Конечномерные представления псевдо-ортогональной группы, связанные с конусом Текст научной статьи по специальности «Математика»

КОНЕЧНОМЕРНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ПСЕВДО-ОРТОГОНАЛЬНОЙ ГРУППЫ, СВЯЗАННЫЕ С КОНУСОМ 1

С. В. Цыкина

Параэрмитовы симметрические пространства С/Я с псевдоортогоналыгой группой движений С = ЭОо (р,я) исчерпываются с точностью до накрытия пространствами, где Я - подгруппа в С такая, что ее связная компонента есть БОо {р — 1, Я — 1) х ЭОо(1,1). Ранг таких пространств равен 2.

При изучении полиномиального квантования на С/Я существенную роль играют конечномерные представления группы (7, действующие в многочленах на С/Я. В свою очередь, эти представления получаются при тензорном умножении конечномерных представлений группы С, связанных с конусом. Последние представления удобно реализовать на параболических сечениях конуса, а для исследования их тензорных произведений удобно реализовать сомножители тензорного произ-веденя на разных ("противоположных") сечениях.

В данной работе мы описываем указанные реализации конечномерных представлений.

1. Введем в пространстве Мп следующую билинейную форму:

где — ... — Ар — 1, Ар+х ... Ап 1, и х (жі,..., жп), у (у\,..., уп)

векторы из М". Пусть С есть группа ЭОо(р,д), Я = п ~ Р, ~ связная компонента единицы в группе линейных преобразований пространства К”, сохраняющих билинейную форму (1). Мы будем считать, что Є действует в Е" справа: х н->- хд, так что векторы будем записывать в виде строки. Мы рассмотрим общий случай р > 1,д > 1.

2. Напомним некоторый материал о представлениях группы Є, связанных с конусом [1]. Пусть С - конус [х,х] = 0, х ф 0 в Еп. Группа С действует на нем транзитивно. Возьмем в конусе следующие две точки: = (1, 0,..., 0,1), =

(1,0,..., 0, —1). Для ж Є Ж” обозначим |ж] = (х\+...+х^)112. Рассмотрим следующие сечения конуса:

1 Работа поддержана грантами: РФФИ № 05-01-00074а, Голландской организации научных

исследований ^^УО) 047-017-015, Научной программой "Развитие научного потенциала высшей школы" РНП.2.1.1.351 и Темпланом 1.2.02.

тг

(1)

г=1

5 = {|гг| = 1},

г+ = {хх + хп = 2} = {[ж, 5“] = -2},

Г“ = {а;! - хп = 2} = {[ж, й+] = -2}.

Многообразие 51 состоит из точек х таких, что ж? + ... + х2р = 1, х2р+1 + ... + х\ — 1, так что 5 есть прямое произведение двух сфер размерностей р — 1 и д — 1. Точки 5+, 5“ принадлежат Г+, Г-, соответственно.

Сечения Г1*1 пересекаются один раз почти с каждой образующей конуса С. Поэтому линейное действие группы С на конусе дает следующие действия на Г“ и Г+, соответственно:

2

х I—> = —-----------— • хд, х е Г , (2)

[хд, 5+]

2

х I—У = —т----------г -хд, х € Г+. (3)

[хд,¿П

Введем координаты £ = (£2, • • •, £«-1) на Г' и 77 = (772, • • •, ??п-1) на Г+ следующим образом. В пространстве Еп~2 векторов введем билинейную форму:

П — 1

(£,??) = XI Л^‘

г=2

Тогда точки гг £ Г~ и и € Г+ можно записать следующим образом:

и = и(0 = (! + <£, 0, 2£,-1 + <Ш> (4)

и = г;(77) = (1 + (г), г]), 277,1 — (г), т?}). (5)

Пусть а € С, е = 0,1. Обозначим через Т>ау£(С) пространство функций / класса

С°° однородных "степени а,е", то есть

/(¿ж) = ¿а,е/(ж), же С, £ 6 Ж* = Ж \ {0}.

Мы используем обозначение = |£|^п££. Представление Т^£ группы (7 действует в этом пространстве сдвигами: (Т^£(д)/) (х) = /(хд).

Рассмотрим эти представления в "компактной картине". Функции / из Т>а>£(С) вполне определяются своими значениями на сечении Б конуса С. Ограничения функций / на 5 образуют пространство Т>е (Б) функций <р из Т>(3) четности е, то есть ^( — в) = ( —1)е(^(5).

В реализации на 5 представление Та^ действует в Т>£(8) по формуле

{Та,е(д)) (в) = <р |'®5,|<7

Ограничение представления Т^е на максимальную компактную подгруппу К есть представление группы К = БО(р) х БО(д) сдвигами в пространстве Т>£(3):

(Я£(к)(р) (в) = (р(зк).

Представление группы К распадается в прямую однократную сумму неприводимых представлений = 7г^ ® 7Гт\ действующих в пространствах Я/>т = Я,(р) <8> Н$, где I + т = е.

Если г > 2, то состоит из ограничений на 5Г_1 гармонических многочленов от х1,...,хг однородных степени I. Пространства одномерны, порождаются функцией (XI + ІX2)l.

