CC BY
28CUMULATIVE ESTIMATED VALUES OF STRUCTURAL NETWORK'S RELIABILITY INDICES AND THEIR USAGE
A. S. Rodionov
Institute of Computational Mathematics and Mathematical Geophysics of SB RAS
630090, Novosibirsk, Russian Federation
Tasks of obtaining and usage of exact cumulative expected values of some indices of a network's structural reliability, such as fc-terminal probabilistic connectivity (k-TPC), average pairwise connectivity (APC) and expected size of a subnetwork that contains some special node (MENC) are considered in the paper. While first index is well known and explored, last ones are not so. Note that APC characterizes network from a point of view of uses (it corresponds to a probability of establishing an arbitrary connection), and MENC is very important for estimating quality of a sensor or other monitoring network. Random non-oriented random graph with reliable nodes and unreliable edges that fails independently is used as a model of a network. At the same time the proposed approach can be used in the case of unreliable nodes also. The factoring method, exhaustive search, methods of reduction and decomposition are used as a base. Expected values are used for unambiguous decision making about network's reliability, designing evolutionary algorithms for structural optimization and obtaining approximate expected values that are more precious than cumulative ones obtained to the moment.
Exact cumulative expected values (lower LB, and upper UB) change (at least one of them) after obtaining value of an index used for some new realization of a network's structure in such a way, that after obtaining value of this index for a last possible realization both LB and UB become equal to an exact value of an index under consideration. The main idea is rather obvious one: when some values of an index with probabilities of corresponding realizations are obtained, we assume that all other realizations have possible minimal (for LB) or maximal (for UB) value of an index. This guarantees that exact value lays between LB and UB and that after last step LB, UB and exact value of and index are equal.
Key words: network reliability, reliability indeeies, estimation, optimization.
References
1. Jcrcb L. Network reliability: models, measure and analysis /7 Proceedings of the 6th IFIP Workshop on Performance Modeling and Evaluation of ATM Networks. 1998. P. T02/1 T02/10.
2. Yano A. and Wadavama T. Probabilistic analysis on network reliability problem. CoRR. V. abs/1105.5903, 2011. |()iilmc|. Available: http://arxiv.org/abs/1105.5903.
3. Tauro S.L., Palmer C.R., SigaN G., and Faloutsos M. A simple conceptual model for the internet topology /7 Proceedings of the Global Telecommunications Conference, 2001. GLOBECOM '01, San Antonio, TX, USA, 25 29 November, 2001. IEEE, 2001. P. 1667 1671. [Online]. Available: http://dx.doi.org/10.1109/GL0C0M.2001.965863.
4. Shooman A.M. Algorithms for network reliability and connection availability analysis /7 Electro/95 International. Professional Program Proceedings. .Jun. 1995. P. 309 333.
5. Sun F. and Shavman M. On the average pairwise connectivity of wireless multihop networks /7 Global Telecommunications Conference, 2005. GLOBECOM '05. IEEE. V. 3. Nov. 2005. P. 5.
6. Rodionov A. S. and Rodionova O.K. Exact bounds for average pairwise network reliability / / The 7th International Conference on Ubiquitous Information Management and Communication, ICUIMC '13, Kota Kinabalu, Malaysia. Jan. 17-19, 2013. ACM, 2013. R 45. [Online]. Available: http://doi. acm.org/10.1145/2448556.2448601.
7. Valiant L.G. The complexity of enumeration and reliability problems // SIAM Journal on Computing, 1979. V. 8. N 3. P. 410-421. [Online], Available: http://dx.doi.org/10.1137/0208032.
8. Bodlaender H. L., Bodlaender H. L., Wolle T. and Wolle T. A note on the complexity of network reliability problems. // IEEE Trans. Inf. Theory, 2004. V. 47. P. 1971-1988.
9. Deuermever B.L. A new approach for network reliability analysis // IEEE Transactions on Reliability, Oct'1982. V. R-31. N 4. P. 350-354.
