CC BY
28
ВЕСТН. МОСК. УН-ТА. СЕР. 7. ФИЛОСОФИЯ. 2017. № 6
Я.И. Петрухин*, В.О. Шангин**
КОРРЕСПОНДЕНТСКИЙ АНАЛИЗ ДЛЯ ПАРАНЕПРОТИВОРЕЧИВОЙ СЛАБОЙ ЛОГИКИ КЛИНИ***
В статье предлагается корреспондентский анализ для трехзначной пара-непротиворечивой слабой логики Клини PWK. Используя корреспондентский анализ Коя и Тамминги, основанный на логике парадокса Приста LP, мы показываем, что для такого анализа достаточна функционально более слабая, чем LP, логика PWK.
Ключевые слова: неклассическая логика, натуральный вывод, корреспондентский анализ, трехзначная логика, логика Клини, паранепротиворе-чивая логика.
Ya.I. P e t r u k h i n, V.O. S h a n g i n. Correspondence analysis for paracon-sistent weak Kleene logic
The paper is devoted to correspondence analysis for 3-valued paraconsistent weak Kleene logic PWK. Using Kooi and Tamminga's correspondence analysis grounded into Priest's logic of paradox LP, we show that PWK, being functionally weaker than LP, is enough for such an analysis.
Key words: nonclassical logic, natural deduction, correspondence analysis, three-valued logic, Kleene logic, paraconsistent logic.
Введение
Центральный персонаж статьи — это трехзначная паранепроти-воречивая слабая логика Клини PWK (мы используем это обозначение вслед за [61 Bonzio, J. Gil-Ferez, F. Paoli, L. Peruzzi, 2017]) с двумя выделенными значениями (Paraconsistent Weak Kleene (точные определения паранепротиворечивой и параполной логики см.: [В.М. Попов, 2010])). Ее ближайший напарник — это трехзначная параполная логика Клини K3w c одним выделенным значением. Логики PWK и K3w имеют одни и те же связки (так называемые слабые связки Клини-Бочвара), но различные отношения следования. Логика K3w появляется в [6.С. Kleene, 1938] (см. также: [С.К. Клини,
* Петрухин Ярослав Игоревич — магистр кафедры логики философского факультета МГУ имени М.В. Ломоносова, тел.: +7 (495) 939-1846; e-mail: yaroslav. petrukhin@mail.ru
** Шангин Василий Олегович — кандидат философских наук, старший преподаватель кафедры логики философского факультета МГУ имени М.В. Ломоносова, тел. +7 (495) 939 18-46; e-mail: shangin@philos.msu.ru
*** Работа второго автора выполнена при финансовой поддержке РГНФ (проект № 16-03-00749 «Логико-эпистемические проблемы представления знания»).
1957]) в связи с теорией рекурсии и разработкой нотации для ординальных чисел. Связки K3w моделируют частично-рекурсивные предикаты, значения которых в некоторых случаях могут быть не определены. Отсюда философские интерпретации третьего истинностного значения: «неопределенно», «неизвестно» или «неразрешимо». В этом смысле введение третьего значения имеет эпистемологическую мотивацию, а логика K3w может быть использована в ситуации неполного знания.
С другой стороны, независимо от [S.C. Kleene, 1938], логика K3w появляется в [Д.А. Бочвар, 1938] как фрагмент логики Бочвара B3, предназначенной для анализа и преодоления семантических парадоксов. Бочвар трактует третье значение как «бессмысленно» или «парадоксально». Более того, по мысли Бочвара, бессмыслица влечет бессмыслицу, поэтому если формула ф принимает третье значение, то —ф, флу и fvy его сохраняют для любой формулы у (см. далее табличное определение связок K3w). Подробнее об интерпретации третьего значения см.: [Н.Е. Томова, 2009; А.С. Карпенко, 2010; R. Brady, R. Routley, 1973; T.M. Ferguson, 2014; S. Halldén, 1949; T. Williamson, 1994]. Заметим, что, несмотря на то, что слабые связки Клини-Бочвара вводятся в [S.C. Kleene, 1938] и [Д.А. Бочвар, 1938], исследования PWK начинаются только в [S. Halldén, 1949]. В настоящий момент PWK является активно изучаемой логикой, о чем свидетельствуют статьи [S. Bonzio, J. Gil-Férez, F. Paoli, L. Peruzzi, 2017; S. Bonzio, M. Baldi, 2016; S. Bonzio, A. Loi, L. Peruzzi, 2016; R. Ciuni, M. Carrara, 2016; M. Coniglio, M.I. Corbalän, 2012; Y. Petrukhin, 2017].
