CC BY
37
УДК 517.929
КОНУС УСТОЙЧИВОСТИ ДЛЯ ЛИНЕЙНОГО МАТРИЧНОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ С ЗАПАЗДЫВАНИЕМ
Т.Н. Хохлова
Построена некоторая поверхность в трехмерном пространстве, называемая конусом устойчивости. Доказано необходимое и достаточное условие асимптотической устойчивости матричного уравнения
х(1) + Ах(1) + Вх(/ — т) = 0 для матриц произвольного порядка, которое связано с тем, находятся ли вспомогательные точки, зависящие только от собственных чисел матриц А и В и величины запаздывания, внутри конуса устойчивости. От матриц А, В требуется совместная триангулируемость.
Ключевые слова: дифференциальные уравнения с запаздыванием, асимптотическая устойчивость, конус устойчивости.
Введение
Рассматривается задача об асимптотической устойчивости уравнения
х(0 + Ах(1) + Лх(/ - г) = 0, (>0 (1)
с коммутирующими матрицами А и В и запаздыванием т > 0.
Это уравнение моделирует динамику нейронных сетей Хопфилда [1]. Матрица А описывает собственную реакцию нейрона на внешнее воздействие, а матрица В характеризует реакцию нейрона, связанную с его взаимодействием с соседними нейронами.
В [1-7] получены некоторые достаточные условия устойчивости уравнения (1). В самой ранней публикации 3. Рехлицкого [8] (1956 г.) указаны овалы устойчивости для (1) при А = 0, в одной из последних публикаций [9] (2009 г.) исследуется задача устойчивости (1) с 2x2 матрицами А, В специального вида.
Мы требуем одновременной приводимости матриц А и В к треугольному виду. Как известно [10], это возможно для коммутирующих А и В.
Уравнение (1) считаем устойчивым, если его нулевое решение является устойчивым. Рассмотрим вначале скалярный аналог уравнения (1), в котором т = 1:
х(/) + ах(?) + &*;(? -1) = 0. (2)
Пусть в (2) а - действительное, Ъ - комплексное число. Следующий результат известен (см., например, [3]).
Теорема 1. Уравнение (2) асимптотически устойчиво тогда и только тогда, когда а > -1 и на плоскости (м|,м2) точка (Яей, 1т Ь) находится внутри овала страницей:
Щ =-аС08М> + №8Ш№,
<и2 = - лет- тусовм^, (3)
-У1>[ <
где м>\ есть наименьший положительный корень уравнения а = -х>/ tgж
Если а > -1 и точка (Яей, 1т6) находится на границе овала (3), то уравнение (2) устойчиво (не асимптотически).
На основе теоремы 1 мы даем критерий устойчивости для матричного уравнения (1), в котором матрицы А и В приводятся к треугольному виду одним преобразованием.
Определение 1. Конусом устойчивости для уравнения (2) назовем поверхность в трехмерном пространстве (щ,и2,иг), сечение которой на уровне иг = а есть овал устойчивости (3).
Теорема 2. Пусть А, В, £ е Штхт и Я-1 ЛЯ - АТ и 3~1В8 = Вт, где Ат и Вт - нижние тре-
угольные матрицы с элементами соответственно Яр, Цр, 1 < у, .ч < пг.
Построим систему точек М ■ =(u]j,u2j,u3j), 1 < / < т :
u\j = г | fijj | cos(arg pij, + x Im A]}),
uij = г | fijj | sin(arg Hjj + r Im ^), (4)
u3j = т Re Xjj .
Уравнение (1) асимптотически устойчиво тогда и только тогда, когда все точки Mj, 1 < j <т находятся внутри конуса устойчивости.
Если хотя бы одна точка Mj лежит вне конуса устойчивости, то уравнение (1) неустойчиво.
