CC BY
53
УДК 517.9
Л.М. Исаева
ФГБОУ ВПО «МГСУ»
КРАЕВАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ ОДНОМЕРНОГО ДРОБНОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ АДВЕКЦИИ-ДИФФУЗИИ
Выписано в явном виде решение краевой задачи для одномерного дробного дифференциального уравнения адвекции-диффузии и изучены свойства решения этой задачи. Доказано, что пределы решения и(х, V), а также производной этого решения, при t, стремящемся к бесконечности, равны нулю.
Ключевые слова: уравнение дробного порядка, дробная производная, метод Фурье, коэффициенты Фурье, собственные значения, собственные функции, функция Миттаг-Леффлера.
Использование дробных производных для описания и изучения физических процессов стохастического переноса стало в последние годы одной из популярных областей физики. Многие проблемы фильтрации жидкости и газа в сильнопористых (фрактальных) средах [1—3] приводят к необходимости изучения краевых задач для уравнений в частных производных дробного порядка. Рассмотрим одну из таких краевых задач для одномерного дифференциального уравнения дробного порядка:
г даи( х, 0 дри( х, О,
dtа дх? ' (1)
u(0, t) = u(l, t) = 0; (2)
u (x, 0) = g (x), (3)
dau(x,t) d^u(x,t) _ _
где -, -^--дробные производные порядков a и p соответственно
8ta Sjcp
(0 < a < 2, 1 < p < 2).
Имеют место следующие теоремы:
да
Теорема 1. Функция u(x, t) = VgnEa1 (lnta)xß-1Eß p (lnxp) является реше-
n=1
m zk
нием задачи (1)—(3), где Eap (z) = V--известная функция Миттаг-
,р k=0 r(ak + p)
Леффлера; gn — соответствующие коэффициенты Фурье функции g(x) по базису „ (x)}:=i={xp-1Eßß(l„xp)}^=i [1].
Теорема 2. Решение u(x, t) краевой задачи (1)—(3) удовлетворяет условиям: а) lim u( x, t) = 0; б) lim ut (x, t) = 0.
Приведем доказательства этих теорем.
Доказательство теоремы 1. Для того чтобы найти решение основной краевой задачи (1)—(3), воспользуемся методом Фурье, являющимся одним из
наиболее распространенных методов решения уравнений с частными производными. В таких случаях принято сначала рассматривать так называемую вспомогательную задачу. В нашем случае суть этой вспомогательной задачи будет заключаться в нахождении нетривиального решения дробного дифференциального уравнения (1), удовлетворяющего заданным нулевым граничным условиям (2), в виде произведения двух функций, одна из которых зависит только
от переменного I, а другая--только от переменного х.
и(х, О = ю(х)р(0 (4)
Подставив произведение (4) в уравнение (1), получим
..Сар(0 ,ЧСрш(х)
<( х)—^ = р(Г)-^. (5)
Са (Их*
Разделив теперь обе части уравнения (5) на то же самое произведение (4), получим
1 С ар^) = С рю( х) р(0 Са <(х) Схр '
Так как в левой части уравнения (6) стоит функция, зависящая только от I, а в правой — только от х, то равенство (6) возможно только в том случае, когда левая и правая части этого уравнения есть постоянная, не зависящая ни от I, ни от х. Обозначив эту постоянную через 1, уравнение (6) запишем в следующем виде:
1 С ар(0 = 1 С рю( х) = 1
р(1) Са < х) Сх? '
Из соотношения (7) получаем два следующих дробных дифференциальных уравнения: С рю( х)
dxb d ap(t)
= 1w( x); (8)
= 1p(t). (9)
Ла
Для уравнения (8) из граничных условий (2) получаем:
<(0) = 0; (10)
<(1) = 0. (11)
Таким образом, для определения функции <в(х) мы получили двухточечную задачу Дирихле (задачу о собственных значениях) (8), (10), (11), изученную в [1, 5, 6]. В этих работах было показано, что только для собственных значений 1п, являющихся нулями функции Ер 1), существуют собственные функции задачи (8), (10), (11), равные
<(х) = хр-1Ер,р (1 ихр). (12)
Уравнение вида (9) рассмотрено в [5—7], в которых показано, что только для собственных значений 1п, являющихся нулями функции Е ( 1), существуют собственные функции вида р п ^) = gnEa1 (а), где gn — неопределенные пока коэффициенты.
