Критерий вероятности обнаружения на траектории в задаче управления движением объекта в конфликтной среде Текст научной статьи по специальности «Математика»

 УПРАВЛЕНИЕ ПОДВИЖНЫМИ ОБЪЕКТАМИ И НАВИГАЦИЯ

|

УДК 531.3:681.5.01

КРИТЕРИЙ ВЕРОЯТНОСТИ ОБНАРУЖЕНИЯ НА ТРАЕКТОРИИ В ЗАДАЧЕ УПРАВЛЕНИЯ ДВИЖЕНИЕМ ОБЪЕКТА В КОНФЛИКТНОЙ СРЕДЕ1

Л.П. Сысоев

Рассмотрена задача синтеза вероятностного критерия оптимальности управления движением объекта в конфликтной среде. Вероятность того, что при прохождении маршрута объект не будет обнаружен, представлена в виде функционала от траектории. Найдена зависимость вероятности обнаружения объекта от времени прохождения оптимального маршрута. Определено оптимальное время прохождения маршрута.

Ключевые слова: синтез вероятностного критерия, оптимальный маршрут, конфликтная среда, вероятность обнаружения объекта, оптимальное время прохождения маршрута.

ВВЕДЕНИЕ

Данная статья связана с проблематикой управления движением объекта в среде с объектами, сближения с которыми управляемому объекту необходимо избегать. Подобную среду принято называть конфликтной (см., например, работы [1—3]).

Пусть требуется оценить качество маневрирования управляемого движущегося объекта при прохождении им из заданной начальной точки в заданную конечную точку, обходя ряд неподвижных объектов (наблюдателей), задача которых состоит в обнаружении объектов, пересекающих некоторый регион. Задача управляемого подвижного объекта — перейти из начальной точки в конечную, минимизируя негативное воздействие наблюдателей, которое, в частности, может выражаться в обнаружении объекта. При определении оптимального маршрута существенную роль играет выбор критерия качества маневрирования управляемого объекта. В работах [1] и [3] задача определения маршрута решалась путем минимизации риска, который можно интерпретировать как суммарную энергию, принятую наблюдателями от движущегося объекта за время его перехода из начальной точки в конечную. В работе [1] решена вариационная задача построения оптимальной траектории при движении с постоянной скоростью, в работе [3] для случая одного наблюдателя решена задача определения оптимальной траектории и оп-

1 Работа выполнена при финансовой поддержке Программы № 29 Президиума РАН.

тимального закона изменения скорости при заданном времени прохождения траектории. Отметим, что минимизируемый в этих работах риск косвенным образом связан с возможностью обнаружения объекта. Более непосредственным образом такую возможность характеризуют вероятностные критерии. Например, качество движения объекта можно характеризовать вероятностью того, что за время прохождения объектом маршрута его не обнаружит ни один из нескольких неподвижных наблюдателей, расположенных в регионе и работающих в пассивном режиме. Таким образом, возникает задача представления этой вероятности через закон передвижения управляемого объекта из начальной точки в конечную. Оптимальный закон прохождения маршрута можно строить путем минимизации вероятности обнаружения. Отметим, что при использовании вероятностного критерия можно решать также задачу отыскания оптимального времени прохождения маршрута.

1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

Пусть на плоскости заданы две точки А(хр ух) и В(х2, у2), определяющие начало и конец маршрута, который должен пройти управляемый объект за некоторое время Т, минуя N наблюдателей, рас/ наб наб \ /1 л \т\

положенных в точках (хк , ук ) (к = 1, ..., N).

Будем исходить из того, что каждый из наблюдателей характеризуется последовательностью «взглядов» (например, обзоров антенной), бросаемых через равные промежутки времени, когда при

дящегося на расстоянии й от наблюдателя. Отношение правдоподобия в данном случае имеет вид

р/х) _

2 2 ^сиг ( Л) +

ехр

г( Л)

2<>2иг(Л) + СТ0)СТ0 і = 1

и представляет собой строго возрастающую фун-

П

кцию от статистики Т(х) = ^ хг- при любом зна-

I = 1

чении неизвестного параметра й. Таким образом, Р<1 ( х )

есть монотонное отношение правдоподобия,

каждом взгляде наблюдатель принимает решение о наличии или отсутствии движущегося объекта, причем наблюдатели принимают решения независимо друг от друга. Зададим закон движения управляемого объекта от точки А(х1, у1) до точки В(х2, у2) посредством зависимости координат объекта от времени: х(?), у(?), 0 < t < Т, х(0) = х1, х(Т) = х2. Тем самым задается также закон изменения вектора скорости (х (?), у (?)). Качество закона движения будем характеризовать вероятностью того, что за время прохождения объектом маршрута его ни разу не обнаружит ни один из наблюдателей. Наша основная задача заключается в представлении этой вероятности в виде функционала от х(?), у(?), 0 < t т Т. Для этого потребуется найти вероятность правильного обнаружения при одном взгляде в виде функции р(й) от расстояния й между объектом и наблюдателем.

