КОНЕЧНОМЕРНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ПСЕВДО-ОРТОГОНАЛЬНОЙ ГРУППЫ, СВЯЗАННЫЕ С КОНУСОМ 1
С. В. Цыкина
Параэрмитовы симметрические пространства С/Я с псевдоортогоналыгой группой движений С = ЭОо (р,я) исчерпываются с точностью до накрытия пространствами, где Я - подгруппа в С такая, что ее связная компонента есть БОо {р — 1, Я — 1) х ЭОо(1,1). Ранг таких пространств равен 2.
При изучении полиномиального квантования на С/Я существенную роль играют конечномерные представления группы (7, действующие в многочленах на С/Я. В свою очередь, эти представления получаются при тензорном умножении конечномерных представлений группы С, связанных с конусом. Последние представления удобно реализовать на параболических сечениях конуса, а для исследования их тензорных произведений удобно реализовать сомножители тензорного произ-веденя на разных ("противоположных") сечениях.
В данной работе мы описываем указанные реализации конечномерных представлений.
1. Введем в пространстве Мп следующую билинейную форму:
где — ... — Ар — 1, Ар+х ... Ап 1, и х (жі,..., жп), у (у\,..., уп)
векторы из М". Пусть С есть группа ЭОо(р,д), Я = п ~ Р, ~ связная компонента единицы в группе линейных преобразований пространства К”, сохраняющих билинейную форму (1). Мы будем считать, что Є действует в Е" справа: х н->- хд, так что векторы будем записывать в виде строки. Мы рассмотрим общий случай р > 1,д > 1.
2. Напомним некоторый материал о представлениях группы Є, связанных с конусом [1]. Пусть С - конус [х,х] = 0, х ф 0 в Еп. Группа С действует на нем транзитивно. Возьмем в конусе следующие две точки: = (1, 0,..., 0,1), =
(1,0,..., 0, —1). Для ж Є Ж” обозначим |ж] = (х\+...+х^)112. Рассмотрим следующие сечения конуса:
1 Работа поддержана грантами: РФФИ № 05-01-00074а, Голландской организации научных
исследований ^^УО) 047-017-015, Научной программой "Развитие научного потенциала высшей школы" РНП.2.1.1.351 и Темпланом 1.2.02.
тг
(1)
г=1
5 = {|гг| = 1},
г+ = {хх + хп = 2} = {[ж, 5“] = -2},
Г“ = {а;! - хп = 2} = {[ж, й+] = -2}.
Многообразие 51 состоит из точек х таких, что ж? + ... + х2р = 1, х2р+1 + ... + х\ — 1, так что 5 есть прямое произведение двух сфер размерностей р — 1 и д — 1. Точки 5+, 5“ принадлежат Г+, Г-, соответственно.
Сечения Г1*1 пересекаются один раз почти с каждой образующей конуса С. Поэтому линейное действие группы С на конусе дает следующие действия на Г“ и Г+, соответственно:
2
х I—> = —-----------— • хд, х е Г , (2)
[хд, 5+]
2
х I—У = —т----------г -хд, х € Г+. (3)
[хд,¿П
Введем координаты £ = (£2, • • •, £«-1) на Г' и 77 = (772, • • •, ??п-1) на Г+ следующим образом. В пространстве Еп~2 векторов введем билинейную форму:
П — 1
(£,??) = XI Л^‘
г=2
Тогда точки гг £ Г~ и и € Г+ можно записать следующим образом:
и = и(0 = (! + <£, 0, 2£,-1 + <Ш> (4)
и = г;(77) = (1 + (г), г]), 277,1 — (г), т?}). (5)
Пусть а € С, е = 0,1. Обозначим через Т>ау£(С) пространство функций / класса
С°° однородных "степени а,е", то есть
/(¿ж) = ¿а,е/(ж), же С, £ 6 Ж* = Ж \ {0}.
Мы используем обозначение = |£|^п££. Представление Т^£ группы (7 действует в этом пространстве сдвигами: (Т^£(д)/) (х) = /(хд).
Рассмотрим эти представления в "компактной картине". Функции / из Т>а>£(С) вполне определяются своими значениями на сечении Б конуса С. Ограничения функций / на 5 образуют пространство Т>е (Б) функций <р из Т>(3) четности е, то есть ^( — в) = ( —1)е(^(5).
В реализации на 5 представление Та^ действует в Т>£(8) по формуле
{Та,е(д)) (в) = <р |'®5,|<7
Ограничение представления Т^е на максимальную компактную подгруппу К есть представление группы К = БО(р) х БО(д) сдвигами в пространстве Т>£(3):
(Я£(к)(р) (в) = (р(зк).
Представление группы К распадается в прямую однократную сумму неприводимых представлений = 7г^ ® 7Гт\ действующих в пространствах Я/>т = Я,(р) <8> Н$, где I + т = е.
Если г > 2, то состоит из ограничений на 5Г_1 гармонических многочленов от х1,...,хг однородных степени I. Пространства одномерны, порождаются функцией (XI + ІX2)l.
Пары (/, га) целых чисел заполняют решетку в первой четверти I ^ 0, га ^ 0 при р > 2, д > 2, в правой полуплоскости I ^ 0 при р > 2, д = 2, в верхней полуплоскости т ^ 0 при р = 2, д > 2, на всей плоскости при р = 2, д = 2. Зональная сферическая функция в Я/)ТО относительно подгруппы КПЯе при р > 2, д > 2 есть
р(р-2)/2, ч /'■'!('?—2)/2 /
ф, (з) = ^ ('б')
с?-2)/2(1) сГ2)/2(1)’
где С£(£) ~ многочлен Гегенбауэра. Если р = 2 или д = 2, то соответственно первую или вторую дробь в (6) надо заменить на (зх + или (г5„_1 + 5„)т.
