CC BY
28
1/2011
ВЕСТНИК
МГСУ
КОРРЕКТНЫЙ МЕТОД ТОЧНОГО АНАЛИТИЧЕСКОГО РЕШЕНИЯ МНОГОТОЧЕЧНЫХ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ РАСЧЕТА
КОНСТРУКЦИЙ ДЛЯ СИСТЕМ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ПЕРВОГО ПОРЯДКА С КУСОЧНО-ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ
CORRECT ANALYTICAL SOLUTION OF MULTIPOINT BOUNDARY PROBLEMS OF STRUCTURAL ANALYSIS FOR SET OF FIRST-ORDER DIFFERENTIAL EQUATIONS WITH PIECEWISE-CONSTANT COEFFICIENTS
Рассматривается корректный метод точного аналитического решения многоточечных краевых задач расчета конструкций для систем обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка с кусочно-постоянными коэффициентами.
Correct analytical solution of multipoint boundary problems of structural analysis for set of first-order differential equations with piecewise-constant coefficients are under consideration in the distinctive paper.
Рассматриваемая проблема решения многоточечных краевых задач строительной механики для систем обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка с кусочно-постоянными коэффициентами возникает, в частности, при расчете конструкций, зданий и сооружений на основе дискретно-континуальных методов [4, 5].
1. Постановка многоточечной краевой задачи для системы обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка с кусочно-постоянными коэффициентами.
Пусть имеем систему n обыкновенных линейных дифференциальных уравнений первого порядка с кусочно-постоянными коэффициентами и nk линейных граничных
условий, заданных в граничных точках xbk, k = 1,..., nk (ниже, очевидно, полагается, что в число граничных точек входят также точки, в которых имеют место разрывы первого рода коэффициентов системы), т.е.:
где у = у(х) = [ у1(х) у2(х) ... уп(х) ]т - искомая п-мерная вектор-функция; Лк, к = 1,2,..., пк -1 - заданные матрицы постоянных коэффициентов, квадратные п-го порядка; / = /(х) = [/кЛ(х) /кг(х) ... /м(х)]т , к = пк-1 - заданные п-мерные
П.А. Акимов
Pavel A. Akimov
ГОУ ВПО МГСУ
- АкУ = ft, xе(xb,xb+l), k = 1,2,...,nk -1; B-k y(xk - 0) + Biy(xb + 0) = g- + gk+, к = 2,..., nk -1; b; y(xb + 0) + Bnt y(xbnt - 0) = g; + g4,
(1.1) (1.2) (1.3)
ВЕСТНИК 1/2011
вектор-функции правых частей; Бк, Б+к, , ~§+к, к = 2,..., пк -1, а также ^, ^ и В1+, Б~ - заданные матрицы и векторы правых частей п-го порядка граничных условий в точке хьк; у(1) = у(1)(х) = Зу / х .
2. О корректном аналитическом построении фундаментальной матрицы-функции системы дифференциальных уравнений первого порядка.
Рассмотрим произвольное уравнение из (1.1). Имеем:
у(1) - Аку = I, х е (хЬ,х^). (2.1)
Фундаментальная матрица-функция ек (х) системы (2.1) по определению удовлетворяет следующим условиям:
^(х)" (х) = д( х) I или К^"4^ О^О х * 0 (2.2)
К (+0) (-0) =1,
где I - единичная матрица п-го порядка; 3(х) - дельта-функция Дирака [8].
Как известно [4-7], построение фундаментальной матрицы-функции типа ек (х) предполагает вычисление функции от матрицы коэффициентов, которое может производиться с использованием жордановой формы матрицы Ак коэффициентов системы. Однако подобный стандартный алгоритм не может быть рекомендован для численной реализации, так как в действительности не существует численно устойчивого способа построения жордановых форм [7], причем проблемы возникают для матриц, в жордановой форме которых имеются жордановы клетки неединичного порядка. В целом, в задачах расчета конструкций имеются следующие специфические особенности:
- в спектре матрицы Ак коэффициентов системы имеются собственные значения с действительными частями разных знаков;
- система (2.1) является «жесткой», т.е. отношение максимального собственного числа матрицы Ак к минимальному (по модулю) является большим числом,
I \rnax I /1 \rnrn I ^ М, гДе М - большое число; (2.3)
- в спектральном разложении матрицы Ак присутствуют жордановы клетки неединичного порядка и присоединенные (корневые) вектора, при этом они соответствуют нулевым собственным значениям;
- жордановы клетки неединичного порядка имеют конечный вид и при использовании дискретно-континуального метода конечных элементов практически не зависят от густоты сетки дискретно-континуальных конечных элементов, аппроксимирующих «поперечное» сечение конструкции, число жордановых клеток неединичного порядка небольшое;
- при решении практических задач расчета строительных конструкций, зданий и сооружений количество дифференциальных уравнений в системе может быть достаточно большим (несколько тысяч и более).
