CC BY
14
МЕХАНИКА
УДК 532.546.013.4: 536.25
КОНВЕКТИВНАЯ УСТОЙЧИВОСТЬ БИНАРНОЙ СМЕСИ В ПОРИСТОМ ПРЯМОУГОЛЬНИКЕ ПРИ МОДУЛЯЦИИ ГРАДИЕНТА ТЕМПЕРАТУРЫ
© 2011 г. Н.С. Булгакова
Институт проблем геотермии, The Institute of Geothermal Problems,
Дагестанского научного центра РАН, of Dagestan Scientific Centre RAS,
пр. И. Шамиля, 39а, г. Махачкала, 367010 I. Shamil Ave, 39a, Makhachkala, 367010
Проведено численное исследование фильтрационной конвекции бинарной смеси, насыщающей пористый массив прямоугольного сечения при модуляции граничной температуры около некоторого среднего значения. Изучен сценарий изменения структуры нейтральных кривых, разделяющих нарастающие и затухающие возмущения, в плоскости амплитуда — частота модуляции в зависимости от теплового и диффузионного чисел Рэлея.
Ключевые слова: бинарная смесь, конвективная устойчивость, модуляция градиента температуры, пористая среда, нейтральные кривые.
The numerical investigation is carried out of filtration convection of a binary mixture saturating porous mass of rectangular section for modulation of boundary temperature near some average value. The scenario is studied of structure change of neutral curves dividing the increasing and subsiding disturbances in the plane amplitude — modulation frequency depending on the thermal and diffusion Raleigh numbers.
Keywords: binary mixture, convective stability, modulation of temperature gradient, porous medium, neutral curves.
Влияние модуляции граничных температур на конвективную устойчивость горизонтального слоя однокомпонентной жидкости исследовано в [1]. Пористость среды и наличие примеси, насыщающей ее жидкости, могут существенно повлиять на формирующиеся конвективные движения. В [2, 3] проведен анализ неустойчивости плоского горизонтального слоя бинарной газовой смеси под действием модулированного во времени градиента температуры. При этом модуляция параметров во времени в зависимости от амплитуды и частоты может как стабилизировать неустойчивое основное состояние, так и дестабилизировать равновесие жидкости. Случай пористого слоя, насыщенного бинарной смесью, при модуляции параметров проанализирован в [4, 5], показано, что модуляция приводит только к дестабилизации равновесия.
В данной работе изучаются условия возникновения конвекции в пористом прямоугольнике, заполненном газовой бинарной смесью, при условии периодической модуляции градиента температуры, концентрация на границах постоянна.
Постановка задачи
Рассматривается пористый прямоугольник толщиной Ь и шириной 2Ь, заполненный бинарной смесью. На горизонтальных границах заданы температуры и концентрации, причем вертикальный градиент концентрации постоянен, градиент температуры изменяется периодически с частотой ю ; на вертикальных границах - условия отсутствия потока тепла и примеси.
Уравнение состояния бинарной смеси: Р = Ро(1 — — Р2О, где ро - характерная плотность среды, соответствующая средним значениям концентрации и температуры; T и C - отклонения от этих средних значений; Pi и Р2 - коэффициенты температурного и концентрационного расширения (если С - концентрация легкой компоненты, то
P2 > 0 ).
Систему уравнений конвекции бинарной смеси в пористой среде в приближении Дарси-Буссинеска без учета перекрестных эффектов и граничные условия можно записать в виде [6]
Д U = —Vp — Ро g (i — PiT — P2C )Y,
k
Ñm ^ + CpP0UVT = XAT, (1)
dC
m-+ uVC = DAC,
dt
divu = 0,
z = 0: T = T1, C = C1, ux = 0,
z = L : T = T2 + To sinrat, C = C2, uz = 0,
dT dC
x = —L;L : — = — = 0, ux = 0. dx dx
Здесь u - поле скоростей; p - давление в смеси, отсчитываемое от гидростатического, соответствующего ро; Д - кинематическая вязкость; X - эффективная теплопроводность пористой среды; Ñm - эффективная теплоемкость единицы объема пористой среды; C - теплоемкость смеси при постоянном
давлении; В - коэффициент диффузии; к - проницаемость; т - пористость; у - единичный вектор, направленный против поля тяжести.
