CC BY
25
ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЕ И ПРИКЛАДНЫЕ ИССЛЕДОВАНИЯ
КОНВЕКТИВНАЯ МОДЕЛЬ ОХЛАЖДАЮЩИХ ПОТОКОВ В БОГАТЫХ СКОПЛЕНИЯХ ГАЛАКТИК
И.К. РОЗГАЧЕВА, доц. физического факультета МГПУ, канд. физ.-мат. наук,
И.Б. КУВШИНОВА, асп. физического факультета МГПУ
В современной физике скоплений галактик в течение последних двух десятилетий существует «парадокс охлаждающих потоков». Он состоит в следующем. Согласно наблюдениям [4, 6], поверхностная яркость диффузного рентгеновского излучения центральных областей скоплений в сотни раз больше яркости его внешних частей. Этот эффект наблюдается у большинства скоплений, хотя существуют скопления и с нерезким увеличением рентгеновской яркости к центру. Спектр этого излучения аналогичен спектру тормозного излучения горячей ионизированной плазмы с температурой 107 - 108. Существование такой плазмы предсказывалось в работе [5]. Для тормозного излучения светимость единицы объема плазмы Sf ~ п2\[т [3]. Естественно предположить, что в центральных областях скоплений концентрация плазмы п в десятки раз больше, чем в его внешних частях. Тогда светимость центральных областей будет в сотни раз выше светимости периферии скопления.
Неоднородное распределение межгалактического газа может возникнуть, например, при аккреции изначально холодного межгалактического газа на ядро скопления. При этом гравитационная энергия газа переходит в тепловую энергию. Газ нагревается до температур больше 106 K и высвечивает свою тепловую энергию в рентгеновском диапазоне. Благодаря накоплению горячего газа в ядре светимость центральных областей скопления будет гораздо выше светимости периферии.
Объяснение наблюдаемой сильной неоднородности поверхностной рентгеновской яркости скоплений связывается с потоками остывающей плазмы в центральных областях скоплений. В работах [7, 8] рассмотрены первые модели этих потоков, которые получили название cooling flow (ниже CF).
Время высвечивания тепловой энергии тормозным механизмом равно
tf = 2,6 х 1011ЫГ / п) сек =
= 8,7 х 105(п / 102см-3)-1(Т / 108K)1/2 лет. [3]
Это время меньше времени Хаббла tH = (3 / 2)(1 / H) = 1,5 х Ш10^1 лет для 5,8 х 10-3 h(T/ 108K)1/2 см-3 < п < 102 см-3,
где h = H / 100 (км/с / Мпк).
Согласно наблюдениям
10-3 см-3 < п < 102 см-3.
Время существования скоплений порядка tH. При tff < tH в большинстве скоплений межгалактическая плазма успела бы высветить свою тепловую энергию и перестала быть рентгеновским источником. Поскольку это не так, то в работах [7, 8] CF рассматривались как механизм поддержания интенсивности рентгеновского излучения скоплений. В результате действия этого механизма в ядрах скоплений должен накапливаться холодный газ с T < 105 K. Парадокс CF состоит в том, что до сих пор не обнаружено свидетельств существования большого количества холодного газа (порядка 109mQ) в богатых скоплениях галактик с сильно неоднородной яркостью в рентгеновском диапазоне.
Следует отметить, что небольшое количество холодного газа с T < 105 K обнаружено в ядрах скоплений по ультрафиолетовому, мягкому рентгеновскому излучению, а также по излучению в линии H .
а
В литературе обсуждается два варианта объяснения парадокса CF. В первом варианте предполагается, что остывшая плазма может вновь разогреваться при взаимодействии с горячей плазмой, выбрасываемой активными галактическими ядрами, взрывами сверхновых и молодыми звездами, которые могут рождаться в CF. Во втором варианте остывшая плазма выносится из ядра скопления на его периферию с помощью джетов, которые образуются при слиянии галактик в центральных областях скоплений. В этих моделях используются наблюдательные данные о рождении звезд и сверхновых, а также свойства наблюдаемых всплывающих пузырей горячей плазмы, которая как будто соединяется с джетами и движется перед ними. В работе [6] показано, что все эти активные процессы могут приводить к небольшому понижению температуры плазмы в ядрах скоплений, которое действительно обнаружено: T(r < 5 кпк) < 107 K, T(r < 200 кпк) < 108 K.
