Конформационный переход в модифицированной модели ДНК Пейярда-Бишопа с трением Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 539:2

КОНФОРМАЦИОННЫИ ПЕРЕХОД В МОДИФИЦИРОВАННОМ МОДЕЛИ ДНК ПЕЙЯРДА-БИШОПА С ТРЕНИЕМ

© М. И. Фахретдинов*, Ф. К. Закирьянов

Башкирский государственный университет Россия, Республика Башкортостан, 450074 г. Уфа, ул. Заки Валиди, 32.

Тел./факс: +7 (347) 273 93 25.

E-mail: fakhretdinovmi@pochta. ru

В работе рассмотрена модифицированная модель Пейярда—Бишопа с несимметричным двухъямным потенциалом взаимодействия между нуклеотидами и с учетом диссипации. Показано, что при определенном значении коэффициента диссипации в рассматриваемой модели возможно решение в виде кинков — нелинейных уединенных волн переключения между двумя состояниями. В терминах молекулы ДНК это решение описывает переход между двумя устойчивыми конформационными состояниями молекулы ДНК — B-А-переход.

Ключевые слова: ДНК, конформационный переход, нелинейные волны.

Существуют множество конформационных форм молекулы ДНК [1]. В природной форме молекула ДНК находится преимущественно в В-форме, но имеется также мнение [2], что в процессах считывания генетической информации энергетически более выгодно нахождение молекулы в другом конформационном состоянии - А-форме. Поэтому актуальным является исследование перехода молекулы ДНК из В- в А-форму. Так как В-А-переход молекулы ДНК является движением с большой амплитудой, то естественным для физического исследования этого перехода является использование аппарата нелинейной динамики.

В данной работе рассматривается конформа-ционный переход в модификации известной в биофизике модели ДНК - модели Пейярда-Бишопа [3, 4]. Модель Пейярда-Бишопа учитывает, что молекула ДНК состоит из двух полинуклеотидных цепей, и ее можно представить в виде двух эластичных стержней, слабо взаимодействующих между собой и свернутых в двойную спираль. Дискретный механический аналог такой модели представляет собой две цепочки дисков, связанных друг с другом продольными и поперечными пружинами (рис. 1).

Обозначим через и энергию взаимодействия узлов одной цепочки, Ж - энергию взаимодействия узлов разных цепочек, п - номера атомов в цепочке,

I - продольное расстояние между атомами в цепочке, ип, уп - смещение узлов верхней и нижней цепочки соответственно (стрелочками на рис. 1 показаны положительные значения смещений узлов).

В качестве и для простоты берется гармонический потенциал:

и = Е^ ^п " ип-1 )2 + (уп - Уп-! )2 ]

п 2

Наблюдаемые экспериментально переходы между двумя формами ДНК позволяют сделать вывод, что реальный потенциал Ж взаимодействия комплементарных нуклеотидов имеет вид двухъ-ямной потенциальной функции.

Ограничимся анализом внутримолекулярных конформационных переходов, не рассматривая плавление и репликацию ДНК. Тогда можно аппроксимировать рассматриваемую сложную потенциальную функцию относительно простым полиномиальным потенциалом (рис. 2):

Ж = Е (и - у)2 (а (и - у)2 + Ь (и - V ) + с).

\ п п / \ \ п п / \ п п / !

п

Условие асимметричности и двухъямности потенциала накладывает на параметры Ж следующие ограничения: с>0, Ь<0, а>Ь2 / 4с, а < 9Ь2 / 32с.

Ж

Рис. 1. Модель Пейярда-Бишопа.

Рис. 2. Вид потенциала взаимодействия комплементарных нуклеотидов.

Система имеет два стационарных состояния: основное (В-состояние) и метастабильное (А-состояние). В-состояние является более выгодным по энергии. Такая неэквивалентность В- и А-форм соответствует свойствам реальной молекулы ДНК.

U - V

* автор, ответственный за переписку

8

раздел ФИЗИКА

Параметры предлагаемого модельного потенциала выберем из следующих соображений: точка локального минимума потенциальной энергии, соответствующая А-форме молекулы ДНК, должна быть порядка величины смещения нуклеотидов при В-А-переходе, т.е. ~1-2 А, а значение максимума потенциальной энергии (потенциальный барьер) -порядка энергии В-А перехода, т.е. ~0.1 эВ. Эти условия удовлетворяются, например, при следующих параметрах потенциала: а = 3.1-1020 Дж/м4, Ь = -9.54-1010 Дж/м3, с = 8.108 Дж/м2.