Напомним, что PWK является одной из паранепротиворечивых логик. Неформально говоря, логика называется паранепротиворе-чивой, если в ней из противоречия нельзя вывести все что угодно. Такая особенность паранепротиворечивых логик позволяет использовать их для логического анализа противоречивых, но нетривиальных (т.е. не совпадающих с множеством всех формул) философских и научных концепций и дискуссий, для решения логико-семантических парадоксов, изучения противоречий в юриспруденции и убеждениях людей, а также рассмотрения других ситуаций, в которых исследователь сталкивается с противоречивой информацией. В настоящий момент существует огромное количество литературы, посвященной паранепротиворечивым логикам; отметим монографию Г. Приста [G. Priest, 2002] в качестве введения в эту область. Отметим также, что в настоящей статье будут описаны натуральные исчисления как для самой логики PWK, так и для ее расширений различными двухместными операторами. Напомним, что натуральные исчисления были разработаны С. Яськовским [S. Jaskowski, 1934] и Г. Генценом [G. Gentzen, 1934, 1935] для моделирования
естественных рассуждений человека. Благодаря паранепротиворе-чивости PWK, предлагаемые в настоящей работе натуральные исчисления могут использоваться для моделирования естественных рассуждений в условиях наличия противоречивой информации.
Наряду с K3w в [£.С. Kleene, 1938] рассматривается так называемая сильная логика Клини K3. Ее связки отличаются от связок K3w, также порождая при этом частично-рекурсивные предикаты. K3 является фрагментом логики Лукасевича L3 [/. Lukasiewicz, 1920]. При этом Лукасевич, в отличие от Клини, вводит третье значение по онтологическим соображениям, пытаясь решить проблему детерминизма (см.: [А.С. Карпенко, 1990]). Как и в случае с K3w, следование в K3 определяется через одно выделенное значение и K3 является параполной логикой. Как и в случае с K3w, у K3 есть пара-непротиворечивый аналог с двумя выделенными значениями: логика парадокса LP, широко известная в связи с исследованиями Приста [G. Priest, 1984; Idem., 2002], впервые описанная Ф. Асеньо [F.G. Asenjo, 1966].
Б. Кой и А. Тамминга [B. Kooi, A. Tamminga, 2012] предложили корреспондентский анализ для трехзначной логики парадокса [G. Priest, 1984]. Недавно данный метод был обобщен на другие трехзначные и четырехзначные логики [A. Tamminga, 2014; Y. Petrukhin, 2016]. Его суть состоит в следующем. Берется функционально неполная логика и к ней в алфавит добавляется произвольное количество одноместных и/или двухместных связок, не определимых в ней (существование таких связок следует из ее функциональной неполноты). В настоящей статье, которая является первой русскоязычной статьей, посвященной корреспондентскому анализу, мы ограничимся рассмотрением двухместных связок. Каждая полученная таким образом логика задается, следуя корреспондентскому анализу, с помощью полной и непротиворечивой системы натурального вывода, правила для которой соответствуют значениям этой связки в ее таблице истинности.
Статья структурирована следующим образом. Часть 1 посвящена формальному определению логики PWK. Часть 2 посвящена корреспондентскому анализу для этой логики. Направлению дальнейших исследований посвящено Заключение.