10. Goval N. K., Misra R. B., and Chaturvedi S. K. Snem: a new approach to evaluate terminal pair reliability of communication networks // Journal of Quality in Maintenance Engineering. 2005. V. 11. N 3. P. 239-253. [Online], Available: http://dx.doi.org/10.1108/13552510510616450.
11. Xie M., Dai Y., and Poh K. Computing systems reliability — models and analysis. Kluwer, 2004.
12. Won J. M. and Karrav F. Cumulative update of all-terminal reliability for faster feasibility decision // IEEE Transactions on Reliability, Sept 2010. V. 59, N 3. P. 551-562.
13. Rodionova O.K., Rodionov A.S., and Choo H. Network probabilistic connectivity: Exact calculation with use of chains // Computational Science — ICCS 2004, 4th International Conference, Part I, ser. Lecture Notes in Computer Science, M. Bubak, G. D. van Albada, P. M. A. Sloot, and J. Dongarra, Eds. Springer Berlin Heidelberg, 2004. V. 3036. P. 565-568.
14. Rodionov A. and Rodionova O. Network probabilistic connectivity: Expectation of a number of disconnected pairs of nodes // High Performance Computing and Communications, ser. Lecture Notes in Computer Science, M. Gerndt and D. Kranzlmiiller, Eds. Springer Berlin Heidelberg, 2006. V. 4208. P. 101-109. [Online], Available: http://dx.doi.org/10.1007/11847366_ll.
15. Rodionov A., Rodionova O., and Choo H. On the expected value of a number of disconnected pairs of nodes in unreliable network // Computational Science and Its Applications — ICCSA 2007. Ser. Lecture Notes in Computer Science, O. Gervasi and M. Gavrilova, Eds. Springer Berlin Heidelberg, 2007, V. 4707, P. 534-543. [Online], Available: http://dx.doi.org/10.1007/978-3-540-74484-9_46.
16. Alexev D. A. M., Rodionov S. and Rodionova O.K. Improvements in the efficiency of cumulative updating of all-terminal network reliability // IEEE Trans. Reliability, 2012. V. 61. N 2. P. 460-465. [Online], Available: http://dx.doi.org/10.1109/TR.2012.2196172.
17. Wigderson A. The complexity of graph connectivity // Proceedings of the 17th Mathematical Foundations of Computer Science conference, Havel and Koubek (eds.), Lecture Notes in Computer Science 629, Springer-Verlag, 1992. P. 112-132.
18. Migov D. A., Nechunaeva K., Nesterov S., and Rodionov A. Cumulative updating of network reliability with diameter constraint and network topology optimization // Computational Science and Its Applications — ICCSA 2016, ser. Lecture Notes in Computer Science, Gervasi O., Murgante B., Misra S., Rocha A., Torre C., Taniar D., Apduhan B., Stankova E., and Wang S., Eds. Springer Berlin Heidelberg, 2016. V. 9786. P. 141-152.
КУМУЛЯТИВНЫЕ ОЦЕНКИ ПОКАЗАТЕЛЕЙ СТРУКТУРНОЙ НАДЕЖНОСТИ СЕТИ И ИХ ИСПОЛЬЗОВАНИЕ
А. С. Родионов
Институт вычислительной математики и математической геофизики СО РАН,
630090, Новосибирск, Россия
УДК 519.17
Рассматриваются вопросы получения и использования кумулятивных оценок структурной надежности сетей на примере k-терминальной связности, средней вероятности связности пары узлов и математического ожидания размера связншх) подграфа, еодержащмх) выделенную вершину (выделенные вершины). В качестве модели рассматривается неориентированный случайный граф с надежными вершинами и ненадежными, независимо выходящими из строя ребрами, однако подход может быть использован и в случае ненадежных вершин. В основе предлагаемых методов лежат метод факторизации, полный перебор и методы редукции и декомпозиции. Получаемые значения используются для принятия однозначных решений о надежности, проектирования эволюционных а.;п'оритмов структурной оптимизации и получения приближенных значений показателей надежности, более точных, чем полученные к моменту расчета кумулятивные оценки.
