Координатно-линейно разрешимые функции над примарным кольцом вычетов и метод покоординатной линеаризации Текст научной статьи по специальности «Математика»

SystemVerilog Assertios of SystemVerilog-2009

Galina Alexanrovna Yaitskova, Candidate of Technical Sciences, Senior research associate Research Institute of System Researches of Russian Academy of Sciences

The internal SystemVerilog Assertion of SystemVerilog-2009 order as a way of informational safety ensuring with using of assertions tools is presented.

Keywords: assertion, sequence, property, synchronized sequence.

УДК 519.716.32+519.854

КООРДИНАТНО-ЛИНЕЙНО РАЗРЕШИМЫЕ ФУНКЦИИ НАД ПРИМАРНЫМ КОЛЬЦОМ ВЫЧЕТОВ И МЕТОД ПОКООРДИНАТНОЙ ЛИНЕАРИЗАЦИИ

Мирослав Владимирович Заец, сотрудник Тел.:(916) 475-31-06, e-mail: mirzaets@hotmail.com Федеральное государственное унитарное предприятие «Научно-исследовательский институт «Квант» ФГУП «НИИ КВАНТ»

www.rdi-kvant.ru

В статье рассматриваются и изучаются свойства нового класса функций над примар-ным кольцом вычетов, который обобщает класс полиномиальных функций и определенный ранее класс функций с вариационно-координатной полиномиальностью в работах [1], [2], [3]. Данные классы функций обладают тем свойством, что системы уравнений, составленные из таких функций, могут быть решены методом покоординатной линеаризации ([4], [5]).

Ключевые слова: функции с вариационно-координатной полиномиальностью, функции с координатно-линейной разрешимостью, полиномиальные функции, системы линейных уравнений, метод покоординатной линеаризации.

Введение

Известно, что системы полиномиальных уравнений над кольцом Галуа-Эйзенштейна (т.е. конечным коммутативным цепным кольцом) могут быть решены методом покоординатной линеаризации [5; 4]). Частным случаем такого кольца является примарное кольцо вычетов Жрт,т Е N. Суть рассматриваемого метода над Жрт заключается в последовательном нахождении ^-ичных координат неизвестных переменных, при этом нахождение (i + 1)-х координат при известных координатах меньшего порядка, сводится к решению системы линейных уравнений над полем GF(p). В статьях

[1; 2] было показано, что класс функций над кольцом вычетов , обладающий таким свойством, шире класса полиномиальных при т> 3. Построенный класс был назван классом «вариа-ционно-координатно полиномиальных функций» (ВКП-функций). В данной работе определяется расширение класса ВКП-функций (и как следствие, полиномиальных), а именно класс функций с координатно-линейной разрешимостью (КЛР-функций). Приводятся свойства введенного класса, а также описывается метод покоординатной линеаризации для решения систем уравнений, составленных из таких функций.

1. Определение и свойства координатно-линейно разрешимых функций

Обозначим класс всех полиномиальных функций от пЕМ переменных над кольцом Жрт через Трт{п). Договоримся функции от переменных х1,.,хп записывать кратко /(х) =/(х1,..,хп), класс всех функций от п переменных над кольцом вычетов

Жрт обозначим Трт (п). Также всюду далее считаем, если не оговорено иное, что т,п -произвольные натуральные числа и т> 1. Отрезок множества целых чисел {t, t + 1, ..., s} будем обозначать через tTs.

Любой элемент а примарного кольца вычетов Жрт, где mGi, т> 1, р - простое, можно однозначно представить в виде

а = а<0> + р -а(1) + ■■■ + рт~1 ■а(т~1), j = 0, т - 1,

где а^ eS = {0,.,p-1}cZpm, называемом разложением элемента а в p-ичном координатном множестве Ъ. Отображения

Yj'.lpm ^ Ъ, 7у(а) = а.(]'\ j = 0,т — 1,

называются координатными функциями в координатном множестве Ъ, а элементы аС/) =Yj(a) ЕЪ координатами j-го порядка элемента а в координатном множестве Ъ. В частности, любой вектор х = (х1,.,хп) ЕЖрт однозначно представляется в виде конечной суммы:

х = х(°> + р ■ х® + ■■■ + рт~1 ■х(-т~1\

где х^ = (i1(/),.,xJiJ'))ES?l, j = 0,т-1.

Если при этом ввести на Ъ операции сложения «0» и умножения «0» по правилу:

а0Ъ= 70(а + Ь), а 0 Ъ = у0(а^ Ъ), а,Ь ЕЪ,

то алгебра (Ъ, 0, 0) = Жрт /рЖрт = Жр будет являться полем из р элементов.

Определение 1. Для функции f(x)ETpm(n) и _/'E0,m —1, отображение Yjf' Жрт ^Ъ, определяемое по правилу

Yjf(a) =Yj(f{a))

для всех аЕ Ж1^т, будем называть ее j—ой координатной функцией, или j—ым координатным отображением.