Будут рассмотрены также вопросы минимизации функционала и определения оптимального времени прохождения маршрута в случае одного наблюдателя.

2. ЗАВИСИМОСТЬ ВЕРОЯТНОСТИ ОБНАРУЖЕНИЯ ОТ ПОЛОЖЕНИЯ И СКОРОСТИ ОБЪЕКТА

Далее находится вероятность обнаружения объекта наблюдателем при одном взгляде как функция от скорости объекта и от расстояния между ним и наблюдателем.

Рассмотрим обнаружитель, работающий по принципу сравнения некоторой скалярной функции от наблюдений (решающей статистики) с порогом, выбираемым из условия заданной вероятности ложной тревоги а. Пусть решение о наличии или отсутствии объекта принимается на основе полученной после предварительной обработки сигнала совокупности независимых гауссовских случайных величин Х1, Х2, ..., Хп с нулевым математическим ожиданием. Обозначим через дисперсию помехи (шума) в обнаружителе, а через ст2иг (й) — дисперсию сигнала от объекта, зависящую от расстояния й между ним и наблюдателем.

При отсутствии сигнала от объекта случайные ветл 2 к

личины X. имеют дисперсию стш, а при наличии ^ (^ — плотность вероятности статистики Т при

и в данном случае существует равномерно наиболее мощный критерий для проверки гипотезы

ст2иг (й) = 0 (сигнал от объекта отсутствует) против

альтернативы стсиг (й) > 0 (сигнал от объекта есть) [4]. Оптимальное правило принятия решения та-

п

2

ково: величина Т(х) = ^ хг- сравнивается с поро-

I = 1

гом к, и если Т(х) < к, то принимается решение, что сигнал от объекта отсутствует, а если Т(х) > к, то принимается решение, что сигнал от объекта есть. При этом порог к определяется из условия

да

I/0(0 = а, где а — заданная вероятность ложной

к

тревоги, а /0(0 — плотность вероятности статистики Т в случае отсутствия полезного сигнала. При сформулированных нами предположениях

/о(0 =

1

Г і

0и/2„ Г 2

2 ГГ 2.Н

2ст„

22

и « - Х1 -

— (1 — а)-квантиль

%2-распределения с п степенями свободы.

При данном пороге к вероятность р(й) обнаружения объекта, находящегося на расстоянии й

да

от приемника, выражается как р(й) = /Д^Л, где

сигнала от объекта — дисперсию ст2иг (й) + .

Обозначим через р0(х) плотность вероятности случайной выборки Х1, Х2, ..., Хп при отсутствии сигнала от объекта, а через р/х) — плотность вероятности этой выборки при условии, что в ней содержится сигнал, пришедший от объекта, нахо-

расстоянии Л объекта от шумопеленгатора:

2 2 2Киг(^) + О

2”/2Г

п

2 ^2

е

Считая, что дисперсия сигнала от шумящего объекта обратно пропорциональна квадрату его расстояния 0 от наблюдателя, запишем ее в виде

°2иг (0 = а0 (у) й0 /й2, где а0 (у) — дисперсия сигнала объекта при некотором эталонном (минимальном) расстоянии й0 объекта от наблюдателя, у — скорость объекта, и тогда для вероятности р(0) получаем выражение

р(й) =

1

2п/2р( П

^СТ0 ( у ) + _2

,2 +

2 2 ашх1 - а, п

^СТ0 ( у ) й0 + _2

—л— + аш

V а

dt,

т. е.

2

Х 1 - а, п/

22 0)( у ) й0

V а

2 й2

+1

(1)

где /п(х) — функция х -распределения с п степенями свободы,

1

х п -1 -и Гм2 е 20м.