Ключевые слова: случайные графы, сетевая надежность, показатели надежности, структурная оптимизация.
NOTATION.
[G] — неориентированный случайный граф; [V] — множество n вершин; [E] — множество m ребер;
[ej,6j] — г-ое ребро или ребро, соединяющее г-ю и j-ю вершины, в зависимости от контекста;
[pj — надежность (вероятность существования) j-ro ребра; [wj] — вес вершины г, WT = (wi,... ,wn); [W(G)] — общий вес вершин G; [R(G)] — вероятность связности графа G;
[fj(G) (aj(G))] — вероятность связности (несвязности) вершин г и j в G. Если G известен из контекста, то используется просто fj (aj);
[N(G) (M(G))] — математическое ожидание числа несвязных (связных) пар вершин в
G
[C(G,s)] — математическое ожидание числа вершин в связном подграфе, содержащем выделенную вершину s; если s = 1, то просто C(G);
[.R(G) — средняя вероятность связности пары вершин в G;
Работа частично поддержана Проектом программы президиума РАН.
[С] — цепь из k ребер в\,... ,ek;
[G/C (G/e)] — граф, полученный из G стягиванием пары вершин по цепи С (ребру e); [G\C (G\e)] — подграф G, полученный удалением цепи С (ребра e). Введение. Одними из главных задач проектирования и модернизации сетей различного назначения являются анализ и оптимизация их надежности. На практике используются различные показатели надежности (см., например, [1, 2, 3]), Выбор показателя или набора показателей в существенной мере зависит от назначения сети. Наиболее популярны веетерминальная надежность или вероятность связности всех узлов сети (ATR) [4] и средняя вероятность связности пары узлов (APR) [5, 6]. Первый из этих показателей важен для сетей мониторинга, так как он эквивалентен вероятности связи всех узлов сети с выделенным узлом (управляющим узлом, центром обработки данных) и, соответственно, вероятности передачи сообщения от удаленного сенсора центру управления. Это крайне важно при мониторинге опасных производств, например при контроле уровня метана в шахтах. Второй показатель характеризует качество сети с точки зрения установления произвольного соединения, т, е, с точки зрения абонента. Еще одним интересным показателем является MENC — математическое ожидание размера связного подграфа, содержащего некоторую специальную вершину (c-вершину), соответствующую центру управления [1]. Этот показатель характеризует качество сенсорной беспроводной сети, В случае равномерного размещения сенсоров по площади он соответствует доле уверенно мониторируемой части области,
kk
выделенных вершин случайного графа) хорошо известна [7, 8], поэтому многими авторами исследуются методы получения приближенных значений показателя либо нахождения его границ [9, 10, 11]. Использование приближенных методов при принятии решения о надежности сети может привести к ошибкам как первого, так и второго рода. Использование границ может не дать решения, если заданный порог лежит между верхней и нижней границами (LB и UБ),
Дж. М. Вон (J, М. Won) и Ф. Каррэй (F. Karray) в работе [12] предложили использовать кумулятивные оценки границ, сходящиеся к точному значению вероятности связности случайного графа, для однозначного принятия решения о его надежности. Идея проста: при
LB UB
До и, ее л и LB > До или UB < R0, принимается однозначное решение о надежности, Обя-
LB
UB LB UB R
вычиелений. Как отмечалось, в рассматриваемой статье метод применялся по отношению к ATR. В [6] рассмотрено применение метода к APR.
В предлагаемом исследовании рассматриваются общие проблемы метода кумулятивных оценок и предлагаются приемы их решения на примере конкретных показателей, а также предлагается использование этих оценок для построения приближений и ускорения эволюционных (на примере генетического) алгоритмов.