Другими словами, любая функция /(х) ЕТрт(п) представима следующим образом через свои координатные функции:

т-1

f(x) = ^p^Yjf(x).

J=0 _

При этом любую координатную функцию Yjf, j = 0,т — 1, можно рассматривать в то же время как функцию Yjf'- Ъпт ^Ъ от пт переменных над полем Ъ, в роли которых выступают координаты В таком случае будем предполагать, что координаты переменных расположены в указанном порядке, т. е. Yjf = 7y/(x^0^,.,x(-m_1^). Следовательно, любая такая координатная функция может быть представлена многочленом над полем Ъ от указанных переменных.

Определение 2. Функцию /(х) ЕТрт(п) будем называть Т-функцией, или треугольной функцией, если для любого jE 0, т — 1 ее j-ая координатная функция зависит только от координат переменных x(°\...,x(i\ т.е. Уу/(х) = у,у/(х(°),..,х(-/')).

Определение 3. Будем говорить, что наборы целых чисел а = (а1,.,ап) и Р = (b1,...,bn) сравнимы по модулю d (или а = р (mod d)), если at = bj (mod d) для всех iE 1, п.

Определение 4. Функция /(х) ЕТрт(п) сохраняет отношение сравнимости по модулю d | т, если на сравнимых по модулю d наборах она принимает сравнимые значения по модулю d.

Обозначим через "Dpm (п) - класс всех функций над Жрт от п переменных, сохраняющих отношение сравнимости по любому делителю рт или, что то же самое, сохраняющих любую конгруэнцию кольца Жрт. Из простейших свойств сравнений следует, что любая полиномиальная функция /Е Трт (п) сохраняет отношение сравнимости по любому делителю рт, и поэтому справедливо включение

Трт(п) Q'Dpm(n).

Следующая теорема устанавливает связь между классом треугольных функций и классом "Dpm{n). Ее доказательство несложно получить, используя работу [6].

Теорема 1. Пусть /(х) ЕТрт(п), равносильны утверждения:

1) /(х) ЕТ>рт(п);

2) f(x) является Т-функцией.

Определение 5. Функцию /(х) ЕТрт(п) назовем вариационно-координатно полиномиальной (или ВКП-функцией), если для любого jE 0, т — 1 существует полиномиальная функция pj(x) ЕТрт(п), j—ая координатная функция которой совпадает с j —ой координатной функцией функции fix), т.е. выполняется равенство:

Yjfix) =7уру(х), j = 0, т - 1.

Класс всех ВКП-функций от п переменных над Жрт обозначим через СТрт(п). Класс ВКП-функций в случае кольца вычетов Z2™ был введен и изучался в работах [1; 2].

Из определения очевидным образом следует, что справедливо включение

Ррт(п) ^СРрт(п).

Сформулируем основные свойства ВКП-функций без доказательства, которые далее нам пригодятся.

Теорема 2. Справедливы утверждения:

1) для любого пЕМ классы полиномиальных и ВКП-функций над Ър2 от п переменных совпадают, т.е. Тр2 (п) = ОРр2(п), при этом мощность данных классов равна величине:

\Pp2(n)\ = \CJ>p2(n)\=prn^+V;

2) для любых пЕМ и т> 3 класс ВКП-функций С!Ррт(п) не совпадает с классом полиномиальных Ррт(п).

Теорема 3. При любом пЕМ класс ВКП-функций СТрт (п) сохраняет отношение сравнимости по любому делителю рт, т.е. справедливо включение:

СТрт(п) ЯТ)рт(п).

Теорема 4. Если /Е СТрт (п), то для любого /Е 1,?n- 1 существуют функции д]1-.Ъп ^Ъ, gj\3in ^Ъ, i = 1,п, над полем Ъ такие, что выполнено равенство:

п

Уу/(х<0>.....х0))=Х #yi(x(0))®*tO) Ф#у(х(0).....х°'-1)).

¿=1

Класс ВКП-функций можно обобщить следующей конструкцией.

Определение 6. Функцию /(х) ЕТрт(п) назовем квази-вариационно-координатно полиномиальной (или квази-ВКП-функцией), если выполнены условия:

1. Yof(x) = 70/(х(0)) = ^0(х(0)), д0.Ъп ^Ъ; для любого у'Е 1,т- 1: 2 .

2. Yjf(x)=Yjf(x(°\...,x^>) и существуют полиномиальные функции д^.Ъп ^Ъ, д]-.Ъ-1п ^Ъ, ¿ = 1, п, над полем Ъ такие, что справедливо равенство:

п

7у/(х®.....хО)) = £ ©£у(х®.....х(у-1)).

¿=1

Введенное определение задает класс функций, обладающих свойством ВКП-функций, описанным в теореме 4. Класс всех квази-ВКП-функций от п переменных над кольцом Жрт обозначим 0,СТрт(п). Как видно из определения следует, что любая ква-зи-ВКП-функция является Т-функцией, поэтому справедлива цепочка включений:

СРрт(п) сдСУрш(п) ЯТ)рт(п).

