CC BY
11
УДК 539.3
DOI 10.18522/0321-3005-2015-3-60-64
КОНТАКТНАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ ТРЕХСЛОЙНОГО СФЕРИЧЕСКОГО ШАРНИРА*
© 2015 г. М.И. Чебаков, М.В. Абрамович, Е.М. Колосова
Чебаков Михаил Иванович - доктор физико-математических наук, профессор, заведующий лабораторией механики деформируемых тел и конструкций, Институт математики, механики и компьютерных наук им. И.И. Воровича Южного федерального университета, пр. Стачки, 200/1, г. Ростов-на-Дону, 344090, e-mail: chebakov@math.sfedu.ru
Абрамович Михаил Валерьевич - аспирант, лаборатория механики деформируемых тел и конструкций, Институт математики, механики и компьютерных наук им. И.И. Воровича Южного федерального университета, пр. Стачки, 200/1, г. Ростов-на-Дону, 344090, e-mail:MAbramovich@sfedu.ru
Колосова Елена Михайловна - кандидат физико-математических наук, ведущий научный сотрудник, лаборатория механики деформируемых тел и конструкций, Институт математики, механики и компьютерных наук им. И.И. Воровича Южного федерального университета, пр. Стачки, 200/1, г. Ростов-на-Дону, 344090, e-mail: a_lena_ch@mail.ru
Chebakov Mikhail Ivanovich - Doctor of Physical and Mathematical Science, Professor, Head of the Laboratory of Solid Mechanics and Structures, Vorovich Institute of Mathematics, Mechanics and Computer Sciences of the Southern Federal University, Stachki St., 200/1, Rostov-on-Don, 344090, Russia, e-mail: chebakov@math.sfedu.ru
Abramovich Mikhail Valerievich - Post-Graduate Student, Laboratory of Solid Mechanics and Structures, Vorovich Institute of Mathematics, Mechanics and Computer Sciences of the Southern Federal University, Stachki St., 200/1, Rostov-on-Don, Russia, 344090, e-mail:MAbramovich@sfedu.ru
Kolosova Elena Mikhailovna - Candidate of Physical and Mathematical Science, Leading Researcher, Laboratory of Solid Mechanics and Structures, Vorovich Institute of Mathematics, Mechanics and Computer Sciences of the Southern Federal University, Stachki St., 200/1, Rostov-on-Don, 344090, Russia, e-mail: a_lena_ch@mail.ru
Рассмотрена контактная задача о взаимодействии абсолютно жесткого шара (штампа) с внутренней поверхностью трехслойного сферического основания. Предполагается, что внешняя поверхность сферического основания закреплена, слои имеют различные упругие постоянные и между собой жестко соединены. Задача сведена к решению интегрального уравнения (ИУ) первого рода, трансформанта ядра которого построена в явном аналитическом виде. Решение ИУ построено с помощью методов: симптотического, прямых коллокаций и конечных элементов. Проведен расчет распределения контактных напряжений, размеров области контакта и перемещения штампа. Проведено сравнение результатов расчетов, полученных этими методами.
Ключевые слова: контактное взаимодействие, теория упругости, трехслойное сферическое основание, асимптотический метод, метод коллокаций, метод конечных элементов.
We consider the contact problem of the interaction of a rigid sphere (stamp) on the inside surface of a three-layer spherical base. It is assumed that the outer surface of the spherical base is fixed, the layers have different elastic constants and are rigidly interconnected to each other. For this problem with the help a program of analytical calculations, an exact integral equation (IE) of the first kind with a kernel is obtained in explicit analytic form. The solution of IE is obtained by using the asymptotic method, the direct method of collocation and finite element method. Distribution of contact stresses, the size of the contact area, the relationship of the movement stamp are calculated with the help of the proposed methods. A comparison of results of calculations by these methods is presented.
Keywords: contact interaction, theory of elasticity, three-layer spherical base, asymptotic method, collocation method, finite element method.
Постановка контактной задачи теории упругости для тройного сферического слоя
В [1, 2] исследована аналогичная задача для однослойного и двухслойного сферических оснований. Для шаровой полости задача рассмотрена в [3], где получено замкнутое решение.