1. Логика PWK
Стандартно определяемый пропозициональный язык L логики PWK состоит из счетно-бесконечного множества пропозициональных переменных {pp p2, ...}, л (конъюнкции), v (дизъюнкции) и 0 (отрицания). Заметим, что L не содержит импликацию. Опре-
деление формулы языка L обычно. Буквы ф, у и % обозначают произвольные формулы языка L. Буквы Г, А, £, Г1, ... обозначают произвольные конечные множества формул языка L. Сильные связки:
л 0 / 1 у 0 / 1 —1
0 0 / 0 0 0 / 1 0 1
/ / / / / / / / / /
1 0 / 1 1 1 / 1 1 0
Слабые связки:
л 0 / 1 у 0 / 1 —1
0 0 0 0 0 0 / 1 0 1
/ 0 / / / / / 1 / /
1 0 / 1 1 1 1 1 1 0
Напомним, что связками PWK являются слабые связки, а связками LP — сильные; множеством Б выделенных значений в обоих логиках является {1,/}. Отношение следования в PWK и LP вводится следующим образом: для всякого множества формул Г, всякой формулы ф и всякой оценки V верно, что из Г следует ф тогда и только тогда, когда если значения всех формул из Г при оценке V принадлежат Б, то и значение ф при оценке V принадлежит Б.
Мы приведем полное и непротиворечивое натуральное исчисление для PWK из [У. Ре1гыккт, 2017].
ф 0 0 ф ф,у ф,— ф
(ЕМ) --(0 0 1) - (0 0 Е) - (лу - (л12) -
фу—|ф 0 0 ф ф флу флу
у,—у флу флу флу ф
(л1з) --(лЕ1) - (лЕ,) - (лЕз) - (лу -
флу фуу фу—у —|фуу фуу
у —|фл—у фл—|ф ул—у 0 (фуу)
(уу --(—у11) - (—у1,) - (—у1з) - (—уЕ)-
фуу 0 (фуу) 0 (фуу) 0 (фуу) —фл—у
фуу,[ф]%,[у]% —фу—у 0 (флу)
(уЕ) --(—л1) - (—уЕ) -
% — (флу) —фу—у
Определение 1. Выводом в системе PWK называется непустая конечная последовательность формул ф1, ф2, ..., фп (п > 1), удовлетворяющая следующим условиям: каждая формула есть либо посылка, либо получена из предыдущих по одному из PWK-правил; при применении правила (уЕ) все формулы, начиная с неисключенной
посылки ф и вплоть до результата применения данного правила %, и все формулы, начиная с неисключенной посылки y и вплоть до результата применения данного правила %, исключаются из дальнейших шагов вывода в том смысле, что к ним запрещено применять правила вывода.
Выводом формулы ф из непустого множества посылок Г называется вывод, в котором множество неисключенных посылок есть Г и последняя формула есть формула ф. Доказательством формулы ф называется вывод формулы ф из пустого множества неисключен-ных посылок.
Приведенное нами определение вывода является стандартной сокращенной версией точного определения, приведенного в [V Shan-gin, 2017].
Пример вывода ф из фл—ф в системе PWK (квадратные скобки обозначают исключенные формулы).
1. фл—|ф — посылка.
2. фу-1-ф — (лЕ2): 1.
3. ф — посылка.
4. —1—ф — посылка.
5. ф - (-,-£): 4.
6. ф - (vE): 2, 3, 5 [3], [4-5].
2. Корреспондентский анализ для логики PWK
Мы расширяем наш язык L связками о1, ... ,оп, и каждое расширение будем обозначать L^. Поскольку в нашем случае логика PWK содержит л, v и 0, то новые двухместные связки о1, ... ,оп можно весьма условно считать «импликациями». Также отметим, что все приведенные в Теореме 1 выводимости имеют место для корреспондентского анализа для LP и приведены в [B. Kooi, A. Tamminga, 2012]. Разница состоит в том, что PWK, с функциональной точки зрения, является собственным фрагментом LP (см.: [В.К. Финн, 1974]). То есть все связки PWK выразимы через связки LP, но не наоборот. Таким образом, мы показываем, что для аксиоматизации трехзначных логик с помощью приведенных в Теореме 1 вы-водимостей можно использовать более слабую логику, чем LP.
