Критерии существования предельного цикла в двумерной системе с гистерезисом Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 531.36:534.1

Вестник СПбГУ. Сер. 1. 2012. Вып. 1

КРИТЕРИИ СУЩЕСТВОВАНИЯ ПРЕДЕЛЬНОГО ЦИКЛА В ДВУМЕРНОЙ СИСТЕМЕ С ГИСТЕРЕЗИСОМ*

Т. Е. Звягинцева

С.-Петербургский государственный университет, канд. физ.-мат. наук, доцент, zv_tatiana@mail.ru

В работе рассматривается система автоматического управления

х = у,

У = -осу - ¡Зх - <р а, ^о],

(1)

где а = ау + Ъх, ¡р <т, 950] —гистерезисная функция с положительным гистерезисом (рис. 1). Предполагаем, что а > 0, ¡3 > 0 и Ь2 — ааЬ + а2¡3 ^ 0, т. е. при <р а, = 0 система (1) является асимптотически устойчивой, и передаточная функция системы (1) —невырожденной. Будем считать, что а > 0, Ь > 0 (остальные случаи рассматриваются аналогично).

Системы с подобными нелинейностями возникают при исследовании целого ряда прикладных задач и используются для описания динамики в стационарных системах управления техническими устройствами и в системах управления подвижными объектами. Таким системам посвящено большое количество работ (например, [1-6]). Для изучения устойчивости стационарного множества систем широко применяется второй метод Ляпунова, а также частотные методы, которые дают лишь достаточные условия устойчивости системы или наличия в системе предельного цикла (например, [1, 6, 7]). Однако классические методы исследования фазового пространства позволяют получить необходимые и достаточные условия (например, [2, 5]).

* Работа выполнена при частичной финансовой поддержке Совета по гранта м Президента РФ для государственной поддержки молодых российских ученых и ведущих научных школ (грант №НШ-954.2008.1), и Федеральной целевой программы «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России» (2010-1.1-111-128-033) (Математико-механический факультет Санкт-Петербургского государственного университета).

© Т. Е. Звягинцева, 2012

М

5 о

-М

Рис. 1.

В данной работе через коэффициенты системы получены с помощью классических методов исследования фазового пространства необходимые и достаточные условия существования предельного цикла для системы (1). В зависимости от коэффициентов системы изучаются возможные случаи расположения траекторий на листах фазовой поверхности.

Фазовая поверхность Р системы (1) представляет собой многообразие с краем и состоит из четырех листов Рг, г= 1-4:

у [г,<т, уо] = М на листе Р\ = {(х,у) : а > -кб, а\-к&<а<5 < 0}; р [¿, а, у>0] = = М/(1-к)(2а/б+(1 + к)) на листе Р2 = {(х,у) : -б < а < -кб, & < 0}, ср <т, у>о] = ~М на листе Р3 = {(х,у) : а < кб, а\-5<а<кё > 0}; и р <т, у>о] = М/(1 - /г) (2сг/(5- (1 + к)) на листе Р4 = {(х,у) : кб < а < б, & > 0}; М > 0, (5 > 0, 0 < к < 1, а —производная а в силу соответствующей системы на каждом из листов.

Переход фазовой точки с листа Р\ на лист Р2 происходит по лучу Ь\ = {(х,у) : а =—кб, < 0}; с листа Р2 на Рз — по лучу Ь2 =

{(х,у) : а = -6, а ^й+о < 0}. По лучу Ь3 = {(х,у) : а = кб, а \а^к5-о > 0} точка переходит с листа Рз на лист Р4, а по лучу Ь4 = {(х, у) : а = 5, а |<т^<5-о > 0} — с листа Ра на лист Р\ (рис. 1).

Обозначим через Кг начало луча Ъг (г = 1-4). Лист Р\ ограничен лучами Ь4, Ь\ и отрезком [К4, К{\, лист Рг ограничен лучами ¿¿-1, Ьг и отрезком [Кг~1, Кг] при 1=2, 3, 4.

Решение системы с начальными данными (то, жо, г/о), (жо, г/о) € Рг (¿ = 1~4), при возрастании времени либо достигает края многообразия Р в точке множества [Кг-\, Кг) и не может быть продолжено далее, либо выходит на луч Ъг и продолжается на следующий лист (за листом Р4 следует лист Р\, К о = К4).