Формула (1) определяет зависимость вероятности обнаружения объекта от расстояния й между объектом и приемником при одном взгляде. Как

показывает наличие члена а0 (у), эта вероятность зависит также от скорости V объекта. Для получения явного вида этой зависимости необходимо

ввести явное выражение для функции а0 (у).

Если в соответствии с экспериментальными данными для зависимости шумности объекта от

его скорости V принять соотношение а0 (у) = уу",

где у — некоторый размерный коэффициент, то для вероятности обнаружения объекта, имеющего скорость у и находящегося на расстоянии 0 от наблюдателя, получим выражение

Х 1 - а, п/

у у

й0

2 ,2 V а 0 а

+1

(2)

Для случаев, когда траектория объекта проходит на достаточно больших расстояниях от наблю-

дателя и 0? /й2 является малой величиной, раскла-

Рис. 1. Вероятность обнаружения как функция от отношения сигнал/шум в приемнике:

-------точная формула;----------первое приближение

22

дывая функцию (2) в ряд по степеням й02 /й2, в первом приближении получаем

п 2

„ I 2 -2 х 1 - а п

р(0) = а + ^ • (х 1 - а,п) е 2 2.

аш 2п/2гГп1 0

2

й20

(3)

На рис. 1 приведены зависимости вероятности обнаружения от отношения сигнал/шум

уу" о

22 аш 0

приемнике, полученные по точной формуле (2) и при использовании первого приближения (3) (в области малых значений этого отношения, т. е. больших расстояний).

3. ВЕРОЯТНОСТЬ ОБНАРУЖЕНИЯ ПРИ ПОЛНОМ ПРОХОЖДЕНИИ МАРШРУТА

Соотношения (2) и (3) далее будут использованы для получения формул, по которым вычисляется вероятность того, что объект ни разу не будет обнаружен за время прохождения им заданного маршрута.

Рассмотрим вначале случай одного наблюдателя. Пусть объект в течение некоторого интервала времени продолжительностью Т двигается по круговой траектории на постоянном расстоянии й от наблюдателя. При условии статистической независимости решений при разных взглядах число решений о наличии объекта на этом интервале подчиняется биномиальному распределению с веро-

X

1

X

ятностью успеха р(Л), зависящей от расстояния Л. Для траектории объекта, проходящей достаточно далеко от наблюдателя, вероятность обнаружения мала, и биномиальное распределение можно аппроксимировать пуассоновским распределением с параметром X — пр(Л), где п — число обнаружений за время Т. При этом для вероятности Р.Д0) того, что за время Т объект ни разу не будет обнаружен данным наблюдателем, имеем РТ(0) — е х — е уТ, где V — среднее число правильных обнаружений за единичный интервал времени: v — п^(Л), п0 — число взглядов за единичный интервал времени. Отсюда вероятность РДТ(0) того, что за малый промежуток времени AT не будет ни одного правильного обнаружения, получаем в виде

Лг(0) — є

-п§р (^)Д Т

(4)

Рассмотрим теперь процесс обнаружений объекта наблюдателем на интервале времени продолжительностью Т, когда объект перемещается на значительные расстояния и при этом существенно изменяется расстояние между ним и наблюдателем. Разбивая полный интервал времени на подынтервалы длительностью АТ-, I = 1, 2, ..., на каждом из которых расстояние между объектом и наблюдателем можно считать постоянным, и принимая во внимание, что решения наблюдателя на непере-секающихся интервалах времени независимы, вероятность Р.Д0) того, что за время Т объект не будет обнаружен наблюдателем, получаем как про-

-п0р (Уг)А Г,

изведение вероятностей (4): РГ(0) = П e =

I

-п0Е Р (^)Д Г,

= e ' . Пользуясь малостью А 7-, заменяем

сумму на интеграл по времени:

твии с равенством Л(і) — л/х2( І) + У2 ( і) виде

22

+ у ( і ) запишется в

Рнеобн — еХР

Т -

1 Гп I*

2 , Л -а, п

г4 у ( -X ( і ) 2 + у ( і ) 2 ) ) V СТ0[X(І)2 + у(і)2] т — ц/2.

+1

Лі

(6)

В случае N независимых наблюдателей, находя-

наб наб / /

щихся в пунктах с координатами хк , ук (к — 1,

..., ^, вероятность РнеОбн того, что ни один из них не обнаружит объект за время прохождения им маршрута, равна произведению вероятностей вида (6):

Р(^ — еХР

Рнеобн ехр

N N Т

■ТI »<■ + I »к ^ х

к = 1 к = 1 0

2

X 1 - а, п

4у( X (І )2 + у (І )2 )т

2 наб 2 наб 2

,СТк[(X( І) -Хн ) + (у( І) - у* ) ]

+1

Лі

где пк — число взглядов за единицу времени, а ак дисперсия шума для к-го наблюдателя.