Однако для эффективного нагрева CF-газа необходимо, чтобы активные процессы в ядрах скоплений происходили в десятки раз
ЛЕСНОЙ ВЕСТНИК 2/2007
59
ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЕ И ПРИКЛАДНЫЕ ИССЛЕДОВАНИЯ
чаще по сравнению с наблюдаемой частотой звездообразования и слияния галактик. Если же активность в центральных областях скоплений была выше в прошлом, тогда в современную эпоху образовалось бы такое химическое обилие межгалактического газа, которое противоречит наблюдаемому градиенту обилия металлов в скоплениях [9].
Бурные процессы подогрева должны стимулировать турбулентное перемешивание межгалактического газа. В этом случае поверхностная яркость скоплений была бы очень неоднородной. Сильных неоднородностей в рентгеновских изображениях не обнаружено [4, 10].
Кроме того, перечисленные активные механизмы вторичного нагрева С^-плазмы действуют ограниченное время (меньше 108 лет), после которого охлаждение плазмы неизбежно. Поэтому такой спорадический подогрев не объясняет существование горячего газа и почти полное отсутствие CF в скоплениях. Для объяснения парадокса CF необходим механизм подогрева, который действует длительное время, сравнимое со временем существования скоплений (порядка tH).
В работе [9] упоминается гипотеза конвективного перемешивания межгалактического газа, которое происходит при стабильном подогреве газа. Такое перемешивание позволяет объяснить наблюдаемый небольшой градиент обилия металлов в скоплениях: обилие железа уменьшается в два раза при изменении расстояния от центра скопления от 5 кпк до 500 кпк. Вопрос о механизме стабильного подогрева газа в [9] остается открытым.
В настоящей работе предложена модель нагрева межгалактического газа инфракрасным излучением галактик ядра скопления. Этот механизм нагрева действует долго, и с его помощью можно объяснить как существование горячей плазмы, так и ее медленное конвективное перемешивание в скоплениях. В этом случае CF-парадокса нет, так как благодаря конвекции происходит циркуляция плазмы без накопления холодного газа в ядре скопления.
Физические параметры модели
Нагрев газа до температур T < 108 K осуществляется инфракрасным (ИК) излучением галактик. В этом случае рентгеновская светимость газа Lx должна быть примерно равна произведению суммарной ИК-светимости галактик Lt и
относительного содержания межгалактического газа в скоплении mg / m, где mg - масса газа, m - масса скопления.
Из наблюдений известно, что в богатых скоплениях Эйбла концентрация галактик в ядрах порядка Ng = 103й3Мпк-3. Радиусы ядер лежат в диапазоне 0,1 Мпк < Rc < 1 Мпк. Поэтому полное число галактик в ядре изменяется в пределах (4п / 3) < (4п / 3)Rc3Ng < (4п / 3)103h3.
ИК-светимость одной галактики Lg оценим, полагая, что среднее число звезд в галактике порядка 1011, примерно 70 % из них имеют ИК-светимость порядка ИК-светимости Солнца Lq(I) = 2,8 х 1033 эрг/с.
Тогда
Lg = 0,7 х 10nL0(/) = 1,96 х 1044 эрг/с.
ИК-светимость ядер скоплений равна L{ = (4п / 3)Rc3NL и изменяется в пределах L
2,3 х 1045 эрг/с < Lj < 2,3 х 1047 эрг/с. (1)
Если ИК-излучение ядер является основным источником нагрева межгалактического газа, то предполагаемая рентгеновская светимость газа Lx попадает в диапазон
2,3 х 1043 эрг/с < L = (m / m) L < 2,3 х 1046 эрг/с, (2) где принято (mg / m) * 0,1.
Наблюдаемые светимости скоплений в рентгеновском диапазоне соответствуют диапазону (2). Поэтому предположение об источнике нагрева межгалактического газа не противоречит наблюдениям. Отметим, что в работе [11] обнаружена корреляция между Rc и Lx. чем больше R тем больше светимость L .
x
Пусть начальная температура межгалактического газа больше 104 K и его можно считать полностью ионизованным. Для простоты рассмотрим полностью ионизованную водородную плазму. Длина свободного пробега ИК-фотонов определяется их томсоновским рассеянием на электронах. Эта длина равна
lT = 1 / oTne = 5(ne / 102см-3)-1 кпк, (3)
где ат = 6,65 х 10-25 см2;
ne - концентрация электронов.
Характерное время передачи энергии от фотонов к электронам равно [3]
*ик ^ . = (3 / 8)(mec / aTs{), (4)
где s{ - плотность энергии ИК-излучения.