С учетом вышеперечисленных особенностей задачи для построения фундаментальной матрицы-функции целесообразно использовать корректную авторскую методику, описанную в [1, 2, 4, 5]. Имеем:
^к(х) = ГкД,о(х)~кД +^(х,0)[Рк,2 + £ — Ак,2], (2.4)
Ы к!
где Тк 1 - матрица размером п х ¡к, столбцы которой являются собственными векторами матрицы Ак, соответствующими ненулевым собственным значениям; Тк 1 - матри-
1/2П11 ВЕСТНИК
_У201]_мгсу
ца размером ¡к х п , строки которой являются собственными векторами матрицы Лк (согласованная с Тк 1); ¡к - число ненулевых собственных значений (с учетом кратности); Рк2 - матрица проектирования на подпространство, натянутое на собственные и корневые векторы матрицы Лк, соответствующие нулевым собственным значениям; шк тах - максимальный порядок жордановой клетки соответствующей нулевому собственному значению матрицы Лк;
^А,) Чп!;Ал о Тп к,р (2-5)
«МХ)в(- Яе(\р)х), Ак р ф 0 0^п(х), \р = 0
- характеристическая функция; в(х) - функция Хэвисайда;
?к,0(х) = ^{х(х,Лк,1)ехр(Ак,1x), ^(хА,12)ехР(ЛАх)}; (2-6)
Лкр, р = 1,2,..., ¡к - ненулевые собственные значения матрицы Лк; Лк2 - часть матрицы Лк, отвечающая нулевым (кратным и простым) собственным значениям;
Лк,2 = Рк,2Л; (2.7)
. Г 1, х > 0 . . .Г 1, х > 0 пч
*(х) = { 0, х < 0; ^х) = {-1, X <0. (2.8) 3. Построение общего решения многоточечной краевой задачи.
Будем обозначать вектор-функцию у(х) решение многоточечной краевой задачи (1.1 )-(1.3) на произвольном интервале (хък,хьы) через ук(х), т.е.
у к(х) = у (x), х е (х"к, хЬ+1) . (3.1) В соответствии с [4, 5] имеем следующую определяющую формулу:
У к(х) = (х - К) - ^к(х - хк4+1 ))Ск + ек * !к, х е (х"к, хк4+1), (3.2)
где Ск - вектор искомых постоянных коэффициентов п -го порядка; * - символ обозначающий операцию свертки;
/(х) = /(х)в(х,х\,хЬ+1); в(х,х\,хЬ+1) = (1n, х^((1'хГ)) (3.3)
[ 0, х г (хк, хк+1).
Можем переписать (3.1) в виде
у к (х) = Ек (х)Ск + Бк, х е (х"к 1хЬ+1), (3.4)
где Ек(х) = £к(х - хк) ~£к(х - хк+1); 5"к(х) = ^к * /к. (3.5) Подставляем (3.4) в (1.2)-(1.3), учитывая, что справедливы соотношения:
у(хк -0) = ук-1(хк -0), к = 2,...,пк; (3.6)
у(хк + 0) = ук(хк + 0), к = 1,...,Пк -1. (З.7) В результате получаем разрешающую систему линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) относительно коэффициентов Ск, к = 1,..., пк -1:
в; Екл(х\ -0)Скб:Ек_(хк + 0)Ск =
= Т* + § - вк 8к-1(х"к - 0) - б5к(хк + 0), к = пк -1;
-к - 0)СМ + б* Ек (
<к 1 &к "к"к-\\хк ~0)_Бк5к(хк б; Ех(хк + 0)СХ + вч ЕПк_х(хкк -0)Спк-1 =
'к + 01 — В ^
пк пк
(3.8)
= + Ш'к - б;+ 0) - Б;^ _1(хк1 - 0).