Необходимым условием применения предлагаемых методов является ограниченность значений выбранного показателя,
1. Общий подход к построению и обновлению кумулятивных оценок. Все известные (а, может быть, и возможные) алгоритмы получения точных значений математического ожидания некоторой функции ß (без нарушения общности будем считать ее
G
неотрицательных значений, В самом деле, согласно определению математического ожидания дискретной случайной величины, имеем:
E[ß(G)] = £ P(Н) ■ ß(H), (1)
н er
где Г — множество всех возможных реализаций G,
Отсюда имеем, что если получены некоторые реализации графа (обозначим их множество как Gamma0) совместно с их вероятностями, и получены соответствующие значения функции ß, то LB больше либо равна соответствующей частичной сумме.
Теперь предположим, что для ß известны ее минимально и максимально возможные значения ßm и ßM, В этом случае легко получаются следующие границы:
LB = £ P (H) ■ ß(H)+ ßj 1 - £ P (H) J; (2)
не Го \ не Го )
UB = £ p (h ) ■ ß(H) + ßj 1 - £ P(H)j. (3)
неГо неГо
Легко получить правило пересчета этих границ при построении очередной (г-й) реализации Hj и вычислении те вероятности и значения ß(H):
LBi = LBj-i + P(Нг) ■ [ß(Hj) - ßm]; (4)
UBj = UBj-i - P(Нг) ■ [ßM - ß(Hj)]. (5)
Отметим, что для ATR и APR ßm = 0 и ßM = 1, в то время гак для MENC ßm = 1 и ßM = n, где n есть число вершин графа. Начальные границы равны этим значениям,
2. Специфические проблемы обновления границ, В то время как общая схема получения и обновления кумулятивных оценок достаточно очевидна, трудности возникают при применении методов редукции размерности и декомпозиции графа в ходе вычислений
ß(G)
позируется по moctv или точке сочленения, либо когда применяется „ветвление по цепи" [13]. "
Для каждого приема редукции или декомпозиции необходимо учитывать все измене-
ß(G)
метода.
Рассмотрим один из простейших примеров, а именно удаление висячих вершин, G"
рис, 1,
Для начала рассмотрим случай ATR, Известно, что при наличии висячей вершины, соединенной с остальным графом ребром e с надежностью pe, ATR графа равна таковой графа с удаленной висячей вершиной, помноженной на pe: R(G) = pe ■ R(G\e). При этом верхняя граница уменьшается на 1 - pe, тогда как нижняя не изменяется, В дальнейшем, при рассмотрении R(G\e) вероятности всех реадизаций умножаются на pe. Обозначим
произведение вероятностей присутствия ребер деревьев как Pr, Рекурсивное применение
"
рению графа без этих деревьев (Go), R(G) = Pr ■ R(G0). Тогда верхняя граница уменьшится на 1 - Pr, и в дальнейшим, при рассмотрении G0, вероятности всех реализаций
умножаются на это произведение. Таким образом, если висячие вершины удаляются па предварительном этане, то начальное значение верхней границы ATR определяется как UB = Pr.
Перейдем к рассмотрению APR, Задача получения этого показателя эквивалентна задаче получения математического ожидания числа несвязных нар вершин случайного графа (EDP), исследованной в |14, 15|, В самом доле, верны следующие очевидные выраже-
R(G) = , (6)
N (G) = Cl (1 - R(G)) , (7)
откуда получаем
LBAPR = Cl - UBEDP , (8)
Cn
UBapr = Cl-CBEDP. (9)
Cn
В 1151 приведено следующее выражение, касающееся редукции графа удалением висячей вершины t инцидентной вершине s:
N (G) = pstN (G/est) + (1 - pst){wt [W (G) - wt] + N (G\esi)}. (10)
Здесь Wj — вес вершины г, изначально 1. Этот вес соответствует ожидаемому числу вершин, стянутых в текущую в процессе вычислений. Например, при использовании метода факторизации необходимо помнить, что пара вершин объединяется в одну при выполнении предположения о надежности ребра. Это необходимо дня подсчета числа разорванных пар вершин при развале графа. W(G) — общий вес вершин графа, изначально равен исходному количеству его вершин.
