CC BY
59
УДК 519.6:519.63
DOI: 10.18698/1812-3368-2018-5-65-82
КРИТЕРИЙ РАЗВИТИЯ ТРЕЩИН В ПОРОУПРУГОЙ СРЕДЕ
М.М. Рамазанов1' 2 mukamay-ipg@mail.ru
Е.Б. Савенков1 e.savenkov@googlemail.com
1 ИПМ им. М.В. Келдыша РАН, Москва, Российская Федерация
2 Институт проблем геотермии Дагестанского научного центра РАН, Махачкала, Республика Дагестан, Российская Федерация
Аннотация
Центральным моментом классической теории развития трещин, основанной на сформулированной А. Гриффит-сом и Г. Ирвином концепции хрупкого и квазихрупкого разрушения, является критерий развития трещин. Этот критерий может быть сформулирован в разной форме. В зависимости от конкретной задачи, каждая из этих форм может быть более или менее удобной для исследования процесса роста трещин. Основные результаты, полученные в рамках этой теории, относятся к деформируемым телам, подчиняющимся законам линейной упругости. В связи с многочисленными практическими приложениями, актуально обобщить указанные формулы на пороупругие среды. Предложено обобщение на случай деформируемых пороупругих сред Био результатов, полученных ранее для чисто упругих сред. Показано, что поле давления в окрестности кончика трещины, как и поле напряжений, в общем случае испытывает сингулярное поведение. Это позволило получить критерий развития трещин в пороупругой среде, учитывающий влияние поля давления жидкости в порах
Ключевые слова
Механика разрушения, трещина, ¡-интеграл, пороупругость, уравнения Био
Поступила в редакцию 12.09.2017 © МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2018
Работа выполнена при финансовой поддержке Российского научного фонда (проект № 15-11-00021)
Введение. При достаточно больших напряжениях, возникающих вследствие приложения больших нагрузок, все твердые тела разрушаются. Разрушение может иметь различный характер: хрупкое; квазихрупкое; вязкое; упруго-пластическое и т. д. Тело называется хрупким, если вплоть до разрушения его деформации и напряжения подчиняются законам линейной теории упругости. При хрупком разрушении в телах формируются и распространяются макроскопические трещины. При квазихрупком разрушении в приповерхностном слое малой толщины на берегах трещин возникают пластические деформации.
Теория развития трещины в упругой среде в рамках подхода Гриффитса и Ирвина [1-3] достаточно хорошо разработана. В соответствии с этой теорией для развития трещины в упругом теле необходимо, чтобы уменьшение энергии деформации на единицу площади вновь образовавшейся поверхности трещины
достигало некоторого критического значения. Таким образом, при развитии трещины в точках ее роста происходит отток упругой энергии. Основной задачей механики хрупкого разрушения является определение указанного потока энергии, определяющего условие развития трещины. Эта величина может иметь различную форму. Одна из них связана с использованием концепции /-интеграла, который характеризует интенсивность высвобождения энергии при развитии трещины в твердых деформируемых средах. Впервые выражение для скорости высвобождения упругой энергии при росте трещины было получено Г. Черепановым [4] и названо Г-интегралом. Дж. Райс (J. Rice) [5] при рассмотрении деформаций в окрестности кончика трещины в нелинейно-упругом теле ввел аналогичное понятие и назвал его /-интегралом. Фактически оно совпадает с введенным ранее Г-интегралом Черепанова.
В настоящее время /-интеграл является широко известным инструментом, используемым для анализа распространения трещин в деформируемых твердых средах. С его помощью могут быть вычислены коэффициенты интенсивности напряжений на фронте трещины [6]. В свою очередь, значения последних могут быть использованы в качестве критериев развития трещины, а также для определения направления ее эволюции.
В отличие от чисто упругих тел существенно меньше теория развития трещин разработана для насыщенной жидкостью пороупругой среды. Настоящая работа нацелена на частичное восполнение этого пробела.
Рассматриваемый класс задач имеет множество важных приложений. В частности, теория пороупругости применяется для анализа ряда задач разработки нефтегазовых месторождений. В свою очередь, теория развития трещин в поро-упругих средах представляет собой основной теоретический инструмент анализа процедуры гидравлического разрыва пласта, являющийся одним из распространенных методов увеличения нефтеотдачи.
Формула для потока энергии, связанного с развитием трещины в пороупругой среде. Рассмотрим двуфазную среду, в которой одна фаза является твердой деформируемой пористой проницаемой матрицей (скелетом), а вторая — жидкой (подвижной) средой. Первую среду обозначим индексом «s» (solid), вторую — индексом «f» (fluid ).
Формула для оттока энергии в точках роста трещин в упругой среде хорошо известна. Для вывода этой формулы используют различные подходы [7, 8]. Указанная формула обобщена на случай трещины в пороупругой среде, насыщенной жидкостью, при этом использован подход, изложенный в работе [7].
Рассмотрим неограниченную пороупругую среду. Пусть в среде имеется увеличивающаяся со временем t трещина со срединной поверхностью Е = E(t). Фронт трещины — (одномерный) край öS этой поверхности.
В случае развития трещины как в чисто упругой, так и в пороупругой среде обобщенный закон сохранения энергии для произвольного объема V среды записывается в виде [7]:
йК + йи = йА(е) + йО(е) + йА^. (1)
Здесь К — кинетическая энергия; и — внутренняя энергия; йА(е) — приток энергии за счет работы внешних объемных и поверхностных сил; dQ(e) — внешний приток теплоты.