Пары (/, га) целых чисел заполняют решетку в первой четверти I ^ 0, га ^ 0 при р > 2, д > 2, в правой полуплоскости I ^ 0 при р > 2, д = 2, в верхней полуплоскости т ^ 0 при р = 2, д > 2, на всей плоскости при р = 2, д = 2. Зональная сферическая функция в Я/)ТО относительно подгруппы КПЯе при р > 2, д > 2 есть

р(р-2)/2, ч /'■'!('?—2)/2 /

ф, (з) = ^ ('б')

с?-2)/2(1) сГ2)/2(1)’

где С£(£) ~ многочлен Гегенбауэра. Если р = 2 или д = 2, то соответственно первую или вторую дробь в (6) надо заменить на (зх + или (г5„_1 + 5„)т.

Пусть Д,9 обозначает оператор Лапласа-Бельтрами на Б. Пространства Я/5 т являются собственными для него с собственными значениями 1(2 — р — I) + т( 2 — д — га).

Оператор Аа%е в Т>£(3), определенный формулой

(Аг.еР) (в) = JМ]2 " а,£ф)М,

сплетает представления Т^е и Т2-п-а,е- На каждом пространстве Я/ гп оператор есть умножение на число

„ N п-і-ґт — / ч ї Г(3-п-<т)Г(2=»-а)

а<т,е(1, т) = 2 + тг2 ( 1)--------------------

ПГ (-\^(1,т)) з=1

где /3^ - следующие четыре линейные функции от I, га:

з

= а — I — га,

/?2^ = сг + д — 2 — / + га,

/Зз^ = ст + р — 2-Н — га,

= а + п — 4 + 1 + т.

Композиция А2-п-и,£^-а,£ есть скалярный оператор (умножение на число):

Л-2—п—<т, є — ^о(*^5^) ’ Е,

где

оп+з_п—з Г(сг + 1)Г(3 — п — а) х

(2а + п — 2) sin (сг + |) 7г

. а + е + п . а — £ . а + £ + q . а — £+р

sm-----------7г • sin---7г • sm--------тг ■ sm---------7г.

2 2 2 2

Если а - не целое число, то представление Та^£ неприводимо. Оно эквивалентно представлению Т2-п-а,е ~ с помощью оператора Ааь£. Приводимость представлений Та,£ возможна только если а - целое число. Инвариантные подпространства выделяются барьерными функциями а именно, подпространство, состоящее из Hi,m таких, что (3^ ^ 0, является инвариантным. Поэтому для выяснения структуры инвариантных подпространств достаточно нарисовать барьеры /3^ = 0.

3. Нас специально интересуют конечномерные инвариантные подпространства (или фактор-пространства по инвариантным подпространствам). Конечномерное инвариантное подпространство существует для целых а таких, что о ^ 0 и а = £. Оно состоит из таких H^m, что \1\ + \тп\ ^ а и I + тп = е. Обозначим его через Ма. Ограничение представления Та>£ на подпространство Ма обозначим через П^. Это представление Пст неприводимо, его размерность равна

dim Мс = (2а + п - 2) • (7)

Конечномерное фактор-пространство по инвариантному подпространству существует для целых <7^2 — п, а + п = £. Оно есть фактор-пространство по подпространству Va, состоящему из HitTn таких, что |¿| + \тп\ ^ 4 — п — а, I + тп = £. Обозначим его через Ма. Пусть Па обозначает фактор-представление представления Та<е в Ма. Оно неприводимо и эквивалентно П2-п-а- Пусть а - целое, а ^ 0 и а = £. Тогда оператор А2-п-а,е обращается в нуль на подпространстве V2-n-a, отображает фактор-пространство M2_n_,j = г-п-<т на и дает эквива-

лентность представлений П.2-п-а и По-. Обратный оператор есть с точностью до множителя некоторый лорановский коэффициент ограничения на Ма оператора АТ}£> те С.

4. Рассмотрим теперь представление TajS в "некомпактной картине" - в реализации на сечениях конуса С. Ограничения функций из Т>а^£(С) на сечение

образуют некоторое пространство Х^^Г^) функций / на Г1*1. Оно содержится в С'00^^) и содержит В координатах £,r¡ представление Та £ группы G

действует по формулам

С^.еЫ/НО = f(Z-g) |-^N>S+]| ,

(T*,e(g)f)(i?) = f(vg) >

u>o(a,£) =

X

где и = и(£), V = ь(г]), см. (4), (5), действия £ £ • д и 771—> 77 - _д порождаются

формулами (2), (3).

Оператор А^е в реализации на выглядит следующим образом:

Функция г]) есть многочлен от £, г) степени 2 отдельно по £ и по г). Оператор АсгіЄ сплетает представления Та%е и Т'2^п-а,е- действующие в функциях на разных сечениях. В (8) можно £ заменить на 77 и наоборот.

5. Рассмотрим теперь конечномерные представления П*, к Є М, содержащиеся в Т„^е. Напомним, что тогда о = к и є = к. Сначала рассмотрим реализацию представления на конусе С.

Обозначим через пространство многочленов /(ж) на Е", п = р + д, одно-

родных степени к и (р, д)-гармонических, то есть удовлетворяющих уравнению

Пространство М/., в котором действует представление Щ, состоит из ограничений на конус С многочленов из Н^,д\ Отображение ограничения - взаимно однозначно. Размерность пространства Мк дается формулой (7) с а — к.

Теперь рассмотрим реализацию пространства Мь на Г".

Теорема. Пространство Мк есть прямая сумма:

1. В. Ф. Молчанов. Представления псевдоортогональной группы, связанные с конусом. Матем. сб., 1970, том 81, № 3, 358-375.

Е’

іп — 2

где

= 1 - 2(£, г}) + (£,£)(т7, 77) =

к

к—т

Аналогично устроено пространство М* в реализации на Г+.

ЛИТЕРАТУРА