Из вышеизложенного следует, что частными решениями уравнения (1), удовлетворяющими нулевым граничным условиям (2), являются функции
ип(X, ^ = (Vа)хь-1£р р(1ихь). (13)
Тогда общее решение вспомогательной задачи (1), (2) можно будет составить формально в виде следующего ряда:
да
и(х, ^ = £ЯяЕаЛ (Vа)*РХР(1 „хр). (14)
п=1
Так как все члены ряда (14) удовлетворяют граничным условиям (2), то этим условиям удовлетворяет, очевидно, и сама функция и(х, ¿). Для того, чтобы определить коэффициенты g подчиним ряд (14) начальному условию (3):
да
g (х) = и (х, 0) = £ ^„хр-1£рр(1„хр). (15)
п=1
В [8] было показано, что система функций вида {га п (х)}да= = {хр-1Ер р (1яхр)} образует в Х2(0, 1) не ортогональный базис. Поэтому вместе с системой {гап (х)}да= рассмотрим систему функций (х)Щ=1 = {(1 -х)р-1 Ерр(1и(1 -х)р)} — биортогональную к системе {гап (х)}да= [9]. Система {„(д:)}™=1 = = {(1 - *)р-1 £р в ((1_ )} — это система собственных функций задачи, сопряженной задаче (9) [10].
Теперь неизвестные коэффициенты gn можно определить с помощью системы функций {гп (х )}да= ={(1 - х)р-1 Ер,р(1 „ (1 - х) р)}и= :
gя =( g (х), ), (16)
где (g (х), zn) — скалярное произведение функций g(х) и гп.
Докажем теперь, что для любых 0 < х < 1 и 0 < ^ < Т ряд (11) сходится абсолютно. Известно, что для достаточно больших по модулю нулей zn функции Миттаг-Леффлера Еар( 2п) справедлива следующая оценка [11, 12]:
М^т+и- (17)
При этом [11, 12]
Ы ~ О(па), 1 < а < 2. (18)
Тогда, учитывая (17), (18), получаем следующие соотношения:
Ы ~ О(пр); (19)
Е1 (1га)|<—гЦ—, Ерр(1хр)<—¡^¡-5-, (20)
аД п 1+|1 п\е рМ п ' 1+|1 „|хр
Далее, учитывая соотношения (19), (20), оценим ряд (14) по модулю
пЕа ,1 (1п га ) хр-1Ер,р (1 п хр)<| gя 11+1
-хр-1-1
1пка 1+к|хр |1|2Гхр
да да 1
Рассмотрим теперь мажорирующий ряд ^ап = 2р, который является
-п2р:
п=1 п=1 "
сходящимся обобщенным гармоническим рядом. Из сходимости мажоранты следует сходимость ряда (14).
Покажем теперь, что при t > t > 0 (t — любое вспомогательное число)
^ д>(х, 0 ^ (х, I) ряды производных у а— и у——— сходятся равномерно. Для этого
Сх3
d„u (х, t) dt
^ d ju (х, t) и I——;—, так как
схг
достаточно показать сходимость рядов у 0< а < 2, 1< р < 2. »=
Сформулируем дополнительные требования, которым должна удовлетворять функция £(х). Предположим, что £(х) ограничена [13, 14], т.е. (х)| <М.
1
Тогда \gn\ = |( g(х) zn )| = 2 {( g(х) zn(х))dx
0
Известно, что
dEa,ß (z) - — [E^- (z) - (ß- 1)Ea,ß (z)];
< 2M.
azL
dz
Uz,
Учитывая (21), получим
dun (х, t)
Xß( za)]
= zß-m-1E
a,ß-m
( z a).
(21) (22)
dt
2M—l— Ea,0 (l „~ta) х^Д Vß)
n \ t * '
a l t
n
Аналогично, учитывая (22):
d2Uj(х, t)
< 2M для любого t > t.
дх2
<
2ME
1 ( V a) хЬ-3 Eß,ß-2 (l пхЬ)
< 2M для любого t > t.
Тем самым доказано, что при t > 0 ряд (14) представляет собой функцию, дифференцируемую почленно по t и два раза по х, а значит, имеющую производные порядков а и р, так как 0 < а < 2, 1 < р < 2.
