Научная статья на тему 'Краевые задачи для нагруженных дифференциальных уравнений гиперболического и смешанного типов третьего порядка'

Краевые задачи для нагруженных дифференциальных уравнений гиперболического и смешанного типов третьего порядка Текст научной статьи по специальности «Математика»

CC BY
817
147
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.
Ключевые слова
НАГРУЖЕННОЕ УРАВНЕНИЕ / УРАВНЕНИЯ СМЕШАННОГО ТИПА / ИНТЕГРАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ / ИНТЕГРАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ СО СДВИГОМ / ФУНКЦИЯ БЕССЕЛЯ / BESSEL'S FUNCTIONS / LOADED EQUATION / EQUATIONS OF THE MIXED TYPE / INTEGRAL EQUATION / INTEGRAL EQUATION WITH A SHIFT

Аннотация научной статьи по математике, автор научной работы — Балтаева Умида Исмаиловна, Исломов Бозор Исломович

В статье доказана однозначная разрешимость краевых задач для нагруженного дифференциального уравнения третьего порядка с гиперболическим и параболо-гиперболическим оператором. Краевые задачи для нагруженных дифференциальных уравнений сводятся к интегральному уравнению Вольтерра второго рода и, опираясь на это, методом интегральных уравнений доказывается существование и единственность решения краевых задач.

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

Похожие темы научных работ по математике , автор научной работы — Балтаева Умида Исмаиловна, Исломов Бозор Исломович

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

Boundary value problems for the loaded third order equations of the hyperbolic and mixed types

In this paper, the unique solvability is proved for the solution of boundary value problems of a loaded third order differential equation with hyperbolic and parabolic-hyperbolic operators. The boundary value problems for loaded differential equations are reduced to the Volterra integral equation of the second kind. On this basis, existence and uniqueness of the solution of boundary value problems is proved by the method of integral equations.

Текст научной работы на тему «Краевые задачи для нагруженных дифференциальных уравнений гиперболического и смешанного типов третьего порядка»

ISSN 2074-1863 Уфимский математический журнал. Том 3. № 3 (2011). С. 15-25.

УДК 517.946

КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ НАГРУЖЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО И СМЕШАННОГО ТИПОВ

ТРЕТЬЕГО ПОРЯДКА

У.И. БАЛТАЕВА, И.Б. ИСЛОМОВ

Аннотация. В статье доказана однозначная разрешимость краевых задач для нагруженного дифференциального уравнения третьего порядка с гиперболическим и параболо-гиперболическим оператором. Краевые задачи для нагруженных дифференциальных уравнений сводятся к интегральному уравнению Вольтерра второго рода и, опираясь на это, методом интегральных уравнений доказывается существование и единственность решения краевых задач.

Ключевые слова: нагруженное уравнение, уравнения смешанного типа, интегральное уравнение, интегральное уравнение со сдвигом, функция Бесселя.

1. Введение

В последние годы в связи с интенсивным исследованием задач оптимального управления, долгосрочного прогнозирования и регулирования уровня грунтовых вод и почвенной влаги возникла необходимость в изучении нового класса уравнений, получивших название „нагруженное уравнение“. Такие уравнения впервые исследованы в работах Н.Н. Назарова и Н.Н. Кочина. Но ими не был использован термин "нагруженное уравнение". Впервые этот термин был использован в работах А.М. Нахушева, в которых дано наиболее общее определение нагруженного уравнения и подробная классификация различных нагруженных уравнений: нагруженных дифференциальных, интегральных, интегро-дифференциальных, функциональных уравнений, а также их многочисленные приложения.

Нагруженным дифференциальным уравнением с частными производными второго порядка посвящены работы А.М. Нахушева, М.Х. Шханкова, А.В. Бородина, В.М. Казиева,

A.Х. Аттаева, С.С. Pomraning, E.W. Larsen, В.А. Елеева, М.Т. Дженалиева, Б. Исломова и Д.М. Курьязова, Д.М. Курьязова, К.У. Хубиева, М.И. Рамазанова и др.