Доказательство. Умножим (1) на S'-1 слева. Изменим масштаб времени, положив t-вт. Сделаем замену x(t) - Sy(O). Получим
у{в) + тАгу{в) + тВТу{в-1) = 0. (5)
Возвратим имя t переменной в, положим у = (уг,...ут)г и выпишем (5) как треугольную
систему скалярных уравнений 1 < j <т:
Ъ+тЯМ + ТМмУЛ*-1') = -Т'Е^кУк +М]кУк(*-1)- (6)
к<)
В (6) сделаем замену у} =exp(-/ImAj,-?)z - и умножим (6) на ехр(-/Im A^t). Получим треугольную систему с действительными коэффициентами при Zj{\ < j <m):
Zj + r ReAjjZj + TjUjj exp(/rImX^Zjit-1) = Y,vjkzk + Vjkzkif ~ 1). (7)
k<j
где Vjk,rjjk - некоторые постоянные.
Наряду с (7) рассмотрим диагональную систему
Zj + г Re XjjZj + TjUjj exp(/r Im A^ )Zj (t -1) = 0. (8)
Пусть все точки Mj = {uXj,u2j,u3j), 1 < j<m, определенные равенством (4), лежат внутри конуса устойчивости. В сечении конуса плоскостью щ = иЪ] е R получим овал (3)
ГЩ = - Щ ,■ COS W + w sin w,
• (9) I u2 = W3y Sin W + WCOS W, -W\<W< Wj,
где w, e (0,тг) есть корень уравнения u3j--w/tgw. Точка MtJ = (utj,u2j)e M лежит внутри этого овала.
Ввиду этого, как хорошо известно (см. [3], [5, Appendix В]), система уравнений (8) асимптотически устойчива.
Перейдем к системе (7). Первое из уравнений (7) совпадает с первым уравнением системы (8), и, следовательно, асимптотически устойчиво, а поэтому все его решения экспоненциально убывают. Во всех остальных уравнениях системы (7) мы последовательно видим асимптотически устойчивые левые части и экспоненциально убывающие правые части. Поэтому все их решения экспоненциально убывают [11]. Получаем, что система (7), а, следовательно, и (1) асимптотически устойчивы.
Пусть точка М - =(uij-,u2j,uij), определенная равенством (4), лежит на поверхности конуса устойчивости или вне его. Не теряя общности, можем считать, что j = 1. В сечении конуса плоскостью щ =u3j еК получим овал (3). Если точка =(мп,м21) лежит на границе овала, то первое уравнение системы (7) не является асимптотически устойчивым, поскольку его характеристическое уравнение в этом случае имеет чисто мнимые корни. Если А/*, лежит вне овала, то уравнение (7) при j = 1 вообще неустойчиво (см. [3], [5, Appendix В]). Но система (7) (асимптотически) устойчива тогда и только тогда, когда (асимптотически) устойчива система (1). Теорема 2 доказана.
Рассмотрим примеры применения теоремы.
Пример 1. Положим в (1)
Ґ 0,9 6,5^ ' 1,39 0,65 ^
А = , в =
ОО 7 0,9; ^-0,48 1,39,
Поскольку В = 0,1 А +1,3/, матрицы А, В коммутируют и, следовательно, могут быть совместно приведены к диагональной форме [10]. Собственные числа матриц А, В суть соответственно:
22 =0,9000±5,5857/, ^1122 =1,3900 + 0,5586/. (11)
Вследствие симметрии изучим расположение конической ВИНТОВОЙ ЛИНИИ М] = (ulJ,U2j,Щj) относительно конуса устойчивости только при у = 1 (см. рис. 1).
14
! Н
-1 .1
Г1 "'2
и!
Рис. 1. Конус устойчивости и кривая (4), (11) в двух проекциях
Кривая (4), (7) дважды выходит из конуса устойчивости при значениях т, равных т, « 0,2715, т3 к 1,1965 и входит в конус при значении г , равном т2 » 0,8392. Поэтому уравнение (1) с матрицами (10) асимптотически устойчиво тогда и только тогда, когда
те^т^и^Дз).
Пример 2. Пусть дано уравнение
х(/) + Ах(() + Вх(( - т) = 0,
где
'-0,1 -0,01 0,03 2 Л
-0,03 0,1 0,5 -0,3
-1 5 0,04 -2
-0,3 0,02 -0,1 0,01
(12)
В = 0,3Е - 0,1А + 1,5А2.
Требуется определить, при каких значениях т это уравнение устойчиво, а при каких неустойчиво.
Очевидно, матрицы А, В коммутируют. Собственные числа матриц А, В имеют вид:
А[ =-1,4943, щ =3,7989,
Аз з =-0,0988+ 0,7539/, я2,з = -0,5280 + 0,2990/, (13)
А4 =1,7420, /л4= 4,6777.
