-Уральский государственный университет, г. Челябинск
КВАДРАТИЧНОЕ
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ПЛОСКОСТИ, УСТАНОВЛЕННОЕ ПУЧКОМ КОНИЧЕСКИХ СЕЧЕНИЙ
Рассмотрены все варианты квадратичного кремонова преобразования, установленного пучком конических сечений, возникающие при совпадении в различных комбинациях базисных точек пучка. Даны примеры использования рассмотренного преобразования в задачах геометрического моделирования. Составлена программа построения кривой второго порядка, заданной набором пяти точек и касательных, имеющая широкую область практического применения.
Ключевые слова: кривая второго порядка, пучок кривых второго порядка, полярное соответствие, пучок окружностей, гомология, квадратичная инволюция.
Пусть поляритет задан автополярным треугольником F1F2F3 и полярой р точки Р. Если точка Р неподвижна, а ее поляра меняется в пучке Р', то полярные соответствия образуют пучок ^^^3)(РР'). Пучок поляритетов ставит в соответствие каждой точке X плоскости пучок X' поляр [1]. Покажем в терминах инцидентности, что это свойство справедливо и для пучка конических сечений.
Теорема 1. Поляры точки X относительно всех конических сечений пучка пересекаются в одной точке X'.
Доказательство. Выделим произвольное коническое сечение к2 пучка, заданного базисными точками АВСБ и зафиксируем на плоскости произвольную точку X (рис. 1). Соединим точку X с точками А,В,С,Б и отметим на конике точки А',В',С',Б', соответственные базисным точкам в гармонической гомологии рД,х) с центром X и осью х, где х — поляра точки X относительно к2. Ось х проходит через точки К = ВСПВ'С' и К'=АБПА'Б'. Рассмотрим полный четырехугольник KGK'F1. Его вершины F1=АDПВС и G=А'D'ПВ'С' взаимно соответственны в гомологии рД,х), поэтому диагональ F1G проходит через X. Вершины L = KF1ПGK' и L' = K'F1ПGK также соответственны в р, следовательно, точки X,X',L,L, образуют на диагонали m=LL' рассматриваемого четырехугольника гармоническую четверку (здесь X' = mПx). Далее рассмотрим полный четырехугольник ТНТТ2, вершины которого Т = АВПА'В' и Т' = СБПС'Б' инцидентны оси х. Вершины F2 = = АВПСБ и Н = А'В'ПС'Б' соответственны в р, поэтому диагональ F2H проходит через X. Покажем, что вершины E = F2TПHT' и E' = F2T'ПHT инцидентны прямой т. Действительно, противоположные стороны шестиугольника АБСС'В'А', вписанного в коническое сечение к2, пересекаются в трех точках и=АБПВ'С', Е' = СБПА'В', X=СС'ПАА', лежащих, в соответствии с теоремой Паскаля, на одной прямой т. Точки Е и Е' соответственны в инволюционной гомологии р, поэтому точка Е также инцидентна прямой т, причем КД'^Е' — гармоническая четверка точек.
Таким образом, точки X,X' — общая гармоническая пара для двух пар точек L,L' и Е,Е' на прямой т,
поэтому поляры точки X относительно вырожденных конических сечений АВПСБ и АБПВС пересекают прямую т в одной и той же точке X'. Поляра х точки X относительно произвольного конического сечения к2 также инцидентна точке X', следовательно, в X' пересекаются поляры точки X относительно всех конических сечений пучка АВСБ, ч.т.д.
Теорема 2. Если конические сечения пучка пересекают некоторую прямую т, не проходящую через базисные точки пучка, в парах точек гиперболической инволюции с двойными точками X,X', то множество инволюций сопряженных точек (как гиперболических, так и эллиптических), установленных всеми кониками пучка на прямой т (как пересекающими, так и не пересекающими эту прямую), содержит общую пару X,X'.
Доказательство. Точки X,X' сопряжены в поляритете, установленном любой коникой пучка, пересекающей прямую т (так как в гиперболической инволюции двойные точки делят гармонически любую пару соответственных точек). Следовательно, поляры точки X относительно всех конических сечений пучка, пересекающих прямую т, пересекаются в точке X'. Но, согласно теореме 1, поляры точки X относительно конических сечений пучка, не пересекающих прямую т, также должны пересекаться в той же точке X'. Теорема доказана. Ее можно рассматривать как дополнение ко второй теореме Дезарга, в которой говорится лишь о тех кониках пучка, которые пересекают данную прямую т.