Заметим, что краевые задачи для нагруженных уравнений гиперболического, парабологиперболического, эллиптико-гиперболического типов третьего порядка изучены сравнительно мало. Отметим только работы В.А. Елеева, Б. Исломова и Д.М. Курьязова,

B.А. Елеева и А.В. Дзарахохова.

Данная работа посвящена постановке и исследованию аналога задачи Коши-Гурса для нагруженного уравнения гиперболического типа

д

— (uxx - Uyy - А и) - ц,и(х, 0) = 0, (1)

U.I. Baltayeya, B.I. Islomoy, Boundary value problems for the loaded third order equations of the hyperbolic and mixed types.

© Балтаева У.И., Исломов Б.И. 2011.

Поступила 7 июля 2011 г.

и краевой задач для нагруженного уравнения смешанного параболо-гиперболического типа

д

— (Ьп) — ^п(х, 0) = 0, дх

где

Ьп

Ь1п = пхх — пу — Ап, у > 0,

Ь2п = пхх пуу Ап, у < 0,

действительные постоянные, причем А > 0.

2. Аналог задачи Коши-Гурса для нагруженного уравнения

гиперболического типа

Пусть I — область, ограниченная характеристиками

АС : х + у = 0, ВС : х — у =1 уравнений (1) и отрезком АВ оси у = 0.

В области I рассмотрим следующий аналог задачи Коши-Гурса для нагруженного уравнения (1)

Задача А. Найти регулярное в области I решение п(х, у) уравнения (1), непрерывное в

I, обладающее непрерывными производными пх,пу вплоть до АВ и АС и удовлетворяющее граничным условиям

п(х,у)|АС = 01(х)

пу(х,у)|АВ = V(х), 0 < х < 1, дп(х,у)

дп

-02 (х),

АС

0 < х < -,

(3)

(4)

где п — внутренняя нормаль, V (х), 0^х), 02(х)

причем 2v(х) = -\/202(0) — 01(0),

заданные функции,

V(х) Є С[0,1] П С2(0,1),

0і (х) Є С1

1

°- 2

02 (х) Є С

П С 2| 0, 2

(6)

Теорема 1. Если выполнены условия (5), (6), то в области Д существует единственное решение задачи .

Доказательство теоремы 1.

При доказательстве теоремы 1 важную роль играет следующая лемма.

Лемма 1. Любое регулярное решение уравнения (1) представляется в виде

п(х, у) = £ (х, у) + ш(х),

где г(х,у) — решение уравнения

д

дх(^хх £уу А^) 0

а ш(х) — решение следующего обыкновенного дифференциального уравнения

ш (х) — Аш (х) — ^ш(х) = Аг(х, 0).

Доказательство леммы 1

Пусть «(я, у), представленное формулой (7), есть решение уравнения (1). Тогда, подставив (7) в (1), имеем

д д дХ — «уу — Ли) — ^и(х, 0) = — (¿XX — 2уу — Аг) +

+ад"'(я) — Лад'(я) — —ад(я) — — ¿(я, 0) = 0,

то есть удовлетворяет уравнению (1).

Теперь, наоборот, пусть «(я, у) — регулярное решение уравнения (1), а и>(я) — некоторое решение

ад'" (я) — Лад'(я) = —и (я, 0). (10)

Докажем справедливость соотношения (7). Очевидно, что функция

«(я, у) = ¿(я, у) + —у (с^л/Л(я — ¿) — 1)и(*, 0)^£

о

есть решение уравнения (1), где ¿(я, у) — решение уравнения (8), а функция

X

и(я, у) = — J (с^(я — ¿) — 1)и(*, 0)^£

о

есть частное решение уравнения (1). Следовательно, из (1) следует справедливость представления (7), то есть «(я, у) = ¿(я,у) + ад(я).

Из последнего представления следует, что «(я, 0) = ¿(я, 0) + ад(я). Тогда из (10) имеем

ад'''(я) — Лад'(я) — —ад(я) — — ¿(я, 0) = 0,

а функция ¿(я, у) = и (я, у) — ад(я) удовлетворяет уравнению (8).