В сферических координатах (г, 0 , ф) рассмотрим три сферических слоя Я^ < г < (слой 1),
Я2 < г < Я3 (слой 2), Я3 < г < Я4 (слой 3) с различными упругими постоянными; Ог - модуль сдвига; V, - коэффициент Пуассона (г - номер слоя). Слои жестко соединены по сферической поверхности г = Я2 и г = Я3. Пусть поверхность г = Я4 неподвижна, а в г = Я-1 вдавливается силой Р штамп в форме шара радиуса Я0 = Я1 -А с точкой первоначального касания г = Я^, ф = 0. На рисунке изоб-
* Работа выполнена при поддержке Министерства образования и науки РФ (проект № 213.01-11 / 2014-28) и гранта РФФИ № 14-08-31663 мол а.
ражено сечение сферического слоя плоскостью, проходящей через его центр и точку первоначального касания шара (штампа) и слоя. Предполагаем, что трение между штампом и сферическим слоем отсутствует, сила Р направлена вдоль прямой Ф = 0, а величина А мала.
В этом случае приходим к решению осесиммет-ричной краевой задачи для уравнений Ляме в сферических координатах с граничными условиями:
и® = (8 + А)ео8ф-А, 4ф = 0 (г = Я1, | ф|<у),
= 0, 41ф> = 0 (г = Я1, | ф |>у),
иГ2) = иф2) = 0 ( г = Я4 ),
м(0 = и(<+1) и(О = и('+1) т(0 =т0+1) ст(0 =ст(<+1)
иг = иг , иф иф , ^ г,ф 1Г ,ф 5 °г =°г
(г = Я2 и г = Я3, I = 1,2 ),
где 8 - смещение штампа; и'г - перемещение вдоль оси г; а'г, г'гф - компоненты тензора напряжений (1 = 1,2,3); | ф |< у - область контакта.
Решение задачи может быть сведено [2] к исследованию парного ряда - уравнения
да
2а*К(а*)Рк(соэф) = /(ф) (0<ф<у ), к=0
S akPk (cos9) = 0 ( У<ф<л ), к=0
(1)
1
f(Ф) =^Г7Г—-((8 + А)со8ф-А) , а* = к + -, Я1(1 -У1) 2
где Р* (соБф) - полиномы Лежандра.
Неизвестные контактные напряжения под штампом стг (Я1, ф) = д(ф) определяются через решение парного ряда - уравнения (1) из соотношения
да
<?(ф) = 2 а*Р*(соБф). к=0
В парном уравнении (1) функция K(и) получена с использованием программы аналитических вычислений MAPLE; она имеет довольно громоздкую структура, и поэтому не представляется возможным полностью привести ее здесь, но основные ее свойства изучены, например, K(и) представима в виде K (u) = Ki(u)/K2(u),
Ki (и) = Gjm'o2(и) + G2iG3!Tl1!(и) +
+ G2ll20 (и) + GfiG32il22 (и) + + G2 il3o(u) + G2iG3il2i(u) + G2il4o(u)>
где Gji = Gi / Gi (i = 2,3 ), а найденные функции (u) (I = i,2) содержат степенные и экспоненциальные функции, зависят только от коэффициентов Пуассона материала слоев и отношения радиусов
Vj = Rj /Ri ( j = 2,3,4 ).
K(u) = i/и + O(i/u2) ( и ^ да ), K(0) = A = Ai / A2 . Здесь величины Ai также имеют громоздкий вид и представимы как
Ai = G2 Kn9 + GiGi к^ + G2 Kon + G2 G2 кг99 +
2 , j
-^2^2. j
J31K02
J21G31K11
21K20 "
+ G21K3o + G21G31K21 + G21K40'
J21G31K22 "
где K1ij имеют ту же структуру, что и ^ j (u).
Парное уравнение (1) эквивалентно интегральному уравнению (ИУ) [1]
у
J q(4)h (V, ф)^ф = f (ф), (0 <ф<у) (2)
0
с ядром
к(ф,ф) = sinф (a¿)Pk(cosv)P¿(ео8ф),
к=0
которое можно представить в виде двух слагаемых
к(ф, ф) = ко (ф, ф) + ^(ф, ф),
где
к0(ф,ф) = sinф SРк(^ф)Рк (cosф),
к=0
(3)
кх(ф,ф) = sinф ZakL(ak)Pk(cosy)Pk(^ф). (4)
к=0
Здесь L(u) = K(u) -1/u .
Ряд (4) сходится при любых значениях параметров, а ряд (3) может быть просуммирован
к0(ф, ф) = -
V2si
Sin ф
(
2sin ф sin ф
л
(5)
Пу/1 - соб(ф + ф) ^1 - соб(ф + ф)
где К (к) - полный эллиптический интеграл.