Введем систему координат следующим образом: ось х направим вдоль нижней границы слоя, ось г -вертикально вверх.
При механическом равновесии (и =0) установившееся решение задачи (1) имеет вид
Ts = T — Az + Qs (t, z), Cs = Q - Bz Qs (t, z) = Qi(z)sinrot + Q2(z)cos rot.
A = T—T±-, B = Cl - C2
(2)
L ' L
Ql (z) = —T [qishaz cos az + q2<ch az sin az], Q2 (z) = —T0 [qichaz sin az — q2shaz cos az], shaL cos aL ch aL sin aL
qi =-0—' q2 = —0—'
S 2 S
2 2 2 2 IN ГО
S = sh aL cos aL + ch aL sin aL, a = J m
2X
Для обезразмеривания переменных введем масштабы Ь - толщины пористой среды, ЛЬ - температуры,
Ро gkhЛL
Ду = —
ST St
ST Rd SC
Sx
Sx
SQl
Sz
Mz =—, (3)
x Sz z
Sy
Sx
1 SC 1 Ar
---и, =-ДО,
b St z LeR
Qs (t, z) = Qi (z) sin Ot + Q2 (z) cos fit, Ql (z) = —S[qishaz cos az + q2ch az sin az],
Q2 (z) = —S[qi ch az sin az — q2shaz cos az],
5 =
T
0
qi = -
008 а
A • L' S
S = sh2a cos2 a + ch 2a sin2 a,
p2 gkßiAL2C
2/
R =
Rd =
Po gkß2 BL2 Щ
q2 =-
Le = ■
2
ch a sin a
S
X
PoC„D
C
b = - Cm
тСрРо
При граничных условиях:
x = —i;i: ^ = 0,
SC
будем искать в виде
У
да . . да
= sin %kx 2Wm (t)sin л mz, T = cos %kx 2 /m (t)sin л mz,
m=i
да
m=i
C = cos nkx 2 gm (t)sin л mz
(4)
Подставляя (4) в (3), исключив (/), получим
/n (t) =
2 (mGm m=i
1 g n (t) = b
R
/n (t) +
(nRd LeR
■gn (0 —
., Rd /m (t) + gm(t) LeR
(5)
Rd ц n
LeR LeR
gn (t) + ( n/n (tX
(лк )2
ци = (лк)2 + (лп)2 , (
ц«
Gmn =—25a[((qi + q2 )lmn + 0?2 — qi)Jmn )sin Ox +
+((qi + q2 +(qi— q2) Imn)cos OTl
I = I1 +/2 — I3 — /4 -1 mn -1 m^ ^ A mn A mn A mn,
J = J + J2 — J — J4
и mn u mn ^ u mn u mn u mn ,
a
т
- скорости, -— - времени, ВЬ -
Ц СтЯкЛ^1
О
концентрации, Роg$\ЛL - давления. Линеаризуем систему (1) относительно механического равновесия (подставляя возмущенные величины Т + Т', Са + С',
р5 + р', и - малая скорость), введем функцию тока у . Исключив давление и опустив штрихи, получим
I' =
mn 2 2-,
4(a2 +Y2) a
j' =
Jmn ■. 2 , 2
4(a2 +у2)
Yi
shacos у' + —chasinу;
Y'
cha sin Yj--- sha cos у;
a
,j = 1,4,
^ = а - %(т - п) , ^ = а + %(т - п), уз = а — л(т + п), у 4 = а + л(т + п) .
Здесь Ье - число Льюиса; 8 - безразмерная амплитуда модуляции; Я,Яё - число Рэлея и его диффузионный аналог; /п,- соответственно амплитуды температуры, скорости и концентрации; Qs определена в (2).
Решение задачи
Для газовой бинарной смеси в пористой среде характерные значения величины Ь порядка 104, поэтому в системе (5) членом — g 'п (/) можно пренебречь.
