Кручение сплошного цилиндра из нелинейного цилиндрически ортотропного материала Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 539.3

КРУЧЕНИЕ СПЛОШНОГО ЦИЛИНДРА ИЗ НЕЛИНЕЙНОГО ЦИЛИНДРИЧЕСКИ ОРТОТРОПНОГО МАТЕРИАЛА

М.Ю. Соколова, Д.В. Христич, В.С. Чиков

Рассмотрена задача о кручении сплошного цилиндра. Для случая линейной связью между напряжениями и деформациями получено асимптотическое решение задачи. Решена задача о кручении цилиндра из нелинейного анизотропного материала. В частности используются соотношения удовлетворяющие обобщению частного постулату Ильюшина на анизотропные материалы.

Ключевые слова: цилиндрическая ортотропия, сплошной цилиндр, кручение, физическая нелинейность, конечные деформации.

Рассмотрим кручение сплошного цилиндрического образца с зажатыми торцами. Материал образца - цилиндрически ортотропный с осью анизотропии, совпадающей с осью цилиндра.

1. Описание конечных деформаций сплошного цилиндра. Определим основные кинематические характеристики процессакрученияпред-полагая, что деформированное состояние однородно вдоль оси и антисимметрично относительно оси. Связь между начальными ро,ро, 2о и текущими р,р, 2 цилиндрическими координатами точек цилиндра принимается в виде [1,2]:

P = Po1р(Po, * \

Р = Ро + 2о¥(* X (1)

/ = ^

где 1р(р0, *) - неизвестная функция начального радиуса, отвечающая за изменение радиуса цилиндра при кручении, у(*) - параметр кручения, характеризующий относительный угол закручивания, * - монотонно изменяющийся параметр («время»). Базис текущего состояния ёр,ёр,в2 связан

с базисом цилиндрической системы координат начального состояния вр,е0,е° ортогональным тензором К2, совмещающим векторы е°р и ер

ёР и ёр

4 = 4° • я 2 = я -1 • 4°, (2)

где к = р,р, 2. Диадное разложение тензора имеет вид

рр + ^Р- <Ро)вр4

К = СОБ(Р-Ро)ёр,ёр, + ^1П(р-Ро)ер°ёрр +

+ С08(Р-Ро)ёРёР -8т(Р-Ро)ёрёр + ё20ё0.

Положение точки М в деформированном состоянии определяется вектором

X = рер+ ¿в г. (4)

о

Найдем аффинор деформации Ф = V х, дифференцируя (4) с учетом (1). Если отнести аффинор к начальному цилиндрическому базису, то получим Ф = Ф0 • К2, причем при простом кручении тензор Ф0 представляется выражением

Фо = рр + р/0 +р¥е0е1 + ¿Я0 . (5)

По аффинору деформаций (5) определяется тензор деформаций

Коши г =1 (ф • Фт - g), тогда

2

г=>2(р'2 - 1)рр+12(1 -1)00 + (6)

+>2 р1рУ( О+¿00)+>2 рУ2е0е0.

В выражения (5), (6) входит неизвестная функция р(р0, t), которая

подлежит определению.

2. Асимптотическое решение задачи о кручении сплошного анизотропного цилиндра. Функция р(р0, t) может быть определена из условий равновесия [3]

1 рр | ^рр - ^00 = о (7)

р дро р '

где 8рр, - компоненты тензора истинных напряжений Коши.

Для определения напряжений примем определяющие соотношения в тензорно-линейном виде

Т = N ••£, (8)

где Т =-(ф-1) • 8 • Ф-1 - энергетический тензор напряжений [3]; N -

тензор упругости четвертого ранга.