Обозначим через Ах и А2 корни характеристического уравнения положений равновесия 0\ (—XI, 0) и О3 (ж1, 0) системы (1) на листах Р\ и Рз, а через Аз и А4 —корни характеристического уравнения положений равновесия 02 (—ж2, 0) и О4 (ж2, 0) системы на листах Р2 и Р4, Ж1 = М//3, ж2 = Мб (1 + к)/(/36 (1 - к) + 2МЪ).

Если МЬ < кб/З, то 0\ £ Р\, О3 € Рз, а точки 02, О4 не принадлежат Р. Если МЬ > кб/З, то 02 € Р2, О4 £ Р4, а точки Ох, Оз не принадлежат Р. В случае МЬ = кб/З Ох = 02 = Кг и 03 = С>4 = К3.

Легко показать, что точки Кг~\, Кг, О® лежат на одной прямой при г =1-4. Определим множество ©: если МЬ > кб/З, то © = (К2, 02] и [О4, К4); если МЬ < кб/З, то © = (К2, К!] и [Ки О!] и [Оз, Кз] и [Кз, К4).

Теорема. Пусть выполнено одно из условий 1-9.

1. МЬ > кб/З, Хг (г =1-4) вещественные, Ах < А2; Аз < А4; аА^+Ь > 0; аХз^+Ь < 0; и выполнены неравенства

(Х2-\4)(аХ3 + Ъ)\Хз/{Х4-Хз) Ах(аА2 + Ъ) (МЪ + б/3)

^ /\ \ \/ \ у \ /Л/П. 7 V ^

> 1, (3)

(А2 - Аз)(аА4 + Ъ)) (А2 - А4)(аА3 + Ъ) (МЬ - кб/З)'

((Аз-А2)ел^"-(Аз-А1)ел^Л Лз/(Л4~Лз) (Л3 - А2) - (А3 - А^ \(А4 - А2) ел1? - (А4 - Ах) еМ) (А2 - Ах)

где £ определено равенством

Л2ел1? _ л л2? = (А2 — Х\)(МЬ — кб/З) 2 1 (МЪ + б/3) ■ [)

2. МЪ > кб/З, Хг (г =1-4) вещественные, Ах < А2; Аз = Х4, > 0, аХз+Ь < О

и выполнены неравенства

( (оМ + Ъ) Л3 \ ^ Х1(аХ2 + Ъ) (МЬ + 6/3)

(аАз + Ь)(А2 - Аз) ) (А2 - А3)(аА3 + Ъ) (МЪ - кб/З)'

( А3(ел^" - еМ) \ (Аз - А2) - (А3 - Ах) ^

6ХР^ (Лз-А2)е^?-(Аз-А1)е^у (А2 - Ах) " '

где £ находится из равенства (4).

3. МЪ > кб/З, А^ (г =1-4) вещественные, Ах = А2; Аз < Х4, аАх + Ь > 0; аАз^ + Ь < 0; и выполнены неравенства (2) и

где £ находится из равенства

л.., (М6-Ы/3)

- (Мб + ед • (5)

4- МЪ > кб/З, А^ (г =1-4) вещественные, Ах = А2; Аз = Х4, аАх+Ь > 0; аАз+Ь < 0; и выполнены неравенства

( Аз \ Ах (Мб+ <5/3)

ехр --— > —

А4-А3У (А1-А3 )(МЪ-к5/ЗУ

где £ находится из равенства (5).

5. МЪ > кб/З, А1_2 вещественные, Ах < А2; аА^ + Ъ > 0; Аз_4 = V ± гги, и> > О, и выполнены неравенства

Ах(аА2 + Ъ) (МЪ + 5/3)

у/{п - X2)2 + т2 ■ у/(ау + Ъ)2 + а2«;2 (МЪ - М/3)'

* = ^ Н® ((а« + Ь)((^-Л2) + а^) + ' (7)

0, если (да; + 6) (у — А2) + аи>2 > О,

1, если (да; + 6) (у — А2) + аи>2 < О,

где

\/((А2 - -у)еЛ1? - (Ах - -у)еЛ2?)2 + и)2 (еЛ1? - еЛзГ)

(А2 -А1)

где £ определено равенством (4),

1 / / го [еЛ14 - еМ'

т = — аг<^ --—=-

ъи \ \ (А2 - -у)еЛ14 - (Х1 - -у)еЛз4

2

- > 1,

/о, если (Л2 - v)eXlt - (Ai - v)eX2t < О, 1, если (av + b) (v — Л2) + aw2 > 0.