Пусть это излучение создается ИК-светимостью ядра (1), тогда
s{ = Lt / (4ncRc2) = (1 / 3c)NLgRc * 2 х
X 10-13(Ng / 103Мпк-3) (Lg / (2 х
x 1044 эрг/с)) (Rc / Мпк) h эрг/см3. (5)
60
ЛЕСНОЙ ВЕСТНИК 2/2007
ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЕ И ПРИКЛАДНЫЕ ИССЛЕДОВАНИЯ
Тогда время (4) по порядку величины
равно
^ ^ , * 10n(N / 103Мпк-3)-1^ / (2 х
х 1044 эрг/с))-1^с / Мпк)-1^1 лет. (6)
Чем меньше концентрация галактик в ядре N и чем меньше радиус ядра R , тем больше время (6) и тем медленнее нагрев электронов. Однако даже для минимальных наблюдаемых значений Ng = 102Мпк-3 и Rc = 0,1 Мпк время (6) оказывается меньше времени Хаббла t
Для ИК-излучения 10-4 см < X < 0,1 см концентрация фотонов при плотности энергии (5) равна 1 см-3 < п1 = (*! / hJ < 103 см-3. Поскольку п1 > пе > 1 см-3, то ИК-излучение ядра может нагреть электронную компоненту плазмы, если частота ИК-фотонов больше плазменной частоты.
При достаточно высокой концентрации фотонов изменение температуры электронов описывается уравнением [1]
dT / dt * (T - T) / (V ^ Д, (7)
где начальная температура электронов T0 > 104 K. Из уравнения (7) можно найти время, необходимое для нагрева электронов от температуры T0 > 104 K до Tx < 108 K. Оно равно t1 = tИК ^ e ln((Tx / / T0) - 1) < 9 х ^ ^ Время t1 меньше времени Хаб-бла, поэтому ИК-излучение ядра скопления успевает нагреть электронную компоненту плазмы.
Горячие электроны нагревают протонную компоненту плазмы благодаря кулоновским столкновениям электронов и протонов. Характерное время нагрева протонов равно te^p = 5,6 х 10-7(пе / 102см-3)-1(Тх / 108K)3/2 лет [3].
Время t^p гораздо меньше времени t поэтому время t1 характеризует темп ИК-нагрева водородной плазмы в центральных областях скопления.
Горячая плазма высвечивает свою тепловую энергию благодаря тормозным и рекомбинационным процессам. Тормозные процессы преобладают пока Г. > 105 K. Рентгеновские фотоны уходят из областей с масштабом l < l и обеспечивают наблюдаемую рентгеновскую светимость
скопления L .
.
Облака концентрацией п е * 102см-3 нагреваются ИК-излучением ядра быстрее окружающей плазмы. При нагревании эти облака расширяются, их плотность уменьшается и они под действием силы Архимеда всплывают из окрестности ядра скопления к его периферии. При всплытии эти облака, во-первых, передают свою тепловую энергию окружающей плазме: тормоз-
ное излучение облаков поглощается в окружающей плазме. Для рентгеновского излучения при концентрациях п ^ < 102см-3 наиболее эффективно тормозное поглощение [3]. Эффективное время тормозного поглощения равно f. В рассматриваемой задаче это время играет роль характерного времени лучистой теплопроводнрсти
t = tff = 8,7 х 105(пе / 102)-1^/T /108 лет. (8) Во-вторых, скорость направленного движения облаков постепенно уменьшается из-за вязкости: горячие протоны в облаках благодаря кулоновскому взаимодействию тормозятся медленными электронами в окружающей более холодной плазме. Характерное время изменения скорости протонов играет роль характерного времени электронной вязкости
t =
(kT )2
пе e4 Lj 3kT /
700
(T /108)3/2
лет, (9)
m
где кулоновский логарифм
3(kT )3
L = 2ln-
yj4%yjпе • e3
Время теплопроводности больше времени вязкости t > t для температуры Tx < 1,3 х 1011 K. Поэтому передача тепла в межгалактической плазме из недр скопления к его периферии осуществляется более эффективно при участии вязких процессов, т.е. при конвективном перемешивании плазмы, а не лучистой теплопроводностью.
Характерное время конвективного перемешивания равно
П
t =
conv
- (10) g - R - (ST / T)
где g * Gm / R2 - среднее значение гравитационного ускорения в конвективном слое;
R - толщина слоя; m - масса скопления;
ST / T - относительный градиент температуры в слое;
П - коэффициент вязкости.