При использовании приближения (3) имеем

необн

ехр

"по 1

п 2

2 2 - % 1 - а, п

а + ( Х 1 - а’ п ) е 2 х 2п/2ГГ п

^ОІ (-X ( і) + у ( і) )

X (І )2 + у (І )2

Лі

(7)

РТ(0) — е

(5)

(интегральное представление полезно для применения методов вариационного исчисления при оптимизации маршрута).

В формуле (5) вероятность р(й) как функцию от расстояния можно определить из выражений (2) или (3), причем само расстояние 0 — функция времени, определяемая законом движения объекта. Тем самым вероятность Рнеобн того, что объект не будет обнаружен данным наблюдателем при прохождении им пути х(^, у(^ (0 < t < Т), в соответс-

в случае одного наблюдателя, находящегося в начале координат, и

Р(^ — ехр

Рнеобн — ехр

п 2

2 2 1 а , п

-аТI пк - ( Х 1 - а,; ^ е 2 Ло2уХ

N

к = 1

2^2^ п

,-,,Л -,,Л, т

(X ( І) + у ( І) )

N п Т

I — [2 наб 2 наб 2

к = 1 °к О (X( і) - X^fc ) + (у( І) - у* )

Лі

наб наб

в случае N наблюдателей с координатами Xk , ук к — 1, ..., N.

п

о

о

х

о

X

X

4. ОПТИМИЗАЦИЯ ВЕРОЯТНОСТНОГО КРИТЕРИЯ В СЛУЧАЕ ОДНОГО НАБЛЮДАТЕЛЯ

Рассмотрим далее вопросы оптимизации маршрута по критерию минимума вероятности обнаружения, т. е. максимума вероятности необнаружения Рнеобн, в случае одного наблюдателя. Максимизация вероятности Рнеобн эквивалентна минимизации риска = (— 1/п0)1пРнеобн, представляющегося в силу выражения (7) в виде функционала от х(?), у(?) (0 < I т Т):

Rp =

n

(%2 )2 -

a + ( X 1 - a, п) e

2п/2Г

z 1 - а, n 2 2 2 m

—- doY (X2 + У2 )

2 2 2 СТШ x + y

dt. (8)

Рассмотрим задачу минимизации риска как по х, у, так и по времени Т прохождения маршрута при граничных условиях х(0) = хх, у(0) = ур х(Т) = х2, у(Т) = у2. Эта задача решается путем минимизации риска по х, у при заданном времени Т и последующей минимизации по Т значения риска, полученного для оптимальной траектории.

Обозначая

в =

n

( X 1 - a, n )

2n/2Г( n/2)

exp і -

2

X1 - a, n

do У

запишем вероятностный риск (8) в виде Rp = aT + T

+ PR, где R = J (x2 + у2 )m/(x2 + y2)dt — энергети-0

ческий риск, путем минимизации которого в работе [3] были найдены оптимальные траектории. Из данного представления риска Rp следует, что при заданном времени прохождения маршрута оптимальный закон перемещения объекта из начальной точки в конечную в случае вероятностного критерия такой же, как и в случае энергетического критерия. Отличие только в зависимости рисков от времени прохождения маршрута.

Введением полярных координат х = р cosy, у = р siny и величины r = lnp энергетический риск

T

R в работе [3] приведен к виду R = J (Г2 + У2) S

0

х Ф(г)Л, где Ф(г) = exp{(2m — 2)r}. Соответственно для вероятностного риска имеем

Граничные условия, записанные в полярных координатах, имеют вид

P(O) = Рр V(O) = Vp p(T) = p^ V(T) = V2.