Инволюционное преобразование 12ДД'), ставящее в соответствие точке X точку пересечения X' ее поляр относительно пучка полярных соответствий ^^^3)(РР') или пучка конических сечений АВСБ, есть частный случай квадратичного кремонова преобразования плоскости [2]. Преобразование 12 имеет девять специализаций, возникающих при совпадении в различных комбинациях базисных точек А,В,С,Б [3].
1. А,В,С,Б — четыре действительные и различные точки. Вершины F1,F2,F3 автополярного треугольника, общего для всех коник пучка, действительны и различны. Гомалоид д2 произвольной прямой д проходит через F1,F2,F3 и пересекается с д в
ОМСКИЙ НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК № 1 (117) 2013 ИНЖЕНЕРНАЯ ГЕОМЕТРИЯ И КОМПЬЮТЕРНАЯ ГРАФИКА
ИНЖЕНЕРНАЯ ГЕОМЕТРИЯ И КОМПЬЮТЕРНАЯ ГРАФИКА ОМСКИЙ НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК № 1 (117) 2013
Рис. 1
соответственных точках X~X' преобразования 12 (рис. 2). Согласно теореме 2, точки X,X' — общая пара инволюций сопряженных точек, установленных всеми кониками пучка АВСБ на прямой д. В соответствии с теоремой 1, преобразование 12 вполне определено двумя поляритетами, установленными двумя кониками пучка, в качестве которых можно выделить из пучка любую пару вырожденных конических сечений. В этом случае квадратичная инволюция 12 конструктивно задается гиперболическими инволюционными проективитетами в F-пучках с двойными прямыми, проходящими через базисные
точки пучка: FjX-FjX', F2X~F2X', F3X~F3X' (согласно теореме Гессе для полного четырехугольника, две инволюции определяют третью).
2. Точки А и В действительны и различны, С и D сливаются в одну точку Q, в которой все коники пучка имеют общую касательную t. Пучок содержит три вырожденных конических сечения: конику lnt и считаемую дважды конику тПп (рис. 3). Стороны ft, f2 = f3 = t автополярного треугольника FtF2F3 (Ft = l П t, F2 = F3 = Q) гармонически сопряжены с прямыми m,n. Гомалоид g2 произвольной прямой g касается прямой f в точке Q. Рассматриваемая специализация вполне определена гиперболическими инволюциями в пучках Fj(l,t) и Q(m,n), где Q инцидентна одной из двойных прямых l,t инволюции Fr
3. Точки A,B,C,D действительны, но А,В сливаются в одну точку Р и C,D сливаются в одну точку Q (рис. 4). Все конические сечения пучка имеют одну и ту же касательную m=FtP в точке Р и одну и ту же касательную n = FtQ в точке Q. Пучок конических сечений определен гиперболической инволюцией p(P,Q) на прямой f и точкой Ft: через каждую точку плоскости пройдет единственная коника, по отношению к которой Fj и f будут полюсом и полярой, а инволюция p(P,Q) — инволюцией сопряженных точек [3]. Автополярный треугольник не будет единственным: любая пара точек F2,F3, гармонически делящая пару P,Q, образует с Ft автополярный треугольник, общий для всех конических сечений пучка. Произвольно указанная точка X плоскости может считаться лежащей на стороне f3 = FtF2 автополярного треугольника, поэтому в инволюции I2 точке X, как и всем точкам прямой f3, соответствует точка, лежащая на стороне ft = PQ. Таким образом, вся сеть гомалоидов вырождается в прямую fr
4. Точка А действительная, три остальные действительные точки B,C,D сливаются в одну точку Q (рис. 5). Конические сечения пучка имеют в точке Q общий круг кривизны и связаны элацией с центром Q и осью l = AQ. Пучок содержит считаемую трижды вырожденную конику lnt, где t — общая касательная в точке Q ко всем коникам пучка. Верши-
ны F1,F2,F3 автополярного треугольника совпадают с Q, а его стороны — с прямой t. Рассматрива-
емый пучок конических сечений вполне определен базисными точками АД с указанным в Q общим кругом кривизны. Пучок может быть задан другим набором инциденций, например, базисными точками АД с указанной в Q общей касательной t и парой не лежащих на 1 сопряженных точек Х,Х', где (ШХ,1ДХ')=-1.