Доказательство теоремы 2. а) Известно, что решение задачи (1)—(3) име-
да
ет вид и(х, 0 = у gnEaЛ (1„Г)х^Е^х13).
Я=1
Найдем оценку сверху для абсолютной величины решения и(х,
да
\и(х, 0| < у ^Е^ (1/а)хР-1Ер,р (1ихр).
я=1
Используя соотношения (20) и учитывая, что 0 < х < 1, получим
да 1 1 да 1
\и (х, 0| <У| gJ-.-.-хР-1 -.-¡—г <У| '
1- + I1 ,Мa 1 + |1п|х n=1
llj2 t"
Используя (19), можно сделать вывод, что последний ряд является сходящимся.
Проводя вышеуказанное доказательство, мы можем показать, что
lim u(x, t) = 0.
t
Докажем соотношение (б) lim ut (x, t) = 0.
Очевидно, что u.
да 1
Лх, t) = Ig^-—aEa,0 (ln ta)х'-'Eßßß ( V13).
n-1 al t
n=1 n
n-1
Пусть для достаточно большого t
00 1
Xg- ^Гт ^ (Va)
Z\gn
a|l n f t2a x'
Опять-таки, ссылаясь на соотношение (19), получим
да 1 1 да 1
X зр 2a = X 0 при t ^да- Отсюда следует, что lim ut (x, t) = 0.
n=l n t t n=l n
Таким образом, в данной работе задача нахождения первой краевой задачи для одномерного уравнения с нулевыми граничными условиями и непрерывным начальным условием решена полностью. Причем решение этой задачи выписано в явном виде.
В работе также доказано, что решение краевой задачи для дробного диф-
dau (x, t) др u (x, t)
ференциального уравнения адвекции-диффузии-=-р—, с задан-
dta dxр
ными краевыми условиями u (0, t) = u (1, t) = 0, u (x, 0) = g(x), удовлетворяет условиям lim u(x, t) = 0, limut(x, t) = 0.
ti+да ti-да
Результаты, полученные в данной работе, могут быть использованы при моделировании процессов массопереноса в фрактальной среде, а также в теории фильтрации жидкости или газа в сильно пористой среде. С помощью этих результатов также можно моделировать процесс изменения температуры в неоднородном нагретом стрежне.
Библиографический список
1. НахушевА.М. Дробное исчисление и его применение. М. : Физматлит, 2003. 272 с.
2. Алероев Т.С. Краевые задачи для дифференциальных уравнений дробного порядка // Сибирские электронные математические известия. 2013. № 10. С. 41—55.
3. Aleroev T.S., Kirane M., Malik S.A. Determination of a source term for a time fractional diffusion equation with an integral type over-determining condition // Electronic Journal of Differential Equations. 2013. Vol. 2013. No. 270. Pp. 1—16. Режим доступа: http://ejde.math.txstate.edu/. Дата обращения: 10.03.2015.
4. ТихоновА.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики. 6-е изд., испр. и доп. М. : Изд-во МГУ, 1999. 799 с.
5. Самко С.Г., Килбас А.А., Маричев О.И. Интегралы и производные дробного порядка и некоторые их приложения. Минск : Наука и техника, 1987. 688 c.
6. Джрбащян М.М. Краевая задача для дифференциального оператора типа Штурма-Лиувилля дробного порядка // Известия АН Армянской ССР. Серия Математика. 1970. Вып. 5. № 2. С. 71—96.
7. Алероев Т.С., АлероеваХ.Т. Об одном классе несамосопряженных операторов, сопутствующих дифференциальным уравнениям дробного порядка // Известия высших учебных заведений. Математика. 2014. № 10. С. 3—12.
8. ХасамбиевМ.В., Алероев Т.С. Краевая задача для одномерного дробного дифференциального уравнения адвекции-диффузии // Вестник МГСУ 2014. № 6. С. 71—76.
9. Aleroev T.S., Aleroeva H.T. A problem on the zeros of the Mittag-Leffler function and the spectrum of a fractional-order differential operator // Electron. J. Qual. Theory Diff. Equ. 2009. No. 25. 18 p. Режим доступа: https://zbmath.org/?q=an:1183.34004. Дата обращения: 10.03.2015.
10. Aleroev T.S., Kirane M., Tang Y.-F. Boundary-value problems for differential equations of fractional order // Journal of Mathematical Sciences. Nov. 2013. Vol. 194. No. 5. Pp. 499—512.