Теорема 1 (Корреспондентский анализ Коя и Тамминги). Пусть ф, У и XeL(o)«.
От.т.т.ф о у | = ф vу
fo(0, 0) = ^iT. т. т. | = ((ф О у) Л -,(ф о y))v (ф V у)
1 Т. Т. Т. —](ф о у) | = ф V у
0 T. T. T. f Л —if, ф 0 y I = ф fo(0, i) = -|iT. T. T. f Л -if I = ((Ф 0 f ) Л -](ф 0 f )) V ф
1 T. T. T. f Л —if, —](ф Of) I = ф
От.T.T.Ф О y I = Ф V —if
fo(0, 1) = ^ít. T. T. I = ((ф о^)л -,(ф о у)) V (ф V -,f )
1 т. т. т. —.(ф О у) I = Ф V —if
О т. т. т. ф Л —4, ф О у I = f fo(i, 0) = ^iT. Т. Т. ф Л -.ф | = ((Ф О f ) Л -](ф О f )) V f 1 Т. Т. Т. Ф Л —4, —.(ф О у) I = f
0 т. т. т. ф л —4, у л —if, ф о у I = X
fo(i, i) = ^ít. т. т. фл^ф, f Л -.f | = ((ф о^)л -,(ф о f ))
1 Т. Т. Т. Ф Л —4, f Л —if, —](ф О у) I = X
0 Т. Т. Т. Ф Л —4, ф О у I = —if
fo(i, 1) = ^ít. т. т. ф Л -,ф | = ((ф о у) л -,(ф О f )) V -,f
1 Т. Т. Т. Ф Л —4, —](ф О у) I = —if От.т.т.ф О у I = —4 v f
fo(1, 0) = ^ít. т. т. I = ((ф о^)л -,(ф о f)) V (-,ф V f)
1 Т. Т. Т. —](ф О у) I = —4 V f
0 т. т. т. у л —if, ф О у I = —4
fo(1, i) = ^ít. T. T. f Л -if I = ((ф о f ) л -.(ф О f)) V -.ф
1 T. T. T. f Л —if, —](ф Of) I = —4
От. Т. Т. Ф О f I = —4 V —if fo(1, 1) = •{lT. T. T. I = ((Ф 0^)л -,(Ф O f)) V (-,ф V -,f )
1 T. T. T. —](ф Of) I = —4 V —if
Доказательство. Рассмотрим случай fo(0,0)=i (остальные аналогичны). (=>). Допустим, что | Ф ((фоу)л—.(фоу)) v (fvy). Тогда найдется оценка v такая, что у(((фоу)л—i(foy))v(fvy))=0. Отсюда у((фоу)л^(фоу))=0 и v(fvy)=0. Отсюда v(f)=0 и v(y)=0. Если п((фоу)л^(фоу))=0, то (1) v^oy)=0 и п(^(фоу))=0, или (2) v^oy)=0 и п(^(фоу))=1, или (3) п(фоу)=1 и п(^(фоу))=0. Отсюда (1) п(фоу)=0 и п(фоу))=1, или (2) v^oy)=0 и v^oy)=0, или (3) п(фоу)=1 и п(фоу)=1. Очевидно, (1) противоречит семантическим условиям. Но тогда имеем v^oy)=0 или п(фоу)=1. Следовательно, v^oy^i и fo(0, 0) Ф i.
(<=). Допустим, что для любой оценки v v^^oy^—.(фоу)^ ^vy)) Ф 0. Отсюда для любой оценки v v^oy^—.(фоу)) Ф 0 или v^vy) Ф 0.Тогда для любой оценки v неверно, что v^oy) = 0 и v(—.(фоу)) = 0, неверно, что v^oy) = 0 и v(—.(фоу)) = 1, неверно, что v^oy) = 1 и v^^oy)) = 0, или v^) Ф 0, или v(y) Ф 0. Следовательно, для любой оценки v неверно, что v^oy) = 0 и v^oy) = 1, неверно, что v^oy) = 0 и v(фoy) = 0, неверно, что v^oy) = 1 и v^oy) = 1, или v^) Ф 0, или v(y) Ф 0. Итак, для любой оценки v v(фoy) Ф 0 или v^oy) Ф 1, v^oy) Ф 0, v(фoy) Ф 1, или v^) Ф 0, или v(y) Ф 0. Но тогда для любой оценки v v^oy) = i, или v^) Ф 0, или v(y) Ф 0. Отсюда для любой оценки v, если v^) = 0 и v(y) = 0, то v^oy) = i. Таким образом, fo(0, 0) = i.