Описание класса ВКП-функций носит конструктивный характер, поскольку в явном виде предлагает задание функций из этого класса. При этом важное свойство, которым обладают данные функции, описывается в теореме 4, а именно, оно заключается в том, что каждаяу-ая координатная функция (/> 1) ВКП-функции является аффинной по у-тым координатам переменных (при фиксированных координатах меньшего порядка). И указанное свойство является ключевым при решении систем ВКП-уравнений, т.е. систем вида:

Л(х) =У1, Л(х) =уг,

где /¿(х) ЕСТрт{п), у^ ЕЖрт, I = 1,Поэтому интересным представляется вопрос об описании всех функций над примарным кольцом Жрт, которые им обладают, поскольку системы уравнений, левые части которых образованы такими функциями, могут быть решены «покоординатно». В данной статье будет предложен в некотором смысле аксиоматический подход к определению функций, имеющих описанное свойство.

Определение 7. Функцию /(х) ЕТрт(п) назовем координатно £-линейно разрешимой (или £-КЛР-функцией), ££ 0, т — 1, если она является Т-функцией и при любом 0Е £ существуют такие функции д^д^.Ъ71) ^Ъ, / = 1, п, что:

уу/(х) =7у/(х®.....хСЛ) =

п

= X ^(х(0).....х(/_1))®*4С/) .....хО-1)), (1)

¿=1 _

и при ] = 0е£ существуют такие д<ц,до ЕВ, / = 1,п, что:

п

Уо/(х) =7о/(х(0)) = ^ д01 ®д0.

¿=1

При заданном подмножестве ££ 0, т — 1 обозначим класс всех £-КЛР-функций от п переменных над Жрт через С££рт(п), и при этом в условиях определения 6 будем также говорить, что функция /(х) обладает свойством координатной £-линейной разрешимости. В том случае, когда нам неважно множество £ либо оно определено контекстом, будем говорить просто о КЛР-функциях и свойстве координатно-линейной разрешимости.

Введенный класс функций обобщает классы ВКП и квази-ВКП-функций, поскольку в нем условие, налагаемое на функцию .д^ менее жесткое - функция д]1 может зависеть от всех координат меньшего порядка, а не только от младших х®. При этом отметим, что для £-КЛР-функции, при )Е 0, т — 1'\£ существует функция д..ъпЦ+1) для которой:

Т//(х) =Гу/(х№.....хО')) = £у(х®.....хЮ).

Приведем простейшие свойства £-КЛР-функций в следующем утверждении. Утверждение 5. Справедливы утверждения:

1. если £ = 0, то верно равенство:

С£5$т(п) =Ърт(п);

2. если £г — £2, то верно включение:

С£5^(п) сех^ип);

3. при любом верно включение:

еж

4. если £г,£2 £0, т — 1, то верно равенство:

С£<^(п) ПС£<^(п) = С£<^иХ2(п);

5. если £г,£2 — 0, т — 1, то верно включение:

Доказательство. 1. Из определения 7 следует, что при £ = 0 все £-КЛР-функции суть в точности Т-функции.

£

2. Если £х —£2 и /(х) еС££рт(п), то при любом £х для ее у'-ой координат-

£

ной функции выполняется равенство вида (1), а значит, /(х) £С££рт(п).

3. При любом £ — 0,т — 1 £-КЛР-функции является Т-функцией, и включение заведомо выполнено. Кроме того, это также следует из первых двух пунктов, поскольку 0 — £.

_ £ £

4. Пусть £х,£2 — 0, т — 1 и /(х) еС££рт(п) ПС££рт(п), тогдау'-ая координатная функция функции /(х) удовлетворяет равенству (1) при ]'£ £г и при ]'£ £2, а стало быть, при )£ £х и£2. Обратно, если /(х) £С££ХтиХ2(п), то ее тогдау'-ая координатная функция удовлетворяет равенству (1) при всех }£ £\ и при всех у£ £2.

5. Доказываемое следует из второго пункта, так как £х п£2 —£¿,1 £ {1,2}. При любом X — 0, ттт. — 1, как легко видеть, справедливо:

Трт(п) ПС£5рт(п) *0, СТрт(п) пС££рш(п) * 0, дсррт(п) ПС££рш(п) *0.

Уточним связь между классами полиномиальных, ВКП-, квази-ВКП- и £-КЛР-функций в одном частном случае.

Утверждение 6. Если £ — 1, т — 1, то справедлива цепочка включений:

Трт(п) —СТрт(п) —дСТрт(п) —С£,5рт(п). (2)

Доказательство. В силу теоремы 4 и определения 6 любая ВКП-функция и ква-зи-ВКП-функция является 1,т— 1-КЛР-функцией, поэтому при X — 1, ттг. — 1 цепочка (2) следует из п.2 утверждения 5. ■

В силу цепочки (2) возникает вопрос о строгости включения классов СТрт{п) и дСТрт(п) в класс С£,8рт(п) при £ — 1,7?г — 1. Ответ на него очевиден при ££ 1, т — 1 и при £ = 1,т — 1, т> 3. Действительно, если ££ 1, т — 1, то

СРрт(п) —дСРрт(п) —С££*'т_1(п) СС£5^т(п).