6. Л 2 = г/ ± «/i, /х > 0; Лз_4 вещественные, Лз < аЛз^ + b < 0; и выполнено неравенство

/х eos fit + (Лз — r¡) sin fit ^ А4 Аз ^ /х cos fit + (Лз — r¡) sin fit ^

ч fl COS fit + (Л4 — r¡) sin fit y (— fi)

где t находится из равенства

eri (fi cos fit - r¡ sin fit) = + ^ . (8)

7. Mb > kó/3, \it2 вещественные, Ai = Л2; aXi + b > 0; Лз_4 = v ± ¿w, w > 0, и выполнены неравенства (6) (t определено равенством (7)) и

eVTeXli\!(1 - (Лх - v)i)2 + w42 > 1, где t находится из равенства (5),

_ I ( ( wt \ \ /0, если 1 - (Ai — v)t < 0,

г - - ^arctg [~1_{Xi_v)i] + *rj, r-| h если 1 _ (Ai _ v)i > 0

8. Aij2 = r¡ ± ifi, fi > 0; Лз_4 вещественные, Л3 = Л4; аЛ3 + b < 0, и выполнено неравенство

(_-Л3 sin fit_\ vijj> cos fit + (Л3 - r/) sin fit

exp 1 ~ ~ ■ ~ 1 & ~ ■ J. 7

\fl COS fit + (Л3 — r/) sin fit J (— fl)

где t находится из равенства (8).

9. Ai_ 2 = г/ ± ifi, ¡i > 0; Лз_4 = v ± iw, w > 0, и выполнено неравенство

eVTev— \j(fi cos fit + (v — if) sin fit)2 + w2 sin2 fit > 1,

где t определено равенством (8),

1 f f w sin fit

t = — arctg -

W \ \fi COS fit + (v — r¡) sin fit

0, если fi cos fit + (v — r¡) sin fit < 0,

1, если fi cos fit + (v — г/) sin ¡it > 0.

Тогда система (1) имеет единственный устойчивый предельный цикл. Если ни одно из условий 1-9 не выполнено, то предельных циклов в системе

нет.

Доказательство теоремы проведем для случая, когда A¿ (i = 1-4) вещественные и различные (Ai < Л2, Лз < Л4), т.е. особые точки 0¿ являются узлами. Остальные случаи рассматриваются аналогично.

Заметим, что

(0Л1 + Ъ) (оЛ2 + Ь) = (оЛ3 + Ъ) (оЛ4 + 6) = (/За2 - аа.Ъ + Ъ2) , (9)

и возможны лишь следующие случаи расположения корней характеристических многочленов:

а) Ах < Аз < Л4 < А2, при этом аА^о + Ь > 0 и 0А3 4 + Ъ > 0;

б) Аз < А4 < Ах < А2, при этом а\\о, + Ъ > 0, а 0А3 4 + Ъ < 0;

в) Аз < Ах < А4 < А2, здесь 0А1 + Ъ < 0, оА2 + Ъ > 0, а Аз + Ъ < О, 0А4 + Ъ > 0;

г) Аз < Ах < А2 < А4, здесь аХ-^^ + Ь < 0 и 0А3 4 + Ъ < 0.

Пусть МЪ > кб/3. Рассмотрим расположение траекторий системы (1) в различных случаях.

а) Ах < А3 < А4 < А2.

Пусть П —точка пересечения траектории у = Аз (х + ж2) (х > —ж2, ау+Ъх < —кб) системы на листе Р2 и луча Ь1, Е — точка пересечения траектории у = А2 (Ж + Ж1) (ау + Ъх > — Ат<5) системы на листе Р\ и Ь\. Знаки выражений аХ.+ Ъ (г = 1 — 4) определяют наклон траекторий.

Рис. 2.

Легко показать, что в этом случае точка Е лежит на луче выше точки и все траектории системы с начальными данными на луче Ь4 при I —> +оо стремятся к положению равновесия 02 (рис. 2). Поэтому циклов в этом случае быть не может. Все траектории с произвольными начальными данными на листах и Р2 либо достигают за конечный промежуток времени множества (А'2, 02), либо стремятся при I —> +оо

к 02, либо попадают на луч Ь2 и переходят на лист Р3. В последнем случае эти траектории либо достигают за конечный промежуток времени множества (О4, К4), либо стремятся при I —> +оо к О4.

В силу симметрии аналогично ведут себя траектории с начальными данными на листах Р3 и Р4.

б) Л3 < Л4 < Л1 < Л2.

В этом случае в системе может возникнуть предельный цикл (один из возможных вариантов расположения траекторий показан на рис. 3).

Рис. 3.