Для конструктивного построения точек, соответственных в 12, выделяют из пучка конических сечений два произвольных поляритета. В качестве ядра одного из них используется вырожденная коника 1П1 Другой поляритет может быть выделен инволюцией сопряженных точек рД,А) на прямой 1, произвольно указанным на t полюсом Р этой прямой и парой сопряженных точек Х,Х'. При этом построение сопряженных элементов выполняется одной линейкой [4]. Произвольная прямая д преобразуется в гомалоид д2, проходящий через Q, причем все гомалоиды имеют в Q общий круг кривизны. Заметим, что рассмотренная специализация инволюции 12 преобразует произвольную конику к2 пучка АВСБ в считаемую дважды прямую t и в кривую второго порядка, имеющую в точке Q касательную ^ а в точке А — общую касательную с к2.
5. Все четыре действительные точки А,В,С,Б сливаются в одну точку Q. Конические сечения пучка связаны элацией с осью 1 и центром Q (рис. 6). Прямая 1 представляет собой три пары совпавших вырожденных кривых второго порядка в пучке коник, находящихся в четырехточечном соприкосновении. Все точки произвольного луча QX в инволюции 12 преобразуются в единственную точку X' на оси 1. Сеть гомалоидов вырождается в прямую 1.
6. Точки А,В — действительные и различные, С и Б — мнимые сопряженные точки. Пучок содержит вырожденную конику Ют, где 1 = АВ, т=СБ. Если пучок задан двумя начерченными кониками, то прямая т определяется как ось связывающей их гомологии. Общий автополярный треугольник образован вершиной F1 = 1Пm и стороной ^ несущей ряд полюсов прямой 1 относительно всех конических сечений пучка (рис. 7). Вершины F2,F3 автопо-лярного треугольника — мнимые двойные точки эллиптической инволюции, установленной точками пересечения конических сечений пучка с прямой ^ Пучок может быть задан либо двумя начерченными кониками, либо гиперболической и эллиптической инволюциями сопряженных точек, установленными на 1,т.
Для конструктивного построения точек Х,Х', соответственных в квадратичной инволюции 12, выделяют два поляритета. Один поляритет может быть задан вырожденной коникой 1Пт, другой — базисными точками А,В на прямой 1, полюсом этой прямой и парой точек, сопряженных в эллиптической инволюции на т. При этом построение соответственных в 12 точек выполняется одной линейкой [4]. Гомалоид д2 произвольной прямой д инцидентен действительной вершине F1 автополярного треугольника и двум мнимым вершинам F2,F3, то есть устанавливает на 1 эллиптическую инволюцию сопряженных точек с мнимыми двойными точками F2,F3.
7. Действительные точки А,В сливаются в одну точку Q, а С,Б — мнимые сопряженные точки. Общий автополярный треугольник образован вершинами F1 = tПm и F2=F3 = Q, где t = АВ, т= СБ (рис. 8). Любая пара конических сечений пучка связана четырьмя гомологиями, центры которых инцидентны
Рис. 8
ОМСКИЙ НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК № 1 (117) 2013 ИНЖЕНЕРНАЯ ГЕОМЕТРИЯ И КОМПЬЮТЕРНАЯ ГРАФИКА
11
ИНЖЕНЕРНАЯ ГЕОМЕТРИЯ И КОМПЬЮТЕРНАЯ ГРАФИКА ОМСКИЙ НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК № 1 (117) 2013
Рис. 9 /
Рис. 10
стороне ^ = F2F3, а оси совпадают с ^т. Пучок вполне определен двойной базисной точкой Q на прямой t и эллиптической инволюцией а(С,Б) на т. Как и в предыдущих специализациях, для конструктивного построения точек, соответственных в 12, выделяют из пучка два поляритета, один из которых может быть задан вырожденной коникой Ют. Другой поляритет выделяют с учетом того, что ^ = QF'1 — общая поляра точки F1 относительно всех коник пучка, где F'1 сопряжена с F1 в инволюции а. Построения выполняются одной линейкой, без вычерчивания конических сечений пучка.