Величина йА^ представляет собой поток энергии в особых точках (фронте, в двумерном случае — кончике трещины), необходимый для развития трещины, т. е. движения указанных точек концентрации напряжений. Если трещина не перемещается или объем V не содержит точек фронта трещины, то указанная величина равна нулю. Выражение для этой величины в случае развития трещины в чисто упругой среде хорошо известно [7, 8].
Введем декартову ортогональную систему координат Оха, а = 1,2,3 (здесь и далее нижними греческими индексами обозначим оси системы координат и соответствующие компоненты векторов и тензоров; по повторяющимся индексам предполагается суммирование). Рассмотрим случай малых пространственных деформаций. Тогда эйлеровы и лагранжевы координаты точек скелета совпадают. Пусть иа = иа (I, хр ) — компоненты поля перемещения точек среды.
Математическая модель пороупругой среды Био имеет вид
dCgp
дха
dm/ +ôwc dt дха
de , dvs>a л д п , ^ \ , i t \ — + ^^^ = -(hfWa+ Qa) + {fa-y f ,<x)wa ;
dt OXa OXa
+ms (fß-Ys,ß) + mf (/ß-yf>ß) = 0; Baß = l/2(дыа/дхр+дыр/дха);
= 0;
(2)
wa = kp
— + Pf (fa-У f ,a)
n / ÖT / Pfk Qa=~kr-—, kp . дха ц
dx0
Здесь djdt = djdt + vs,a djдха ; mf =pf ф — содержание флюидов; wa = = Pfф(Vf>a~vs>a) — компоненты вектора плотности потока массы жидкости; p f — плотность жидкости; ф — пористость; Vf ,а, vs,a=öua/öt — компоненты скорости жидкости и скелета; стар — компоненты тензора напряжений Коши; fp — компоненты вектора массовой плотности внешних сил; уs,a = dvSta/dt, У f, a = dvf, dt — ускорения скелета и жидкости; ms =ps (l -ф) — средняя плотность твердой фазы; hf = ef + p/p f — удельная массовая энтальпия жидкости, p — давление жидкости; dap = l/2 {дv$|дxa+дva|дx$} — компоненты тензора скоростей деформаций; e = (l -ф)р ses + фр fef — объемная плотность внутренней энергии, ef — удельная массовая энергия жидкости, es — удельная массовая энергия скелета; k — коэффициент проницаемости; ц, — вязкость жидкости; Qa — вектор потока теплоты; kT — коэффициент теплопроводности; sap — компоненты тензора упругих деформаций.
Определяющие соотношения для скелета
^ар -^0,ар = Саруб [sys -So,yS - ayg (T - To )]- Ьар (p - po);
ф-фо =bap(sap-So,ap)+ N (p - po )-«ф(Т - To); (3)
ss ~ sso - Сару5асф (syS _ so,yS ) _ аф (p ~ po ) + С
T - To
To
где Capyg — компоненты симметричного тензора упругих коэффициентов; С — удельная объемная теплоемкость скелета при постоянных sap и p; N, Ьар — параметры Био; аф — коэффициент температурного расширения скелета; ays — компоненты тензора температурного расширения скелета.
Рассмотрим некоторую область V, содержащую фронт (кончик) трещины. Учитывая (2) и (3), запишем уравнение энергии (1) для выбранной области:
J Amd& + J Aeds - J Qanads = — J eda +—J Kda + ^^, (4)
V 8V 8V dt v dt V dt
где Am , Ae — работа, совершенная в единицу времени объемными силами, и поток энергии через границу dV области V; Qa — поток теплоты; K — кинетическая энергия единицы массы; dn/ dt — изменение энергии, связанное с увеличением площади поверхности трещины внутри объема V в единицу времени. Выражения для этих величин имеют вид
к=2 [ps (1 -Ф)у2 +Р f Фу 22 ];
Am =[Ps (1 — Ф) Vs,a ^ Р f фVf ,a]fa ; Ae =
^apnavs,p
( V2 ^ f + hf 2 f
wan
a^a
/
(5)
i,2 _ ,
где уу = Vу,аУ/,«, V$ = ,аУ5,а — квадрат нормы вектора скорости жидкости и скелета; па — компоненты вектора единичной внешней нормали к поверхности дУ.
Пусть в некоторый момент времени £ трещина представлена поверхностью 2, а в момент времени £ + Д£ — поверхностью Е + ДЕ. Полагаем, что в оба момента времени область У содержит часть поверхности трещины вместе с краем. Площадь трещины также обозначим через
Обозначим через и вектор перемещения точек скелета из некоторого
. г
начального состояния в состояние в момент времени £, а через и — вектор перемещения из того же начального состояния в состояние в момент £ + Д£.
Используя уравнение (2) для моментов времени £ и £ + Д£ для точек объемом У, можно записать соотношение
д
(стаР+саР) + ^ + Ра= 0; Ра= т5 (/р-у5,р) + ту (/р-уЛр). (6)
дХа.
Здесь без штрихов приведены величины в текущий момент времени t, а со штрихами — те же величины в момент времени I + At.