Таким образом, при удалении висячей вершины, ЬБЕдР увеличивается на (1 — р^и^ [Ж(С) — тогда как [/БЕдР уменьшается на [Ж(С) — Поскольку в случае наличия прикрепленного дерева изменение границ при его удалении существенно зависит от его структуры, получение общего выражения не представляется возможным и известно лишь для прикрепленной цепи [6],
В [16] получены выражения для обновления границ ЛТН при декомпозиции по шарниру и/или двувершинному сечению. Выражения для АРЕ при декомпозиции по шарниру приведены в [6],
3. Использование кумулятивных оценок в аппроксимации. Наиболее очевидной аппроксимацией функции ^(С) то те границам является среднее значение: Д(С) = (ЬБ + ив)/2. Однако, границы сходятся к точному значению с различной скоростью. Кажется разумным предположить, что точка пересечения прямых, полученных линейной аппроксимацией траекторий ЬБ и и Б, может дать более точную аппркеимацию оцениваемой функции. Пусть на некотором шаге г > 0 получены границы ЬБ^ и [/Б^, и пусть Дг(С) есть соответствующая аппроксимация. Исходя из приведенных соображений, имеем пропорцию
(^м—иБг):(ЬБг—^т) = (иБг—(С)): (^(С)—ЬБг), (11)
откуда
ßj(G) = ßM ■ LBj - ßm ■ UBj . (12)
ßM - UBj - ßm + LBj
Например, при рассмотрении ATE ßm = 0 и ßM = 1, поэтому
Ä(G) = 1 - ub+ LBj ■ <13>
тогда как в случае MENC ßm = 1 и ßM = Cg, откуда
C j<G> = cg" Ufl-I^L Bj. <14>
Поскольку на последнем шаге границы смыкаются на точном решении, то ему же равна и полученная аппроксимация. На рис, 3, 4 и 5 показаны поведение границ для EDP решетки 4x4 (p = 0,7), MENC для этой же решетки и c-вершины 1 и вероятности передачи потока (PFT) величины 2 между диагональными узлами этой решетки с пропускной способностью всех ребер 1 для случая равномерного распределения надежности ребер между 0,5 1 1, соответственно.
Нетрудно видеть, что предложенная аппроксимация с самого начала или очень быстро
LB UB
применение предложенной аппроксимации в алгоритмах структурной оптимизации сетей, 4. Использование кумулятивных оценок для повышения эффективности генетических алгоритмов. Структурная оптимизация сетей генетическими (как, впрочем, и другими) алгоритмами предусматривает многократное вычисление значения оптимизируемого функционала (функции принадлежности (ФИ) в терминологии генетических алгоритмов (ГА)), что в большинстве случаев является трудоемкой задачей (NP-трудноеть задачи вычисления вероятности связности графа и некоторых других характеристик показана, например, в [17]), В [18] показано возможное применение кумулятивных оценок
Bounds and approximations for EDP
Bounds and approximations for MENC
Рис.3. Поведение границ и аппроксимаций MENC. точное значение 12.562672
для ускорения процесса оптимизации при применении ГА. Используются достаточно очевидные идеи: 1) заведомо неприемлемые решения могут отсеиваться до завершения точного вычисления при пересечении одной из границ заданного ей порога. Например, если верхняя граница ФП порожденной особи оказывается меньше таковой у самого худшего члена текущей популяции, то особь бесперспективна, дальнейшее вычисление ФП можно прекратить и особи отказывается во включении в популяцию. С некоторой долой ошибочных решений, но с существенным ускорением процесса оптимизации, можно прекращать вычисление ФП и в случае, когда прогнозное значение устойчиво, т. е. на протяжении заданного числа обновления границ меньше указанного порога; 2) на начальном этане, пока определяется область хороших решений, можно пользоваться предложенной выше аппроксимацией, постепенно увеличивая количество шагов обновления границ, требуемых дня получения приближенного значения. Отметим, что неизбежное сужение диапазона ФП в рабочей популяции но мере приближения к оптимуму и так будет требовать большего количества шагов дня принятия решения о замещении новой особью худшей особи популяции. Естественным выглядит предложение о вычислении аппроксимации ФП именно в этот момент.