Для оценки времени (10) используем феноменологическое определение коэффициента вязкости
П = 1/3-1^ = 1/3-tr|2-vp (11)
где
vT =^3kT/mp = 1,5х 108(Tx/108K)1/2 см/с и характерный пространственный масштаб вязкости l = vT t . Подставляя (11) в (10), найдем tj^ = 2,7 х 104(Tx / 108 K)5/2(R / Мпк)(т /
/ 1014 т0)-1(п / 102см-3)-1(5T / T)-1 лет. (12)
п
e/10
ЛЕСНОЙ ВЕСТНИК 2/2007
61
ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЕ И ПРИКЛАДНЫЕ ИССЛЕДОВАНИЯ
Таблица
Рентгеновская светимость и светимость в На для скоплений галактик с «охлаждающими потоками»
Name RAJ2000 («h:m:s») DECJ2000 («d:m:s») L, (1044 erg i-1) L„,. (1040 erg i-1)
A74 00 38,9 -22 19 0,479 [FJ] -
A85 00 41,6 -09 21 16,511 [LD] 17,84 [W]
A133 01 02,6 -21 48 5,763 [ES] 84,05 [W]
A262 01 52,8 +36 09 0,915 [ES] 21,94 [W]
A278 01 57,3 +32 14 1,867 [FJ] -
A376 02 45,8 +36 51 2,366 [ES] -
A397 02 57,0 +15 57 0,095 [FJ] -
A407 03 01,7 +35 50 0,915 [FJ] -
A419 03 08,5 -23 39 0,549 [FJ] -
A426 03 18,6 +41 31 21,434 [ES] 210 [H]
A478 04 13,3 +10 29 47,909 [ES] -
A496 04 33,6 -13 15 5,808 [ES] 36,44 [W]
A539 05 16,6 +06 27 1,299 [FJ] -
A576 07 21,4 +55 44 2,761 [ES] 1,8 [H]
A644 08 17,4 -07 35 14,652 [FJ] 0,28 [H]
A646 08 22,1 +47 06 7,355[FJ] -
A779 09 19,8 +33 46 0,2[FJ] -
A970 10 15,1 -10 42 0,89[FJ] -
A999 10 23,4 +12 51 0,065[FJ] -
A1060 10 36,9 -27 32 0,781[ES] -
A1367 11 44,5 +19 50 1,76[ES] 1,2 [H]
A1644 12 57,2 -17 21 5,156[FJ] -
A1650 12 58,8 -01 45 13,297[FJ] -
A1795 13 49,0 +26 35 20,146[ES] 44 [H]
A1837 14 01,8 -11 09 1,065[ES] -
A1890 14 17,6 +08 11 1,07[FJ] -
A1983 14 52,7 +16 45 0,659[FJ] -
A1991 14 54,5 +18 38 3,291[FJ] 28,55 [W]
A2029 15 11,0 +05 46 95,757[W] 0,34 [H]
A2052 15 16,8 +07 00 3,645[ES] 38,46 [W]
A2055 15 18,8 +06 12 2,188[FJ] -
A2063 15 23,0 +08 38 3,642[FJ] 0,73 [H]
A2107 15 39,8 +21 46 2,714[FJ] -
A2142 15 58,3 +27 13 58,593[ES] 0,26 [H]
A2147 16 02,3 +15 54 4,231[ES] -
A2151 16 05,2 +17 45 1,46[ES] -
A2152 16 05,4 +16 27 0,381[FJ] -
A2197 16 28,2 +40 54 0,155[FJ] -
A2199 16 28,6 +39 31 6,295[ES] 23,54 [W]
A2218 16 35,9 +66 13 18,093[FJ] -
A2244 17 02,7 +34 03 7,011[FJ] -
A2250 17 10,8 +39 41 0,926[FJ] -
A2256 17 03,7 +78 43 15,777[FJ] -
A2312 18 53,6 +68 21 1,967[FJ] -
A2319 19 20,8 +43 58 28,515[FJ] 5,3 [H]
A2415 22 05,4 -05 35 2,392[FJ]
A2556 23 13,1 -21 38 5,524[FJ] -
A2580 23 21,6 -23 13 4,579[FJ] -
A2597 23 25,3 -12 06 15,311[FJ] 34 [W]
A2625 23 36,3 +20 32 0,82[FJ] -
A2626 23 36,5 +21 10 4,782[FJ] 32,97 [W]
A2634 23 38,3 +27 02 1,204[FJ] -
A2657 23 44,9 +09 09 2,932[FJ] -
A2670 23 54,2 -10 24 3,885[FJ] -
A3158 03 43,0 -53 38 6,97[FJ] -
A3376 06 00,7 -40 02 3,125[FJ] -
A3389 06 21,8 -64 57 0,386[FJ] -
A3581 14 07,5 -27 01 0,845[FJ] 40,81[W]
A4059 23 56,7 -34 40 4,936[ES] 5,3 [H]
62
ЛЕСНОЙ ВЕСТНИК 2/2007
ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЕ И ПРИКЛАДНЫЕ ИССЛЕДОВАНИЯ
Рисунок. Зависимость оптической светимости газа в красном фильтре LHa от рентгеновской светимости L.