Суть данной характеризации в следующем. Мы рассмотрим случай fo(1, 1), когда обе формулы ф и y принимают значение «1»; остальные аналогичны. В этом случае формула фоу может принимать одно из трех значений. Если она принимает значение «0», то в систему натурального вывода входит правило фоу / —4v—у; если значение «i», то аксиома ((фоу)л—.(фоу)^(-4v—у); наконец, если значение «1», то правило —.(фоу) / —4v—у. Обращаем внимание, что в систему натурального вывода входит только одно из правил в каждом из девяти случаев и что в систему натурального вывода входят как раз девять правил.
Также обратим внимание на то, что среди множества полученных в результате корреспондентского анализа логик есть логики Т1 и Т3 (содержащие, соответственно, ®23 и ®13) из [Н.Е. Томова, 2010]. «Импликация» о в логике Т1/Т3 задается следующими случаями: fo(1, 1, 1), f^,/,/), fo(1,0,0), fo('/2,1,1), fo(^,^,1), fo(/,0,0),
fo(0,1,1), fo(0,/,/) и fo(0,0,1)/fo(1,1,1), fo(1,/,/), fo(1,0,0), fo(/,1,1), fo(/,/, /), fo(/,0,0), fo(0,1,1), fo(0,/,/) и fo(0,0,1).
Теорема 2 (О корректности аксиоматизации). Пусть Г — множество Х(0)и-формул, ф — L(o)n-формула. Тогда Г |— ф => Г |= ф.
Теорема 2 доказывается стандартными методами (см., например: [B. Kooi, A. Tamminga, 2012].
Определение 2. Пусть Г — множество L^-формул. Тогда Г — нетривиальная простая теория, если выполняются следующие условия:
(Г1) Г Ф Form (нетривиальность), где Form — множество всех
^0)„-ф°рмул;
(Г2) Г |— ф ^ ф е Г (замкнутость относительно |—); (Г3) fvye Г = > (фе Г или уе Г) (простота).
Определение 3. Пусть Г — нетривиальная простая теория, ф — L^-формула. Тогда е(ф, Г) — каноническая оценка ф в Г, соответствующая следующим условиям:
е(Ф, Г) =
Ю (ф е Ги-i^e Г);
^ 0(ф е Ги^е Г);
О 0(ф g Ги^е Г); .0 0(ф g Ги-i^g Г).
Лемма 1. Пусть Г — нетривиальная простая теория, ф и у — L(^0)n-формулы, а ^ — таблица истинности для логической связки g, тогда:
(1) е(ф, Г)Ф 0;
(2) ^(е(ф, Г)) = е(ф Г);
(3) Це(ф, Г), е(у, Г)) = е(ф V у, Г);
(4) ^(е(ф, Г), е(у, Г)) = е(ф л у, Г);
(5) ^(е(ф, Г), е(у, Г)) = е(фоу, Г).
Доказательство. Пункты (1)—(4) доказаны в [X Petrukhin, 2017]. Докажем пункт (5). Допустим, что Го(0,0) = 1. Тогда Яо(0,0Д) — одно из правил натурального исчисления NDPWK(o)n (натурального исчисления для расширения логики PWK связками о1, ..., оп). Применяя Яо(0,0Д), получаем, что ((фоу)л—l(фoy))v(фvy)e Г. Отсюда, используя (Г3), получаем, что (фоу)л—.(фоу)е Г, или фе Г, или фе Г. По правилу (лЕ2), имеем (фоу^—.(фоу)е Г. Отсюда, по (Г3), (фоу)е Г или —1—.(фоу)е Г. Используя (—.—£), получаем (фоу)е Г. С другой стороны, применяя (лЕ3) и (Г3), получаем —(фоу)е Г или —.(фоу)е Г. Итак, —.(фоу)е Г. Таким образом, е(фоу, Г) = 1. Следовательно, е(фоу, Г) = 1 = Го(0,0) = Го(е(ф, Г), е(у, Г)).