(1O)

Уравнения Эйлера в случае функционала (9) совпадают с полученными в работе [3] уравнениями Эйлера в задаче минимизации функционала Л, при этом форма уравнений различна для случаев т = 1 и т ^ 1. В случае т ^ 1 уравнения Эйлера имеют вид [3]

£ [2т( Г2 + у2 )т - хФ(г)] = 0,

£ [2т Г (Г2 + у2 )т ХФ(г)] —

- (2т - 2)( Г2 + у2 )тФ(г) = 0; (11)

при этом для первого уравнения в работе [3] выписан первый интеграл в виде

[2m у (Г2 + у2 )m 1Ф(г)] = C1

(l2)

и найдена оптимальная траектория, отвечающая случаю Сх ^ 0. Отметим, что в этом случае у не

меняет знака на оптимальной траектории ^п у = = 8§пСх) и нельзя рассматривать граничные условия с у = у2. Полученные в работе [3] соотношения

p = po

cos

m l m

V + q)

m -1

Ф(г) = po

2m 2

(1З)

(l4)

где р0 и С2 — постоянные интегрирования, подлежащие определению из граничных условий (10), далее будут использованы для отыскания оптимальных зависимостей полярных координат от времени и зависимости вероятности обнаружения на траектории от времени ее прохождения.

Найдем вначале постоянные интегрирования исходя из граничных условий (10), используя выражение (12) (отметим, что полярный угол для точек на траектории может изменяться только в тех пределах, в которых косинус не обращается в нуль). Имеем

Rp = j [a + в( r2 + у2 )Ф(г)Л.

(9)

cos (mml у2 + c2)

p2^| (m- 1)/m

— cos —

p/ v m

cos (mml y1 + c2) ,

o

o

откуда следует, что

ip2J (m- 1)/m

C2 = arctg

p1

m - 1 m - 1

cos------у 2 - cos-----уі

m

m

—) ("'-11 /m sin у2-sin m-!

p1) m m

(15)

При этом p0 = p1

cos

m - 1

m

-уі

+C

(m- 1)/m

Используя соотношения (13), (14) и

г = у їв (ттгу+^

(см. работу [3]), из выражения (12) получаем дифференциальное уравнение для полярного угла

у = 8ЕпС1|С1|1/(2т - р0( 2т-2)/(2т-Х) X

х (2т)1/(2т - 1)ес82 Г т-1 у + С21 ,

V т 2

которое, обозначая

11/(2m - 1) -(2m - 2)/(2 m - 1)

C, = sgnCjCj запишем в форме

po

(2m)

1/(2m - 1)

d у

cos

2| m - 1 m

= C3dt.

Интегрируя это уравнение, получаем следующую зависимость от времени для полярного угла на оптимальной траектории:

m tgГ me1 у + C2J = C,t + C4.

m - 1

m

(16)

Постоянная C4 определяется из условия уф) = у 1 и оказывается равной

C4 =

4 m - 1

Подставляя выражение (17) в зависимость (16) и используя граничное условие у(Т) = у2, получаем

C, = 1 -™-Tm - 1

tg

m - 1

m

у2 + C2 J

tg

m - 1

m

-уі

+C

(l8)

где С2 определяется выражением (15).

Поскольку в случае оптимальной траектории подынтегральное выражение в формуле для энергетического риска постоянно и согласно работе [3]

равно |С3|2т р0т-2, из формулы (18) получаем сле-

дующую зависимость минимального энергетического риска от времени Т прохождения маршрута:

R(T) = 1

m J2m _2m-2

2m-1 V m_ 1

po

, ,m-1 ^ J . Гm - 1 ^

tg[ —— у2 + C2J - tgl уі + C

m

m

2m

Отсюда видно, что в случае энергетического критерия не существует оптимального времени передвижения из начальной точки в конечную, поскольку минимальное значение риска стремится к нулю при Т ^ да.

Обозначая

5 =

m J2m 2m-2

m - 1

tgV mm1 у2 + C2J -tg

po

m l m

у і + О)

2m

зависимость от времени Т для вероятностного риска Я = а Т + рР получаем в виде

R„(T) = aT +

в 5

(l9)

где а — вероятность ложной тревоги, а р — множитель, определенный в начале параграфа. Отсюда следует, что в предполагаемом случае т > 1 существует оптимальное время прохождения маршрута, получаемое минимизацией риска (19) по Т:

Т = (( 2 т - 1) р 8^|1/2т

Соответствующая максимальная вероятность того, что объект не будет обнаружен на оптимальном маршруте, выражается как

2 m 1 2 m 1 1

Pmax = exp і -no2m (2m- 1)“ 2 m a 2 m (в5)2m

(Напоминаем, что n0 — число взглядов наблюдателя за единицу времени.) На рис. 2 приведены зависимости оптимального вероятностного риска от времени прохождения маршрута при различных значениях вероятности ложной тревоги a.