На основании свойств фундаментальной матрицы-функции записываем:
ВЕСТНИК МГСУ
1/2011
EH(xb - 0) = sl_l(hbl_l - 0) - st(-0) = e^hU) - k = 2,..., nt
Ek(x\ + 0) = ^(+0) - *k(0 -hbk) = ^(+0) -^(~K), k = 1,..., nk -1,
где
lb _ b b
hk ~ xk+1 _ xk,
k = 1,..., nk -1.
Слагаемые г(-0) и ^(+0) будем называть главными частями. Систему (3.8) можно переписать в матричном виде
КС = в ;
где
K =
Ku 0 0 ... 0
K 2,1 K2,2 0 ... 0
0 K3,2 K3 ,3 ... 0
0 0 0 ... K
к
W -1 0 0
K
nk -1,nk
KlM = B- E-1 (xb - 0); Kkk = b;Ek (xtb + 0); Khl =b; Ex(x^+0); K^-1 =B; E^(x^ - 0); G = [ GT GT ... g;_1]t ; C = [ C1T C2T ... CT-1 ]T;
_ G = + g4 - в; Sx (xb + 0) -Вщ S^ (xbt - 0);
G; = gb+g; - B-k Sk_x (xb - 0) - в;Sk (xb + 0), i = 2,..., nk -1.
В матрице (3.13) выделим главную K0 и дополнительную K1 части:
K = K0 + K\
где
(3.9)
(3.10)
(3.11)
(3.12)
(3.13)
(3.14)
(3.15)
(3.16)
(3.17)
(3.18)
(3.19)
' К 0 0 . . 0 K , "
k0 K \2 0 .. 0 0
K0 = 0 K302 Kl .. .0 0 ; (3.20)
0 0 0 .... К -1,n; -2 K0 nt -1,nt -1
K, t,t-1 = - в ^(-0); K0; = (+0); (3.21)
Ku = (+0); K ,=-Bs nk -1 nk nk -1 (_0); (3.22)
' К 0 0 . . 0 K1 . " i,nt -i
K2,1 K2,2 0 .. 0 0
K1 = 0 K3,2 K3,3 .. .0 0 ; (3.23)
0 0 0 .. K1 nk -1,n; -2 к . . nk -1,nk -1
Klk-1= -Bks t -1(hf-1); Kb; =- ( h; ); (3.24)
<д = -Bj+ ^1(-h1b); Klt= B;S;_1(hbk J . (3.25)
Здесь символ ® обозначает операцию прямого произведения матриц. Важно отметить, что матрицы типа sk (+0) и sk (-0) не зависят от x .
Недостатком системы (3.12) является то, что главная часть (3.20) матрицы коэффициентов имеет структуру, в которой диагональные блоки являются, по сути, вырожденными. В этой связи, несмотря на то, что СЛАУ является ленточной, для ее решения не могут применяться многие соответствующие итерационные методы [3], а требуется,
1/2011
ВЕСТНИК _МГСУ
например, использование метода Гаусса с выбором главного элемента [3]. С этих позиций полезно указать пути устранения этого недостатка.
Преобразуем СЛАУ (3.12) следующим образом: каждое уравнение системы, начиная с первого (и заканчивая предпоследним), будем заменять суммой этого уравнения с последующим (вместо исходного первого уравнения берем сумму исходного первого с исходным вторым, вместо исходного второго - сумму исходного второго с исходным третьим, и так далее). Наконец, вместо исходного последнего уравнения берем сумму исходного последнего с исходным первым. Рассмотрим теперь полученную после преобразований матрицу (3.13):
К1,2 0 0 ... 0 0 К1,Ч -1
К К« К2,3 0 ... 0 0 0
K = 0 К3,2 К3,3 к 4 ... 0 0 0 ; (3.26)
K ,, 0 0 0 .. .0 K . , к . .
ч -и пк -1,пк -1
Можно показать, что блочные элементы, стоящие на главной диагонали матрицы (3.26) не являются вырожденными, а это дает ряд очевидных преимуществ на этапе численного решения преобразованной системы (3.12).
Замечания. Исследования проводились в рамках следующих работ:
1. Грант НШ-8684.2010.8 Президента Российской Федерации для государственной поддержки ведущих научных школ Российской Федерации «Многоуровневые численные, аналитические и экспериментальные методы исследования прочности зданий и сооружений с учетом конструктивных и физических особенностей» на 2010-2011 гг.