На основе свойства эллиптического интеграла [4] можно показать, что
*0(ф,ф) = 11п | ф-ф| +0(1) (ф^ф). п
да
да
да
Решение парного ряда - уравнения (1).
Асимптотический метод
В реальных конструкциях, например в самосмазывающихся подшипниках скольжения, толщина слоев мала по сравнению с их радиусом, поэтому относительные радиусы г2, гз и г4 близки к единице. В этом случае, как показывают расчеты, А является малой величиной (А < 0,5), и поэтому решение парного ряда - уравнения (1) при малых А может быть получено на основе асимптотического метода, изложенного в [1, 2]. Не останавливаясь подробно на изложении этого подхода, заметим, что окончательные выражения для определения распределения контактных напряжений ч(ф), перемещения штампа 8 и области контакта у при заданном значении
действующей силы Р и других параметров приведены в [2, формулы (2.2)-(2.6)]. Отметим только, что идея метода основана на сведении парных рядов -уравнений к бесконечной системе линейных алгебраических уравнений первого рода с сингулярной матрицей и получении ее асимптотического решения при малых А после аппроксимации функции
* —1 К (и) функцией К (и) = и 1ЪАи .
Решение ИУ (2). Метод коллокаций
Для решения ИУ (5) используем прямой метод коллокаций [2], который не требует аппроксимации функции К(и) , для чего ИУ (2) дискретизируем по схеме [2] с учетом логарифмической особенности его ядра при у ^ ф . Получим систему
^01 еГ е ^
е I Ч,(а,, + ап)--1 1п- — 1\д. = /(ф.) ,
i=1,i * j
2
а0 = ко (у,, ф}), а1 = кх , ф}), (6)
где ч, = ч(фг)/О1, е = у/N - интервал коллокации; V, = е /2 + е(г -1) и ф^ = е /2 + е(у -1) - узлы коллокации.
Таким образом, задача сведена к конечной системе линейных алгебраических уравнений, решение которой можно получить стандартными методами,
при этом коэффициенты а0, и а1, системы могут
быть вычислены с высокой точностью, имея в виду, что ряд сходится, а функция Ь(и) имеет явное аналитическое выражение через элементарные функции.
Метод конечных элементов
Поставленная задача также исследовалась методом конечных элементов с использованием пакета
АКБУБ. Не останавливаясь подробно на изложении метода применительно к поставленной осесиммет-ричной контактной задаче для трехслойного сферического основания, приведем ниже некоторые результаты для сравнения с теми, которые получены асимптотическим методом и методом коллока-ций. Отметим, что при расчетах методом конечных элементов модуль сдвига шара полагался в 1000 раз больше, чем О1 .
Числовые расчеты
На основе асимптотического метода проведен расчет угла области контакта у , град., перемещения штампа 8 и контактных напряжений Ч(ф) в точках фи =уп/5 (п = 0 — 4) и параметра А при некоторых значениях исходных параметров Оц,
Р = Р /О1, А, Г2, гз и г4 . Результаты расчетов при Р = 0,001, А = 0,0001, г2 = 1,1, Я1 = 1, v1 = 0,3 , V2 = 0,3 и Vз = 0,3 приведены в табл. 1, в которой
з
Чп = Ч(фп) '10 / О1.
Следует отметить, что в аналогичной задаче для двухслойного основания функция К (и) имеет значительно менее громоздкую структуру и более проста для вычисления. Поэтому для контроля точности проведено сравнение результата расчетов, проведенных на основе функции К(и) для двухслойного основания и аналогичного двухслойного основания на основе формул для трехслойного основания при соответствующих геометрических и механических параметрах.
В нечетных строках табл. 1 приведены результаты расчетов для двухслойного сферического основания Я1 < г < Я3 при г3 = 1,2 и различных О21, полученных на основе работы [2], а в четных строках - на основе формул для трехслойного сферического основания в случае О21 = О31, г3 = 1,15 и г4 = 1,2 . Относительные радиусы г3 и г4 подобраны так, что из трехслойного сферического основания получаем соответствующее двухслойное. Приведенные в табл. 1 результаты показывают хорошее совпадение.
При проведении расчетов по схеме метода кол-локаций в качестве исходных параметров более естественным является задание вместо приложенной силы Р перемещения штампа 8 с последующим нахождением приложенной силы Р . В то же время метод коллокаций позволяет при заданной величине силы Р путем ряда итераций подобрать соответствующее перемещение 8 .