Допустим, что е(ф, Г) = 0 и е(у, Г) = 0. Тогда ф£ Г, —фе Г, уе Г и —уе Г. Допустим, что Го(0, 0) = 1. Тогда Яо(0, 1, 1) — одно из правил натурального исчисления NDPWK(o)n. По правилу (л11), ул—уе Г. Допустим, что —I (фоу)еГ. Тогда, по правилу Яо(0,1,1), имеем феГ. Противоречие. Итак, —(фоу)£ Г. Используя (ЕМ), получаем фоуе Г. Но тогда е(фоу, Г) = 1 = Го(0,1) = Го(е(ф, Г), е(у, Г)).
Лемма 2. Пусть Г — нетривиальная простая теория, а vr — функция такая, что для любой пропозициональной переменной р vr(p) = = e(p, Г). Тогда для любой формулы ф из множества Form vr(f) = = е(ф, Г).
Доказательство. Индукцией по построению Х(0)и-формулы и с использованием леммы 1.
Лемма 3 (Лемма Линденбаума). Пусть Г — множество L(o)n-формул, ф — L(o)и-формула. Если неверно, что Г|-ф, то найдется Г*: Г* с Form и (1) Г с Г*, (2) неверно, что Г* |-ф и (3) Г* — нетривиальная простая теория.
Лемма 3 доказывается стандартными методами (см., например: [B. Kooi, A. Tamminga, 2012].
Теорема 3 (О полноте аксиоматизации). Пусть Г — множество L^-формул, ф - L(o)n-формула. Тогда Г |= ф = >Г|- ф.
Доказательство. Теорема доказывается по контрапозиции. Пусть неверно, что Г|-ф. Тогда, по лемме 3, найдется Г*: Г* с Form, Г с Г*, неверно, что Г* |-ф и Г* — нетривиальная простая теория. По лемме 2, найдется такая функция vp, что для любой формулы y из Г, пГ*(у) Ф 0 и пГ*(ф) = 0. Но тогда Г | Ф ф.
Заключение
В статье рассмотрен корреспондентский анализ для трехзначной паранепротиворечивой слабой логики Клини PWK. Предметом дальнейшего исследования является проблема поиска вывода во всех построенных исчислениях в духе [A. Bolotov, V. Shangin, 2012; Y. Petrukhin, V. Shangin, 2017].
Авторы благодарны анонимному рецензенту и профессору В.И. Маркину за ценные замечания к ранней версии статьи.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
Бочвар Д.А. Об одном трехзначном исчислении и его применении к анализу парадоксов классического расширенного функционального исчисления // Математический сб. 1938. № 4 (2). С. 287-308. Карпенко А.С. Развитие многозначной логики. М., 2010. Карпенко А.С. Фатализм и случайность будущего: Логический анализ. М., 1990. 2-е изд. М., 2008.
Клини С.К. Введение в метаматематику / Пер. А.С. Есенина-Вольпина; Под ред. В.А. Успенского. М., 1957.
Попов В.М. Секвенциальные аксиоматизации простых паралогик // Логические исследования. 2010. Вып. 16. С. 205-220.
Томова Н.Е. Возникновение трехзначных логик: логико-философский анализ // Вестн. МГУ. Сер. 7. Философия. 2009. № 5. С. 68-74.
Томова Н.Е. Импликативные расширения регулярных логик Клини // Логические исследования. 2010. Вып. 16. С. 233—258.
Финн В.К. Аксиоматизация некоторых трехзначных исчислений высказываний и их алгебр / Под ред. П.В. Таванец, и В.А. Смирнова // Философия в современном мире. Философия и логика. 1974. С. 398—438.