8. Все четыре точки А,В и С,Б — мнимые, попарно сопряженные. Пучок содержит вырожденную конику, распавшуюся на две действительные прямые т = АВ, 1 = СБ. На т все коники пучка устанавливают эллиптическую инволюцию сопряженных точек а(А,В), на 1 — эллиптическую инволюцию р(С,Б). Точка пересечения прямых т,1 определяет одну из F-точек преобразования 12. Составляя уравнение пучка кривых второго порядка к1+Хк2=0 и приравнивая нулю дискриминант этого уравнения, получаем характеристическое уравнение третьего порядка относительно X, имеющее для рассматриваемого случая (все точки пересечения данных коник — мнимые) три действительных корня. Одному из корней соответствует коника, распавшаяся на пару действительных прямых тП1, двум другим корням соответствуют две пары мнимых сопряженных прямых [5]. Таким образом, построение вырожденной коники пучка сводится к решению уравнения третьей степени, что невыполнимо с помощью линейки и циркуля. F-точки могут быть найдены графически как точки пересечения гомалоидов а2,Ь2 двух произвольных прямых а,Ь (рис. 9). Построение точек пересечения гомалоидов геометрически эквивалентно решению алгебраического уравнения третьей степени, поскольку одна точка Я' их пересечения известна (в преобразовании 12 она соответствует точке Я пересечения исходных прямых а,Ь). Для вычерчивания гомалоидов используется программа
построения кривой второго порядка [6], алгоритм которой изложен в [7]. Программа выполняет геометрически точное построение главных диаметров кривой второго порядка, заданной пятью инциден-циями (точками и касательными). Вычерчивание непрерывной кривой обеспечивается с точностью используемого графического редактора. Рассматриваемая специализация преобразования 12 моделируется гиперболическим и эллиптическим инволюционными проективитетами в пучках с вершинами в F-точках (как и в случае пучка с действительными различными базисными точками, две инволюции определяют третью).
9. Пара мнимых сопряженных точек А,В совпадает с парой мнимых сопряженных точек С,Б, образуя мнимую сопряженную пару и,У. Через мнимые совпавшие точки проходят две совпадающие слабоинвариантные прямые преобразования 12, определяющие действительную вырожденную конику f пучка. Пучок вполне определен эллиптической инволюцией а(и,У) на прямой f и произвольно указанной точкой F: через каждую точку плоскости пройдет единственная коника, по отношению к которой F и f будут полюсом и полярой, а инволюция а(и,У) — инволюцией сопряженных точек (рис. 10). Все коники пучка преобразуются в себя в инволюционной гомологии с центром F и осью f и имеют мнимое двойное соприкосновение в мнимых двойных точках и,У инволюции а. Как и в случае попарного совпадения действительных базисных точек (см. третью специализацию), в рассматриваемом случае квадратичная инволюция 12 ставит в соответствие двупараметрическому множеству прямых единственный вырожденный гомалоид, состоящий из двух совпавших прямых £ Пучок конических сечений с двумя парами мнимых попарно совпавших базисных точек проективно эквивалентен пучку концентрических окружностей [8].
Таким образом, во всех специализациях, кроме восьмой, построение соответственных точек в квадратичной инволюции 12 выполняется одной линейкой. Рассмотрим примеры практического применения преобразования 12 в задачах геометрического моделирования.
Пример 1. Построить коническое сечение, принадлежащее пучку кривых второго порядка, проходящее через данную точку плоскости. Пучок задан двумя начерченными кониками, не имеющими действительных точек пересечения. С помощью [6] вычерчиваем гомалоиды двух произвольных прямых. Точки пересечения гомалоидов определяют вершины Fi автополярного треугольника, общего для всех конических сечений пучка. В одной из F-точек преобразование 12 индуцирует гиперболический проективитет с двойными прямыми т,п, на которых коники пучка устанавливают эллиптические инволюции ат и ап. Получаем известную задачу: построить коническое сечение, проходящее через данную точку и устанавливающее заданные эллиптические инволюции ат,ап на данных прямых т,п. Построение точек искомой коники выполняется одной линейкой. Двойные точки эллиптических инволюций ат,ап — мнимые попарно сопряженные базисные точки, в которых пересекаются мнимые алгебраические дополнения всех действительных конических сечений пучка [9].