Умножим (6) на выражение Диа/2 = (и'а — иа)/2. Суммируя и интегрируя сумму по всему объему тела, с учетом линеаризованной постановки задач получаем
1 J (tfaß+CTaß)(Ma- Ua)npds +1 J(fa + Fa)(u'a~ üa)d& =
'S+AI
= 1J
2 J
2 У
(
5yS , öys
ч ÖSaß Ssaß y
-(u'a ~ ua )dra;
dxp
(7)
d^s = ^aßdSaß + pdф - SsdT, Caß =
de
P = , Ss =-
aß
аф
ÖT
где у 5 — удельная свободная энергия Гельмгольца твердой фазы.
Вычислим подынтегральное выражение в правой части (7), для чего найдем разность
Ys (Saß , ф', T')-Ys (Saß , Ф, T ) =
Ctys * 1
-TT- ABaß+-
C^aß 2
д2 у s
-Asf
52^ AT
As
aß
¿V s +1 дф + ^ AT
5ф 21 5ф
dys +1Г д2уs AT + 52Vs
8T 2{ 8T2
ST 5ф
AT,
затем
^ (s«ß, Ф', T') dys (saß, ф, T _
de'
aß
de
aß
-Asy +
8 V s
, + AT.
5saß dey5saß 5ваР5ф 5saß5T
Из этих двух равенств имеем
w's (Saß, Ф', T')-Vs (Saß, Ф, T) = -
2 + s
5saß 5saß
Asap + рДф- Ss AT
или
2 + A/V s
5saß 5s aß Подставляя (8) в (7), получаем
Asaß = Ys (Saß, Ф', T') - Ys (saß, Ф, T) - рАф + Ss AT. (8)
1 J ^aß(ua-Ua)npds+1 J oapu'an$ds + $oaß(u'a-ua)npda +
2AE 2AZ E
+ JFa (u'a -ua)da = J(Ays -рАф + SsAT)dra,
У У
или
_ J aap(wâ_ua)npds + — J Oaßu'an^ds + ^aaßduaHßds + JFaduada =
2 AS 2 AS S V
= j(dys -pdф + SsdT)dra.
V
Рассмотрим теперь интегральный закон сохранения энергии | Атй& + | а— - | Qa.na.ds = — | ейю +—| Кйа + ^^
V дV дV й V й V й
и локальное уравнение притока теплоты
de dvs,a , д ( , ( ,
— + ^ = ^aßdaß Г-{hfWa+ Qa) + {fa ~У f ,a)Wa.
dt ÖXa ÖXa
(9)
(10)
(11)
Интегрируя (11) по объему и вычитая из (10), получаем уравнение, которое вместе с (9) дает следующую систему:
J Amd(ä + J
дУ
Vf
^apnaVs,ß--— Wana
ds =
dU
= J[CTaßdaß+(fa-Y f ,a)w a]d — J Kd(ü+— ;
dt
dt
(12)
— J aaß (u'a - ua )npds + — J capuânßds + J <japduanpds + J Faduada =
2 AS 2 AS S У
= j(dys -pdф + SsdT)dra.
(13)
У
Умножая (12) на At и вычитая из полученного уравнения соотношение (13), окончательно имеем
ДП= 2 | <5ар(и'а- Ыа)пpйs + 2 | СарЫа npйs,
2 AS 2 AS
или
dn 1
•= lim
dl AS^0 2AI
J Gaß(u'a- ua)npds + J Oapu'a npds
LAS AS
(14)
Таким образом, формула (14) позволяет вычислить скорость оттока энергии при росте трещины. Отметим, что формально выражение (14) не отличается от аналога для чисто упругой среды, однако в этом случае в выражение для тензора напряжений входит давление жидкости в порах, как это следует из (3).
/-интеграл для пороупругой среды. Формулу (14) удобно использовать, когда имеется аналитическое решение задачи. В случае когда задача может быть
решена только численными методами, как показывает опыт теории трещин в упругой среде, удобнее применять другую формулу. Речь идет о вычислении энергии развития трещин с помощью так называемого /-интеграла. Рассмотрим для простоты одномерную трещину в плоскости Ох1х2, распространяющуюся вдоль оси Х1.
Если процесс совместного деформирования скелета и течения жидкости является медленным, то можно пренебречь силами инерции у 5,а, у у ,а и кинетической энергией. Тогда выражение для /-интеграла примет вид
j =1
d£ ду
dun OX1
ds - f р dro + Л,
У 8X1
л = 1
у
DT 8u„ ss~--PJа
da, (15)
дх1 дх1 _
где — удельная объемная свободная энергия Гельмгольца скелета,
V5 - V50 = СоарАвар + роАф - 55оАТ+2( АсарАвар + АфАр - А55АТ).
Величина Л связана с работой массовых сил и неизотермичностью процесса.
Отметим, что формулы (14) и (15) получены из одного и того же исходного уравнения, т. е. обобщенного закона сохранения энергии с учетом развития трещины, поэтому они дают два различных способа вычисления одной и той же величины.
Потенциальная энергия пороупругой среды с трещиной. В теории упругости хорошо известно, что в упругом теле при механическом равновесии потенциальная энергия достигает минимума как функционал допустимых виртуальных перемещений [7]. Если указанное тело содержит движущуюся трещину, выясняется, что вариационная производная указанной потенциальной энергии по длине трещины равна энергии, необходимой для развития трещины, т. е. /-интегралу [9]. Покажем, что аналогичное утверждение справедливо и для пороупругой среды. Для этого предварительно необходимо обобщить выражение потенциальной энергии.