Ь
RLea„
- /n (t). Подставив выражение
Тогда gnЦ) = ■ для gn (/) в 1-е уравнение системы, получим
/п(1 ) = /n (t)
^ Цп ,
(n--n +
(«r
2 (mGmn.fm (t) m=1
R Цn—(nRd \ , Rd( m 4 M"m mRd j
(6)
= 0, y = 0 ; z = 0; 1: T = 0, C = 0, y = 0, решение
Чтобы выявить критерий устойчивости, необходимо найти периодические или квазипериодические решения системы (6), которые разделяют растущие и затухающие возмущения равновесия. В системе (6) ограничимся N уравнениями с N неизвестными. Число уравнений N выбираем из малости поправки к решению при переходе к N+1 уравнениям.
i
m
n
z
R
a =
n
а я нахождения периодического решения ставим его в виде линейной комбинации N неза-мых решений.
N
/к = 2(О, Фл(0) = 5Л, к = 1,2,..^,
I=1
где 8гу - единичная матрица МхМ.
Введем обозначения: Л' = -В-, ' = -^^
4л2
4л2
r = 8R , w = 2R 'Q.
( 2л
Из условий периодичности р/к (0) = /к I —
V ™
к = 1,2,..^, р = +1 получим систему N линейных, однородных алгебраических уравнений относительно с,,, из условия разрешимости которой при фиксированных В', В<' находим нейтральные кривые г = г(^), на которых решения системы (6) периодичны (|р| = 1).
Выше нейтральных кривых возмущения нарастают, ниже - затухают.
Обсуждение результатов
Найдены периодические решения системы (6). Вычисления показали, что нейтральные кривые, полученные при N=3 и N=4, практически не различаются, т.е. поправка к решению мала. Таким образом, достаточно взять N=3.
Рассмотрим частный случай, когда примесь отсут-
г
ствует (Вё =0). Известно, что если приведенное число Рэлея В ' > 1, то при стационарных граничных условиях система неустойчива. Расчеты показали, что в случае модуляции градиента температуры при В > 1 для любых частот и амплитуд механическое равнове-
сие остается неустойчивым. При В ' < 1 на плоскости (г,1/ w) (г и w - приведенные амплитуда и частота модуляции) существует нейтральная кривая, ниже которой возмущения затухают, выше - нарастают, на самой нейтральной кривой возмущения периодичны. Имеются нейтральные кривые «целого» (на фигурах обозначены сплошными линиями), которым соответствуют «целые» решения (р = 1), и «полуцелого» типа (обозначены пунктиром), которым соответствуют «полуцелые» решения (р = —1). Для «целых» решений период колебаний равен периоду модуляции, а для «полуцелых» - вдвое больше.
При В' <0 (подогрев сверху) для больших частот нейтральная кривая имеет «полуцелый» тип, при уменьшении частоты происходит смена типа нейтральной кривой на «целый» (рис. 1а).
г
С увеличением В диапазон 1 / w , которому соответствуют «полуцелые» нейтральные кривые увели-
г
чивается, и при дальнейшем увеличении В смена типа на «целый» не происходит (рис. 1а, б), далее под «полуцелой» нейтральной кривой появляется «подушка», образованная «целыми» нейтральными кри-
г
выми, которая увеличивается с ростом В (рис. 1в), а критическая амплитуда уменьшается.
На рис. 1в приведена нейтральная кривая (В' =0,8). Для диапазона частот 1/w < 3,6 под «полуцелой» кривой имеется «подушка» неустойчивости «целого» типа, при пересечении нижней ветви «целой» нейтральной кривой система теряет устойчивость, затем, пересекая верхнюю ветвь, обретает устойчивое равновесие, а при пересечении «полуцелой» нейтральной кривой вновь теряет устойчивость. Для 1/ w > 3,6 нейтральная кривая только «полуцелого» типа, причем с дальнейшим уменьшением V амплитуда нейтральной кривой растет.