Пример 2. Построить общую касательную двух непересекающихся конических сечений. Начертив с помощью [6] гомалоиды двух произвольных прямых, получаем F-точки преобразования 12. На-
ходим вырожденную конику тПп пучка, проходящую через одну из F-точек. Каждая из прямых т,п может считаться осью гомологии, с которыми ассоциированы два центра гомологии ТД инцидентные Упрямой. Общие касательные проходят через Т^ (рис. 11).
Отметим, что примеры 1,2 сводятся к построению общих хорд двух непересекающихся конических сечений. Эта задача решена в монографии [9] в предположении, что известен один из центров гомологии данных коник (как точка пересечения внешних касательных), но алгоритм построения общих касательных не рассматривается.
Пример 3. Преобразовать пучок непересекаю-щихся конических сечений в пучок окружностей. Решение состоит в поиске проективного преобразования, отображающего какую-либо пару мнимых базисных точек пучка в циклические точки плоскости. Очевидно, если все базисные точки вещественные, то задача не имеет решения. Если две базисные точки действительные, а две мнимые — задача решается одной линейкой [5]. Если все базисные точки мнимые — находим, как в предыдущих примерах, F-точки преобразования 12 и действительную вырожденную конику тПп пучка. На одной из прямых (например, на т) отмечаем две пары сопряженных точек А,А',В,В', и строим точку Лагерра L (рис. 12). Составляем гомологию с центром L, преобразующую т в несобственную прямую, а инволюцию сопряженных точек на т — в абсолютную инволюцию. Установленная таким образом гомология преобразует исходный пучок конических сечений в пучок окружностей.
Пример 4. Построить главные направления линейчатой квадрики, заданной тремя направляющими. Задача может быть решена алгебраически. Для этого составляют уравнение конической поверхности и определяют векторы главных направлений, решив характеристическое уравнение третьего порядка, имеющее для действительной квадрики три действительных корня.
Рассмотрим графический способ решения задачи. Пусть на ортогональном чертеже (рис. 13) асимптотический конус исследуемой квадрики задан направляющим эллипсом к(к1,к2) и вершиной S(S1,S2). В связке З^,¥) произвольному диаметру d конуса соответствует сопряженная диаметральная плоскость ¥, проходящая через середины хорд поверхности, параллельных диаметру d. Между связкой диаметров и связкой соответствующих диаметральных плоскостей установлено проективное соответствие. На любой плоскости, не проходящей через S1 это проективное соответствие порождает поляритет с действительным ядром. В плоскости П1 получаем поляритет X с ядром к1, в котором всякой точке Q = dПП1 соответствует ее поляра q относительно коники к1. В связке £(й,¥) имеются три пары взаимно перпендикулярных диаметров и сопряженных им диаметральных плоскостей. Это и есть искомые главные направления и плоскости симметрии исследуемой поверхности. Для их поиска дополнительно введем в рассмотрение ортогонально-полярное соответствие прямых и плоскостей в связке З^,Е), в котором каждой прямой d соответствует перпендикулярная ей плоскость !. Очевидно, двойные (совпавшие) элементы связок £(й,¥) и £(й,Е) дают решение задачи. Плоское сечение ортогональной связки 5(й,Е) индуцирует на П1 полярное соответствие а с мнимым ядром. В этом соответствии точке Q = dПП1 отвечает прямая q = ZПП1.
Рис. 12
Конструктивное построение точек и прямых, соответственных в поляритете а, выполняется с помощью вещественного заместителя мнимого ядра — дистанционной окружности г1. Опустим из З перпендикуляр ЗТ на горизонтальную плоскость проекций и начертим на ней окружность г1 радиусом ЗТ и центром Т1. Чтобы найти прямую q1, соответственную произвольной точке Q1 в поляритете а, предварительно построим поляру q1' точки Q1 относительно дистанционной окружности г1. Симметрично отобразив q1' относительно Т1, получаем искомую поляру q1.
Таким образом, на П1 установлен гиперболический поляритет х (с действительным ядром к1) и эллиптический поляритет а (с мнимым ядром). Для определения двойных элементов в связках £(й,¥) и 5(й,Е) следует построить автополярный треугольник общий для х и а. Всякая вершина и
ОМСКИЙ НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК № 1 (117) 2013 ИНЖЕНЕРНАЯ ГЕОМЕТРИЯ И КОМПЬЮТЕРНАЯ ГРАФИКА
ИНЖЕНЕРНАЯ ГЕОМЕТРИЯ И КОМПЬЮТЕРНАЯ ГРАФИКА ОМСКИЙ НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК № 1 (117) 2013
противолежащая сторона автополярного треугольника указывают общую пару сопряженных прямых и плоскостей в связках З^,¥) и З^,Е). Для построения и^У1^1 начертим с помощью программы [6] гомалоиды т21,п21 двух произвольных прямых т^п^ Точки пересечения гомалоидов доставляют
решение задачи: прямые SU,SУ,SW — искомые главные направления.