Лемма 1. доказана.

Учитывая, что функция а сое л/Ля + Ь эт л/Ля + сеУ^х удовлетворяет уравнению (8), при исследовании задачи без ограничения общности можно предполагать, что

ад(0) = ад' (0) = ад''(0) = 0. (11)

Решим задачу Коши для уравнения (9) с условиями (11) относительно ад (я). Характеристическое уравнение, соответствующее однородному уравнению (9), имеет вид

к3 — Лк — — = 0. (12)

Введем обозначение А = ^.

1) если А > 0, то известно[3], что уравнение (12) имеет один действительный и два комплексно сопряженных корня, которые имеют вид

1 ^3

= и + VI, &2,3 = — ^(«1 + VI) ± — ¿(«1 — VI),

где

Таким образом, решение задачи Коши для уравнения (9) с условиями (11), при А > 0, имеет вид

где

w(x) = J Ti(x,t)z(t, 0)dt, о

Ti(x,t)

3 (ul + uivi + v2)

ef (u1+„) (x-« + V3 (ui + vi) sin ^3 (ui - vi) (t - x) -

ui — vi

— сое (и1 — г^) (£ — я)|е 2(«1+^1)(х *)•

2) если А = 0, то уравнение (12) имеет три действительных корня, причем два из них равны:

3— 3—

к1 = Т’ к2 = кз = — 2Л-

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

2

Решение задачи Коши для уравнения (9) с условиями (11), при Л = —3 (—/2)3 имеет вид

где

w(x) = J T2(x,t)z(t,0)dt, о

2 f^ А 3 e V?(x~t) (e V?(x-í) _ 3 f^

T2(x,t) = 9(2) f е ?

3) если A < 0, то уравнение (12) имеет три различных действительных корня, которые имеют вид [3]

ki = 2|Vr|cos ^, k2 = 2| cos ^+^, кз = 2| cos ^+^,

3 3 3

где

f

2

3

cos

f

2

3

-i

Соответственно, решение задачи Коши для уравнения (9) с условиями (11), при А < 0, имеет вид

где

w(x) = J T3(x,t)z(t,0)dt, о

:i5)

T3(x, t) =

{(k2 - кз) ek3(x-t) +

(к2 — к1) (к3 — к1) (к2 — к3)

+ (кз — к1) ек2(х-4) — (к2 — к1) екз(х-4)}.

В силу представления (7), задача А редуцируется к задаче А* нахождения регулярного в области Д решения ¿(я, у) уравнения (8), удовлетворяющего условиям

X

X

r

x

¿у(я,у)|АВ = V(я), 0 <я< 1,

16)

¿(я,у)|АС = 01(я) —

д^(я,у)

дп

АС

02(я)-рад'(я), 0 < я < -,

22

17)

где

ад(я) = ТДя, ¿)£(£, 0)Л, (г = 1, 3).

18)

С помощью общего представления, аналогично [4] и [5], можно выписать решение уравнения (8) в Д с условиями (16), (17), с учетом (5), (6) и [6]:

х+у

¿(я,у)= V(¿)/о VЛ(я + у — ¿)(я — у — Л) ^ — 01 (0)/о VЛ (я2 — у2)

+

х+у

+01 (+ 01 ( V) + —л/ (Л01 (л) — —202' (л))й1п —^ (*— ^+

х — у 2

+ —л/ (Л01 СО — ^202' (л)) вт —— -у^ ^ — 2 У" 01 (л)х

оо

19)

хBt (0, 2Л; я + у, я — у) ^ ^ ^ (Л01(—¿) — л/202 (—¿)) ^п л/Л(у — ¿)^£—

х — у 2

—^ Bt (0, 2Л; я + у, я — у) ^ / ^Л01 (¿) — —202 (¿)^ эт —Л (—Л + ¿) ^,

где

01 (я) = 01 (я) — ад (я), 02 (я) = 02 (я)--р ад'(я),

у2

В(¿, ¿; я + у, я — у) — функция Римана-Адамара[6], 10 [¿] — модифицированная функция Бесселя [7].