Рис. 1. Нейтральные кривые при а - В< = 0, В = -3; б - В = 0,3; с - (В = 0,8: сплошные линии - «целого» типа, штриховые - «полуцелого» типа
При наличии примеси на рис. 2 приведена карта
г г
устойчивости на плоскости ( В , В< ) при отсутствии модуляции. Область устойчивости расположена внутри угла АВС, причем при пересечении луча ВА
имеет место монотонная неустойчивость, ВС - колебательная. Каждой точке в области ниже АВС (рис. 2) на плоскости (г,1/ w) соответствует нейтральная кривая.
При наличии примеси характер изменения структуры нейтральных кривых аналогичен случаю чистой жидкости, что связано с большим значением Ь (Ь >> 1); при Ь ~ 1 наличие примеси влечет за собой качественное изменение результатов [4, 5]. Ниже ставлено изменение нейтральной кривой при движении
г
снизу вверх по оси Я для Яё' = —0,5 (рис. 3). Диапазон частот, соответствующих «полуцелым» тральным кривым, как и при отсутствии примеси,
г
увеличивается с ростом Я . При дальнейшем его увеличении тип кривых остается «полуцелым», со ны средних частот появляется «подушка», ванная «целыми» нейтральными кривыми. При ближении к границе устойчивости АВС (рис. 2) плитуда нейтральных кривых уменьшается.
а б в
Рис. 3. Нейтральные кривые при а - Rd = -0,5, R = -0,5; б - R = -0,1; в - R = 0,5
b rd
Рис. 2. Карта устойчивости бинарной смеси при стационарных граничных условиях.
a
r
2 -
1
0
-1
-2 -
c
Из рис. 4 видно, что для фиксированного значения Я' (Я' =-0,5) при движении по оси Яё' справа налево критическая амплитуда наступления неустойчивости растет, а смена «полуцелого» типа нейтральной
а
кривой на «целый» происходит при меньших 1/ w (рис. 4б); при дальнейшем движении по оси Яё' тип нейтральной кривой остается «целым» на всем диапазоне изменения частоты (рис. 4в).
б в
г
Рис. 4. Нейтральные кривые при а - R = -0,5, Rd ' = 0,5; б - Rd ' = -0,5; в - Rd ' = -2
Выводы ляции градиента температуры около некоторого сред-
него значения. В отличие от случая бинарной смеси в Численно исследована свободная конвекция би- полости здесь модуляция параметров играет только нарной смеси в пористом прямоугольнике при моду- дестабилизирующую роль.
Точкам области равновесия смеси (при отсутствии модуляции) на плоскости амплитуда-частота модуляции соответствует нейтральная кривая, состоящая из чередующихся участков «целого» (период колебаний соответствует периоду модуляции) и «полуцелого» (период колебаний вдвое больше периода модуляции) типов. Структуры нейтральных кривых в случаях отсутствия и наличия примеси в газах качественно совпадают.
Литература
1. Гершуни Г.З., Жуховицкий Е.М. Конвективная устойчи-
вость несжимаемой жидкости. М., 1972. 392 с.
2. Смородин Б.Л. Конвекция бинарной смеси в условиях
термодиффузии и переменного градиента температуры // ПМТФ. 2002. Т. 43, № 2. С. 54-61.
Поступила в редакцию
3. Булгакова Н.С., Рамазанов М.М. Конвективная устойчи-
вость горизонтального слоя бинарной смеси при модуляции градиента температуры // Изв. РАН. МЖГ. 2010. № 3. С. 22-32.
4. Рамазанов М.М. Устойчивость бинарной смеси в порис-
том слое при модуляции параметров // Изв. РАН. МЖГ. 1999. № 5. С. 118-125.
5. Рамазанов М.М. Влияние скин-эффекта на конвектив-
ную устойчивость бинарной смеси в пористом слое при модуляции граничной температуры // Изв. РАН. МЖГ. 2001. № 2. С. 122-127.
6. Бедриковецкий П.Г., Полонский Д.Г., Шапиро А.А. Анализ
конвективной неустойчивости бинарной смеси в пористой среде // Изв. РАН. МЖГ. 1993. № 1. С.110-119.
1 июля 2010 г.