В континуальном приближении гамильтониан имеет следующий вид:

1 (и 2 + *2)+1 (иХ + )+

2 4 '2

- у)2 + Ь (и — V) + с Уравнения движения получаются в виде:

ёх

Т

и = их - 4а (и - V)3 - 3Ь (и - у)2 - 2с (и - V) - ц и

V = + 4а(и - у)3 + 3Ь (и - у)2 + 2с(и - у)- цV

Здесь учтено взаимодействие молекулы ДНК с окружающей средой, приводящее к диссипативным

членам т и и ц V.

От переменных и и V перейдем к переменным у и г, имеющим следующий смысл: у = и + V соответствует движению центра масс системы, г = и - V соответствует изменению расстояния между комплементарными парами нуклеотидов. Уравнения движения примут вид:

у= Ух-цу,

-3 ■ 6Ь г2

2,, = 2 .

< 2

■4с г - ц г

При переходе к волновой переменной X = х - st, где 5 - скорость волны, уравнение для г

примет вид:

(1 - 52 )г^ - 8а г3 - 6Ьг2 - 4с г + ц &г^ = 0 (1)

Решение уравнения (1), описывающее переход системы из В-состояния в А-состояние, будем искать в виде кинка:

2(Х) = -

(2)

1 + А2 ехр(- А3х)

Решение в виде (2) существует только при определенном соотношении коэффициента трения от скорости. В размерных переменных зависимость коэффициента трения от параметров модели выглядит следующим образом:

Г-3(ь + д/9Ь2 -32ас^9Ь2 -16ас -3Ьд/9Ь2 -3тТс 242а(-3Ь + ,19Ь2 -32ас5 Для оценки численного значения коэффициента трения воспользуемся полученными выше параметрами рассматриваемого модельного потенциала и данными работы [3] (т = 5.1-10-25 кг, I = 3.4-10-10 м, к = 24 Н/м). Зависимость коэффициента трения от скорости (3) показана на рис. 3.

т = лІ кі2 — т

(3)

Рис. 3. Зависимость коэффициента трения от скорости

Аналогичные величины коэффициента трения были получены и в работе [3]. При ^ = 0 получим максимальное допустимое значение скорости соли-тона 5 ~ 2332.4 м/с. Это согласуется с оценками, представленными в приложении к монографии Л. В. Якушевич [5].

Решение системы (1) в безразмерных переменных имеет вид:

- 3Ь + ^19Ь2 - 32ас

8а

1 + ^2 ехр

1

2с — — (— 3Ь + у19Ь2 — 32ас) 8а

(4)

где А2 - произвольная положительная константа, соответствующая сдвигу кинка влево или вправо по оси ^. Вид решения в размерных переменных представлен на рис. 4:

г, А

{,А

Рис. 4. Вид решения (4) в размерных переменных.

Высота кинка (предел решения на бесконечности) равна:

И = — (- 3Ь + у/9Ь2 - 32ас)

8а

Она соответствует расстоянию между локальными минимумами функции г2(аг2+Ьг+с) и равна смещению нуклеотидов при В-А-переходе.

Решение типа кинка (4) в рамках нашей модели (рис. 1) определяет растяжение нелинейных пружинок, соединяющих узлы разных цепочек.

м,

с

2 =

Рис. S. B-А-переход.

Это растяжение движется вдоль цепочки узлов (рис. S) по мере того, как бегущая волна - кинк -идет по цепочке. В рамках терминов молекулы ДНК это определяет переход между двумя устойчивыми конформационными состояниями молекулы ДНК - B-А-переход.

Таким образом, нами была рассмотрена модель Пейярда-Бишопа с несимметричным двухъямным потенциалом взаимодействия между нуклеотидами с учетом трения. Показано, что при определенном зна-

чении коэффициента диссипации в данной модели возможно решение типа кинк, которое можно интерпретировать как В-А-переход. Получены численные оценки построенного решения, качественно совпадающие с оценками в других работах.

ЛИТЕРАТУРА

1. Албертс Б., Брей Д., Льюис Дж. Молекулярная биология клетки. Т. 1. М.: Мир, 1994 г. 517 с.

2. Иванов В. И. // Соросовский образовательный журнал. 1998. №1. С. 2-7.

3. 7^аусоу1с 8., Тив7упвк I А., 8а1апс М. V. // X Сотри! ТЬеог. Каповсь, 2005. V. 2. Р. 1-9.

4. Закирьянов Ф. К, Фахретдинов М. И. // Исследовано в России. 2008. С. 392-399. "ШЬ: ЬЮ[р://7Ьита1.аре.ге1агп.ги/аг^1с1е8/2008/034.р(Л£

5. Якушевич Л. В. Нелинейная физика ДНК. М.; Ижевск: Ин-т компьютерных исследований, 2007. 250 с.

Поступила в редакцию 20.10.2009 г. После доработки — 12.01.2010 г.