Для рассматриваемого цилиндрически-ортотропного материала тензор N имеет следующее разложение по начальному цилиндрическому базису:

N=^„(¡рррр+4444)+Л3ззз4?г?г?4? + +¿0444)+

+N„33(4444+4444+4444+4444)+ +N^4444+4444+4444+4444)+

+N13,3(4444+4444++4рр? + +г <>444+4г 044+г °4ё4 0+4>4>ё 04)

157

С учетом представления для тензора N и соотношений (8) из условий равновесия (7) получим дифференциальное уравнение для искомой функции р(р0,0 :

, V

#1111

Г

У

V Р У

2 1) + ПР + Р

((Г)' - 1)

У

Р

П

V

1

( (Р)2 - 1)-^Р (1р -1)

Р

+

+N1

122

Р

V1J

1Р -1) + Р1Р+рр

Р Р Р

У

Р (1р -1) -Р (Р)2 -1)

V УР Р

+

+N

1133

V1Р J

(РУ)2 +1 y

У - 2<1р)2 -1 y2

У

-РУ

-N

3333

3 4

Р— #131З1рР¥2 = 0.

(9)

Будем искать решение этого нелинейного дифференциального уравнения асимптотическим методом, используя представление для функции р = р(р0, ^) в виде

р = Ро + (Ро )у + Я2 (Ро )У2 + Щ(Ро)¥3 + (10)

где у = у($) - относительный угол закручивания, который считаем малым параметром.

Такой подход к решению задачи о кручении сплошного цилиндра из нелинейного изотропного материала использовался в работах [2,3]. Подставляя (10) в уравнение (9) и сохраняя только члены первой степени относительно малого параметра, получим уравнение относительно функции ^1(Ро):

Г ~ Л

R" +—(R -R | + k

Ро

( R - Ri )+k I r;+р ( R: - R; )

= 0

где обозначено R1' = dRL, Ri = —-, k = ^1122 . После преобразований полу-

dРо

Ро

N

ш;

чим уравнение

R1+ Р r; - l__kRi = о

Ро

Ро

(11)

D

общее решение которого имеет вид — = D1p0 +--, причем D2 = 0 в силу

Го

ограниченности функции на оси цилиндра (для большинства материалов k < 1), а константа D1 = 0 находится из граничного условия Spp = 0 . В

результате получим R1 ° 0 .

Ро=b

С учетом решения уравнения (11) для второго приближения дифференциального уравнения (9) получим уравнение для определения функции

Я2(Ро)- Обозначив через к

N

1122

N

к

N

1313

1111

N

к

N

1313

1111

N

1111

нение в виде

2 - к

R -

2 - к

.2 2

2

R2 =-к1Ро + к2Л) •

запишем урав-

(12)

Го Ро

Будем искать решение уравнения (12) в виде R2 = рЩ, причем корни характеристического уравнения щ = 1, n2 = к - 2. Тогда общее решение уравнения (12) имеет вид

R2 = QA) +

с

кх

„2-к

Ро +

кл

"Ро:

Р0" 2(5 - к)'и 3(6 - к)' причем константа С2 = 0 в силу ограниченности функции Я2(р0) на оси цилиндра, поскольку для большинства материалов к <1. Константа С1 находится из граничного условия на наружной поверхности цилиндра = 0:

рр

Го=b

C1 =

к

к -1 ■ b2

к^

к+4 • b3.

5 - к к +1 3(6 - к) к +1

к = N1122 N1111

к = N1133 1 N1111

и = N1313

/Сл -

2 N1111

(13)

Таким образом, во втором приближении при кручении сплошного цилиндра функция р = р(р0, ^) имеет вид

Р»Ро +

сРо

кх

Го3 +

к

■Ро4

У

(14)

2(5 - к) 3(6 - к)' где С1 и коэффициенты к, к1, к2 определяются соотношениями (13).

3. Решение задачи о кручении цилиндра из нелинейного анизотропного материала. Рассмотрим кручение сплошного цилиндра, материал которого является цилиндрически ортотропным и обладает физической нелинейностью. Связь между напряжениями и деформациями в таком материале примем в виде, предложенном в работах [4, 5]:

a,b=1

I

а,Ь=о

nab +

dnab

дэ

a

a

эЬа +12

g=3

ГТГ + — S 2 G +ds 2 S(g) dS(g)

'(g)

(15)

где Г = га1а, э = эа!а, а = 0...5 - шестимерные векторы напряжений и деформаций, связанные с энергетическим тензором напряжений и тензором деформаций Коши известными соотношениями [3], паЬ(эа), Gg(S(g)) - материальные функции, зависящие от линейных эа и квадратичных ¿у7) ин-

вариантов материала.