11. Попов А.Ю., Седлецкий А.М. Распределение корней функций Миттаг-Леффле-ра // Современная математика. Фундаментальные направления. 2011. T. 40. C. 3—171.
12. Piociniczak L. Eigenvalue asymptotics for a fractional boundary-value problem // Applied Mathematics and Computation. 15 August 2014. Vol. 241. Pp. 125—128.
13. Ушков В.А., Абрамов В.В., Лалаян В.М., Кирьянова Л.В. Слабогорючие эпоксидные полимеррастворы, используемые для восстановления и ремонта строительных конструкций // Пожаровзрывобезопасность. 2012. Т. 21. № 10. С. 36—40.
14. Ушков В.А., Абрамов В.В., Григорьева Л.С., Кирьянова Л.В. Термостойкость и пожарная опасность эпоксидных полимеррастворов // Строительные материалы. 2011. № 12. С. 68—71.
Поступила в редакцию в апреле 2015 г.
Об авторе: Исаева Лейла Магаметовна — аспирант кафедры высшей математики, Московский государственный строительный университет (ФГБОУ ВПО «МГСУ»), 129337, г. Москва, Ярославское шоссе, д. 26, l.m.isaeva@mail.ru.
Для цитирования: ИсаеваЛ.М. Краевая задача для одномерного дробного дифференциального уравнения адвекции-диффузии // Вестник МГСУ 2015. № 6. С. 16—22.
L.M. Isaeva
THE BOUNDARY VALUE PROBLEM FOR ONE-DIMENSIONAL FRACTIONAL DIFFERENTIAL EQUATION OF ADVECTION-DIFFUSION
The use of fractional derivatives for describing and studying the physical processes of stochastic transport has become one of the most popular fields of physics in the recent years, many of the problems of fluid flow in highly-porous (fractal) environments also lead to the need to study boundary value problems for the equations of fractional order.
The paper considers one of the boundary value problems for one-dimensional differential equation of fractional order. Using the Fourier method, the solution to this problem was explicitly written. The author also studied the qualitative properties of the solutions of the boundary value problem. It was proved that, in the case of going to infinity, the limit of the decisions recorded in the form of the function and the limit of the derivative of this solution tend to zero.
The results can find application in the theory of fluid flow in a fractal environment and in order to simulate changes in temperature.
Fractional integrals and derivatives of fractional integral-differential equations find wide application in contemporary studies of theoretical physics, mechanics and applied mathematics. Fractional calculus is a very powerful tool for describing the physical systems, which have memory and are non-local. Many processes in complex systems are non-locality and have long-term memory. The fractional integral operators and the fractional differential operators allow describing some of these properties. The use of fractional calculus will be useful for obtaining the dynamic models, in which integraldifferential operators describe the power of long-term memory and time coordinate and three-dimensional nonlocality for medium and complex processes.
Key words: equation of fractional order, fractional derivative, Fourier method, eigenvalues, eigenfunctions, the Mittag-Leffler function.
References
1. Nakhushev A.M. Drobnoe ischislenie i ego primenenie [Fractional Calculus and its Application]. Moscow, Fizmatlit Publ., 2003, 272 p. (In Russian)
2. Aleroev T.S. Kraevye zadachi dlya differentsial'nykh uravneniy drobnogo poryadka [Boundary Value Problems for Differential Equations of Fractional Order]. Sibirskie elektron-
nye matematicheskie izvestiya [Siberian Electronic Mathematical Reports]. 2013, no. 10, pp. 41—55. (In Russian)
3. Aleroev T.S., Kirane M., Malik S.A. Determination of a Source Term for a Time Fractional Diffusion Equation with an Integral Type Over-Determining Condition. Electronic Journal of Differential Equations. 2013, vol. 2013, no. 270, pp. 1—16. Available at: http://ejde.math. txstate.edu/. Date of access: 10.03.2015.