Потенциальная энергия чисто упругой среды для изотермических процессов определяется как [7]:
Р = |(Жвар)-рТу щ)| Ту иу^5, (16)
У Бт
где Ш (бу) — объемная плотность свободной (упругой) энергии; Fi — массовая плотность внешних сил; Т1 — поверхностная сила, заданная на части Бт поверхности тела, на остальной части задано перемещение, ЗУ = и.В (16) можно рассматривать компоненты вектора перемещений и как обобщенные координаты, а величины Fi, Т1 — как обобщенные силы.
Если обобщенные силы заданы и по определению не варьируются, то из (16) получим известный результат:
5P = 0, (17)
т. е. вариация потенциальной энергии в положении механического равновесия относительно обобщенных координат равна нулю. Для линейно упругого тела можно показать, что потенциальная энергия при этом имеет минимум.
В случае пороупругой среды этот потенциал для изотермических процессов обобщается следующим образом:
P = J[ys(saß,Ф)-pfy-pFy uy]da- J Ty uyds. (18)
У ST
Здесь, по сравнению с (16), имеется дополнительная обобщенная координата ф и соответствующая обобщенная сила р. Если в рассматриваемом теле нет трещин, т. е. эти поля гладкие и не имеют сингулярности, то получим, что выполняется равенство (17). В случае наличия трещины [9] для чисто упругой среды вариационная производная по длине трещины равна /-интегралу. Покажем, что аналогичное равенство имеет место и для пороупругой среды.
Рассмотрим пространственно двумерный случай. Пусть одномерная прямолинейная трещина занимает отрезок [0, /] на оси Ox1 в плоскости Ox1x2. Возьмем произвольную область V с границей Г = 8V, содержащую кончик трещины (рисунок). Полагаем, что на части границы ST задана сила T, а на оставшейся части Su границы Г — вектор перемещений u. Границы трещины свободны от нагрузок. Далее для простоты предположим, что массовые силы отсутствуют (при необходимости они могут быть учтены так же, как и изменение температуры).
Пусть теперь трещина получает приращение Al, в результате чего происходит изменение полей, описывающих состояние среды. Для какого-либо поля f его результирующее состояние обозначим как f + Af. Одновременно с этим будем полагать, что область V сдвигается как единое целое вместе с кончиком трещины. Результирующую область можно представить в виде V + avr - aVL (см. рисунок).
В процессе развития трещины поля, описывающие состояния среды, изменяются. Рассмотрим их как функцию трех переменных: двух пространственных координат xa и длины l трещины, f = f (x1, x2, l).
Отметим, что имеет место равенство
J Ty Auyds = J (Ty + ATy) Auydro, (19)
ST г
х2 ,
UvL ( \avr\
к ........."'' V+ AV
I 1 + Ы х^
Схема для вычисления потока энергии при развитии трещины в пороупругой среде
которое следует из того, что ДГУ = 0 на ST, Auy = 0 на Su и Ty0 + ATy =0 на берегах трещины.
Вычислим вариационную производную потенциальной энергии по длине трещины
- — = lim— \ \(ТУ + ATy)Auyds +
dl ai^0 Al7 1} 1
+ J[рАф-Vs (saß+Asaß,ф +Аф^ + ys (saß,ф)]1; у J
lim — f (TY + ATy ) Auids + lim — f pAфdx1dx2 =
Al^0 All У ' i л'J 1 2
Al^0 Al
r„/„ ,4Öuy(Xi, X2,l ) CT/V i4^uy(X1, x2,l К
= J Ty(Xi,X2,l )—i-^l--ds-J Ty(Xi,X2,l )—--ds-
+J p
0ф(Х1, X2, l ) 0ф(Х1, X2, l )
dxidx2,
dl dx1
где X1 = x1 -1.
Согласно приведенной схеме (см. рисунок) можно записать
lim -1 |Гуs (saß+Asaß,ф + Аф)-уs (saR,Ф )] dx1dx2 =
Ai^0 Al у
= lim— J J ys (X1, x2, l0 +Al )dX1dx2-Jys (X1, x2, l0 )dX1dx2l =
Al
ку+АУ!-ДУд
f / 7 \ 7 I- (X1, X2, l ) = -J ys (X1, x2, l ) dX1dx2 + J--1 dX1dx2
dl
и
cd^s (X1, X2, l) öeaß(X1, X2, l) дф( X1, X2, l) , ,
J--1 dX1dx2 = fl caß--+ p—-|dX1dx2 =
У dl у ^ dl dl
fWv лдщ (X1, x2, l) . ^(Xb x2, l) = J Ti (X1,x2,l)----dX1dx2 + J p—---dX1dx2.
y dl у dl
В результате получим
_ dp _ , dl "i
уsdx2 - T ds
dx1
- f p — da = J.
у 8x1
(20)
Формула (20) может оказаться полезной при вычислении потока энергии в процессе развития трещины. Если надлежащим образом обобщить выражение (18) для потенциала, то равенство (20) можно получить и в более общем неизотермическом случае, а также с учетом массовых сил.
у
Асимптотика полей в кончике трещины, распространяющейся в поро-упругой среде. Любая из формул (14), (15) или (20) позволяет вычислить энергию, необходимую для развития трещин в пороупругой среде, если известны поля перемещений, напряжений и деформаций. На фронте (кончике) трещины поля напряжений имеют особенность. Информация об асимптотическом поведении решения в окрестности этих точек представляет существенный интерес. Для чисто упругой среды соответствующая асимптотика известна [7, 9-11].