п
Таблица 1
№ п.п. G21 G31 8-104 7 40 41 42 43 44 A • 103
1 0,2 - 1,06 56,0 0,752 0,725 0,645 0,515 0,338 0,215
2 0,2 0,2 1,04 55,7 0,749 0,720 0,638 0,509 0,332 0,212
3 0,5 - 0,700 51,2 0,898 0,889 0,762 0,596 0,370 0,114
4 0,5 0,5 0,697 50,9 0,887 0,885 0,759 0,591 0,367 0,112
5 2,0 - 0,462 45,4 1,13 1,08 0,950 0,734 0,438 0,0589
6 2,0 2,0 0,458 45,2 1,09 1,03 0,943 0,728 0,434 0,0580
7 5,0 - 0,405 43,4 1,22 1,17 1,03 0,792 0,468 0,0476
8 5,0 5,0 0,403 43,3 1,21 1,16 1,02 0,790 0,468 0,0470
В рассматриваемой задаче область контакта у нелинейным образом зависит от задаваемого смещения штампа 8, она заранее неизвестна, и поэтому эта величина при использовании метода коллокаций находилась итерационным способом по следующей схеме: на первом этапе, полагая область контакта фиксированной, на основе пробных расчетов путем решения системы (6) подбиралась величина у таким образом, чтобы на границе области контакта контактные напряжения имели меньшее по модулю значение, чем во внутренних точках этой области. Далее процесс нахождения у автоматизировался таким образом, что если при заданной величине у напряжения на границе имели знак, противоположный знаку напряжений в первоначальной точке контакта, то для следующей итерации величина у уменьшалась на малую заданную величину Ду, а если напряжения на границе имели тот же знак, что и в точке первоначального касания, то величина у увеличивалась на малую величину Ду. Затем производился перерасчет контактных напряжений и процесс итераций проводился до тех пор, пока
Как видно из табл. 2, результаты, приведенные в ней, хорошо согласуются, если механические характеристики третьего слоя положить равными второму. Также они хорошо согласуются с результатами, приведенными в табл. 1.
В табл. 3, 4 приведены сравнительные результаты расчетов приложенной к штампу силы Р, перемещения 8, контактных напряжений дп и
относительная величина д* =| )/ д(ф1) | контактных напряжений на границе не достигала наперед заданного минимума. Заметим, что при очередной итерации величина шага Ду уменьшалась в два раза. Первоначальная величина Ду, как и у , подбиралась вручную.
Точность получаемых численных результатов контролировалась путем увеличения числа уравнений в системе (6).
Следует отметить, что с увеличением параметров 021,031 требуется меньшее число уравнений в системе (6) для получения результата с заданной точностью. Также следует отметить, что в окрестности точки первоначального касания примерно при г <у /20 и N = 1000 метод коллокаций дает несколько заниженный результат для величины контактных напряжений.
В табл. 2, как и в табл. 1, на основе метода кол-локаций приведено сравнение результатов расчетов, полученных по формулам двухслойного основания (нечетные строки) и трехслойного основания при N = 1000 и таких же значениях Д, относительных радиусов г2, Г3 и г4 .
2
величины области контакта у , полученные на основе метода коллокаций, асимптотического метода и метода конечных элементов для некоторых заданных значений параметра Оз1,
Д = 0,0001; г2 = 1,1; г3 = 1,15 ; г4 = 1,2 ; Я1 = 1 и соответственно при 021 = 0,5 (табл. 3), 021 = 2,0 (табл. 4).