Построим точки Му = {uXj,U2j,Щj), 1 < у < 4 и конус устойчивости и проследим их взаимное
расположение с изменением т. Четыре системы точек и конус устойчивости изображены на рис. 2.
Для устойчивости необходимо и достаточно, чтобы все точки М} = (и]ги2гиі/), 1< / <4
находились внутри конуса устойчивости. Две системы точек, соответствующие комплексным собственным значениям матрицы А, с изменением т образуют винтовые линии, выходящие из конуса при т = 0 и лежащие за его пределами при всех г > 0.
3
2
«5
4$
Рис. 2. Конус устойчивости и кривые (4), (13)
Две другие системы точек, соответствующие действительным собственным значениям матрицы А, образуют прямые, каждая из которых один раз пересекает конус устойчивости, а затем находится вне его.
Согласно теореме 2 для асимптотической устойчивости требуется, чтобы внутри конуса находились все точки Mj 1< j < m. Поэтому уравнение (1) с матрицами (12) неус-
тойчиво при любом т.
Литература
1. Gu, К. Stability of time-delay systems / К. Gu, V. Kharitonov, J. Chen. - Springer, 2003. -376 c.
2. Idels, L. Stability criteria for a nonlinear nonautonomous system with delays / L. Idels, M. Kip-nis // Applied Mathematical Modelling. - 2009. - V. 33. - Issue 5. - P. 2293-2297.
3. Кирьянен, А.И. Устойчивость систем с последействием и их приложения / А.И. Кирьянен. - Изд-во СПбУ. - 1994. - 235 с.
4. Кирьянен, А.И. Устойчивость уравнения x(t) = ax(t - h) + с комплексными коэффициентами / А.И. Кирьянен, К.В. Галунова // Уравнения в частных производных, ЛГПИ им. А.И. Герцена, 1989. - С. 65-72.
5. Mori, Т. Simple stability criteria for single and composite linear systems with time delay / T. Mori, N. Fukuma, M. Kuwahara// Int. J. Control. - 1981. -V. 34. - P. 1175-1184.
6. Mori T. Stability of x{t) = Ax(t) + Bx(t - r) / T. Mori, H. Kokame // IEEE Trans. Autom. Control, 1989. - V. 34, № 4. - P. 460-462.
7. Shuenn-Shyang Wang Further results on stability of x(t) = Ax(t) + Bx(t - r) // Sys-
tems&Control Letters. - 1992. - V. 19. - Issue 2. - P. 165-168.
8. Рехлицкий, З.И. Об устойчивости решений некоторых линейных дифференциальных уравнений в банаховом пространстве // Изв. АН СССР. - 1956. - Т. 111. - С. 29-32.
9. Matsunaga, Н. Stability Regions for Linear Delay Differential Equations with Four Parameters / H. Matsunaga // International Journal of Qualitative Theory of Differential Equations and Applications, 2009. - V. 3, № 1-2. - P. 99-107.
10. Horn, R. Matrix Theory / R. Horn, C. Johnson // Cambridge Univ. Press. - 1986. - 561 c.
11. Азбелев, H.B. Устойчивость уравнений с запаздывающим аргументом / Н.В. Азбелев, П.М. Симонов // Изв. вузов. Математика. - 1997. -№ 6. - С. 3-16.
Поступила в редакцию 28 июня 2010 г.
STABILITY CONE FOR THE RETARDED LINEAR MATRIX DIFFERENTIAL EQUATION
Some surface in the three-dimensional space, named a stability cone is constructed. The necessary and sufficient condition of asymptotic stability of the matrix equation x{t) + Ax(t) + Bx(t - t) - 0 for random order matrixes which is connected with whether there are the auxiliary points which depend only on A and В matrix eigenvalues and on retardation value in a stability cone is proved. The matrixes A, В are required a joint triangulability.
Keywords: retorted differential equations, asymptotic stability, stability cone.
Hohlova Tatyana is Post-graduate Student, Mathematical Analysis Department, South Ural State University.
Хохлова Татьяна - аспирант, кафедра математического анализа, Южно-Уральский государственный университет.