Конвективное перемешивание происходит, если характерное время конвекции меньше характерного времени теплопроводности
t < t .
conv х
Это условие выполняется, если температура плазмы удовлетворяет неравенству (Tx / 108 K) < 5,7(R / Мпк)-1/2(т /
/ 1014 m0)1/2(5T / T)-1/2. (13)
Неравенство выполняется для наблюдаемых параметров скоплений
m = (1014 * 1015)m0, 5T / T * (108 K - 104 K) /
/ (108 K) * 1, R * (1 * 2) Мпк.
Конвективные ячейки нагреваются в окрестности ядра и всплывают на периферию скопления. В ходе всплытия ячейки высвечивают свою тепловую энергию, которая идет, во-первых, на создание наблюдаемой рентгеновской светимости Lx и, во-вторых, на нагрев окружающей плазмы. Когда температура в ячейке падает ниже 105 K, то в ней начинаются процессы рекомбинации плазмы.
Рекомбинационное излучение ячеек можно использовать для проверки соответствия рассматриваемой модели нагрева межгалактического газа наблюдениям. Действительно, полная энергия, запасенная в конвективных ячейках, расходуется на энергию излучения и на энергию конвективных движений. Чем больше излучается энергии в рентгеновском диапазоне, тем меньше энергии остается на пространственное перемешивание ячеек и тем меньше ячеек перемещается во внешние слои скопления и участвует в создании потока рекомбинационного излучения. Поэтому следствием рассматриваемой модели должна быть антикорреляция между светимостями скоп-
лений в рентгеновском диапазоне Lx и светимостями в рекомбинационной линии LHa.
Эту антикорреляцию нам удалось обнаружить при анализе наблюда данных [12]. Выборка данных о скоплениях с обнаруженным излучением межгалактического газа в линии На приведена в таблице.
На рисунке показана зависимость между светимостями скоплений в линии На и рентгеновском диапазоне.
(LHa / эрг/с) = (27,02 ± 5,86) х х 10-4 - (0,32 ± 0/21) х 10-4 (Lx / эрг/с). (14) Как видно, светимость LHa антикоррели-рует с рентгеновской светимостью. Значение коэффициента (0,32 ± 0,21) х 10-4 перед Lx в формуле (14), по-видимому, свидетельствует о том, что излучение Ha является рекомбинационным. Действительно, светимость единицы объема полностью ионизованной водородной плазмы с температурой T < 105 K равна,
sH<x - 0,25 х 10-21(п/ / )(эрг / см3с) =
= 2,5 х 10-21(ne / 102 см3)2(Г / 106 К)-1/2(эрг / см3с).
Светимость единицы объема плазмы при тормозных процессах равна sx = 9,1 х 10-19(nx / 102 см-3)2(7Х / 108 К)1/2(эрг / см3с).
Отношение светимостей рекомбинационного излучения и тормозного излучения равно
SHa / Sx = 0,03 х (и / n/(1 / фГ), (15)
где n e - концентрация холодной плазмы с температурой Te < 105 K;
nx - концентрация горячей плазмы с температурой Tx > 106 K.
Если горячая и холодная плазма не перемешиваются, то выполняется условие равновесия фаз: давление в объемах с холодной плазмой уравновешивается давлением окружающей горячей плазмы. Это условие можно записать в виде nT = nT. (16)
Используя (16), выражение (15) можно записать в виде
SHa / Sx = 0,1 х 10-4((Tx / 108 K) /
/ (T / 105 K))3/2(Te / 105 K)-1 (17)
Сравнивая коэффициент 0,1 х 10-4 в формуле (17) с коэффициентом (0,32 ± 0,21) х 10-4 в формуле (14), видим, что предположение о том, что излучение Ha является рекомбинационным, не противоречит наблюдениям в пределах ошибок.