Таблица
№ G21 G31 S-104 7 41 42 43 44 P* -103
1 0,5 - 0,700 52,0 0,842 0,738 0,569 0,344 0,979
2 0,5 0,5 0,700 50,9 0,836 0,711 0,549 0,333 0938
4 2,0 - 0,462 45,7 1,06 0,931 0,715 0,423 0,985
5 2,0 2,0 0,462 43,8 0,997 0,918 0,703 0,418 0,966
6 5,0 - 0,405 43,6 1,15 1,01 0,774 0,456 0,981
7 5,0 5,0 0,405 42,4 1,09 0,988 0,767 0,442 0,969
Таблица 4
Таблица 3
№ G31 S-104 Y qi 42 43 44 P * -103
1 0,5 0,700 50,9 0,836 0,711 0,549 0,333 0,938
2 0,5 0,685 50,3 0,839 0,722 0,559 0,346 0,938
3 0,5 0,702 51,0 0,847 0,724 0,564 0,354 0,938
4 1,0 0,700 49,5 0,862 0,735 0,569 0,347 0,986
5 1,0 0,689 49,4 0,866 0,740 0,582 0,355 0,986
6 1,0 0,705 49,7 0,875 0,749 0,603 0,365 0,986
7 2,0 0,700 46,7 0,889 0,759 0,590 0,362 1,03
8 2,0 0,695 46,4 0,919 0,765 0,601 0,369 1,03
9 2,0 0,713 47,0 0,934 0,771 0,614 0,369 1,03
10 3,0 0,700 45,6 0,917 0,784 0,607 0,376 1,08
11 3,0 0,703 46,2 0,935 0,803 0,625 0,391 1,07
12 3,0 0,723 46,5 0,938 0,814 0,29 0,399 1,08
13 4,0 0,700 43,4 0,945 0,808 0,630 0,391 1,13
14 4,0 0,701 43,9 0,970 0,827 0,648 0,412 1,13
15 4,0 0,715 44,0 0,977 0,836 0,660 0,425 1,13
№ G31 S-104 Y 41 42 43 44 P* -103
1 0,5 0,462 59,7 0,847 0,780 0,598 0,356 0,821
2 0,5 0,449 59,9 0,851 0,792 0,603 0,355 0,821
3 0,5 0,516 60,0 0,847 0,788 0,607 0,349 0,820
4 1,0 0,462 51,2 0,927 0,853 0,653 0,388 0,898
5 1,0 0,460 51,8 0,932 0,860 0,662 0,395 0,898
6 1,0 0,495 51,9 0,930 0,865 0,670 0,402 0,900
7 2,0 0,462 43,8 0,997 0,918 0,703 0,418 0,966
8 2,0 0,455 44,8 1,01 0,935 0,722 0,429 0,966
9 2,0 0,501 45,0 0,999 0,927 0,725 0,422 0,966
10 3,0 0,462 39,7 1,08 0,998 0,766 0,456 1,05
11 3,0 0,465 40,2 1,12 1,01 0,782 0,462 1,05
12 3,0 0,498 40,3 1,09 1,02 0,785 0,460 1,05
13 4,0 0,462 35,5 1,19 1,092 0,837 0,497 1,14
14 4,0 0,473 36,0 1,23 1,12 0,845 0,501 1,15
15 4,0 0,505 36,4 1,27 1,14 0,854 0,512 1,15
В строках таблиц с номерами 1+3/, 2+3/ и 3+3/' (/'=0, 1, 2, 3, 4) приведены результаты, полученные методом коллокаций, асимптотическим и методом конечных элементов. Как видно из таблиц, результаты хорошо согласуются между собой.
Литература
1. Александров В.М., Чебаков М.И. Аналитические методы в
контактных задачах теории упругости. М., 2004. 304 с.
2. Колосова Е.М., Чебаков М.И. К теории расчета двух-
слойного цилиндрического подшипника // ПММ. 2010. Т. 72, вып. 10. С. 945-952.
3. Карпенко В.А. О замкнутом решении первой краевой
задачи теории упругости для пространства с шаровой полостью // ПММ. 1975. Т. 39, № 5. С. 951-955.
4. Градштейн И.С., Рыжик И.М. Таблицы интегралов,
сумм, рядов и произведений. М., 1971. 1108 с.
Поступила в редакцию_
References
1. Aleksandrov V.M., Chebakov M.I. Analiticheskie metody v
kontaktnykh zadachakh teorii uprugosti [The analytical methods in contact problems of the theory of elasticity]. Moscow, 2004, 304 p.
2. Kolosova E.M., Chebakov M.I. K teorii rascheta dvu-
khsloinogo tsilindricheskogo podshipnika [The theory of calculating the two-layered cylindrical bearing]. PMM, 2010, vol. 72, no 10, pp. 945-952.
3. Karpenko V.A. O zamknutom reshenii pervoi kraevoi
zadachi teorii uprugosti dlya prostranstva s sharovoi po-lost'yu [About closed the first boundary value problem of elasticity for a space with a spherical cavity]. PMM, 1975, vol. 39,
no 5, pp. 951-955.
4. Gradshtein I.S., Ryzhik I.M. Tablitsy integralov, summ,
ryadov i proizvedenii [Tables of integrals, sums, series and products]. Moscow, 1971, 1108 p.
31 июля 2015 г.