Аналогичная задача для пороупругой среды гораздо более сложная, ее исчерпывающее решение до сих пор не известно. Решение этой задачи будет получено ниже для одного частного, но важного для приложений случая.
Рассмотрим неограниченную двумерную пороупругую среду, в которой расположена трещина, представляющая собой отрезок Г = [-а, а] оси Ох1. Будем полагать, что трещина развивается из некоторого известного начального состояния, т. е. а = a(t). Конкретный закон роста трещины в рассматриваемом случае неважен.
Получим асимптотики полей перемещений, напряжений и давления на больших временах в случае, если трещина развивается достаточно быстро, т. е. характерное время изменения длины трещины существенно меньше фильтрационных времен в среде.
Будем полагать процесс изотермическим, а среду — изотропной и однородной. Опорные значения параметров примем равными нулю. В этом случае (см. (3)) bap = Ь5ар (5ар — компоненты единичного тензора), аф = 0, уравнения и определяющие соотношения модели Био пороупругой среды принимают вид
„ - °> ^aß - 2M£aß + ^SaßSyy - b5app; Sap = -
dxc, 2
öxp 8x0
8т / 8та п , , 1 , 8р , р /к
+-— = 0, т/ =р/ф, ф= —р + ав; wa=-kp-^, кр =-*—, (21) 8Ь 8ха N 8ха ц
где X, ц — коэффициенты Ламе; в = ваа — след тензора деформаций.
Граничные условия на берегах трещины Г1 соответствуют заданному в трещине давлению:
п ±-а-п ±=-рс; т ±-ст-п ± = 0; р± = рс. (22)
Здесь рс — заданное распределение давления в трещине; т — произвольный касательный к срединной поверхности трещины вектор; п — вектор единичной внешней нормали; верхним индексом « + » обозначены величины, отнесенные к берегам Г1 трещины. Касательно вида зависимости рс от координаты и времени будем предполагать, что она является достаточно гладкой и ограниченной. На бесконечности полагаем заданными условия затухания
ст ^ 0 , Ур ^ 0 (23)
при х2 + х22 ^ да.
В начальный момент времени I = 0 распределения полей имеют вид
ст = 0, р = 0.
Представим решение задачи (21)-(24) в виде суммы двух полей
и = Щ + Щ, СТ = СТ1 +СТ2, р = р1 + р2.
Первая компонента решения удовлетворяет системе уравнений
"Т-— — 0, CTiaß — 2^,Siaß + ^5aßSiyy - b5aßpi, Siaß — —
ox„ 2
( duig | duip^
dxn dxc,
Api = 0
с граничными условиями
п±-а1 •п±=-рс, m±•a1 п ± = 0, рг = рс
на берегах Г1 и условиями убывания на бесконечности
ст1 ^ 0, Ур1 ^ 0, %2 + %2
В (26) А — оператор Лапласа.
Вторая компонента решения будет удовлетворять системе уравнений
da
2aß
dx„
- 0, CT2aß - 2^,S2aß + A,5aßS2 yy ~ Ь8ар p2 ;
s2aß - 1 f dula + 2 ^ dxp dU2p Л _ dxa J'
i dp2 Ni dt i ь 77 dt k л = -Ap2 - Ц Ni dt
i i i i Ф0 Фf
de
iyy
dt
Ni N Kf Kf p f dp с граничными условиями на берегах Г1 и на бесконечности n ±-a2n ±= 0, m ±-a2n ±= 0, p2 = 0,
c2 ^ 0, Vp2 ^ 0, x2 + x2 ^ да
и начальным условием
CT 2 =-CTi, p2 =- pi
(24)
(25)
(26)
(27)
(28)
(29)
(30)
(31)
(32)
при t = 0.
Отметим, что задача (26)-(28) для напряжений формально ничем не отличается от аналогичной задачи в упругой среде с учетом температурных деформаций. Поэтому можно использовать метод, приведенный в работе [10]. Для этого введем комплексную функцию ¥(г), действительная часть которой равна давлению р, и аналитические функции:
u* + iv* = JF(z)dz, щ = «{и—---tí*, Vi = vj н—---v*.
2 (Л, + ц)
2 (Л, + ц)
(33)
Подставляя (33) в выражения (26)-(28), формально получаем задачу для чисто упругой среды
""Г--0, Ciaß - 2^,8iaß+AOaß8iaß, Si aß -
8x„.
i du'la | Suip
' л
dxp, dxn
с граничными условиями
п ±-а1 п ±=-рс, т ±-с1 п ±= 0
на берегах Г1 и условиями убывания на бесконечности. Решение задачи (34), (35) имеет вид
Ст1,11 = Ие 21 - у 1т , 01,22 = Ие + у 1т , сти2 = - у Ие 2[; =(1 - 2с)Ие - у 1т Х1, 2^у{ = 2 (1 -с)1т - у Ие
где
Zi =■
i
j dZL=Zl
Wz2^a2 -a zdz
Решение задачи (26)-(28) для давления запишется как
i
(34)
(35)
(36)
(37)
(38)
pi = - Re
i Pc (S,' di
= -Re Zi.