4. Tikhonov A.N., Samarskiy A.A. Uravneniya matematicheskoy fiziki [Equations of Mathematical Physics]. 6th edition. Moscow, MGU Publ., 1999, 799 p. (In Russian)
5. Samko S.G., Kilbas A.A., Marichev O.I. Integraly i proizvodnye drobnogo poryadka i nekotorye ikh prilozheniya [Integrals and Derivatives of Fractional Order and Some of Their Applications]. Minsk, Nauka i tekhnika Publ., 1987, 688 p. (In Russian)
6. Dzhrbashchyan M.M. Kraevaya zadacha dlya differentsial'nogo operatora tipa Shturma-Liuvillya drobnogo poryadka [Boundary Value Problem for the Differential Operator of Sturm-Liouville of Fractional Order]. Izvestiya AN Armyanskoy SSR. Seriya Matema-tika [News of the Academy of Sciences of the Armenian SSR. Series: Mathematics]. 1970, issue 5, no. 2, pp. 71—96. (In Russian)
7. Aleroev T.S., Aleroeva Kh.T. Ob odnom klasse nesamosopryazhennykh operato-rov, soputstvuyushchikh differentsial'nym uravneniyam drobnogo poryadka [On a Class of Self-Adjoint Operators Associated with Differential Equations of Fractional Order]. Izvestiya vysshikh uchebnykh zavedeniy. Matematika [Russian Mathematics (Izvestiya VUZ)]. 2014, no. 10, pp. 3—12. (In Russian)
8. Khasambiev M.V., Aleroev T.S. Kraevaya zadacha dlya odnomernogo drobnogo differentsial'nogo uravneniya advektsii-diffuzii [Boundary Value Problem for One-Dimensional Differential Advection-Dispersion Equation]. Vestnik MGSU [Proceedings of Moscow State University of Civil Engineering]. 2014, no. 6, pp. 71—76. (In Russian)
9. Aleroev T.S., Aleroeva H.T. A Problem on the Zeros of the Mittag-Leffler Function and the Spectrum of a Fractional-Order Differential Operator. Electron. J. Qual. Theory Diff. Equ. 2009, no. 25, 18 p. Available at: https://zbmath.org/?q=an:1183.34004. Date of access: 10.03.2015.
10. Aleroev T.S., Kirane M., Tang Y.-F. Boundary-Value Problems for Differential Equations of Fractional Order. Journal of Mathematical Sciences. Nov. 2013, vol. 194, no. 5, pp. 499—512. DOI: http://dx.doi.org/10.1007/s10958-013-1543-y.
11. Popov A.Yu., Sedletskiy A.M. Raspredelenie korney funktsiy Mittag-Lefflera [Distribution of Zeros of the Mittag-Leffler Functions]. Sovremennaya matematika. Fundamental'nye napravleniya [Contemporary Mathematics. Fundamental Directions]. 2011, vol. 40, pp. 3—171. (In Russian)
12. Plociniczak L. Eigenvalue Asymptotics for a Fractional Boundary-Value Problem. Applied Mathematics and Computation. 15 August 2014, vol. 241, pp. 125—128. DOI: http:// dx.doi.org/10.1016/j.amc.2014.05.029.
13. Ushkov V.A., Abramov V.V., Lalayan V.M., Kir'yanova L.V. Slabogoryuchie epoksid-nye polimerrastvory, ispol'zuemye dlya vosstanovleniya i remonta stroitel'nykh konstruktsiy [Low-Flamnable Epoxy Polyner Mortars Used for Reconstruction and Repair of Building Structures]. Pozharovzryvobezopasnost' [Fire and Explosion Safety]. 2012, vol. 21, no. 10, pp. 36—40.
14. Ushkov V.A., Abramov V.V., Grigor'eva L.S., Kir'yanova L.V. Termostoykost' i pozhar-naya opasnost' epoksidnykh polimerrastvorov [Thermal Resistanse and Fire Hazard of Epoxy Polimer Mortars]. Stroitel'nye materialy [Construction Materials]. 2011, no. 12, pp. 68-71.
About the author: Isaeva Leyla Magametovna — postgraduate student, Department of Higher Mathematics, Moscow State University of Civil Engineering (MGSU), 26 Yaro-slavskoe shosse, Moscow, 129337, Russian Federation; l.m.isaeva@mail.ru.
For citation: Isaeva L.M. Kraevaya zadacha dlya odnomernogo drobnogo differentsial'nogo uravneniya advektsii-diffuzii [The Boundary Value Problem for One-Dimensional Fractional Differential Equation of Advection-Diffusion]. Vestnik MGSU [Proceedings of Moscow State University of Civil Engineering]. 2015, no. 6, pp. 16—22. (In Russian)