Разберем теперь случай, когда в формуле (12) Cj = 0 и, следовательно, у = 0, y = const. В этом случае имеем задачу об уклонении, когда управляемый объект удаляется от наблюдателя. Второе из уравнений (11) приводится к виду 2тГ + (2m — 1) Г2 = 0,

m - 1 r

• s'* m

откуда получаем r = Ce и для подынтегрального выражения в риске — значение Cm. Для р = er

X

X

X

X

опт

нсобн

0,2

0,15

0.1

0,05

/ і і і \ \ і \ і *\ і

і і Л і і \ і і \ і \ :

I і 1 V л і ч : \

■ ? 1 1 і / N Ч \ ч 'ч ч.

і / / / / ч :Ч ■ V. *ч •ч.

10 15 20 25 30 35 40 Т„

Рис. 2. Зависимость оптимального вероятностного риска от времени Т прохождения маршрута:

------ - а = 0,0001;----------а =0,00005; -•- - а = 0,000025

получаем дифференциальное уравнение р = Cp1/m, из которого с учетом граничных условий

следует, что C =

m

т-1 m - 1

--2- --------2-

P2 P1

. Таким

(т - 1 )Т^

образом, для вероятностного риска получаем следующую зависимость от времени Т:

Яр(Т) = а Т + р50/Тт,

где 80 =

m

m - І

m-- -1-- m-- -1--

2 2 P2 P1

\m + 1

Оптимальное время Топт = (р5о/а)

В случае т = 1 критерий (11) принимает вид

т

ЛР = | [а + р( Г2 + у2 )]А, (20)

0

и, как в работе [3], уравнения Эйлера имеют вид

Г = 0, у = 0 откуда Г = ср у = с2 и согласно вы-

ражению (20)

т

Яр = | [а + р( с2 + с2 )]А (21)

0

и г = Ту + с^, у = у1 + с2?.

Отсюда в силу граничных условий г (0) = 1пру, г(Т) = 1пр2, у(0) = уу, у(Т) = у2 получаем

1 = - , c2 = І(у2 - у1)

c = І inP2

T P1

и согласно выражению (21)

Яопт(Т) = аТ + рб/Т, (22)

где 81 = 1п2 Р-2 + (у2 - уу)2.

1 Р1 2 1

Таким образом, в случае т = 1 оптимальное время прохождения маршрута, получаемое минимизацией риска (22) по Т, выражается как

Топт = (РУа)172.

Отметим, что во всех рассмотренных случаях оптимального в смысле энергетического критерия времени не существует, ибо оптимальное значение энергетического риска стремится к нулю при Т ^ да.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Получена зависимость вероятности обнаружения управляемого объекта от закона его движения из заданной начальной точки в заданную конечную точку в конфликтной среде с несколькими наблюдателями. На примере одного наблюдателя показано, что оптимальный закон движения согласно вероятностному критерию оказывается таким же, как по критерию минимума энергии, принятой наблюдателем от шумящего объекта. Однако в случае вероятностного критерия существует оптимальное время прохождения маршрута, тогда как энергетический риск стремится к нулю при неограниченном увеличении этого времени.

Выражаю благодарность канд. техн. наук И.М. Рудько за предоставление экспериментальных результатов.

ЛИТЕРАТУРА

1. Zabarankin M., Uryasev S., Pardalos P. Optimal Risk Path Algorithms // Cooperative Control and Optimisation Ch. 1 / Eds. R. Murphey, P. Pardalos. — Dortrecht: Kluer Acad., 2002. — P. 271—303.

2. Zabarankin M., Uryasev S., Murphey R. Aircraft Routing under the Risk of Detection // Naval Research Logistics. — 2006. — Vol. 53, N. 8. — P. 728—747.

3. Галяев А.А., Маслов Е.П., Рубинович Е.Я. Об одной задаче управления движением объекта в конфликтной среде // Изв. РАН. Теория и системы управления. — 2009. — № 3. — С. 134—140.

4. Леман Э. Проверка статистических гипотез. — М.: Наука, 1964. — С. 498.

Статья представлена к публикации членом редколлегии Е.Я. Рубиновичем.

Сысоев Леонид Павлович — канд. техн. наук, ст. науч. сотрудник, Институт проблем управления им. В.А. Трапезникова РАН, г. Москва,

® (495) 334-91-61, И sysoev@ipu.ru.