(39)
ял/г2 - я2 -а 2 ~ 4
Отметим, что из (36) и (39) следует равенство
01,11 +01,22 =-2 р1. (40)
Введем в окрестности кончика трещины г = а полярные координаты (г,9), такие, что точка г = 0 соответствует кончику трещины. Тогда при г ^ 0 имеем
(4i)
следующие асимптотические выражения для наиденных полей:
0 0
, C0S2 (л • в . 30^ , C0S2 L . 0 . 30 .
am = k¡ ,—— I 1 - sin—sin— I, С! 22 = k¡ .—— I 1 + sin—sin— I, ' \2жг \ 2 2 J ' \ 2 2
, cos(0/2) 0 30 , cos(0/2)
^1,12 = k¡-^— sin-cos—; pi = -k¡-^— 7;
y]2m 2 2 V2rcr
, ki r 6(, ^ . , Q") , ki r , 0',
ui=—J—cos — I i - 2ст + sin2 — I; Vi =—J—sin—j 2 - 2a-cos— |, (42) ц \2% 2 ^ 2) ц \2% 2
kjpc (^az^z. (43)
где
/па -а
В этом случае выражения для соответствующих «истинных» перемещений примут вид
< Ь * , Ь *
Щ = -гЩ*; У1 = VI +—--VI. (44)
2 (А, + ц) 2 (А, + ц)
Отсюда с учетом (33), (40), (42) получим
ki ¡г _ цЬ , 0
U =—J —cos — I i - 2с---h sin —
ц, V 2л 2 ^ Я + ц 2
ki ¡У^ Mb _, 0
v— =—J—sin — I 2 - 2с---cos —
ц, V 2л 2 ^ Я + ц, 2
(45)
Перейдем к определению второй компоненты решения, удовлетворяющей системе уравнений (29)-(32). Рассмотрим уравнение для массового содержания жидкости (уравнение для давления) в системе (29):
1 & + ь = к Др2 -1 ^ - Ь ^. (46)
N 8t 8t ц N 8t 8t
Пусть кончик трещины г = а движется с постоянной скоростью и0 вдоль положительного направления оси Ох1. Рассмотрим связанную с кончиком трещины систему координат и предположим, что движение в этой системе координат установившееся. Это условие будет выполняться, если рассматриваются достаточно большие времена и движение трещины является быстрым по сравнению с процессами фильтрации. Сохраняя обозначения координат, имеем в подвижной системе координат уравнение
1 ф2 , 8^2п к . 1 8р1 , Зеьу
N1 ох1 8х1 ^ N1 ох1 8х1
с граничными условиями р2 = 0 на трещине и условиями затухания Ур2 ^ 0 на бесконечности.
Если правая часть уравнения (47) тождественно равна нулю, то и р2 = 0. Поэтому характер поведения решения р2 полностью определяется правой частью (47). Решение этого уравнения, удовлетворяющее граничным условиям в окрестности кончика трещины, можно искать в виде
» (2к -1)0 р2 = гаХ ак сое--— + о(га). (48)
к=1 2
Подставляя (48) в (47) с учетом построенного ранее асимптотического поведения первой компоненты решения, получаем
г» (2к -1)0 / Гч , ч
р2 = >/г X ак сое--— + о Ы г I, (49)
к=1 2
т. е. а = 1/2. Если искать решение е2 уу в виде, аналогичном (49) с неизвестными коэффициентами Ьк, то из (47) и (29)-(31) можно определить все коэффициенты ак и Ьк, а также напряжения и перемещения с2, и2, V2. Непосредственной проверкой можно убедиться, что найденные выражения будут бесконечно малыми по сравнению с соответствующими величинами для первой компоненты решения. В рассматриваемом случае ими можно пренебречь.
Следовательно, выражения (41)-(45) решают поставленную задачу. Отметим, что в рамках сделанных допущений поправка на фильтрацию по сравнению с чисто упругой задачей в первом приближении не зависит от скорости движения трещины.
Критерий развития трещины в пороупругой среде. В соответствии с изложенным выше для решения задачи в окрестности кончика трещины второй компонентой решения можно пренебречь и асимптотика в окрестности кончика трещины полностью определяется первой компонентой решения (поля с индексом «1»). Задачу (21) для напряжений и деформаций (далее индекс «1» опущен) с учетом (40) и сделанных замечаний можно записать в виде
' — 0; — /Ц8ар + AiOapSyy, Л— — А + -
дх „
1 - Ь
i
saß ——
дыа + дыр дхр дха
\
(50)
Задача (50) по форме совпадает с соответствующей задачей в случае чистой упругости. Различие заключается только в том, что теперь вместо коэффициента X в задачу входит «эффективный» коэффициент Л,1. Соответственно поменяются все коэффициенты в определяющих соотношениях теории упругости, кроме коэффициента Ламе ц. Запишем некоторые из них:
ei = + -
Ьц
K— = K +
Ь (Х + ц)
Е— = Е +
Ьц2
(51)
2 (^, + ц)' 1 -Ь * ^ + ц
Вычислим значение /-интеграла с учетом полученного решения. Согласно (15), в изотермическом случае имеем
дир
J =1
дУ
^ sn— ~Gapn0
дх—
i
ds-fp-da, d^s =aaßdsaß+ pdф, ф = — p + bs. (52)
У oxi N
Учитывая полученные выше результаты, (52) существенно упрощается. В частности, объемный интеграл в (52) переходит в поверхностный:
J =1
дУ
Fsni -capna
дыр 8х—
Saß
dw, Fs = J capdsap.
(53)
Выражение (53) отличается от выражения для случая чистой упругости только тем, что коэффициенты упругости теперь «эффективные». Результат вычисления (53) для полей (50) хорошо известен [10]. С учетом этого имеем
J - ^ Ч -
2ц
1 -о
2ц 4 (А, + ц)
k2, (54)
где к1 — коэффициент интенсивности напряжений, который зависит от длины трещины и нагрузки точно так же, как и для чистой упругости.