Bounds and approximations for PFT
0,8 0,6 0,4
Upper bound
Average . --Estimation by trends
—1 _ '---
0,2 —1 —л
—Lower bound
H ro 1Л N ID (N 00 ■rH TH 249 311 373 435 497 559 621 683 745 807 869 931 993 1055 1117 1179 1241 1303 1365 1427 1489 1551 1613 1675 1737
Рис.4. Поведение границ и аппроксимаций PST. точное значение 0.196600
LM-Um+P (x(M-m)+M 2(x-L)-m2(U-x)+Mm(L+U-2x)-x(M-m)(U-L)) 2Um-2MU-2Lm+P (M-m)2+(M-m)2+(U-L)2+2LM+LMP-MPU-LPm+PUm
Заключение. В предложенном исследовании рассмотрены общие принципы получения кумулятивных оценок показателей надежности и других показателей, получаемых как средние значения па возможных реализациях случайных графов. Данный подход может быть естественным образом распространен и па другие модели структур: гинергра-фы и гинерсети. Предложена естественная аппроксимация среднего значения показателя при известных границах его изменения, учитывающая скорость изменения кумулятивных границ. Можно ожидать положительный эффект от применения этой аппроксимации в гепети ческих алгоритмах структурной оптимизации.
Список литературы
1. Jcrcb L. Network reliability: models, measure and analysis /7 Proceedings of the 6th IFIP Workshop on Performance Modeling and Evaluation of ATM Networks. 1998. P. T02/1 T02/10.
2. Yano A. and Wadavama T. Probabilistic analysis on network reliability problem. CoRR. V. abs/1105.5903, 2011. |()iiliiic|. Available: http://arxiv.org/abs/1105.5903.
3. Tauro S.L., Palmer C.R., SigaN G., and Faloutsos M. A simple conceptual model for the internet topology /7 Proceedings of the Global Telecommunications Conference, 2001. GLOBECOM '01, San Antonio, TX, USA, 25 29 November, 2001. IEEE, 2001. P. 1667 1671. [Online]. Available: http://dx.doi.org/10.1109/GL0C0M.2001.965863.
4. Shooman A.M. Algorithms for network reliability and connection availability analysis /7 Electro/95 International. Professional Program Proceedings. .Jun. 1995. P. 309 333.
5. Sun F. and Shavman M. On the average pairwise connectivity of wireless multihop networks /7 Global Telecommunications Conference, 2005. GLOBECOM '05. IEEE. V. 3. Nov. 2005. P. 5.
6. Rodionov A. S. and Rodionova O.K. Exact bounds for average pairwise network reliability /7 The 7th International Conference on Ubiquitous Information Management and Communication, ICUIMC '13, Kota Kinabalu, Malaysia. .Jan. 17 19, 2013. ACM, 2013. P. 45. [Online]. Available: http://doi. acm.org/10.1145/2448556.2448601.
7. Valiant L.G. The complexity of enumeration and reliability problems /7 SIAM .Journal on Computing, 1979. V. 8. N 3. P. 410 421. [Online]. Available: http://dx.doi.org/10.1137/0208032.
8. Bodlaender H. L., Bodlaender H. L., Wolle T. and Wolle T. A note on the complexity of network reliability problems. /7 IEEE Trans. Inf. Theory, 2004. V. 47. P. 1971 1988.