И если £ = 1, т — 1, т > 3, то по теореме 4 и определению 6 у ВКП- и квази-ВКП-функций все функции несущественно зависят от х^,..,х®, где к = 1,] — 1, }> 2. В то же время, при т> 3 легко привести пример координатных функций 7у/, ] > 2, удовлетворяющих условиям определения 7, у которых существенно зависят хотя бы от одной из переменных где кЕ 1,] — 11. Поэтому и в этом случае имеем строгое включение:

Пример. Рассмотрим {0,1,2}-КЛР-функцию /(х) от одной переменной над Ъг1 (см. табл.).

Таблица

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26

5 15 25 17 18 4 20 3 10 23 6 16 8 9 22 2 12 19 14 24 7 26 0 13 11 21 1

Ее координатные функции имеют вид:

7о/(х) =х® 0 2, П/Сх) = (2 ® (х®)2 0х® 01)®х^ 0(х®)2 01,

72/(Х) = ((Х«)2 0 2®Х« 0 2)®Х® 0Х® 0Х«.

Такая функция не является полиномиальной, поскольку =

(х(1)) 0 2®х(-1-) 0 2 - существенно зависит от х®. По этой же причине она не является и ВКП-функцией. Заметим, что эта функция также задает подстановку на 227.

Остается рассмотреть случай £ = 1, т — 1, т = 2. Для этого решим сначала вопрос о мощности класса £-КЛР-функций. Предварительно докажем следующую лемму.

Лемма 7. Число различных функций /(х1,..,х/с,у1,...,уг):В'с+г —Ъ от к + I переменных над полем Ъ вида

/(х1,...,хд.,у1,...,уг) = а0(х1,...,хк) 0 а1(х1,...,х5) 0 у1 0 ... 0 аг(х1,...,х5) 0 у^

где к, / Е М, 5 Е 1, к и щ, / = 0, /, - произвольные функции над полем Ъ, равно р1рг+рк

Доказательство. Очевидно, что разным наборам функций

(х1,...,х£(:),а1 (х1,...,х5),...,а£ (х1,...,х5))

соответствуют различные функции /(х1,.,хА:,у1,.,уг). Следовательно, между такими наборами функций и функциями, имеющими вид из условия леммы, существует взаимно-однозначное соответствие. Число же указанных наборов равно в точности рРк -(рР5)г =р1-Р!!+Рк.

Теорема 8. Пусть £ = {я,...,_/&} ^0,т — 11, к Е 0,т, и {н,..-Лт-к} =

0, т — 1\£. Тогда для любого пЕМ справедливо равенство

к т-к

\0%р\С£5^т(п)\ = (п + 1)^Рп}5 + ^ (3)

5=1 С=1

Доказательство. Число всех £-КЛР-функций равно произведению чисел возможных }—тых координатных отображений (/ = 0,7?т. — 11). По определению 7 при каждом }Е £ количество различных ]—тых координатных отображений равно количеству функций вида

^^(х®.....х°'-1))®хР ©#у(х(0).....хи-1)),

¿=1

и равно, согласно доказанной лемме, рпР]П+Р]П = рО+1)р;п (эта формула верна и в случае } = 0). При каждом у£0, т — 1\Х количество различных }—тых координатных отображений равно числу функций ,дгу(х®,..,х(--,-)) над полем Ъ и равно рР(;+1)п. Таким образом, имеем:

к т-к

|С££Х

рт

5=1 С=1

Окончательно получим:

к т-к

(¿С + 1)п

5=1 С=1

Отметим, что в приведенной формуле (3) возможны равенства к = 0 и к = т, в таких случаях первое и второе слагаемое соответственно в ней будут отсутствовать. При £ = 0 и при £= Т'М. — 1 получим два важных следствия.

Следствие. Для любого п£ N мощность класса Т-функций Ърт(п) вычисляется по формуле:

р"(р"т-1) \Т>рт(п)\=р .

Доказательство. Так как £ = 0, то к = 0 и по формуле (3) имеем:

т-1

^р\Т>рт(п)\=^р\С££фрт(п)\ = ^ р^ = _1 ■

¿ = 0

Отсюда

р"(р"т-1) |©рт(п)|=р Рп-1 .

Следствие. Для любого п£ N мощность класса £-КЛР-функций при £ = 1, т — 1 равна:

\С££рт(п)\

= рР +(п+1) Рп-1 . (4)

Доказательство. Пользуясь формулой (3) непосредственно получим:

рпГТ)п(т-1)

\0Ер\С£$$т(п)\ = (п+1)^рп1 +рп = (п + 1У У п_1-1 + рп.

у=1 Р

Применяя лемму 7, можно вычислить мощность класса квази-ВКП-функций.