Вывод. Рассмотренный в статье тип квадратичной инволюции имеет теоретическое и прикладное значение, а разработанное программное средство [6] в сочетании с классическими методами проективной геометрии может быть эффективно использовано для точного конструктивного решения различных задач геометрического моделирования.
Библиографический список
1. Кокстер, Х. С. М. Действительная проективная плоскость / Х. С. М. Кокстер. — М. : ГИФМЛ, 1959. — 280 с.
2. Иванов, Г.С. Конструирование технических поверхностей / Г. С. Иванов. — М. : Машиностроение, 1987. — 188 с.
3. Глаголев, Н. А. Проективная геометрия / Н. А. Глаголев. — М. : Высшая школа, 1963. — 344 с.
4. Вольберг, О. А. Основные идеи проективной геометрии / О. А. Вольберг. — М — Л. : Учпедгиз, 1949. — 188 с.
5. Скопец, З. А. Преобразование двух кривых второго порядка в две окружности посредством гомологии / З. А. Скопец // Известия вузов. Математика. — 1964. — № 2 (39). — С. 139-143.
6. Свидетельство о государственной регистрации № 2011611961 от 04.03.2011. Построение кривой второго порядка, проходящей через данные точки и касающейся данных прямых (программа для ЭВМ) / Короткий В. А.
7. Короткий, В. А. Проективное построение коники, заданной пятью действительными элементами / В.А. Короткий. — М., 2010. — 44 с. — Деп. в ВИНИТИ 19.01.10, №13-В2010.
8. Пеклич, В. А. Мнимая начертательная геометрия / В. А. Пеклич. — М. : АСВ, 2007. — 103 с.
9. Гирш, А. Г. Наглядная мнимая геометрия / А. Г. Гирш. — М. : Маска, 2008. — 216 с.
КОРОТКИЙ Виктор Анатольевич, кандидат технических наук, доцент кафедры графики.
Адрес для переписки: 454080, г. Челябинск, пр. Ленина, 78.
Статья поступила в редакцию 15.10.2012 г.
© В. А. Короткий
УДК 5141 М. А. ЧИЖИК
М. Н. МОСКОВЦЕВ Д. П. МОНАСТЫРЕНКО
Омский государственный институт сервиса
ГЕОМЕТРИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ МНОГОФАКТОРНЫХ ПРОЦЕССОВ НА БАЗЕ ПРОЕКЦИОННЫХ АЛГОРИТМОВ
В статье рассмотрены способы построения чертежей многомерных объектов. Проанализированы алгоритмы конструирования моделей на чертеже Радищева. Сформулирован обобщенный алгоритм сечения многопараметрической поверхности плоскостью уровня на базе двухмерных вычислений, позволяющий получать результаты решений прикладных задач при различном числе входных и выходных параметров.
Ключевые слова: алгоритм, многомерная геометрия, моделирование, многофакторный процесс, проецирование, чертеж Радищева.
В условиях инноваций промышленности возникает необходимость решения сложных технических задач, требующих оперативного поиска оптимальных условий проведения технологических процессов. В этой связи особое значение имеет выбор метода моделирования.
Для моделирования процессов все шире используются методы многомерной геометрии, главным достоинством которых является возможность наглядного представления их в виде графических моделей, позволяющих с помощью современной компьютерной техники оперативно устанавливать
оптимальные режимы, параметры и характеристики исследуемых объектов.
В работах по начертательной геометрии многомерного пространства [1—2] предлагается ряд способов построения чертежей многомерных объектов на основе проекционного аппарата (рис. 1).
Недостатками всех приведенных выше моделей является то, что, по мере возрастания размерности, они становятся громоздкими, происходит наложение координатных плоскостей, сужая возможности выбора практически удобного вида чертежа. В результате этих трудностей в работах по начертатель-