9. Dcucrmcycr B.L. A new approach for network reliability analysis /7 IEEE Transactions on Reliability, Oct 1982. V. R-31. N 4. P. 350 354.
10. Goval N. K., Misra R. B., and Chaturvedi S. K. Snem: a new approach to evaluate terminal pair reliability of communication networks /7 .Journal of Quality in Maintenance Engineering. 2005. V. 11. N 3. P. 239 253. [Online]. Available: http://dx.doi.org/10.1108/13552510510616450.
11. Xie M., Dai Y., and Poh K. Computing systems reliability models and analysis. Kluwer, 2004.
12. Won .J. M. and Karrav F. Cumulative update of all-terminal reliability for faster feasibility decision /7 IEEE Transactions on Reliability, Sept 2010. V. 59, N 3. P. 551 562.
13. Rodionova O.K., Rodionov A.S., and Choo H. Network probabilistic connectivity: Exact calculation with use of chains /7 Computational Science ICCS 2004, 4th International Conference, Part I, ser. Lecture Notes in Computer Science, M. Bubak, G. D. van Albada, P. M. A. Sloot, and ■J. Dongarra, Eds. Springer Berlin Heidelberg, 2004. V. 3036. P. 565 568.
14. Rodionov A. and Rodionova O. Network probabilistic connectivity: Expectation of a number of disconnected pairs of nodes /7 High Performance Computing and Communications, ser. Lecture Notes in Computer Science, M. Gerndt and D. Kranzlmuller, Eds. Springer Berlin Heidelberg, 2006. V. 4208. P. 101 109. [Online], Available: http://dx.doi.org/10.1007/11847366_ll.
15. Rodionov A., Rodionova O., and Choo H. On the expected value of a number of disconnected pairs of nodes in unreliable network /7 Computational Science and Its Applications ICCSA 2007. Ser. Lecture Notes in Computer Science, O. Gervasi and M. Gavrilova, Eds. Springer Berlin Heidelberg, 2007, V. 4707, P. 534 543. [Online], Available: http://dx.doi.org/10.1007/978-3-540-74484-9_46.
16. Alexev D. A. M., Rodionov S. and Rodionova O. K. Improvements in the efficiency of cumulative updating of all-terminal network reliability /7 IEEE Trans. Reliability, 2012. V. 61. N 2. P. 460 465. [Online]. Available: http: //dx. doi . org/10.1109/TR. 2012.2196172.
17. Wigderson A. The complexity of graph connectivity /7 Proceedings of the 17th Mathematical Foundations of Computer Science conference, Havel and Koubek (eds.), Lecture Notes in Computer Science 629, Springer-Verlag, 1992. P. 112 132.
18. Migov D. A., Nechunaeva K., Nesterov S., and Rodionov A. Cumulative updating of network reliability with diameter constraint and network topology optimization /7 Computational Science and Its Applications ICCSA 2016, ser. Lecture Notes in Computer Science, Gervasi O., Murgante B., Misra S., Rocha A., Torre C., Taniar D., Apduhan B., Stankova E., and Wang S., Eds. Springer Berlin Heidelberg, 2016. V. 9786. P. 141 152.
Алексей Сергеевич Родионов зав. .лабораторией моделирования динами ческих процессов в информационных сетях НИМ иМГ СО РАН. Профессор кафедры вычислительных систем ММФ НГУ и профессор кафедры вычислительных систем факультета ИВТ СибГУТИ. Канд. техн. наук, 1984, доктор техн. наук, 2003. Научные интересы: имитационное моделирование, надежность сложных систем.
Alexey Rodionov. He is a head of the Laboratory of Modeling dynamical processes in information networks of the ICM&MG SB RAS. Candidate of sciences degree, 1984, Doctor of sciences degree, 2003. He is professor of Novosibirsk state university, and Siberian State University of Telecommunications and Information Sciences (Computer systems chairs). His main scientific interests are computer simulation, and network reliability.
Дата поступления 26.01.2011