Теорема 8. Для любого п£ N мощность класса квази-ВКП-функций от п переменных над Жрт равна:

\дсгрт(п)\=ррП+(-т-1)прП+ V-! . (5)

Доказательство. Число всех квази-ВКП-функций равно произведению чисел возможных у—тых координатных отображений (/ = 0,т — 11). При каждом _/'£ 1, т — 1 количество различных у—тых координатных отображений равно количеству функций вида

п

^^(х®)®х(0)©,ду(х®.....хО-1)),

¿=1

и равно, согласно доказанной лемме, рпРп+Р]П. и при 7 = 0 количество различных ]—тых координатных отображений равно числу функций ,ду(х®) над полем Ъ и равно

рР

В итоге имеем:

„ , ^ V рП(рП(т~1)-1)

У=1

Отметим, что равенство (5) дает оценку мощности класса ВКП-функций. Используя доказанные результаты, можно окончательно ответить на вопрос о соотношении классов £-КЛР и ВКП-функций.

Теорема 9. Пусть £ = 1, т — 1, тогда справедливы утверждения.

1. При т>3 верна цепочка включений:

Ррт(п) ^СТрт(п) ^дСТрт(п) ^С£,8рт(п).

2. Верна цепочка равенств:

Тр2(п) = СТр2(п) =дстр2(п) = С£5р2 (п).

Доказательство. При т> 3 данный факт уже доказан. При т = 2 равенство следует из цепочки включений (2):

^р2(п) =СТр2(п) ^дСТр2(п) и равенства мощностей:

\Тр2(п)\ = \СТр2(п)\ = \с£51р2(п) поскольку из (4) следует:

_рРп(п+2),

_^р"+(п+1)Р р(п_11) _рр"+(п+1)рп =рРп(п+2)

В соответствии с определением 7, любая £-КЛР-функция /(х) сохраняет отношение сравнимости по делителям рт, поэтому данное условие является необходимым для принадлежности произвольной функции классу С££рт(п). Данное свойство не является достаточным в общем случае. Однако при £ = 1, я1 — 1 оно является таковым для функций от одной переменной над 22т.

Утверждение 10. Функция /(х) Е^2т(1) является Л-КЛР-функцией, £ = 1, т — 1, тогда и только тогда, когда она сохраняет отношение сравнимости по любому делителю 2т. Другими словами, верно равенство:

е£<^т(1) =©2ш(1).

Доказательство. Данное утверждение можно доказать аналогично теореме 9, используя мощностные соображения. Но в то же время его можно доказать непосредственной проверкой.

Пусть /(х) ЕВ2т(1), докажем, что /(х) ЕС££2т(1). Согласно известным свойствам для любого _/Е 0, ш — 1 справедливы следующие равенства:

Гу/(х) =гу/(х®.....х^^Дх®.....хО')),

где Л.у(х^,...,*^): Ъ]+1 — Ъ некоторая булева функция от7 + 1 переменных.

При у'Е 1, т — 1 булеву функцию Лу(х®,..,х(--,-)) можно однозначно представить в виде:

/1у(х®.....хО')) = £Д(х®.....х0-1)).х0) + £у(х®.....х^)),

где дд и д^ - некоторые булевы функции, а это означает, что все Уу/(х) =

Лу(х®.....*СЛ) имеют вид, указанный в определении 7, и

Следствие. Справедливы следующие равенства классов функций над 24:

^4(1) = с:Р4(1) = дст4(1) = е£<41}(1) = ©4(1).

В действительности можно доказать, что справедливо определенное усиление утверждения 10.

Следствие. Класс £-КЛР-функцией С£8рт (п), £ = 1, т — 1, совпадает с классом Т-функций Ърт(п) тогда и только тогда, когда одновременно р = 2, п = 1.

Следствие. Класс ВКП-функцией СТрт(п), совпадает с классом Т-функций Ърт(п) тогда и только тогда, когда одновременно р = 2, т = 2, п = 1. Это справедливо и для класса полиномиальных функций Трт{п).

Докажем далее определенную замкнутость класса КЛР-функций при применении суперпозиции.

_ £

Теорема 11. Пусть £х,£2 ^ 0,7-77. — 1, £ N. Если функции /£ С££рт(и) и ^.....к-п £С£££рт(к), то функция £С££ХтПХ2(&).

Доказательство. Пусть и(х) =/(Л1(х),..,Лп(х)), проверим, что и(х) является Т-функцией. Действительно, при любом _/'£ 0,т — 1:

п

(х)).

Поскольку при любом 5£ 0, и /£ 1, п координатная функция зависит от

координат переменных постольку у'-ая координатная функция ууи(х) зави-

сит от координат х®,.-,х(~,-), а следовательно, и(х) - Т-функция.