Основные уравнения модели
Рассмотрим сферически симметричное распределение водородной плазмы вокруг ядра
ЛЕСНОЙ ВЕСТНИК 2/2007
63
ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЕ И ПРИКЛАДНЫЕ ИССЛЕДОВАНИЯ
скопления с массой ти радиусом RИзлучение На обнаружено в облаках с масштабами < 5 кпк и концентрациями n « 102 см-3 [12]. Эти облака являются оптически толстыми, т.к. их масштаб не превышает длины свободного пробега фотонов (3). Поэтому будем использовать гидродинамическое приближение для оптически толстой плазмы.
Уравнение движения элемента плазмы с плотностью р и скоростью V имеет вид
+V(v,V) =
dt
= -V(p + py)-ПА^-V- ), (18)
р r V r)
где m(r) = m c + m(r);
m(r) - масса плазмы в сфере радиуса r; r - радиус-вектор элемента;
P - давление плазмы;
P - давление излучения;
П - коэффициент вязкости.
Уравнение лучистого переноса запишем в
виде
VPY = - ж х P (19)
где ж = 1 / l - коэффициент поглощения, определяемый процессами тормозного поглощения и l = t .
л л
Уравнение состояния плазмы, через которую идет поток излучения, выберем в форме политропы для идеального одноатомного газа
n - T3'2, (20)
где концентрация плазмы n = р / mp.
Изменение температуры элемента для несжимаемой жидкости описывается уравнением теплопроводности
(дТ / dt) + (V ,VT) = хАТ, (21)
где х - коэффициент лучистой теплопроводности.
Согласно теории, коэффициент теплопроводности равен
х = (1/3Т х (R / tx), (22)
где R - толщина слоя плазмы.
Уравнения (18-22) позволяют описать конвективное перемешивание оптически толстой плазмы. Эти уравнения нелинейные. Для нахождения решения произведем следующие упрощения. Будем рассматривать богатое скопление галактик со сферической симметрией и отсутствием вращения. Также предположим, что в межгалактической среде есть только радиальные крупномасштабные движения V = {V, 0, 0}и гидродинамические параметры газа являются явными функциями температуры. В этом случае для
описания распределения межгалактического газа по радиусу можно использовать следующие уравнения.
Уравнение гидродинамического равновесия оптически толстого элемента есть
(dP / dr) + (dP^ / dr) = p(G(mc + m) / r2). Уравнение распределения массы газа dm / dr = 4nr2p.
Для несжимаемой жидкости (div V = 0) можно использовать уравнение теплопроводности
(dT / dt) + V(dT / dr) = x(1/r2)(d / dr)(r2(dT / dr)), где х = (1 / 3)(1 / ncT) x (R / tf) - коэффициент лучистой теплопроводности, возникающей благодаря тормозному поглощению. Уравнение переноса излучения dP / dr = -жP ,
i f
где ж = 1 / lf - коэффициент тормозного поглощения.
Для нахождения решения данной системы уравнений перейдем к новым переменным
У = t / t0, х = r / R, т = T / T0, dx / dy = xy, dx / dx = x , dm / dx = m , dP / dx = (P ) . Учтем, что
р = mpn, n = n0(T / TQ)3/2, P = P 0(T / T0)5/2, х = Xo(T / T0)-1/2, ж = Жo(T / T), где х0 = 5,8 х 1032см2/с (R / Мпк), ж0 = 3,9 (Мпк)-1.
Кроме того, чем сильнее подогрев, тем больше конвективная скорость, поэтому примем V = V0(T / T0)1/2.
В этом случае перечисленные уравнения примут вид
5/2(P0 / R) Tx - ж0г1/2р =
= (Gn0mp / R2)((mc + m) / x2) = 4nnm R3x2x3
x 0 p
(PA = -«RP
V
x +-----
y R /1
1/2
T T =
x
х„
Л
V R 2/10 )
(x2 T )
-1/2 V x h
(23)
(24)
(25)
(26)
Дифференцируя уравнение (23) по x, а затем подставляя в него уравнение (24), (25) и величину P выраженную из уравнения (23), получим
5 ( P
2VR
•(x2Tx )-
5 ( Pc ^Tx )x
_0_ 2 V R
- 4nGn02 m2Rx3/2
0 p
21
----ж0 Rx
x x
2
-x =
Gn0 mp
R2
(mc + m)
(27)
x
2
x
2
x
64
ЛЕСНОЙ ВЕСТНИК 2/2007