Найдем условия, при которых точка Е по траекториям системы переходит в точку множества [А'2, 02]. Заметим, что в этом случае все точки луча Ь4 по траекториям системы достигают множества (А'2, 02], и предельных циклов в системе нет. Решение системы на листе Р2 имеет вид

У = (11 Х3еХз* + ¿2Х4ех^.

(Ю)

Любая траектория системы на листе Р2 является в полуплоскости у < 0 выпуклой вниз кривой. Траектория, которая касается прямой ау-\-Ъх = —8, проходит через точку Ко- Следовательно, если при некотором 1 = 1* для решения (10) выполнены условия

ау + Ъх > —5, ау + Ъх = 0,

то соответствующая траектория системы переходит в точку множества [К2, 02]. Если же выполнены условия

ау + Ъх < —5, ау -\-Ьх = 0, (11)

то траектория выходит на луч Ь2 в некоторой точке Д.

Условия (11) выполнены, если верно неравенство (2). При этом на луче Ь\ существует точка Т, которая по траектории системы переходит в точку К2. Пусть точка К4 по траектории системы достигает луча Ь\ в некоторой точке Н (рис. 3). Обозначим через Е, Т и Н точки на луче Ь3, симметричные точкам Е, Т и Н соответственно.

Если точка Н лежит на луче Ь1 не выше точки Т, т.е. ун < Ут, то в системе (1) существует предельный цикл. Действительно, в этом случае по траекториям системы отрезок [Е,Т] на луче Ь\ переходит в отрезок [Н,К2], который по траекто-

риям переходит внутрь отрезка

Е,Т

Е,Т

переходит внутрь

. В силу симметрии

отрезка [Е, Т]. Такое отображение непрерывно и имеет неподвижную точку, которая соответствует предельному циклу системы.

Докажем, что в случае ун < Ут предельный цикл единственный, а в случае Ун > Ут предельных циклов нет.

Решение системы, проходящее при £ = О через точку ({6 — ауо)/Ь, г/о) на луче Ь4, имеет вид

- - С1С -г с2е - ,

- Л , „ ч „А24 У1*)

х + у = с^1* + с2еХ2* у = с-1\-1еХ1* + с2Х2е где

Л! (аЛ2 + Ъ) уд - (МЪ + 5/3) Л2 (оЛ1 + Ъ) у0 - (МЪ + §¡3)

С1 ъх1{\2-х1) ' С2 ЬА2 (Л2 - АО ' { 6)

Пусть при Ь = это решение проходит через точку ; уна дуче Ь\.

Тогда

С1 (аХ, + Ъ) еХг*л + с2 (аХ2 + Ъ) ех^ = МЪ (14)

У1= МЪ ~ Ы? + А2 (аХ1 + Ъ)у0-{МЪ + 5/3) Л2 (аЛх + Ъ) Х2 (аЛх + Ъ)

Решение системы, проходящее при Ь = 0 через точку ; у^; имеет вид

(10), где

Х3(аХ4 + Ь)у1-(МЬ-Ы/3) _ Л4 (аЛ3 + Ъ)У1- [МЪ - кб/З) ЪХ3(Х4-Х3) ' ^ ЬА4(А4-А3) '

Пусть при Ь = ¿2 это решение проходит через точку ; у2^ на луче Ь2.

Тогда

дл (аХ3 + Ь) ех^ + д,2 (аА4 + Ь) = _МЬ + 5Р (17)

Л3Л4

у2 = МЪ + + А4 (аА3 + Ь)у1 — (МЪ — к6/3) (18)

А4 (аХ3 + Ъ) А4 (аА3 + Ъ)

Равенства (15), (18) определяют функцию у2 (г/о), Где Ъ\ и ¿2 находятся из уравнений (14) и (17). Число решений уравнения у2 (г/о) = ~Уо (в силу симметрии системы) определяет число предельных циклов в системе.

Оценим производную функции уо {уо)- Если предположить, что существует точка, в которой у2 = —уо, то в этой точке согласно (10), (12)—(18)

(1у2 Луо

У 2 =

-у о

ску2 сЬу1 Луг ¿у о

— _^Х'2 tl ^Хз ¿2 ^%2

е(-1,о)

У2 = ~У0

Поэтому график функции у2 = г/2 (г/о) может пересекать прямую г/2 = —г/о только «снизу вверх» и не может пересекать ее «сверху вниз».