Asenjo F.G. A calculus of antinomies // Notre Dame Journal of Formal Logic. 1966. Vol. 7 (1). P. 103—105.
Bolotov A., Shangin V. Natural deduction system in paraconsistent setting: Proof search for PCont // Journal of Intelligent Systems. 2012. Vol. 31 (1). P. 1—24.
Bonzio S., Gil-Ferez J., Paoli F., Peruzzi L. On paraconsistent weak Kleene logic. Axiomatisation and algebraic analysis // Studia Logica. 2017. Vol. 105 (2). P. 253—297.
Bonzio S., Baldi M. Undefinability of standard sequent calculi for paraconsistent 3-valued logics // URL: https://arxiv.org/pdf/1612.00963.pdf. 2016. P. 1—18.
Bonzio S., Loi A., Peruzzi L. A natural duality for involutive bisemilattices // URL: https://arxiv.org/pdf/1611.09560.pdf. 2016. P. 1—16.
Brady R., Routley R. Don't care was made to care // Australasian Journal of Philosophy. 1973. Vol. 51 (3). P. 211—225.
Ciuni R., Carrara M. Characterizing logical consequence in paraconsistent weak Kleene / Eds. L. Felline, F Paoli, E. Rossanese // New developments in logic and the philosophy of science college. L., 2016.
Coniglio M., Corbalan M.I. Sequent calculi for the classical fragment of Bochvar and Hallden's nonsense logics // Proceedings of LSFA. 2012. 2012. P. 125—136.
Ferguson T.M. A computational interpretation of conceptivism // Journal of Applied Non-Classical Logics. 2014. Vol. 24 (4). P. 333—367.
Gentz,en G. Untersuchungenuber das logischeschliessen", I, II, Mathem. Zeit., 39 (2), 176 (1934); 39 (3), 405 (1935) ( Генцен Г. Исследования логических выводов // Математическая теория логического вывода / Под.ред. А.В. Идельсона, Г.Е. Минца. М., 1967. С. 9—74). Hallden S. The logic of onsense. Uppsala, 1949.
Jaskowski S. On the rules of suppositions in formal logic // Studia Logica. 1934, Vol. 1. P. 5—32.
Kleene S.C. On a notation for ordinal numbers // The Journal of Symbolic Logic. 1938. Vol. 3 (4). P. 150—155.
Kooi B., Tamminga A. Completeness via correspondence for extensions of the logic of paradox // Review of Symbolic Logic. 2012. Vol. V (IV). P. 720—730.
Lukasiewicz J. O logicetrojwartosciowej // Ruch Filozoficzny. 1920. Vol. 5. P. 170—171 (Лукасевич Я. О трехзначной логике // Лукасевич Я. О принципе противоречия у Аристотеля / Пер. Б.Т. Домбровского; Под ред. А.С. Карпенко. М.; СПб. 2012. С. 213—215).
Petrukhin Y. Correspondence analysis for first degree entailment // Logical Investigations. 2016. Vol. 22 (1). P. 108—124.
Petrukhin Y. Natural deduction for three-valued regular logics // Logic and Logical Philosophy. 2017. Vol. 26 (2). P. 197-206.
Petrukhin Y., Shangin V. Automated correspondence analysis for the binary extensions of the logic of paradox // The Review of Symbolic Logic. 2017. Vol. 10 (4). P. 756-781.
Priest G. Logic of paradox revisited // Journal of Philosophical Logic. 1984. Vol. 13 (2). P. 153-179.
Priest G. Paraconsistent logic / Eds. D.M. Gabbay, F. Guenthner. Handbook of Philosophical Logic. 2 ed. Dordrecht, 2002. Vol. 6. P. 287-393.
Shangin V. A precise definition of an inference (by the example of natural deduction systems for logics I<aB>) // Logical Investigations. 2017. Vol. 23 (1). P. 83-104.
Tamminga A. Correspondence analysis for strong three-valued logic // Logical Investigations. 2014. Vol. 20. P. 255-268.
Williamson T. Vagueness. Routledge, L., 1994.