Положив у = 0 в (19), с учетом (18) получим следующее функциональное соотношение, принесенное из области Д на АВ:

где

т(я) + / К(я,Л)т ( - ) ^ = Ф(я), 0 < я < 1,

т (я) = ¿(я, 0),

К (я, л) = г, ( я, 2) + у/г‘ ( 2,21Д ^ Лх(я —8)

^5 +

х

х — у

t

х

х

2уЛ

я Л

22

К * ^ Лтл -,- — - тг -,- ж

2’ 2 / 4 г V 2’ 2

Ф(я) = 201^^ — 01 (0) 1о У^я + I V(¿)/о У/Л(я — Л)

/Ля(я — Л) 01 ( - ) ^¿+

+ Ля j -/"1 о

— /К *(я, 2) (Л01( 2)——г02 (¿и*

о

(22)

К*(я, Л) = эт л/Л(Л — я) + Ая-1 а/Ля(я — 2в) эт л/а" (Л — з)^з,

/1 (я) = —1 (я)/я, -о(я), -1 (я) — модифицированные функции Бесселя [7].

Отсюда заключаем, что интегральное уравнение (20) всегда имеет, причем единственное, решение [8].

Таким образом, доказано, что задача А однозначно разрешима.

Теорема 1 доказана.

3. Исследование задачи С для уравнения (2)

3.1. Постановка задачи С для уравнения (2).

Пусть П — область, ограниченная отрезками АВ, ВВо, ААо, АоВо прямых у = 0, я =1, я = 0, у = Л, соответственно, при у > 0. П2 — характеристический треугольник, ограниченный отрезком АВ оси ОХ и двумя характеристиками

х

х

х

х

АС : я + у = 0, ВС : я — у =1

уравнения (2) при у < 0.

Введем следующие обозначения:

/ = {(я,у):0 < я < 1, у = 0}, П = П и П2 и /.

Регулярным решением уравнения (2) назовем функцию

и (я, у) € С (П)П С С3,1(П1^ С 3,2(П2), удовлетворяющую уравнению (2) в П1 и П2.

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

Задача С. Требуется найти функцию и(я,у), обладающую следующими свойствами:

1) и(я,у) € С(П);

2) их(иу) непрерывна вплоть до ААо и АС (АВ и АС);

3) и(я,у) является регулярным решением уравнения (2) в областях П1 и П2;

4) на АВ выполняются условия склеивания

иу(я, —0) = иу(я, +0), (я, 0) € /;

5) и(я,у) удовлетворяет краевым условиям

и(я,у)|АА0 = ^(у); и(я,у)|вв0 = ^2(у), их(я,у)|АА0 = ^у^ 0 < у < Л (23)

и(я,у)|АС = 01(я), ^ у) = 02(я), 0 < я < 1, (24)

где п — внутренняя нормаль, ^1(у), ^2(у), ^3(у), 01 (я) и 02(я) — заданные функции, при-

чем

Ы°) = 01(O), ^(у) € С 1[0,1], О' = 1 2), ^3(у) € С[°,1] п С 1(0, ^

(25)

01 (я) € С1

1

0, 2

п сЧ 0,2 ), 02(я) € с

1

0, 2

п с2[ 0,2 ].

(26)

Теорема 2. Если Л > 0 и выполнены условия (25) и (26), то в области П существует единственное решение задачи С.

Доказательство теоремы 2.

Имеет место следующая лемма.

Лемма 2. Любое регулярное решение уравнения (2) (при у = 0) представляется в виде

и (я, у) = £ (я, у) + т(я),

где ¿(я, у) — решение уравнения

0 = д I ¿хх — ¿у — Ая, у > 0,

дя \ ¿хх — ¿уу — Л^, у < 0, т(я) — решение следующего обыкновенного дифференциального уравнения

(27)

(28)

т (я) — Ат (я) — —т(я) = А^я, 0). (29)

Доказательство леммы приводится аналогично как лемма 1.