Если ун < ут, то функция у2 (г/о) определена при у0 > ук4, при этом у2 [ук4) < —ук4, г/2 (г/д) > ~Ув, и график функции у2 = г/2 (г/о) пересекает прямую г/2 = -г/о ровно один раз. Следовательно, в системе существует единственный предельный цикл. Очевидно, что этот цикл — устойчивый.

Если ун > ут, то существует точка N на луче ¿4, которая по траектории системы (1) переходит в точку Т, и функция г/2 (г/о) определена при г/о > Ум- В этом случае график функции у2 = у2 (г/о) лежит выше графика прямой г/2 = ~Уо (рис.4), и предельных циклов в системе нет.

1 N Я

Уо

-^ЛУо)

я

о

Рис. 4.

Найдем условия, при которых ун < ут■

Решение системы, проходящее при I = 0 через точку К4, имеет вид (12), где

с 1 = -

(Мб + 6/3)

\1(\2-\1)(a\1+Ъ),

С2

(МЪ + 6/3)

Л2 (Л2 - Л1) (аХ2+Ъ)'

Это решение по траектории при 1 = 1 переходит в точку Н, где аун + Ъхн = —кб, т. е. для I выполнено равенство (4). При этом

Ун

а(МЪ - кб/3)

Ъ(МЪ+6/3)

(0Л1 + Ъ) (0Л2 + Ъ) (Л2 - А1) (0А1 + Ъ) (оЛ2 + Ъ)

еЛ1( _ ел2(

(19)

Найдем на луче точку Т ((—кб — ау\)/Ъ', у 1), которая переходит в точку К2 по траектории системы. Рассмотрим решение, которое при 1 = 0 проходит через точку

Т, а при Ь = I—через точку К2. Решение имеет вид (10), где <¿1 и ¿2 удовлетворяют равенствам (16).

Кроме того, аук2 + Ьхк2 = —д и аУк2 + Ьхк2 = 0, и для координат точки Т выполнено равенство

Х3(аХ3 + Ь)(11\ з/{ 4 3) ¿1х3(аХ3 + Ъ)(Х4-Х3) = -(МЪ + 5[3). (20)

Л4(аЛ4 + Ь)с12

Обозначим через / (у\) функцию, стоящую в левой части равенства (20). Легко показать, что Л] ! Лу > 0, и функция / (у) возрастает, если точка (ж; у) лежит на луче Ь\. Следовательно, если / (у) > — (Мб + 6/3), то траектория системы, проходящая через точку (ж; у), не достигая луча Ь2, стремится к точке множества (К2, 02], в противном случае эта траектория выходит на луч Ь2.

Неравенство / (г/я) < — (МЪ + 6(3), где ун задано формулой (19), равносильно неравенству (3) и означает, что ун < Ут-

Таким образом, если выполнены неравенства (2) и (3), то в системе существует единственный предельный цикл.

Случаи виг рассматриваются аналогично случаю а, меняется лишь наклон траекторий у = \{х± ж^) (г = 1-4, ] = 1,2).

Доказательство теоремы в случае МЪ < к5(3 легко получить, изучив фазовые портреты системы во всех случаях а—г взаимного расположения корней характеристических многочленов А^.

Литература

1. Гелиг А. X., Леонов Г. А., Якубович В. А. Устойчивость нелинейных систем с неединственным состоянием равновесия. М.: Наука, 1978. 400 с.

2. Евдокимов С. М. Устойчивость в делом двумерной релейной системы с гистерезисом // Дифференциальные уравнения и процессы управления. 2008. №2. С. 1-18. http://www.math.spbu.ru/diifjornal/pdf/evdokimov.pdf

3. Камачкин А. М., Шамберов В. Н. Отыскание периодических решений в нелинейных динамических системах. СПб.: Изд-во С.-Петерб. ун-та. 2002. 86 с.

4. Красносельский М. А., Покровский А. В. Системы с гистерезисом. М.: Наука, 1983. 271 с.

5. Леонов Г. А. Необходимые и достаточные условия абсолютной устойчивости двумерных нестационарных систем // Автоматика и телемеханика. 2005. №7. С. 43-53.

6. Якубович В. А. Метод матричных неравенств в теории устойчивости нелинейных регулируемых систем. III. Абсолютная устойчивость систем с гистерезисными нелинейностями // Автоматика и телемеханика. 1965. №9. С. 753-768.

7. Якубович В. А. Частотные условия абсолютной устойчивости систем управления с несколькими нелинейными или линейными нестационарными блоками // Автоматика и телемеханика. 1967. №6. С. 5-30.

Статья поступила в редакцию 26 октября 2011 г.