Если в соотношениях (15) паЬ,2Gg - постоянные, то при бесконечно малых деформациях эти соотношения совпадают с законом Гука. Соотношения (15) удовлетворяют предельной форме обобщения частного постулата А. А. Ильюшина, сформулированной в [3, 4].

Для цилиндрически ортотропного материала инварианты тензора деформаций определяются соотношениями

Э0 = (е11 +е22 +е33) , Э1 = ^6(2е33 -е11 -е22),

4) = (е11 е22)2, ^Ч) = е12, ^(5) = £23 + £31, (16)

а конкретный вид материальных функций примем в виде па(Эа,эь) = паа + паЬ(эа + эь), а,Ь = 0,1,

вг(8м) = 07 + 0\Г), 7 = 3,4,5,

(17)

где п0аЬ,паЬ,07,07 - константы.

Подставляя (16) в (15), получим выражения для компонент вектора напряжений в шестимерном пространстве в виде:

г0 = (п000 + 3п 00э0 + п 01э1) э0 + (п001 + п 01 (э0 + э1)) г1 =( пЦ1 + п 01 (э0 + э1)) э0 + ( п01 + п 01э0 + 3п 11э1) э1, Хг = (200 + 303 |э21) э2, Хъ = (2004 + 304 э |) э3, (18)

?4 =(20(5 + 3057э^э2)э4, ?5 =(20(5 + 30ЦэЦ + э52)э5.

Соотношения (18) совпадают с законом Гука при равенстве нулю постоянных п 00, п 01, п11,03,04,05 и бесконечно-малых деформациях.

При расчетах по соотношениям (18) для функции р = р(р0, г) используем представление (14), полученное в предположении линейной связи между тензорами напряжений и деформаций.По компонентам вектора деформаций (6) и вектора напряжений (18) построены траектории деформирования и нагружения в пространстве тензоров г и Т, представленные на рис. 1. Напряженно-деформированное состояние сплошного цилиндра при кручении неоднородно, поэтому рассмотрены траектории деформирования и нагружения в фиксированной точкена поверхности сплошного цилиндра (р0 = Ь ).В качестве монотонно изменяющегося параметра процесса

(«времени» г) выбран относительный угол закручивания у =-- из закона движения (1). Поскольку при решении задачи использовано асимптотическое представление (14), параметр у не может принимать значений, больших 1. Анализ сходимости асимптотического решения показал, что погрешность представления входящих в выражения для деформаций и напряжений функций от р0 не превышает 5 %, если у £ 0,5. Если в качестве

160

образца при кручении использовать сплошной цилиндр, у которого длина в 10 раз больше начального диаметра, то значению у = 0,5 соответствует относительное закручивание торцев на угол почти 570°. В этом случае речь, действительно, идет о конечных деформациях при кручении.

0.4

0.3

о!

0.1

0.(0 0Й2 0.01

0 0 02 0.04 0 06 0.03 0.1

Рис. 1. Траектории деформирования и нагружения при кручении

Проведенные расчеты показали, что при кручении траектории деформирования в пятимерных девиаторных подпространствах тензоров s и Т практически плоскими кривыми, но расположенными в различных плоскостях относительно базисных векторов этих подпространств. На рис. 1 представлены проекции траекторий деформирования в соответствующие плоскости в пространствах тензоров s и Т. При построении образа процесса оказывается, что в каждой точке траектории деформирования вектор напряжений выходит из плоскости траектории деформирования. Отклонение вектора t от плоскости, в которой расположена траектория деформирования, монотонно возрастает с ростом угла закручивания и сопоставимо по величине с составляющей вектора напряжений t4.

При кручении сплошного цилиндра напряженно-деформированное состояние цилиндра является неоднородным, что подтверждается кривыми, представленными на рис. 2. Здесь показаны распределения по радиусу цилиндра ненулевых компонент тензоров деформаций Коши-Грина s (в цилиндрическом базисе) в момент процесса t = 0,5. Соответствующие эпюры напряжений представлены на рис. 3.