Если £х П£2 =0, то утверждение верно в силу С£Брт(к) =Ърт(к). Если же £1 П£2 ^0, то возьмем 0£ £г П£2 и рассмотрим у'-ую координатную функцию

* * ^ Л, _

Ууи(х). Обозначим через д'^д1^ и д^д- (1 = 1, п) функции из определения 7 для / и Лг соответственно. Тогда имеем:

Г]и(х) =7у/(Л1(х),.,Лп(х)) =

п

(гоЛ1(х),.,7оЛп(х),.,7у_1Л1(х),.,7у_1Лп(х))0 ГуЛ£(х) ©

¿=1

п

(х)).

По аналогии с отмеченным ранее, выражения

(гоЛ1(х),.,70Лп(х),.,7у-1Л1(х),.,7у_1Лп(х)) = г;7(х(0),.,х(^-1))

и

(гоЛ1(х),.,70Лп(х),.,7у_1Л1(х),.,7у_1Лп(х))=Гу(х(0),.,х(^-1)) зависят только от х®,-,х(--,_1), следовательно:

п

7уи(х) Гу^х®.....х^-1))®}^« ©Гу(х®.....х^'"1^

¿=1

п

= ^Гу,(Х(°).....

¿=1

® ^у/(х(0).....хс-«)®*^ ©^(х®.....©

©гу(х®.....=

п / к \

= 2 г,,(х®.....ха_1))® 1^/(хС0).....х(У-1))®х50) I ©

¿ = 1 N5=1 /

П

©^ гу|(хС°5.....хО'"*))® ^(х®.....хО-1)) ©гу(х®.....=

¿=1

к / п \

= Х (Х^хС0).....хУ_1))®Ых(0).....хСУ_1))) ©

5=1 \{=1 /

П

©У гу|(хС°5.....хС-1))®^«».....хО'"1)) ©гу(х®.....х^)).

¿=1

После очевидных переобозначений, придем к равенству:

к

У}

м(х) ^(х®..........хО'-1)).

¿=1

Таким образом, каждая координатная функция ууи(х), _/' 0 Е £х П£2, удовлетворяет условиям определения 7.

Если} = 0Е £-1 П£2, то, применяя аналогичные рассуждения, получим:

7о<х) =у0/(Л1(х),.,Л71(х))= 70/(/оЫхСО)), ...,у0Лп(х(0))).

Функция 70/ - аффинная над полем Б и Уо^1(х®), ...,у0^п(х®) - также аффинные над Ъ, их суперпозиция есть аффинная функция.

Таким образом, функция и является £1 П£2-КЛР-функцией. ■

Из данной теоремы получим важное следствие. Пусть К - некоторый класс функций, обозначим через \_Ж\ - замыкание этого класса (состоящее из всех функций, представимых формулой над Ж, или что то же самое, содержащее все возможные суперпозиции функций из Ж). Класс функций К называется замкнутым, если его замыкание \_Ж\ совпадает с самим собой.

Следствие. При любых пЕМи ££ 0, т — 1 справедливо:

[е£^ш(п)] = е£,^ш(п).

Доказательство. Действительно, по доказанной теореме суперпозиция любых £-КЛР-функций является снова £-КЛР-функцией, отсюда и следует замкнутость класса С££рш(п).

В частности из следствия вытекает и замкнутость класса Т-функций при £ = 0, т.е.

[®рт(п)]=®рт(п).

Повторяя доказательство теоремы 11, можно показать замкнутость класса квази-ВКП-функций.

Утверждение 12. Если функция /Е QCTpm(ri) и функции ЕQCTpm(k),

то их суперпозиция /(ЛХ,.,ЛП) ЕQCTpm(k).

Следствие. При любом пЕМ справедливо:

[дСРрт(п)]=дСРрт(п).

Суммируя полученные результаты, придем к следующему выводу. При т> 3, в соответствии с теоремой 9, имеем цепочку включений:

Tvrn(n) ССТрт(п) ^QCTvm(n) ^CLS^m 1(п).

При этом классы Трт(п), QCTpm(n), C£Sр™ х(п) являются замкнутыми и не совпадают. Открытым остается вопрос о замкнутости класса ВКП-функций и о строгости его включения в класс квази-ВКП-функций.

2. Метод покоординатной линеаризации для решения систем КЛР-уравнений

Как говорилось ранее, цель изучения класса КЛР-функций заключается в обобщении метода покоординатной линеаризации на более широкий класс функций. Изложение метода покоординатной линеаризации для решения систем ВКП-уравнений можно найти в работе [3]. Далее пойдет речь о решении систем £-КЛР-уравнений над Жрт (т > 1), т.е. систем

f/i(x) =yi,

t/t(x) =Уг,

у которых функции /¿(х), i = 1, t, стоящие в левой части каждого уравнения, являются £-КЛР-функциями. Приводить алгоритм будем для случая, когда £ = 1, т — 1. При таком £ системы ВКП-уравнений являются системами £-КЛР-уравнений.

Приведем соображения, которые будут использоваться при описании и обосновании алгоритма решения систем £-КЛР-уравнений.