Формула (54) отличается от аналогичной формулы для чисто упругой среды тем, что здесь присутствует параметр Био Ь, характеризующий влияние поля давлений жидкости в порах на напряженно-деформированное состояние пороупругой среды. Это выражение показывает, что при движении трещины в пороупругой среде при прочих равных условиях выделяется меньше энергии.
Заключение. На основании многочисленных экспериментов с различными материалами в широком диапазоне изменения внешних условий была сформулирована концепция квазихрупкого разрушения [11], основанная на классических работах А. Гриффитса и Г. Ирвина. Согласно этой концепции, величина необратимой работы, затраченной на образование единицы площади свободной поверхности тела при развитии трещины, является постоянной материала.
Теория хрупкого и квазихрупкого разрушения материалов, подчиняющихся линейным законам упругости, хорошо развита. Значительно меньше развита соответствующая теория для пороупругих деформируемых тел, в которых имеет место фильтрация и связанные с ней релаксационные процессы. Например, если трещина покоится и граничные условия стационарные, то в общем случае коэффициенты интенсивности будут зависеть от времени.
Представлены результаты, обобщающие предложенные А. Гриффитсом и Г. Ирвином классические подходы к исследованию механики хрупкого разрушения для случая пороупругих сред. В частности, получены различные выражения ((14), (15) и (20)) для потока энергии пороупругой среды в точках контура трещины нормального отрыва на единицу вновь образовавшейся площади трещины. Для того чтобы движение трещины было возможным, энергия, выраженная этими формулами, должна быть не меньше экспериментально определяемого значения у. Чтобы использовать эти формулы, необходимо знать асимптотику величин, характеризующих напряженно-деформированное состояние, и поля давления в жидкости при приближении к контуру трещины. Указанную асимптотику для быстрой плоской одномерной трещины дают формулы (41)-(45). Подставляя эти формулы в (15), получаем выражение (54) для /-интеграла. При этом коэффициент интенсивности связан с нагрузкой и длиной трещины той же формулой, что и для чисто упругой среды. Приравнивая (54) критическому значению, определяем критерий развития трещины в пороупругой среде, учитывающий влияние поля давления с помощью коэффициента Био Ь. При Ь = 0 получаем формулу для чисто упругой среды.
ЛИТЕРАТУРА
1. Griffith A.A. The phenomena of rupture and flow in solids // Phil. Tran. R. Soc. Lon. A. 1921. Vol. 221. P. 163-189. DOI: 10.1098/rsta.1921.0006
2. Irwin G.R. Fracture dynamics // Fracturing of metals. ASM, 1948. P. 147-166.
3. Irwin G.R. Onset of fast crack propagation in the high strength steel and aluminum alloys. Naval Research Lab., 1956. 23 p.
4. Cherepanov G.P. The propagation of cracks in a continuous medium // Journal of Applied Mathematics and Mechanics. 1967. Vol. 31. Iss. 3. P. 503-512.
DOI: 10.1016/0021-8928(67)90034-2
5. Rice J.R. A Path independent integral and the approximate analysis of strain concentration by notches and cracks // Journal of Applied Mechanics. 1968. Vol. 35. P. 379-386.
6. Walters M.C., Paulino G.H., Dodds R.H. Interaction integral procedures for 3-D curved cracks including surface tractions // Engineering Fracture Mechanics. 2005. Vol. 72. Iss. 11. P. 1635-1663. DOI: 10.1016/j.engfracmech.2005.01.002
7. Седов Л.И. Механика сплошной среды. Т. 2. СПб.: Лань, 2004. 560 с.
8. Rice J.R. Mathematical analysis in the mechanics of fracture // Fracture: an advanced treatise. Academic Press, 1968. P. 191-311.
9. Мусхелишвили Н.И. Некоторые основные задачи математической теории упругости. М.: Наука, 1966. 707 с.
10. Райс Д. Механика очага землетрясения; пер. с англ. М.: Мир, 1982. 217 с.
11. Черепанов Г.П. Механика хрупкого разрушения. М.: Наука, 1974. 640 с.
Рамазанов Мукамай Магомедович — д-р физ.-мат. наук, старший научный сотрудник ИПМ им. М.В. Келдыша РАН (Российская Федерация, 125047, Москва, Миусская пл., д. 4), заведующий лабораторией «Геотермомеханика» Института проблем геотермии Дагестанского научного центра РАН (Российская Федерация, Республика Дагестан, 367030, Махачкала, пр-т И. Шамиля, д. 39 а).
Савенков Евгений Борисович — канд. физ.-мат. наук, ведущий научный сотрудник ИПМ им. М.В. Келдыша РАН (Российская Федерация, 125047, Москва, Миусская пл., д. 4).
Просьба ссылаться на эту статью следующим образом:
Рамазанов М.М., Савенков Е.Б. Критерий развития трещин в пороупругой среде // Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. Естественные науки. 2018. № 5. C. 65-82.