161

0.3 0.2

010 0.2 0.4 О.б 0.3

Рис. 2. Распределение компонент тензора деформаций по радиусу

олЗ о.ш 0.0Й6 $054 0.022

004 0.03 0.02 0.01 о

- ООГ----

О 0.2 0.4 0 6 0.3 1

Рис. 3. Распределение напряжений в цилиндре

На рис.3 сплошные линии соответствуют расчетам по нелинейным соотношениям (18), а пунктирные линии - расчетам по линейным соотношениям (8). Результаты расчетов показывают, что предложенная нелинейность оказывает существенное влияние на величины напряжений, но не влияет на характер их распределения.

162

Были проведены расчеты интегральных силовых характеристик

ь

процесса - крутящего момента М = 2р и осевой силы

о

ь

Р = 2р822р0йр0 . Результаты расчетов приведены на рис.4 и 5: сплошные

а

линии соответствуют расчетам по нелинейным соотношениям (18), пунктирные - по линейным (8). При малых углах закручивания все кривые совпадают.

Рис. 4. Изменение крутящего момента

Рис. 5. Изменение осевой силы

Таким образом, произведен анализ напряженно-деформированного состояния сплошного цилиндра из анизотропного материала при кручении с зажатыми торцами. Полученные кривые для зависимости крутящего момента от относительного угла закручивания могут быть использованы для верификации предложенного варианта нелинейных определяющих соотношений для цилиндрически ортотропного материала.

Работа выполнена при поддержке гранта РФФИ, проект № 15-01-01875_а.

Список литературы

1. Черных К.Ф. Введение в анизотропную упругость. М.: Наука, 1988. 192 с.

2. Астапов В.Ф., Маркин А.А., Соколова М.Ю. Определение упругих свойств материалов из опытов на сплошных цилиндрах // Известия Российской академии наук. Механика твердого тела, 2002. № 1. С. 104111.

3. Маркин А. А., Соколова М.Ю. Термомеханические модели обратимого конечного деформирования. Тула: Изд-во ТулГУ, 2010. 268 с.

4. Маркин А.А., Соколова М.Ю., Христич Д.В. Постулат А.А. Ильюшина для анизотропных материалов и вариант определяющих соотношений // Известия Российской академии наук. Механика твёрдого тела, 2011. № 1. С. 38-45.

5. Христич Д.В. Варианты нелинейной связи между напряжениями и деформациями в анизотропных материалах // Известия Тульского государственного университеа. Естественные науки. Тула: Изд-во ТулГУ, 2014. Вып. 1. Ч. 1. С. 216-224.

Соколова Марина Юрьевна, д-р физ.-мат. наук, проф., sokolova@tula.net, Россия, Тула, Тульский государственный университет,

Христич Дмитрий Викторович, д-р физ.-мат. наук, доц., dmitrykhris-ticharambler. ru, Россия, Тула, Тульский государственный университет,

Чиков Валерий Сергеевич, асп., avreliykvochi@,mail.ru, Россия, Тула, Тульский государственный университет

TORSION OF CYLINDER FROM NONLINEAR CYLINDRICAL ORTHOTROPIC MA TERIAL

M.Yu. Sokolova, V.D. Khristich D, V.S. Chikov

The problem of the torsion of a solid cylinder is considered. For the case of a linear connection between stresses and deformations, an asymptotic solution of the problem is obtained. The problem of torsion of a cylinder from a nonlinear anisotropic material is solved. In particular, we use relations satisfying the generalization of Ilyushin's private postulate on anisotropic materials.

Key words: cylindrical orthotropy, solid cylinder, torsion, physical nonlinearity, finite deformations.

Sokolova Marina Yuryevna, doctor of physical and mathematical sciences, professor, sokolova@tula. net, Russia, Tula, Tula State University,

Khristich Dmitry Viktorovich, doctor of physical and mathematical sciences, docent, dmitrykhristicharambler. ru, Russia, Tula, Tula State University,

Chikov Valeriy Sergeevich, postgraduate, avreliykvochi@,mail. ru, Russia, Tula, Tula State University