Учитывая, что функция аеУ^х + ЬеТ^х + с удовлетворяет уравнению (28), функцию т(я) можно подчинить условиям

т(0) = т (0) = ш"(0) = 0. (30)

Решение задачи Коши для уравнения (29) с условиями (30) соответственно представимо в виде (13), (14), (15) при рассмотрении А > 0, А = 0 и А < 0, причем

Т(я,я) = Т/(я,я) = 0, Т"(я,я)= —, (г = 1, 3).

В силу представления (27), уравнение (2) и краевые условия (23), (24), с учетом (30),

сводятся к виду (28)

¿(я,у)|АА0 = ^(у); ¿(я,у)|вв0 = ^2(у) — т(1)

дг(я,у)

дя

АА0

¿(я

дг(я,у)

,у)|ас = 01(я) — 0 < я < 2,

дп

32)

33)

= 02(я)-----т;(я), 0 < я < -.

АС V2 2

3.2. Вывод основных функциональных соотношений

Как нам известно из задача А, решение уравнения (28) с краевыми условиями (32), (33

и

дг(я,у)

ду

V(я), 0 < я < 1

(34)

у=о

дается формулой (19).

Положив у = 0 в (19), с учетом (30), и

z(я, 0) = т(я), 0 < я < 1, получим функциональное соотношение, принесенное из области П2 на АВ:

где

т(х) + / К(х,і)т ( - ) ¿і — / /о л/Л(х — і) V(і)^і = /і(х),

(36)

х

^Л;

х

+—л/к * (я ■ 2

о

где К (я, Л) представима в виде (21). Обозначив

+ Лх J /"і

о

і

Л0і ( 2)—^20^ 2))

(37)

У1(я) = т(я) + у К(я,*)т^2) ^ —

о

из (37), пользуясь формулой обращения для таких уравнений [9]:

(38)

v (х) =

/1(хЯ = Л(х) — Л / ,/і(і)/гі [^А(х — -)

¿і,

с учетом (26) и (38) находим V(х) относительно т(х) в виде

V(х) = т;(х) — Л / т(і)" -\/Л(х — і)

+ / т I 2) І К'(х,і) — Л / К (в,і)/і У/Л(х — в)

о

¿в І ¿і—

(39)

—Л(х) + Л/ /і(і)/і ^А(х — і)

¿і.

В силу свойства задачи С и с учетом (34), (35), из уравнения (28) в П1, устремляя у ^ — 0, получаем [4]:

т"(я) — Лт (я) = к + V (я), (40)

где к — неизвестная константа, подлежащая определению.

Равенство (40) является вторым функциональным соотношением между т(я) и V(я), принесенным из области П1 на АВ.

3.3. Существование решения задачи С

Решая уравнение (40) относительно т(я) с условиями

т (0) = Рі(0) т'(0) = ^3(0),

(41)

имеем

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

X

X

X

X

X

X

X

X

X

X

т(я) = Г зЛл/А(я — ¿Ь(¿ЫЛ — V(1 — сЛл/Ля) +

^о л (42)

+ ^1(0)сЛл/Ая + —^ ^3(0)зЛл/Ля.

Исключая из (39) и (42) функцию V(я), с учетом условия склеивания, получим интегральное уравнение со сдвигом относительно т(я):

х х

т(я) — / К1(я,Л)т(¿)^£—/К2(я,Л)т (|) ^ =

о . о , (43)

к

где

= — | ^1 — сЛ—Ля^ + Ф1 (я),

К1(я, Л) = сЛ—Л(я — Л) — —Л зЛ—Л(я — з)^ —Л(з — Л)

х / х

К2(я,Л) = ——Л(я — 5) | К/(8,Л) — К(¿, ¿)_Г1 —Л(5 — z)

г \ г

Ф1(я) = ^1(0)сЛ—Ля + —^3(0)зЛ,—Ля — У^ К1(я,Л)/1 (¿)^£. (44)

о

Полагая

х

а(я) = Ф1 (я) — — ^1 — сЛ—Ля) + У К2(я,Л)т ^¿, (45)

о

уравнение (43) запишем в виде

т(я) — J К1(я,Л)т(¿)^£ = а(я), 0 < я < 1. (46)

о

Следовательно, уравнение (43) является интегральным уравнением Вольтерра второго рода, которое безусловно и однозначно разрешимо в классе С(0 ^ я ^ 1). Таким образом, решение уравнения (46) имеет вид

х

т(х) = а(х) + / (47)

о

где Д1(я,Л) — резольвента ядра К1(я,Л).