Если /(х) EC£Spm(n) и у£ Жрт, то уравнение /(х) =у после приведения его левой и правой частей по модулю р примет вид

/(х) =у (mod р) ^7о/(х) =УС0) ^ 7о/(хСо))=УСо)

Последнее равносильно уравнению над полем Ъ:

^0(х(0))=у(0).

При этом, чтобы найти функцию д0 достаточно привести по модулю р значения функции /(х) на множестве Ъп.

Если /(х) EC£Spm(ri), у£ Жрт и )е0, т — 2, то уравнение /(х) =у после приведения по модулю р]+1 примет вид:

/(х) =у (mod

7о/(х) + ••• + pjYjf(x) =у(0) + ••• + pJy(J) о Vo/(x) =у(0), п№ = у«,

Поскольку при любом sE 0,j координатная функция у5/(х) зависит только от x®,...,x'-s\ то полученную систему можно записать следующим образом:

Го/(х(0))=У(0), 1У//(хС05.....х(^))=у(^).

Пусть координаты х®,..,х(--,_1) удовлетворяют первым j уравнениям (6), тогда для решения (6) необходимо и достаточно решить уравнение

Уу/(х<°>.....ха)) = уа) (7)

относительно х^. При этом (7) является линейным по х^ при любых фиксированных координатах х®,..,х(--,_1), поскольку, согласно свойству координатно-линейной разрешимости, уравнение (7) есть в точности уравнение вида

п

.....Х0-1))®хр ©^(х®.....х0'-1))=у0').

¿=1

Алгоритм решения систем £-КЛР-уравнений

Пусть задана система £-КЛР-уравнений от п переменных х1,.,хп при £ = 1, т — 1

Л(х) =У1,

■ (8) Ж*) = Уг,

над Жрт (т> 1), опишем алгоритм, приводящий к нахождению ее решений.

1. Положим у' = 0. Рассмотрим произвольное уравнение системы

/¿(х)=у;, ¿£1Д

и приведем его по модулю р. Согласно проведенным ранее рассуждениям получим уравнение

относительно младших координат х®. Приводя таким образом каждое уравнение в (8), придем к некоторой системе уравнений над полем Ъ относительно х®. Решаем данную систему одним из стандартных способов (например, перебором) и находим возможные значения младших координат.

2. Пусть при ]£ 1, те — 1 найдены значения координат переменных х® = с(0),.,х(^"1) = с°'-1), которые для каждого уравнения /¿(х)=У(, 1 = 1,1, системы (8) удовлетворяют равенствам:

( 7оЖс(0))=у/0),

, ^(с^с^Ьу«, (9)

^(с®.....с(^"1))=у^"1).

Если у' = те, то перейти к пункту 4. Иначе, при любом таком наборе координат неизвестных с®,..-,с(~'"1) выполним следующие действия. Приведем данное уравнение по модулю р7'+1, получим соотношение

Т/Ж с(0).....с 0-1),х«)=у0)^

п

£ ^(с(0).....сС/-«)®*^ ©^(с®.....с(10)

к=1

которое при любых фиксированных наборах значений с®,.-,с^-1) является лия, я, _

нейным. Это означает, что существуют такие £Ъ (к = 1,п), для которых (10)

имеет вид:

а^' ©ар =у0).

Чтобы найти эти коэффициенты (при фиксированных с®,.-,с("'~1)) достаточно вычислить значения как функции от х^ на наборах {в = (0, ..,0),

= (<5(1,.,5(„), £ = 1,п}. Таким образом, каждое уравнение исходной системы приводит к некоторому линейному уравнению над полем Ъ относительно неизвестных х^. А значит, решив полученную систему линейных уравнений над Ъ, найдем возможные значения '-х координат переменных либо покажем, что такая система несовместна.

3. При всех удовлетворяющих системе (9), необходимо найти все возможные значения координат х^. Если таких х^ нет, то исходная система (8)

несовместна и алгоритм заканчивает работу. Увеличить у на 1 и перейти к пункту 2 алгоритма.

4. Если найдены координаты неизвестных х® = с(°\...,х(т~1^1 = с(т~г\ то решения системы с = (с1,.,сп) находятся следующим образом:

т-1

С — ^ р-' - С^А

7 = 0

и на этом алгоритм завершает работу.

Утверждение 13. Приведенный алгоритм корректен, то есть находит все решения системы (8) либо определяет ее несовместность.

Доказательство. Корректность алгоритма следует из того, что с = (с1,.,сп) является решением (8) в том и только в том случае, когда для любого уравнения этой системы /¿(х) =у^, / = 1,1, выполняются равенства

( 7оЖс(0))=у(0),

<Гт- 1ЖС(0).....С (т-«)=у(»-«.

Но данный алгоритм последовательно на каждом шаге находит все те значения координат с®,--,с("-,'), которые удовлетворяют равенствам

( 7оЖс(0))=у(0), , П/.(с(0),с(1))=у/1),

,7/Ж с(0).....с«)=у(Л,

для любого уравнения ^ (х) исходной системы. В частности, при }= т — 1 -все возможные значения координат переменных а стало быть, и все ре-

шения с = (с1,.,сп).