Пусть Д,9 обозначает оператор Лапласа-Бельтрами на Б. Пространства Я/5 т являются собственными для него с собственными значениями 1(2 — р — I) + т( 2 — д — га).
Оператор Аа%е в Т>£(3), определенный формулой
(Аг.еР) (в) = JМ]2 " а,£ф)М,
сплетает представления Т^е и Т2-п-а,е- На каждом пространстве Я/ гп оператор есть умножение на число
„ N п-і-ґт — / ч ї Г(3-п-<т)Г(2=»-а)
а<т,е(1, т) = 2 + тг2 ( 1)--------------------
ПГ (-\^(1,т)) з=1
где /3^ - следующие четыре линейные функции от I, га:
з
= а — I — га,
/?2^ = сг + д — 2 — / + га,
/Зз^ = ст + р — 2-Н — га,
= а + п — 4 + 1 + т.
Композиция А2-п-и,£^-а,£ есть скалярный оператор (умножение на число):
Л-2—п—<т, є — ^о(*^5^) ’ Е,
где
оп+з_п—з Г(сг + 1)Г(3 — п — а) х
(2а + п — 2) sin (сг + |) 7г
. а + е + п . а — £ . а + £ + q . а — £+р
sm-----------7г • sin---7г • sm--------тг ■ sm---------7г.
2 2 2 2
Если а - не целое число, то представление Та^£ неприводимо. Оно эквивалентно представлению Т2-п-а,е ~ с помощью оператора Ааь£. Приводимость представлений Та,£ возможна только если а - целое число. Инвариантные подпространства выделяются барьерными функциями а именно, подпространство, состоящее из Hi,m таких, что (3^ ^ 0, является инвариантным. Поэтому для выяснения структуры инвариантных подпространств достаточно нарисовать барьеры /3^ = 0.
3. Нас специально интересуют конечномерные инвариантные подпространства (или фактор-пространства по инвариантным подпространствам). Конечномерное инвариантное подпространство существует для целых а таких, что о ^ 0 и а = £. Оно состоит из таких H^m, что \1\ + \тп\ ^ а и I + тп = е. Обозначим его через Ма. Ограничение представления Та>£ на подпространство Ма обозначим через П^. Это представление Пст неприводимо, его размерность равна
dim Мс = (2а + п - 2) • (7)
Конечномерное фактор-пространство по инвариантному подпространству существует для целых <7^2 — п, а + п = £. Оно есть фактор-пространство по подпространству Va, состоящему из HitTn таких, что |¿| + \тп\ ^ 4 — п — а, I + тп = £. Обозначим его через Ма. Пусть Па обозначает фактор-представление представления Та<е в Ма. Оно неприводимо и эквивалентно П2-п-а- Пусть а - целое, а ^ 0 и а = £. Тогда оператор А2-п-а,е обращается в нуль на подпространстве V2-n-a, отображает фактор-пространство M2_n_,j = г-п-<т на и дает эквива-
лентность представлений П.2-п-а и По-. Обратный оператор есть с точностью до множителя некоторый лорановский коэффициент ограничения на Ма оператора АТ}£> те С.
4. Рассмотрим теперь представление TajS в "некомпактной картине" - в реализации на сечениях конуса С. Ограничения функций из Т>а^£(С) на сечение
образуют некоторое пространство Х^^Г^) функций / на Г1*1. Оно содержится в С'00^^) и содержит В координатах £,r¡ представление Та £ группы G
действует по формулам
С^.еЫ/НО = f(Z-g) |-^N>S+]| ,
(T*,e(g)f)(i?) = f(vg) >
u>o(a,£) =
X
где и = и(£), V = ь(г]), см. (4), (5), действия £ £ • д и 771—> 77 - _д порождаются
формулами (2), (3).
Оператор А^е в реализации на выглядит следующим образом:
Функция г]) есть многочлен от £, г) степени 2 отдельно по £ и по г). Оператор АсгіЄ сплетает представления Та%е и Т'2^п-а,е- действующие в функциях на разных сечениях. В (8) можно £ заменить на 77 и наоборот.
5. Рассмотрим теперь конечномерные представления П*, к Є М, содержащиеся в Т„^е. Напомним, что тогда о = к и є = к. Сначала рассмотрим реализацию представления на конусе С.
Обозначим через пространство многочленов /(ж) на Е", п = р + д, одно-
родных степени к и (р, д)-гармонических, то есть удовлетворяющих уравнению
Пространство М/., в котором действует представление Щ, состоит из ограничений на конус С многочленов из Н^,д\ Отображение ограничения - взаимно однозначно. Размерность пространства Мк дается формулой (7) с а — к.
Теперь рассмотрим реализацию пространства Мь на Г".
Теорема. Пространство Мк есть прямая сумма:
1. В. Ф. Молчанов. Представления псевдоортогональной группы, связанные с конусом. Матем. сб., 1970, том 81, № 3, 358-375.
Е’
іп — 2
где
= 1 - 2(£, г}) + (£,£)(т7, 77) =
к
к—т
Аналогично устроено пространство М* в реализации на Г+.
ЛИТЕРАТУРА