2. Грант 2.3.11 Российской академии архитектуры и строительных наук «Разработка и исследование дискретно-континуальных методов для расчета строительных конструкций с кусочно-постоянными физико-геометрическими параметрами по одному из направлений» на 2011-2013 гг.
3. НИР «Разработка теории и алгоритмов построения корректных аналитических решателей многоточечных краевых задач применительно к расчетам строительных конструкций», выполняемой по аналитической ведомственной целевой программе «Развитие научного потенциала высшей школы (2009-2011 годы)» (проект 2.1.2/12148).
Литература
1. Акимов П.А. Корректный метод точного аналитического решения многоточечных краевых задач расчета конструкций для систем обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка с кусочно-постоянными коэффициентами. // Вестник МГСУ, №4, т. 1, 2010, с. 24-28.
2. Акимов П.А., Золотов А.Б., Ширинский В.И. Методы точного аналитического решения многоточечных краевых задач строительной механики. // Вестник МГСУ, №3, 2006, с. 29-39.
3. Деммель Дж. Вычислительная линейная алгебра. Теория и приложения. - М.: Мир, 2001. - 430 с.
4. Золотов А.Б., Акимов П.А., Сидоров В.Н., Мозгалева М.Л. Дискретно-континуальные методы расчета сооружений. - М.: Издательство «Архитектура - С», 2010. - 336 с.
5. Золотов А.Б., Акимов П.А., Сидоров В.Н., Мозгалева М.Л. Дискретно-континуальный метод конечных элементов. Приложения в строительстве. - М.: Издательство АСВ, 2010. - 336 с.
6. Уилкинсон Дж.Х. Алгебраическая проблема собственных значений.- М.: Наука, 1970.-564 с.
7. Хорн Р., Джонсон Ч. Матричный анализ. - М.: Мир, 1989. - 655 с.
8. Шилов Г.Е. Математический анализ. Второй специальный курс. - М.: Наука, 1965. - 327 с.
ВЕСТНИК 1/2011
References
1. Akimov P.A. Correct Analytical Solution of Multipoint Boundary Problems of Structural Analysis for Set of Second-order Differential Equations with Piecewise-constant Coefficients. // Bulletin MSUSE, #4, vol. 1, 2010, pp. 24-28 (in Russian).
2. Akimov P.A., Zolotov A.B., Shirinsky V.I. Analytical Methods for Solution of Multipoint Boundary Problems of Structural Analysis. // Bulletin MSUSE, #3, 2006, pp. 29-39 (in Russian).
3. Demmel J.W. Applied Numerical Linear Algebra. University of California, Berkeley, California, SIAM, Philadelphia, 1997, 421 pages.
4. Zolotov A.B., Akimov P.A., Sidorov V.N., Mozgaleva M.L. Discrete-continual methods of structural analysis. Moscow, "Arkhitectura - S", 2010, 336 pages (in Russian).
5. Zolotov A.B., Akimov P.A., Sidorov V.N., Mozgaleva M.L. Discrete-continual finite element method. Applications in Construction. Moscow, "ASV", 2010, 336 pages (in Russian).
6. Wilkinson J.H. The Algebraic Eigenvalue Problem. Calderon Press, Oxford, 1984, 662 pages.
7. Horn A.R., Johnson C.R. Matrix Analysis. Cambridge University Press, 1990, 575 pages.
8. Shilov G.E. Mathematical Analysis. Second Special Course. Moscow, "Nauka", 1965, 327 pages (in Russian).
Ключевые слова: многоточечная краевая задача, система дифференциальных уравнений первого порядка, кусочно-постоянные коэффициенты, точное аналитическое решение, дискретно-континуальные методы, расчеты строительных конструкций.
Keywords: multipoint boundary problem, set of first-order differential equations, piecewise-constant coefficients, correct analytical solution, discrete-continual methods, structural analysis.
Автор: Акимов Павел Алексеевич, доктор технических наук, профессор, член-корреспондент РААСН (ГОУ ВПО МГСУ); 129337, Россия, г. Москва, Ярославское шоссе, дом 26; тел./факс: +7(499) 183-59-94; e-mail:pavel.akimov@gmail.com.
Рецензент: Андреев Владимир Игоревич, доктор технических наук, профессор, член-корреспондент РААСН (ГОУ ВПО МГСУ).