Оценим сложность одного прохода алгоритма (п.2). Для нахождения координат х^ (/£ 1, т — 1), как видно, требуется решить систему линейных уравнений над полем Ъ. В предположении, что в системе 1 = 0(п) уравнений, ее решение методом Гаусса имеет сложность 0(п3). Кроме того, чтобы получить саму эту систему, необходимо найти линейное представление ад ©... ©а/п ©ау = для каждого ее

уравнения. Очевидно, что для одного уравнения это можно сделать за п + 1 операций (считая, что вычисление значения функции - это одна операция), и за (п + 1) - О (п) = 0(п2) операций для всей системы. Таким образом, сложность одного прохода равна 0(п3) + 0(п2) = 0(п3) (при 0).

Приведенный алгоритм решения систем 1 ,т — 1--КЛР--уравнений можно обобщить на системы £-КЛР-уравнений при произвольном ££ 0, т — 1. В таком случае для нахождения у'-ых координат, где £, потребуется решить систему линейных уравнений над полем Ъ и для нахождения координат с номерами }Е0,т— 1'\£ решить, вообще говоря, произвольную систему над полем Ъ. Этот факт объясняет используемую терминологию в названии функций: систему £-КЛР-уравнений можно решить покоординатно, т.е. последовательно находя координаты неизвестных переменных, при этом координаты £ находятся путем решения системы линейных уравнений, отсюда и название - «функции с координатной £-линейной разрешимостью».

Заключение

Автор считает, что в данной работе новыми являются следующие положения и результаты: классификация функций над примарным кольцом вычетов в связи с при-

менением метода покоординатной линеаризации и общее описание данного метода для класса функций с координатно-линейной разрешимостью. Изучение и исследование метода покоординатной линеаризации для решения систем полиномиальных уравнений позволило существенно расширить классы функций, обладающих данным свойством. Это привело к появлению определенной классификации таких функций над примарным кольцом вычетов, которая была приведена в настоящей статье. Также сам метод покоординатной линеаризации получил развитие и был обобщен на класс функций с коор-динатно-линейной разрешимостью.

Литература

1. Заец М.В., Никонов В.Г., Шишков А.Б. Функции с вариационно-координатной поли-номиальностью и их свойства // Открытое образование. 2012. № 3. С. 57-61.

2. Заец М.В., Никонов В.Г., Шишков А.Б. Класс функций с вариационно-координатной полиномиальностью над кольцом Ъгт и его обобщение // Матем. вопр. криптографии. 2013. Т. 4. № 3. С. 19-45.

3. Заец М.В. Решение систем ВКП-уравнений методом покоординатной линеаризации над примарным кольцом вычетов // Информационные технологии в науке, образовании, телекоммуникации и бизнесе: мат. XLI Международной конференции и XI Международной конференции молодых ученых IT+SE13. - приложение к журналу Вестник Московского университета имени С.Ю. Витте. Серия 1: Экономика и управление. 2013. С. 155-157.

4. Михайлов Д.А. Решение некоторых классов систем полиномиальных уравнений над конечными полями и кольцами: труды по дискретной математике. 2008. Т. 11. С. 125-146

5. Михайлов Д.А., Нечаев А.А. Решение системы полиномиальных уравнений над кольцом Галуа-Эйзенштейна с помощью канонической системы образующих полиномиального идеала // Дискретная математика. 2004. Т. № 1. Вып. 1. С. 21-51.

6. Vladimir Anashin and Andrei Khrennikov. Applied Algebraic Dynamics. De Gruyter Expositions in Mathematics, vol. 49 Walter de Gruyter, Berlin-New York, 2009.

Coordinate-linear solvable functions over primary ring of residues and the method of coordinate linearization

Miroslav Vladimirovich Zayets, Associate

Federal State Unitary Enterprise KVANT Research Institute

The article considers and researches properties of the new class offunctions over primary ring of residues, which generalizes class ofpolynomial functions and class offunctions with variative-coordinate polynomiality defined earlier. The given classes offunctions have the property that systems of equations composed from such functions may be solved by using the method of coordinate linearization.

Key words: functions with variative-coordinate polynomiality, coordinate-linear solvable functions, polynomial functions, system of linear equations, method of coordinate linearization.

УДК 681.51

ОЦЕНКА СТЕПЕНИ ВЛИЯНИЯ НЕКОТОРЫХ ФАКТОРОВ НА ПРОИЗВОДИТЕЛЬНОСТЬ LONWORKS СЕТИ

Сергей Александрович Даденков, ассистент кафедры «Автоматика и Телемеханика», Тел. (342) 239-18-16, e-mail: dadenkov@rambler.ru Ефим Львович Кон, тнд.техн.наук, проф. кафедры «Автоматика и Телемеханика» Тел.: (342) 239-18-16, e-mail: kel-40@yandex.ru Пермский национальный исследовательский политехнический университет

http://pstu.ru