Равенство (47) с учетом (45) и формулы Дирихле имеет вид

х

т(я) — [ К*(я,*)т Г2^ ^ = Ф2(я), (48)

где

х

К*(я,Л) = К2(я,Л)^У К2(^, ¿)Д1(я, 5)^5,

г

х

х

х

Ф2(х) = Фі(х) + Ri(x,t)^i(t)dt — —

1 — chV—x + ^1 — chV—tjR1(x,t)dt

Отсюда заключаем, что уравнение (48) всегда имеет, и притом единственное, решение, которое представимо в виде [8]

т(х) = Ф2(х) + / R2(x,t^2 ( 2 ) dt, 0 < х < 1,

(49)

где К2(х,ї) — резольвента ядра К2^(х,ї).

Отсюда, в силу условия т(1) = ^2(0) — ^(1), однозначно определяются к.

После определения т(ж) функцию V(ж) и и>(ж) находим из (39) и (18).

Таким образом, решение задачи С в области П2 с учетом (18) и (19) определяется однозначно по формуле (27), а в области Пі приходим к задаче для ненагруженного уравнения третьего порядка [4].

Итак, решение задачи С в областях П1и П2 можно построить из (27) с учетом (18), (19) и задачи Г11 [4].

Таким образом, задача С однозначно разрешима.

Теорема 2. доказана.

X

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Нахушев А.М. О задаче Дарбу для одного вырождающегося нагруженного интегро-дифференциального уравнения второго порядка // Дифф. уравнения. 1976. Т. 12, № 1. С. 103-108.

2. Нахушев А.М. Нагруженные уравнения и их приложения // Дифф. уравнения. 1983. Т 19, № 1. С. 86-94.

3. Окунев Л.Я. Высшая алгебра. М.: Просвещение. 1966. 335 с.

4. Джураев Т.Д., Сопуев А., Мамажонов М. Краевые задачи для уравнений парабологиперболического типа. Т.: ФАН. 1986. 220с.

5. Салахитдинов М.С. Уравнение смешанно-составного типа. Т.: Фан. 1974. 156 с.

6. Сабитов К.Б. Построения в явном виде решений задач Дарбу для телегрфного уравнения и их применение при обращении интегральных уравнений. 1. // Дифф. уравнения. 1990. Т. 26, № 6. С. 1023-1032.

7. Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции. М.: Наука. 1966. Т. 2. 296 с.

8. Михлин С.Г. Лекции по линейным интегральным уравнениям. М.: Физматгиз. 1959. 224 с.

9. Салахитдинов М.С. Уринов А.К. Краевые задачи для уравнений смешанного типа со спектральным параметром. Т.: Фан, 1982. 166с.

10. Исломов Б., Балтаева У.И. Аналог задачи Дарбу для нагруженного интегро-дифференциального уравнения третьего порядка // ДАНРУз 2010. № 5.

11. Балтаева У.И. Краевые задачи для нагруженного уравнения смешанного типа третьего порядка Дис. канд. физ.-мат. наук., Ташкент, 2008, 111 с.

Умида Исмаиловна Балтаева,

Ургенчский Государственный университет, ул. Х. Алимджана, 14,

220100, г. Ургенч, Узбекистан E-mail: umida-baltayeva@mail.ru

Бозор Исломович Исломов,

Институт математики и информационных технологий АН РУз, ул. Дурмон, 29,

110100, г. Ташкент, Узбекистан E-mail: Nosirislamov@mail.ru

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.