DOI: i0.i8698/i8i2-3368-20i8-5-65-82
FRACTURE DEVELOPMENT CRITERION FOR A POROELASTIC MEDIUM
1 Keldysh Institute of Applied Mathematics, Russian Academy of Sciences, Moscow, Russian Federation
2 Institute for Geothermal Research, Dagestan Scientific Center of Russian Academy of Sciences, Makhachkala, Republic of Dagestan, Russian Federation
The central idea of the classical fracture growth theory Fracture mechanics, fracture, J-integ-
based on the concept of brittle and quasi-brittle fracture ral, poroelasticity, Biot equations developed by A.A. Griffith and G.R. Irwin is a fracture growth criterion. There may be various ways to state this
M.M. Ramazanov1, 2 E.B. Savenkov1
mukamay-ipg@mail.ru e.savenkov@googlemail.com
Abstract
Keywords
criterion. Depending on the specific problem, each statement may be more or less practical for investigating fracture growth. The main results of this theory are valid for deformable bodies that comply with linear elasticity laws. Since there exist numerous practical applications, generalising these equations to include poroelastic media is of utmost importance. We present a generalisation of the results obtained previously for purely elastic media for the case of deformable Biot poroelastic media. We show that the pressure and stress fields in the vicinity of the fracture tip exhibit singular behaviour in the general case. This allowed us to derive a fracture growth
criterion for a poroelastic medium that takes into account the Received 12.09.2017 effect of the fluid pressure field in the pores © BMSTU, 2018
The study was supported by Russian Science Foundation (project no. 15-11-00021) REFERENCES
[1] Griffith A.A. The phenomena of rupture and flow in solids. Phil. Tran. R. Soc. Lon. A, 1921, vol. 221, pp. 163-189. DOI: 10.1098/rsta.1921.0006
[2] Irwin G.R. Fracture dynamics. In: Fracturing of metals. ASM, 1948, pp. 147-166.
[3] Irwin G.R. Onset of fast crack propagation in the high strength steel and aluminum alloys. Naval Research Lab., 1956. 23 p.
[4] Cherepanov G.P. The propagation of cracks in a continuous medium. Journal of Applied Mathematics and Mechanics, 1967, vol. 31, iss. 3, pp. 503-512.
DOI: 10.1016/0021-8928(67)90034-2
[5] Rice J.R. A Path independent integral and the approximate analysis of strain concentration by notches and cracks. Journal of Applied Mechanics, 1968, vol. 35, pp. 379-386.
[6] Walters M.C., Paulino G.H., Dodds R.H. Interaction integral procedures for 3-D curved cracks including surface tractions. Engineering Fracture Mechanics, 2005, vol. 72, iss. 11, pp. 1635-1663. DOI: 10.1016/j.engfracmech.2005.01.002
[7] Sedov L.I. Mekhanika sploshnoy sredy. T. 2. [Continuum mechanics. Vol. 2]. Saint Petersburg, Lan Publ., 2004. 560 p.
[8] Rice J.R. Mathematical analysis in the mechanics of fracture. In: Fracture: an advanced treatise. Academic Press, 1968, pp. 191-311.
[9] Muskhelishvili N.I. Nekotorye osnovnye zadachi matematicheskoy teorii uprugosti [Some problems of mathematical elasticity theory]. Moscow, Nauka Publ., 1966. 707 p.
[10] Rice J.R. The mechanics of earthquake rupture. Division of Engineering, Brown University, 1979. 194 p.
[11] Cherepanov G.P. Mekhanika khrupkogo razrusheniya [Fast fracture mechanics]. Moscow, Nauka Publ., 1974. 640 p.
Ramazanov M.M. — Dr. Sc. (Phys.-Math.), Senior Research Fellow, Keldysh Institute of Applied Mathematics, Russian Academy of Sciences (Miusskaya ploschad 4, Moscow, 125047 Russian Federation); Head of Laboratory of Geothermal Mechanics, Institute for Geothermal Research, Dagestan Scientific Center of Russian Academy of Sciences (I. Shamilya prospekt 39a, Makhachkala, Republic of Dagestan, 367030 Russian Federation).
Savenkov E.B. — Cand. Sc. (Phys.-Math.), Leading Researcher, Keldysh Institute of Applied Mathematics, Russian Academy of Sciences (Miusskaya ploschad 4, Moscow, 125047 Russian Federation).
Please cite this article in English as:
Ramazanov M.M., Savenkov E.B. Fracture Development Criterion for a Poroelastic Medium. Vestn. Mosk. Gos. Tekh. Univ. im. N.E. Baumana, Estestv. Nauki [Herald of the Bauman Moscow State Tech. Univ., Nat. Sci.], 2018, no. 5, pp. 65-82 (in Russ.). DOI: 10.18698/1812-3368-2018-5-65-82
ДИНАМИКА
МЕХАНИЧЕСКИХ СИСТЕМ
В Издательстве МГТУ им. Н.Э. Баумана вышло в свет учебное пособие авторов
С. А. Харитонова, A.A. Ципилева «Динамика механических систем»
Рассмотрены вопросы исследования колебаний в механических системах. Представлены методики определения параметров движения колебательных систем с одной степенью свободы, с конечным числом степеней свободы, а также систем с распределенными параметрами. Уделено внимание вопросам устойчивости колебательных процессов механических систем, приведены критерии устойчивости, рассмотрены типовые схемы нагружения узлов и конструкций транспортных машин. Изложены методы исследования вибрационных воздействий и способы борьбы с вибрациями. Даны рекомендации по конструированию виброзащитных механизмов.
По вопросам приобретения обращайтесь:
105005, Москва, 2-я Бауманская ул., д. 5, стр. 1 +7 (499) 263-60-45 press@bmstu.ru www.baumanpress.ru
